第07讲 列代数式表示数量关系 复习讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦“列代数式表示数量关系”核心知识点，系统梳理代数式概念、书写规范（如乘号省略、除式用分数等）、意义及列代数式方法，构建从概念理解到规范书写，再到实际应用的完整学习支架。 资料通过丰富题型（如用字母表示冰糖葫芦山楂个数、竞赛成绩，探究多项式及图形规律）培养抽象能力、推理意识与应用意识，课中助力教师分层教学，课后查缺补漏与作业设计帮助学生巩固知识，提升用数学语言表达数量关系的能力。

第07讲：列代数式表示数量关系 一、考点梳理 二、知识点总结 知识点一、代数式概念 用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc。单独的一个数或一个字母也是代数式。 知识点二、代数式书写规范 1.数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·”表示，并把数字放到字母前； 2.出现除式时，用分数表示； 3.带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数； 4.若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。 知识点三、代数式的意义 根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来,就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义。 知识点四、列代数式 把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式。 三、常考的题型 考点一、用字母表示数 1．冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂蘸上熔化的冰糖制作而成．若每根竹签穿5个山楂，则穿（为正整数）串冰糖葫芦需要山楂的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用字母表示数、列代数式 【分析】首先明确题目中的数量关系，已知每串冰糖葫芦需要5个山楂，要求n串的总山楂数，确定这是乘法应用问题．因为总个数等于单串所需个数乘以串数，所以可根据这个数量关系列出对应的代数式．结合代数式的书写规范，得到对应表达式后匹配选项即可． 【详解】解：∵每串冰糖葫芦穿5个山楂，共串， ∴需要山楂的个数为． 2．一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用字母表示数、列代数式 【分析】根据题意得出不答或答错的题数，列式可得结论． 【详解】解：由题意得，该生不答或答错了道题，则答对得分为分，扣分为分， 所以他的成绩为． 3．一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用字母表示数、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，也就是把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来； 百位上的数字是，表示个百，十位上的数字是，表示个十，个位上的数字是，表示个一，所以表示这个三位数的式子应该是． 【详解】因为百位上的数字是，表示个百，即， 因为十位上的数字是，表示个十，即， 因为个位上的数字是，表示个一，即， 所以表示这个三位数的式子应该是． 故选：D． 4．用字母表示： （1）乘法对加法的分配律____________________________； （2）一个长方形的长是b，宽是长的一半，它的周长是__________，面积是__________； （3）一个三角形的三边长都是c，它的周长是_________； （4）一个平行四边形的一边长是a，该边上的高是这边长的，这个平行四边形的面积是_________． 【答案】 【知识点】用字母表示数、列代数式 【分析】（1）根据乘法对加法的分配律用字母表示出即可求解； （2）用长方形的长除以2，计算出长方形的宽，再根据长方形的周长=（长+宽）×2，面积=长×宽即可解答． （3）根据三角形的周长等于三边的和，解答即可． （4）一个平行四边形的一边长为a，这条边上的高是这条边长的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，可求出平行四边形的高是多少，再根据平行四边形的面积=底×高进行解答即可． 【详解】解：（1）乘法对加法的分配律：； （2）一个长方形的长是b，宽是长的一半，它的周长是，面积是； （3）一个三角形的三边长都是c，它的周长是； （4）一个平行四边形的一边长是a，该边上的高是这边长的，故该边上的高为， 故这个平行四边形的面积是． 5．青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路．青藏铁路上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段行驶的速度是，列车在冻土地段行驶时，根据已知数据求出列车行驶的路程． (1)行驶的路程是多少？呢？呢？呢？ (2)字母表示时间有什么意义？如果用表示速度，列车行驶的路程是多少？ (3)回顾以前所学过的知识，你还能举出用字母表示数或数量关系的例子吗？ 【答案】(1)；；；； (2)字母表示列车在冻土地段行驶的时间； (3)圆的面积（为圆的半径）．（答案不唯一） 【知识点】用字母表示数 【分析】本题主要考查了列代数式，根据路程与速度、时间之间关系，列出代数式是解题关键． （1）根据路程时间速度即可列出式子计算，即可； （2）根据路程时间速度解答即可； （3）根据圆的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：行驶的路程是； 行驶的路程是； 行驶的路程是； 行驶的路程是； （2）解：字母表示列车在冻土地段行驶的时间； 用表示速度，列车行驶的路程是路程； （3）解：圆的面积（为圆的半径）． 考点二、代数式的概念 6．下列式子：①、②、③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】代数式的概念 【分析】根据代数式的定义，先排除含等号、不等号的，再判断剩余式子是否符合要求，统计个数． 【详解】解：①是代数式； ②不是代数式； ③不是代数式； ④是代数式； ⑤是单独的数，是代数式； ⑥是代数式； 综上，符合条件的代数式共4个． 7．下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦．属于代数式的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查代数式的判断．代数式是由数、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方等）组成的式子，单独的数或字母也是代数式，据此求解即可． 【详解】解：由代数式的定义可得①②④⑤都是代数式，③⑥⑦不是代数式， 故选：A． 8．下列选项中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查代数式的定义，需依据代数式的概念判断各选项，代数式是不含等号、不等号等关系符号的式子． 【详解】解：∵代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，且不包含等号、不等号等关系符号， ∴选项A是等式，含有等号，不属于代数式， 选项B是单独的数，属于代数式， 选项C、D是由数、字母和运算符号组成的式子，属于代数式， ∴不是代数式的是A选项， 故选：A． 9．下列各式：，其中是代数式的有____________个． 【答案】 6/六 【知识点】代数式的概念 【分析】本题主要考查了代数式的识别，掌握代数式的定义进行判定即可求解．代数式：用基本的运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式，由此即可求解． 【详解】解：是代数式；是代数式；是方程，不是代数式；是代数式；0是代数式；是代数式；是代数式；是不等式，不是代数式；是不等式，不是代数式，则，其中是代数式的有个． 故答案为：6． 10．下列各式中，哪些是代数式？哪些不是代数式？ ①，②，③，④，⑤，⑥． 【答案】①，③，⑤是代数式；②，④，⑥不是代数式． 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查代数式的判断，根据用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫作代数式，进行判断即可． 【详解】解：①，③，⑤是代数式，②，④，⑥不是代数式． 考点三、代数式的书写格式 11．下面各式中，符合书写要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题主要考查了代数式的书写．根据代数式的书写要求，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、应该是，故本选项不符合题意； B、应该是，故本选项不符合题意； C、应该是，故本选项不符合题意； D、，书写正确，故本选项符合题意； 故选：D 12．下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】代数式书写方法 【分析】根据代数式的书写规范，逐一判断每个式子，统计符合要求的个数即可．代数式书写规则为：乘号通常省略不写或写为 ，数字需写在字母前方；除法运算写成分数形式；系数为 时省略不写；带分数需化为假分数． 【详解】解：逐个判断式子：∵ 保留乘号 ，不符合书写要求； 中系数的未省略，不符合书写要求； 未将除法写为分数形式，不符合书写要求； 中数字未写在字母前方，不符合书写要求； 未将带分数化为假分数，不符合书写要求； 只有符合所有书写要求，共个符合要求． 13．有下列各式：①；②；③米；④ ；⑤；⑥．其中，不符合代数式书写规范要求的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写，代数式写法规则为：数与字母相乘时，数写在字母的前面，数字是带分数的化为假分数或小数，除号用分数线表示，代数式不含单位；据此解答即可． 【详解】解： ① 中使用了“”号，不符合规范； ② 中数字1未省略，不符合规范； ③米，代数式中含有单位，不符合规范； ④书写正确； ⑤中使用了除号，不符合规范； ⑥ 中使用了带分数，不符合规范， ∴不符合规范的有①②③⑤⑥，共5个， 故选：D． 14．下列代数式中，符合代数式书写要求的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦千米． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 根据代数式书写规则，检查每个式子是否符合要求，如不使用带分数、除号，数字应在字母前，单位需加括号等． 【详解】解：∵①应写成，不符合书写要求； ②是加法运算，符合书写要求； ③是分数形式，符合书写要求； ④是分数形式，符合书写要求； ⑤数字在括号前，符合书写要求； ⑥应写成，不符合书写要求； ⑦千米应写成千米，不符合书写要求. ∴符合要求的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 15．下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)米． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)米 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写；(4)多项式后带单位时，这个多项式要加括号．根据代数式的书写格式解答即可． 【详解】（1）解：应写作：；(数字与数字的乘法用“”) 故答案为：； （2）解：应写作：，(带分数要化成假分数) 故答案为：； （3）解：应写作：，(数字因式写在前面) 故答案为：； （4）解：应写作：，(除法写成分数形式) 故答案为：； （5）解：应写作：，(乘法中1省略不写) 故答案为：； （6）解：米应写作：米，(多项式后带单位要加括号) 故答案为：米． 考点四、用代数式表示式 16．用代数式表示“a与b的3倍的差的平方”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列代数式 【分析】本题考查列代数式，关键理解“a与b的3倍的差平方”的含义，即a减去b的3倍，然后求平方，即可作答． 【详解】解：“a与b的3倍的差的平方” 用代数式表示为， 故选：A 17．下列代数式用自然语言表示正确的是（   ） A．表示与平方的和 B．表示与和的平方 C．表示与的倒数和 D．表示与，的积的商 【答案】D 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查代数式的意义，根据翻译给出的代数式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、表示与的和的平方，原说法错误，不符合题意； B、表示与的平方和，原说法错误，不符合题意； C、表示与的和的倒数，原说法错误，不符合题意； D、表示与，的积的商，正确，符合题意； 故选D． 18．用长的铝合金做成一个如图所示的长方形窗框，设长方形窗框的横条长度为 m，则长方形窗框的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，解答问题的关键是明确表示出竖条的长． 根据题意用含的代数式表示出竖条的长，再根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意得竖条的长为， ∴长方形窗框的面积为， 故选： C． 19．用代数式表示： (1)a的3倍与b的一半的和； (2)a与b的差的倒数； (3)a与b两数的平方和加上它们积的两倍； (4)a与b两数和的平方减去它们差的平方． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】列代数式 【分析】根据题意确定运算顺序，按照代数式书写规范写出对应代数式即可， （1）先算倍数和一半，再求和， （2）先算差，再求倒数， （3）先算两数的平方，再求和，最后加积的两倍， （4）先算两数和的平方，再算两数差的平方，最后求差． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 20．用代数式表示： (1)a的3倍与b的平方的差； (2)x与y平方的和； (3)x、y两数的平方和减去它们积的2倍； (4)x的相反数与y的倒数的和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】相反数的定义、倒数、有理数的乘方运算、列代数式 【分析】（1）先求的倍、的平方，再做减法； （2）先求的平方，再与相加； （3）先分别求、的平方，再求和，减去与乘积的倍； （4）先求出的相反数、的倒数，再求和． 【详解】（1）解：的倍：，的平方：， ∴差为：； （2）解：的平方：，和为：； （3）解：平方：，平方：，两数积的倍：， ∴代数式为：； （4）解：的相反数：，的倒数：， ∴和为：． 考点五、代数式的实际意义 21．对“”解释错误的是（    ） A．x与的积 B．x与的和 C．x与8的差 D．x减去8 【答案】A 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题主要考查了代数式的表示方法，代数式“”可以表述为x减去8；x与8的差；x与的和． 【详解】解：A、x与的积表述错误； B、x与的和，表述正确； C、x与8的差，表述正确； D、x减去8，表述正确； 故选：A． 22．代数式用语言表述为（    ） A．与2的积减去y平方与3的商 B．与2的积减去y的平方差除以3 C．的2倍减去y的差的平方的 D．的2倍减去y平方的 【答案】B 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】代数式表示与2的积减去y的平方差除以3. 【详解】A选项,与2的积减去y平方与3的商是; B选项，与2的积减去y的平方差除以3是; C选项的2倍减去y的差的平方的是; D选项的2倍减去y平方的是.故选B. 【点睛】本题主要考查列代数式,解决本题的关键是要熟练确定数量关系. 23．对代数式“”，我们可以这样来解释：某人以3米/秒的速度走了x秒，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释：____________． 【答案】香蕉每千克3元，某人买了x千克，共付款元（答案不唯一，合理即可） 【知识点】列代数式、代数式表示的实际意义 【分析】结合常见的数量关系构造实际场景，只要符合的倍数关系即可，答案不唯一． 【详解】解：香蕉每千克3元，某人买了x千克，共付款元． 24．元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 【答案】B 【知识点】代数式表示的实际意义 【详解】解：A、：原价先减50元，再打六折，价格为，与题意不符； B、原价先打六折，再减50元，价格为，与题目给出的现价一致； C、原价先减50元，再打四折，价格为，与题意不符； D、原价先打四折，再减50元，价格为，与题意不符． 25．按要求完成下列各题： (1)某种电视机每台定价为m元，商店在节日搞促销活动，降价，促销期间每台实际售价多少元？ (2)将小题（1）的解答与例2中小题（3）的解答比较一下，你有什么发现？有什么想法？（例2中小题（3）解答：某机关原有工作人员m人，被抽调下基层工作后，留在该机关工作的还有人） (3)请尝试编制一道与小题（1）的解答类似的题目，与同伴交流． 【答案】(1)元． (2) 发现：降价与抽调虽然情境不同，但数量关系相同，均可表示为原量的或； 想法：代数式能简洁统一地表示一类数量关系，具有一般性． (3)示例：某农场去年产小麦吨，今年减产，今年产小麦多少吨？（答案不唯一，合理即可）． 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】（1）以定价为单位“1”，降价即现价为原价的，据此列代数式； （2）对比两个代数式的形式与实际意义，总结代数式的一般性特点； （3）围绕“求比一个数少百分之几的数”的数量关系编制实际问题． 【详解】（1）解：∵电视机每台定价为元，降价， ∴促销期间每台实际售价为元； （2）略； （3）略． 考点六、用代数式表示数、图形的规律 26．以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，…，其中第个多项式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、单项式规律题 【分析】本题考查的是多项式的指数规律的探究，分别根据多项式中a，b的指数变化规律得到答案即可． 【详解】解：∵，，，，，… ∴多项式中第一个单项式为，，，，…， 多项式中第二个单项式为b，，，，…，， ∴第个多项式是． 故选：D． 27．以下是一组按规律排列的多项式：，…，则第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了多项式项式的变化规律，正确理解多项式中各项的系数与次数的规律是解题的关键．根据题目所给多项式，总结出第n个多项式中各项的系数与次数，即可解答． 【详解】解：第1个多项式为， 第2个多项式为， 第3个多项式为， 第4个多项式为， ……， ∴第n个多项式是． 故选：D 28．观察下列图形中小圆圈的个数，第个图形中有_________个小圆圈． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】先数出前几个图形中小圆圈的个数，然后找到规律求解即可． 【详解】解：第1个图形中小圆圈的个数为； 第2个图形中小圆圈的个数为； 第3个图形中小圆圈的个数为； 第4个图形中小圆圈的个数为； ∴第个图形中小圆圈的个数为． 29．石墨烯（Graphene）是碳的同素异形体，碳原子以杂化键合形成单层六边形蜂窝晶格，应用很广泛，被认为是一种未来革命性的材料．如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的石墨烯结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，……，按此规律，第⑧个图形需要小木棒的根数是（     ） A．64 B．67 C．70 D．72 【答案】B 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】观察图形中小棒数量的变化，发现相邻两个图形的小棒数量差为定值，归纳出第n个图形的小棒数量公式，代入计算即可． 【详解】解：第①个图案用了11根小棒， 第②个图案用了19根小棒，， 第③个图案用了27根小棒，， …… 以此类推，第n个图形需要小木棒的根数是， 所以第⑧个图形需要小木棒的根数是． 30．按要求完成下列各题： (1)小明用长度相同的小棒按如图所示的规律拼摆图形，第n个图形需要多少根小棒？ (2)小颖给出一种新的拼摆方式，按照小颖的方式拼摆，第n个图形所需小棒的根数为．请你画图表示小颖的拼摆方式． (3)请你设计出其他有规律的拼摆方式，根据你的拼摆规律提出问题并加以解决． 【答案】(1)第n个图形需要根小棒 (2)如图所示： (3)如图所示： 提出问题：第n个图形需要多少根小棒？ 答：第n个图形需要根小棒 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【详解】（1）解：第1个图形需要小棒：（根）； 第2个图形需要小棒：（根）； 第3个图形需要小棒：（根）； 以此类推，第n个图形需要根小棒； （2）解：如图所示： 第1个图形有小棒：（根）； 第2个图形有小棒：（根）； 第3个图形有小棒：（根）， 以此类推，第n个图形有小棒：（根）； （3）解：如图所示： 提出问题：第n个图形需要多少根小棒？ 第1个图形有小棒：（根）； 第2个图形有小棒：（根）； 第3个图形有小棒：（根）， 以此类推，第n个图形需要根小棒． 考点七、列代数式表示数量关系综合应用 31．观察下面日历图，思考下列问题： (1)日历图中的数有什么规律？ (2)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ (4)你还能发现这样的方框中 9 个数之间的其他关系吗？请用代数式表示． 【答案】(1)同一行中，右侧的数比左侧相邻的数大； 同一列中，下方的数比上方相邻的数大； (2)套色方框中的9个数之和等于方框正中间数的9倍 (3)成立，理由如下： 设方框正中间的数为，根据日历的数字规律，方框内9个数可表示为： 上一行：， 中间行：， 下一行：， 9个数相加得，， 所以9个数的和恒等于中间数的9倍，只要该月日历能框出3×3的9个日期，这个关系就成立，对任意月份的日历都适用． (4)对角线规律：两条对角线上的三个数之和相等，均等于中间数的3倍， 设方框正中间的数为， 左上到右下：． 右上到左下：． 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、整式加减的应用 【分析】（1）根据日历中的数写出规律即可； （2）求出套色方框中的9个数之和与中间的数比较即可； （3）设方框正中间的数为，根据日历中相邻日期数的规律，可表示出其余8个数，将这9个数相加，得，故9个数的和恒等于中间数的9倍； （4）由（3）设中间数为，两条对角线上的数分别可表示为和，相加均得，即可得出对角线的规律． 【详解】（1）略 （2）解：日历图的套色方框中的9个数的总和为：， 方框正中间的数为10，可得， 因此套色方框中9个数的和，等于方框正中间数的9倍． （3）略 （4）略 32．水是生产和生活的一种重要资源，为鼓励居民节约用水，某市在生活用水的水费收取上作如下的规定：如果每户居民每月用水在10吨以内（含10吨），则每吨按2.5元的标准收费；如果每户居民的用水超过10吨，则超过部分每吨按4元的标准收费． (1)小强家在九月份用了16吨水，请求出他家九月份应付水费． (2)设小强家在十月份用了x吨水，请你为小强算出他家十月份应付的水费．（用含x的代数式表示） (3)若小强家在十一月份付了39元的水费，请问他家这个月用了多少吨水？ 【答案】(1)49元 (2)①时，水费为；②当时，水费为：； (3)吨 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式 【分析】（1）根据九月份用了16吨水和收费标准进行列式计算即可； （2）分和两种情况进行列式即可； （3）按照收费标准进行列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，（元）， 即应缴水费49元； （2）解：分两种情况： ①当时，水费为； ②当时，水费为：； （3）解：（吨）， 答：小强家十一月的用水量是吨． 33．图1是由绳索编织成的网状带实物图，我们把这种网状图形中的交叉点称为“结点”（结点数记为），内部每个封闭小区域称为“网眼”（网眼数记为），围成网眼的线段称为“边”（边数记为）．例如，图2中该图形结点数，网眼数，边数． (1)观察图形，根据规律填表： 图3 图4 … 六边形个数（） 2 … 结点数（） … 网眼数（） 6 9 … 边数（） … 表中，，； (2)小明通过观察，猜想，验证，发现这种网状图形满足等式：，请说明他的结论是正确的，并再写一条不同于小明发现的，关于、、三个量的等式； (3)小丽想用绳索编织一条如图5所示的两端封口且长度不超过的带子，其中带子中的六边形均是边长为的正六边形，编织时需在每个结点处打一个绳结，则小丽最多需要打个绳结． 【答案】(1)3，，； (2)解：； 验证： 由题意可得，，，， ； (3)． 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】（1）从图中数出来即可； （2）找规律，结点数由左端封口处3个，每多一个正六边形，结点数多5个；网眼数每多一个正六边形，网眼数多3个；边数由左端封口处2个，每多一个正六边形，边数多8个；由此分别列出它们关于六边形个数的表达式，找关于、、三个量的等式即可； （3）算出两端需要多长的带子，每加一个正六边形需要多长的带子，得出的带子可以编织出多少个正六边形，再计算结点数即可． 【详解】（1）略； （2）解： ，，， ； （3）解：由题意可得每多编织一个正六边形需要带子， 如图，把左端平移到右端是这样的， 的长度明显小于正六边形两条边长的和，即， ， 的带子最多可以编织个正六边形， 小丽最多需要打个绳结． 34．项目学习 小明在学习了“比例的世界”之后，利用课余时间绘制自己居住房子的平面示意图如下． 主题 绘制居住房平面示意图 测量工具 卷尺、铅笔、橡皮、绘图纸 测量数据及部分测量示意图 在一个长方形图纸中绘制出自己居住房的平面示意图，图中下半部分从西向东分别是次卧、客厅、厨房，其宽度是，长分别为，，．（忽略墙体占地面积） 请根据以上测量数据，回答下列问题： (1)计算比例尺，补全示意图； (2)测量图纸得到，，计算房屋的面积． 【答案】(1)， 依据上述数据补全图形如图所示： (2)． 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、比例尺的意义、 图上距离与实际距离的换算 【分析】此题主要考查了比例尺，列代数式，代数式求值，准确识图，熟练掌握比例尺的定义，有理数的运算，列代数式，求代数式的值是解决问题的关键． （1）根据次卧的实际宽度是，图纸上的宽度是得比例尺为，再根据次卧，客厅，厨房的实际长度计算出次卧，客厅，厨房在图纸上的长度，然后补全图形即可； （2）先求出图纸上房屋的面积为，将，代入计算出该房屋图纸上的面积，由此即可得出该房屋的实际面积． 【详解】（1）解：次卧的实际宽度是，图纸上的宽度是， 比例尺为：； 次卧的实际长度为， 次卧的在图纸上的长度为：， 客厅的实际长度为， 客厅的在图纸上的长度为：， 厨房的实际长度为， 厨房的在图纸上的长度为： （2）依题意得：图纸上房屋的面积为：， ，， ， 该房屋的实际面积为：， 答：该房屋的实际面积为． 35．威海市居民使用自来水实行阶梯水价，按户年用水量分为三档，具体收费标准如下： 户年用水量 单价 不超过 3.70元 超过但不超过 5.35元 超过 8.70元 (1)某用户一年的用水量是，求该用户本年度应缴纳的水费？ (2)设某户年用水量为，当时，求该用户应缴纳的水费（用含x的整式表示）． 【答案】(1)该用户应缴纳的水费是1407.6元 (2)该用户应缴纳的水费是元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式 【分析】本题考查有理数的四则混合运算的应用、列代数式，理解题意，正确列出式子是解答的关键． （1）根据收费标准列算式求解即可； （2）根据收费标准列代数式即可． 【详解】（1）解： （元）， 所以，该用户应缴纳的水费是1407.6元． （2）解：当时，则该用户应缴纳的水费为 元， 所以，该用户应缴纳的水费是元． 四、查缺补漏 1．下列式子不是代数式的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】代数式的概念 【分析】本题主要考查了代数式，解题的关键是熟练掌握代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“”“”“”“”等符号的不是代数式．根据代数式的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、 0 是代数式，故本选项不符合题意； B、是代数式，故本选项不符合题意； C、不是代数式，故本选项符合题意； D、是代数式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．下列式子中符合代数式的一般书写要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据代数式的知识，进行作答，然后逐选项进行判断，即可求解． 【详解】解：A、代数式为，原书写错误，此选项不符合题意； B、原代数式书写正确，此选项符合题意； C、代数式为，原书写错误，此选项不符合题意； D、代数式为，原书写错误，此选项不符合题意． 故选：B． 3．下列各选项中，所列代数式错误的是（    ）． A．表示“比a与b的积的2倍小5的数”的代数式是； B．表示“a与b的平方差的相反数”的代数式； C．表示“被5除商是a，余数是2的数”的代数式是； D．表示“数a的一半与数b的3倍的差”的代数式是． 【答案】C 【知识点】列代数式 【分析】根据描述列出代数式进行判断即可． 【详解】解：A、表示“比a与b的积的2倍小5的数”的代数式是，故此选项不符合题意； B、表示“a与b的平方差的相反数”的代数式，故此选项不符合题意； C、表示“被5除商是a，余数是2的数”的代数式是，故此选项符合题意； D、表示“数a的一半与数b的3倍的差”的代数式是，故此选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查了列代数式，解题的关键在于能够准确读懂题意． 4．设n为整数，下列式子中表示偶数的是(    )． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用字母表示数 【分析】本题考查列代数式，掌握能被2整除的数是偶数和代数式的书写要求是解题的关键． 根据偶数的定义，列出代数式即可． 【详解】解：∵偶数是2的倍数， ∴用（n为整数）表示偶数， 故选：A． 5．如图，正方形的边长为a，根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积，下列代数式正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列代数式 【分析】本题考查列代数式，利用两个直角三角形的面积差表示出阴影部分的面积即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为：； 故选A． 6．下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例关系的是（   ） A．小明完成百米赛跑时，所用时间与他的平均速度之间的关系 B．一个直角三角形的两直角边长分别为，，其面积为，则与之间的关系 C．任意不为0的两个有理数、，、互为倒数，则与之间的关系 D．一个底面积为的长方体，所盛水的高度与所盛水的体积之间的关系 【答案】D 【知识点】代数式表示的实际意义、 反比例的意义及辨识 【分析】本题考查了用代数式表示变量之间的关系，熟练掌握变量之间的关系是解题的关键．依次判断每组变量之间的关系，从而得出答案． 【详解】解：A中，与之间的关系为，符合反比例关系； B中，，那么，符合反比例关系； C中，与之间的关系为，符合反比例关系； D中，所盛水的高度与所盛水的体积之间的关系为，不符合反比例关系． 故选：D. 7．据市统计局发布:2018年我市有效发明专利数比2017年增长．假定2019年的年增长率保持不变，2017年和2019年我市有效发明专利分别为a万件和b万件，则．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列代数式 【分析】由题意，先利用增长率和2017年的有效发明专利数，以及增长率求得2018年和2019年的我市有效发明专利数，列出代数式即可． 【详解】2017年我市有效发明专利分别为a万件，2018年我市有效发明专利数比2017年增长 2018年我市有效发明专利数为万件 依题意，2019年的年增长率保持不变， 则2019年我市有效发明专利数为万件， 2019年我市有效发明专利数为b万件， ， 故选B 【点睛】本题考查了列代数式，根据题意求得每一年的发明专利数是解题的关键． 8．观察下面图形，它们是由按一定规律排列的小黑点组成，则第n个图小黑点数量的代数式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形可知，后一个图形比前一个图形多4个小黑点，进而求出第n个图小黑点数量的代数式即可． 【详解】解：观察图形可知，第1个图形有1个小黑点，后一个图形比前一个图形多4个小黑点， ∴第n个图小黑点数量的代数式为； 故选D． 9．如图所示，将长方形ABCD分成15个大小相等的小正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点．若四边形EFGH的面积为3，则长方形ABCD的面积为___. 【答案】5 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】设小正方形的边长a，那么矩形的面积=（S△AEF+S△BFG）×2+S四边形EFGH． 【详解】设小正方形的边长a，那么矩形的面积=（S△AEF+S△BFG）×2+S四边形EFGH， 即：3a×5a=（2a×a÷2+a×4a÷2）×2+3， 9a2=3， 则a2=（a＞0）， 故矩形的面积=3a×5a=15a2=15×=5． 故答案为5． 【点睛】此题主要考查了三角形面积求法，本题从矩形的面积表示方法入手进行计算是解题关键． 10．m亩麦田产小麦，则a亩麦田产小麦_______． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】先求出每亩麦田的产量，再求a亩麦田的产量=a×每亩产量即可． 【详解】每亩麦田产量为亩， 所以a亩麦田的产量为． 故答案为． 【点睛】本题考查用字母表示数，代数式的书写规则，掌握用字母表示数，代数式的书写规则，用字母表示数的乘除运算是解题关键． 11．一个两位数，个位上的数为x，十位上的数为y，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为__________． 【答案】100y＋x 【知识点】列代数式 【解析】略 12．观察依次排列的一串单项式x，，，，，…，按你发现的规律继续写下去，第7个单项式是________，第n个单项式是________． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】通过观察可知系数是（−2）n−1，次数是自然数n，这样可求第n个单项式为（−2）n−1xn，即可求解． 【详解】解：∵x，−2x2，4x3，−8x4，16x5，…， ∴第n个单项式是（−2）n−1xn， 当n＝7时，第7个单项式是64x7． 故答案为：64x7；（−2）n−1xn． 【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给的数，探索出单项式的系数与次数的规律是解题的关键． 13．数式规律； 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：　 　； （2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明． 【答案】（1）；（2），证明见解析． 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可； （2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可． 【详解】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：； （2）， 证明：∵左边==右边， ∴等式成立． 【点睛】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来． 14．已知轮船在静水中的速度为，水流速度为，甲、乙两地的航程为，船从甲地顺流而下到乙地需多少时间？从乙地返回甲地需多少时间？ 【答案】船从甲地顺流而下到乙地需要；从乙地返回甲地需要 【知识点】列代数式 【分析】顺流的速度轮船在静水中的速度水流的速度，逆流的速度船在静水中的速度水流的速度，再根据时间相应的路程相应的速度，列出代数式即可求解． 【详解】解：船顺流而下的速度为， 船从甲地顺流而下到乙地需要； 船逆流而上的速度为， 船从乙地返回甲地需要． 【点睛】本题考查了列代数式，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，本题需注意时间相应的路程相应的速度，顺流的速度轮船在静水中的速度水流的速度，逆流的速度船在静水中的速度水流的速度． 15．某超市出售一种商品，其原价为a元，现有三种调价方案：（1）先提价20%，再降价20%；（2）先降价20%，再提价20%；（3）先提价15%，再降价15%．用这三种方案调价，结果是否一样？最后是不是都恢复为原价？ 【答案】前两种方案调价结果一样，这三种调价方案最后的价格与原价都不一样． 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】根据方案（1）（2）（3）分别列出代数式，化简代数式，进而比较即可． 【详解】方案（1）（2）（3）的调价结果分别是： ； ； ． 对比可知，前两种方案调价结果一样，这三种调价方案最后的价格与原价都不一样． 【点睛】本题考查了列式表示数量关系，检测解决问题的能力，正确的列出代数式是解题的关键． 16．中国制造享誉世界，东莞某企业承接了2025年哈尔滨亚洲冬季奥运会某产品的生产订单，为完成订单，该企业一条半自动生产线原计划每天生产个产品． (1)如果按计划生产，则该生产线每周生产_____个产品，生产的产品总量与生产的时间成_____关系．（填“正比例”或“反比例”） (2)在实际生产过程中，该生产线某周生产的产品个数情况如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划数m的差/个 70 60 80 140 ①若周一生产的产品数是500个，则周二生产的产品数是多少？ ②该生产线这一周平均每天的实际生产量比计划数多了还是少了？请通过计算说明． (3)在（2）的条件下，为保证按时完成订单，该企业又引进了一条智能化生产线来完成订单剩余的70000个产品，其每天的产量是半自动生产线计划生产量的倍，并计划一个月（按30天计算）内完成． ①这条智能化生产线完成订单所需时间与成_____关系；（填“正比例”或“反比例”） ②当时，该企业能否在规定时间内完成订单？请通过计算说明． 【答案】(1)，正比例 (2)①670个； ②， ， 生产线这一周平均每天的实际生产量比计划数多了10个； (3)①反比例； ②当时，， 由（2）①可知，， ， 该企业能在规定时间内完成订单． 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数除法的应用、正（反）比例关系 【分析】（1）根据题意列出代数式，判断正比例，反比例关系即可； （2）①根据正负数的实际意义计算即可；②利用有理数加法与除法计算判断即可； （3）①根据题意得出智能化生产线每天的产量为，得出所用时间，进而做出判断；②代入数值进行计算即可． 【详解】（1）解：原计划每天生产个产品， 则该生产线每周生产个产品， 设生产时间为t天，那么t天的生产总量为， ， 生产的产品总量与生产的时间成正比例关系， 故答案为：，正比例； （2）①周一生产的产品数是500个，它与m相差个， （个）， 周二与m的值相差70个， 周二生产的产品数是（个）； ②略 （3）①智能化生产线每天的产量是半自动生产线计划生产量的倍， 智能化生产线每天的产量为， 订单总量为70000个， 所用时间， 这条智能化生产线完成订单所需时间与成反比例关系； ②略 【点睛】本题考查了列代数式，正负数的实际应用，有理数加法的应用，正比例，反比例关系，熟练掌握相关定义，准确理解题意为解题关键． 五、课后作业 1．小明家有山羊只，绵羊的数量比山羊的倍多只，绵羊的数量为（   ） A．只 B．只 C．只 D．只 【答案】B 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，根据绵羊的数量比山羊的倍多只，山羊有只，可得绵羊的数量为只． 【详解】解：绵羊的数量比山羊的倍多只，山羊有只， 绵羊的数量为只． 故选：B． 2．下列说法中，不能表示代数式“”意义的是（ ）． A．的倍 B．与的积 C．个相加的和 D．个相乘 【答案】D 【知识点】代数式表示的实际意义 【详解】解：对于选项A：的倍，即，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项B：与的积，直接表示为，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项C：个相加的和，即，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项D：个相乘，即，不能表示代数式的意义，符合题意． 3．请仔细分析下列赋予代数式实际意义的例子，其中错误的是（   ） A．若葡萄的价格是4元/千克，则表示买a千克该葡萄的金额 B．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 C．一辆汽车以a千米/时的速度行驶，则表示4个小时所行驶的路程 D．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 【答案】D 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题主要考查代数式，根据代数式表示实际意义的方法分别判断每个选项即可，解题的关键是掌握代数式的书写规范和实际问题中数量间的关系． 【详解】解：A、若葡萄的价格是4元/千克，则表示买千克葡萄的金额，原说法正确，故此选项不符合题意； B、若表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长，原说法正确，故此选项不符合题意； C、一辆汽车以千米/小时的速度行驶，从A城到B 城需4小时，则表示A，B两城之间的路程，原说法正确，故此选项不符合题意； D、若4和分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数，原说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 4．下列式子，符合代数式书写格式的是（   ） A． B． C． D．人 【答案】A 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写规则，根据代数式的书写规则，数字与字母之间的乘号应省略；分数不能为带分数；后面有单位的话，前面不是单项式的要加括号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案． 【详解】解：A．书写规范，符合题意； B．单项式系数如果是带分数，一般写成假分数，应写为，故原选项书写不规范，不合题意； C．数字与字母相乘，一般省略乘号或用“”代替，应写为，故原选项书写不规范，不合题意； D．后面有单位的话，前面不是单项式的要加括号，应写为人，故原选项书写不规范，不合题意． 故选：A． 5．一个长方形的长m厘米，宽n厘米，若把它的长和宽都增加1厘米后形成一个更大的长方形，那么现在的面积比原来增加了（　　）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，长方形、正方形面积公式的灵活运用，结合题意分析解答即可．如图，原长方形的长和宽都增加1厘米后形成一个更大的长方形，那么增加的面积的面积的面积的面积；从图中可知，①是一个长厘米、宽1厘米的长方形，②是一个长厘米、宽1厘米的长方形，③是一个边长为1厘米的正方形；根据长方形的面积长宽，正方形的面积边长边长，代入数据计算，即可求出增加的面积． 【详解】解：如图，    由图可知：①②③的面积之和是： 平方厘米 答：现在的面积比原来增加了平方厘米． 故选：C． 6．【原创新考向题】如图，已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将6个这样的圆环一个接一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】A 【知识点】列代数式 【分析】本题考查列代数式，画出相应图形，得到一定个数圆环长度和的规律，进而得到6个圆环的长度即可． 【详解】解：如图：当圆环个数为3个时，链长为：厘米， 当圆环个数为6时，链长为厘米， 故答案选：A． 7．某公司三月份的产值为a万元，比二月份增长了，那么二月份的产值（单位：万元）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，根据“三月份的产值为万元，比二月份增长了”，得出答案即可，理解题意、正确列出代数式是解题的关键． 【详解】解：∵三月份的产值为万元，比二月份增长了， ∴二月份的产值， 故选：C． 8．正方体的每条棱上放置相同数量的小球，且正方体8个顶点处均有一个小球，如图所示的是每条棱上放置4个小球的情况，若每条棱上的小球数为m，则下列表示正方体上小球总数的代数式正确的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，根据正方体一共有12条棱，每条棱上的小球数为m，且每个顶点处一共计算了3次，且共有8个顶点列式计算即可． 【详解】解：∵正方体一共有12条棱，每条棱上的小球数为m， ∴一共有个小球， 又∵每个顶点处一共计算了3次，且共有8个顶点， ∴多计算了个小球， ∴一共有的小球数量为， 故选：D． 9．用代数式表示：a、b两数的平方差为___________，a、b两数差的平方为___________，a、b两数的平均值为___________． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】考查了列代数式，要注意代数式的书写要求： （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写； （2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 根据题意直接列出代数式即可，a、b两数的平方差就是对a、b首先平方，然后对平方求差；a、b两数差的平方是首先对a、b进行求差，然后对差求平方；根据平均数的定义可以求得a、b的平均数． 【详解】解：a、b两数的平方差为，a、b两数差的平方为，a、b两数的平均值为 ． 故答案为：，，． 10．一个三位数，个位上的数字8，十位数的数字b，百位上的数字是a，表示这个三位数的式子是 ___________． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查列代数式，百位上的数字乘100，10位上的数字乘10，个位上数字乘1，然后把得到的数加起来，即为所表示的是三位数． 【详解】解：∵个位，十位，百位上的数字分别是8，b，a， ∴这个三位数为：． 故答案为：． 11．用代数式表示 (1)的平方的3倍与5的差 (2)比的倒数与的倒数的和大1的数 (3)、两数的平方和减去它们乘积的2倍 (4)、两数的平方差除以、两数的和的平方所得的商． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，理解题意，正确列出代数式是解此题的关键． （1）先表示a的平方，在表示3倍，最后减5即可； （2）分别表示出a、b的倒数，再求和，最后加1； （3）先表示出a、b的平方和，再表示a、b乘积2倍，最后相减； （4）表示出a、b的平方差，再表示出两数和的平方，最后相除． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） 12．港珠澳大桥建成通车，极大缩短香港、珠海和澳门三地间的时空距离；作为中国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作，该桥被业界誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，被英国《卫报》称为“现代世界七大奇迹”之一． (1)如果一辆汽车在港珠澳大桥上以90千米/小时（1.5千米/分钟）的速度行驶，那么2分钟行驶多少千米？3分钟行驶多少千米？t分钟行驶多少千米？ (2)如果用字母t表示时间，用v表示速度，那么汽车行驶的路程是多少呢？ 【答案】(1)2分钟行驶3千米，3分钟行驶千米，t分钟行驶千米 (2) 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数，理解题意掌握列代数的方法是解题的关键． （1）根据路程速度时间即可求解； （2）根据路程速度时间即可求解； 【详解】（1）解：2分钟行驶距离千米； 3分钟行驶距离千米； t分钟行驶距离千米； （2）解：汽车行驶的路程． 13．【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： (1)第n个图案中“”的个数为______个； (2)第1个图案中“★”的个数可表示为个，第2个图案中“★”的个数可表示为个，第3个图案中“★”的个数可表示为个，…，按照这个规律，则第n个图案中“★”的个数可表示为______个． 【答案】(1) (2) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了图形类规律， （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． 【详解】（1）解：第一个图案中有3个“”； 第二个图案中有个“”； 第三个图案中有个“”； 第四个图案中有个“”； 第n个图案中有个“”； 故答案为：； （2）第1个图案中“★”的个数可表示为个； 第2个图案中“★”的个数可表示为个； 第3个图案中“★”的个数可表示为个； 第n个图案中“★”的个数可表示为个； 故答案为：． 14．姚江，古名舜江，又称余姚江，是宁波的“母亲河”，每年的4月到11月，我们的“母亲河”经常会出现水葫芦爆发成灾的现象．同时研究表明：适量的水葫芦对水质的净化是有利的，关键是需要科学的管理和利用．假设在适宜的条件下1株水葫芦每5天就能繁殖出1株新的水葫芦（不考虑死亡、被打捞等其它因素）． (1)假设江面土现有1株水葫芦，不考虑死亡、被打捞等其它因素，第15天江面上将有____________株水葫芦，第50天江面上将有____________株水葫芦，第天江面上将有____________株水葫芦； (2)假定在某段流域内的水葫芦维持在1280株以内对水质净化是有益的，若现有10株水葫芦，请你计算下，按照上述的生长速度，多少天后会有1280株水葫芦． 【答案】(1)8，1024， (2)35天 【知识点】有理数乘方逆运算、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1）根据题意，明确天数与总株数的变化情况，进而找出规律． （2）根据（1）中的规律求得30天后水葫芦的数量，再进行判断． 【详解】（1）天数为15天，总株数为． 当天数为50天时，总株数为． 当天数为天时，总株数为． 故答案为：8，，． （2）根据题意得，， 解得，即（天） 答：按照上述的生长速度，35天后会有1280株水葫芦． 15．某果园投入元对果树苗进行扦插，今年大获丰收，水果总产量达千克，该果园分别用以下两种不同的方式进行销售． 方式一：将水果运到批发市场销售，每千克售价元，平均每天卖出千克，需雇人帮忙，每人每天佣金元，运费及其他各项税费平均每天元； 方式二：通过电商平台在网上销售，每千克售价元()，且无其他费用． (1)当时，水果以方式一全部售完的纯收入是多少元？（纯收入＝总收入－总支出） (2)用分别表示出两种方式售完水果的纯收入各是多少元？ (3)若两种销售方式都在相同的时间内售完全部水果，已知，（为正整数），试求为何值时选择哪种销售方式的纯收入更高？ 【答案】(1)当时，水果以方式一全部售完的纯收入是元 (2)用分别表示出两种方式售完水果的纯收入各是元、元 (3)当时，选择方式二的纯收入更高；当时，选择方式一的纯收入更高 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，代数式的应用，根据题意正确列式计算是解题的关键. （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列代数式即可； （3）根据题意求出或，分别列式计算即可得到结论. 【详解】（1）解：当时，总收入为（元）， 销售时间为（天）， 纯收入为（元）， 答：当时，水果以方式一全部售完的纯收入是元. （2）解：方式一纯收入为（元）； 方式二纯收入为（元）； 用分别表示出两种方式售完水果的纯收入各是元、元. （3）解： ，为正整数， 或， 当时，， 方式一纯收入为元， 方式二纯收入为元， ， 当时，选择方式二的纯收入更高； 当时，， 方式一纯收入为元， 方式二纯收入为元， ， 当时，选择方式一的纯收入更高； 综上：当时，选择方式二的纯收入更高；当时，选择方式一的纯收入更高. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲：列代数式表示数量关系 一、考点梳理 二、知识点总结 知识点一、代数式概念 用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc。单独的一个数或一个字母也是代数式。 知识点二、代数式书写规范 1.数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·”表示，并把数字放到字母前； 2.出现除式时，用分数表示； 3.带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数； 4.若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。 知识点三、代数式的意义 根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来,就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义。 知识点四、列代数式 把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式。 三、常考的题型 考点一、用字母表示数 1．冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂蘸上熔化的冰糖制作而成．若每根竹签穿5个山楂，则穿（为正整数）串冰糖葫芦需要山楂的个数是（     ） A． B． C． D． 2．一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（     ） A． B． C． D． 3．一个三位数，百位上的数是，十位上的数是，个位上的数是，这个三位数用字母表示为（    ） A． B． C． D． 4．用字母表示： （1）乘法对加法的分配律____________________________； （2）一个长方形的长是b，宽是长的一半，它的周长是__________，面积是__________； （3）一个三角形的三边长都是c，它的周长是_________； （4）一个平行四边形的一边长是a，该边上的高是这边长的，这个平行四边形的面积是_________． 5．青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路．青藏铁路上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段行驶的速度是，列车在冻土地段行驶时，根据已知数据求出列车行驶的路程． (1)行驶的路程是多少？呢？呢？呢？ (2)字母表示时间有什么意义？如果用表示速度，列车行驶的路程是多少？ (3)回顾以前所学过的知识，你还能举出用字母表示数或数量关系的例子吗？ 考点二、代数式的概念 6．下列式子：①、②、③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦．属于代数式的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 8．下列选项中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 9．下列各式：，其中是代数式的有_________个． 10．下列各式中，哪些是代数式？哪些不是代数式？ ①，②，③，④，⑤，⑥． 考点三、代数式的书写格式 11．下面各式中，符合书写要求的是（   ） A． B． C． D． 12．下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．有下列各式：①；②；③米；④ ；⑤；⑥．其中，不符合代数式书写规范要求的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．下列代数式中，符合代数式书写要求的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦千米． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15．下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)米． 考点四、用代数式表示式 16．用代数式表示“a与b的3倍的差的平方”，正确的是（   ） A． B． C． D． 17．下列代数式用自然语言表示正确的是（   ） A．表示与平方的和 B．表示与和的平方 C．表示与的倒数和 D．表示与，的积的商 18．用长的铝合金做成一个如图所示的长方形窗框，设长方形窗框的横条长度为 m，则长方形窗框的面积为（   ） A． B． C． D． 19．用代数式表示： (1)a的3倍与b的一半的和； (2)a与b的差的倒数； (3)a与b两数的平方和加上它们积的两倍； (4)a与b两数和的平方减去它们差的平方． 20．用代数式表示： (1)a的3倍与b的平方的差； (2)x与y平方的和； (3)x、y两数的平方和减去它们积的2倍； (4)x的相反数与y的倒数的和． 考点五、代数式的实际意义 21．对“”解释错误的是（    ） A．x与的积 B．x与的和 C．x与8的差 D．x减去8 22．代数式用语言表述为（    ） A．与2的积减去y平方与3的商 B．与2的积减去y的平方差除以3 C．的2倍减去y的差的平方的 D．的2倍减去y平方的 23．对代数式“”，我们可以这样来解释：某人以3米/秒的速度走了x秒，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释：____________． 24．元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 25．按要求完成下列各题： (1)某种电视机每台定价为m元，商店在节日搞促销活动，降价，促销期间每台实际售价多少元？ (2)将小题（1）的解答与例2中小题（3）的解答比较一下，你有什么发现？有什么想法？（例2中小题（3）解答：某机关原有工作人员m人，被抽调下基层工作后，留在该机关工作的还有人） (3)请尝试编制一道与小题（1）的解答类似的题目，与同伴交流． 考点六、用代数式表示数、图形的规律 26．以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，…，其中第个多项式是（    ）． A． B． C． D． 27．以下是一组按规律排列的多项式：，…，则第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 28．观察下列图形中小圆圈的个数，第个图形中有_________个小圆圈． 29．石墨烯（Graphene）是碳的同素异形体，碳原子以杂化键合形成单层六边形蜂窝晶格，应用很广泛，被认为是一种未来革命性的材料．如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的石墨烯结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，……，按此规律，第⑧个图形需要小木棒的根数是（     ） A．64 B．67 C．70 D．72 30．按要求完成下列各题： (1)小明用长度相同的小棒按如图所示的规律拼摆图形，第n个图形需要多少根小棒？ (2)小颖给出一种新的拼摆方式，按照小颖的方式拼摆，第n个图形所需小棒的根数为．请你画图表示小颖的拼摆方式． (3)请你设计出其他有规律的拼摆方式，根据你的拼摆规律提出问题并加以解决． 考点七、列代数式表示数量关系综合应用 31．观察下面日历图，思考下列问题： (1)日历图中的数有什么规律？ (2)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ (4)你还能发现这样的方框中 9 个数之间的其他关系吗？请用代数式表示． 32．水是生产和生活的一种重要资源，为鼓励居民节约用水，某市在生活用水的水费收取上作如下的规定：如果每户居民每月用水在10吨以内（含10吨），则每吨按2.5元的标准收费；如果每户居民的用水超过10吨，则超过部分每吨按4元的标准收费． (1)小强家在九月份用了16吨水，请求出他家九月份应付水费． (2)设小强家在十月份用了x吨水，请你为小强算出他家十月份应付的水费．（用含x的代数式表示） (3)若小强家在十一月份付了39元的水费，请问他家这个月用了多少吨水？ 33．图1是由绳索编织成的网状带实物图，我们把这种网状图形中的交叉点称为“结点”（结点数记为），内部每个封闭小区域称为“网眼”（网眼数记为），围成网眼的线段称为“边”（边数记为）．例如，图2中该图形结点数，网眼数，边数． (1)观察图形，根据规律填表： 图3 图4 … 六边形个数（） 2 … 结点数（） … 网眼数（） 6 9 … 边数（） … 表中，，； (2)小明通过观察，猜想，验证，发现这种网状图形满足等式：，请说明他的结论是正确的，并再写一条不同于小明发现的，关于、、三个量的等式； (3)小丽想用绳索编织一条如图5所示的两端封口且长度不超过的带子，其中带子中的六边形均是边长为的正六边形，编织时需在每个结点处打一个绳结，则小丽最多需要打个绳结． 34．项目学习 小明在学习了“比例的世界”之后，利用课余时间绘制自己居住房子的平面示意图如下． 主题 绘制居住房平面示意图 测量工具 卷尺、铅笔、橡皮、绘图纸 测量数据及部分测量示意图 在一个长方形图纸中绘制出自己居住房的平面示意图，图中下半部分从西向东分别是次卧、客厅、厨房，其宽度是，长分别为，，．（忽略墙体占地面积） 请根据以上测量数据，回答下列问题： (1)计算比例尺，补全示意图； (2)测量图纸得到，，计算房屋的面积． 35．威海市居民使用自来水实行阶梯水价，按户年用水量分为三档，具体收费标准如下： 户年用水量 单价 不超过 3.70元 超过但不超过 5.35元 超过 8.70元 (1)某用户一年的用水量是，求该用户本年度应缴纳的水费？ (2)设某户年用水量为，当时，求该用户应缴纳的水费（用含x的整式表示）． 四、查缺补漏 1．下列式子不是代数式的是（    ） A．0 B． C． D． 2．下列式子中符合代数式的一般书写要求的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各选项中，所列代数式错误的是（    ）． A．表示“比a与b的积的2倍小5的数”的代数式是； B．表示“a与b的平方差的相反数”的代数式； C．表示“被5除商是a，余数是2的数”的代数式是； D．表示“数a的一半与数b的3倍的差”的代数式是． 4．设n为整数，下列式子中表示偶数的是(    )． A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长为a，根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积，下列代数式正确的是（   ）． A． B． C． D． 6．下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例关系的是（   ） A．小明完成百米赛跑时，所用时间与他的平均速度之间的关系 B．一个直角三角形的两直角边长分别为，，其面积为，则与之间的关系 C．任意不为0的两个有理数、，、互为倒数，则与之间的关系 D．一个底面积为的长方体，所盛水的高度与所盛水的体积之间的关系 7．据市统计局发布:2018年我市有效发明专利数比2017年增长．假定2019年的年增长率保持不变，2017年和2019年我市有效发明专利分别为a万件和b万件，则．（    ） A． B． C． D． 8．观察下面图形，它们是由按一定规律排列的小黑点组成，则第n个图小黑点数量的代数式为（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，将长方形ABCD分成15个大小相等的小正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点．若四边形EFGH的面积为3，则长方形ABCD的面积为___. 10．m亩麦田产小麦，则a亩麦田产小麦_______． 11．一个两位数，个位上的数为x，十位上的数为y，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为__________． 12．观察依次排列的一串单项式x，，，，，…，按你发现的规律继续写下去，第7个单项式是________，第n个单项式是________． 13．数式规律； 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：　 　； （2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明． 14．已知轮船在静水中的速度为，水流速度为，甲、乙两地的航程为，船从甲地顺流而下到乙地需多少时间？从乙地返回甲地需多少时间？ 15．某超市出售一种商品，其原价为a元，现有三种调价方案：（1）先提价20%，再降价20%；（2）先降价20%，再提价20%；（3）先提价15%，再降价15%．用这三种方案调价，结果是否一样？最后是不是都恢复为原价？ 16．中国制造享誉世界，东莞某企业承接了2025年哈尔滨亚洲冬季奥运会某产品的生产订单，为完成订单，该企业一条半自动生产线原计划每天生产个产品． (1)如果按计划生产，则该生产线每周生产_____个产品，生产的产品总量与生产的时间成_____关系．（填“正比例”或“反比例”） (2)在实际生产过程中，该生产线某周生产的产品个数情况如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划数m的差/个 70 60 80 140 ①若周一生产的产品数是500个，则周二生产的产品数是多少？ ②该生产线这一周平均每天的实际生产量比计划数多了还是少了？请通过计算说明． (3)在（2）的条件下，为保证按时完成订单，该企业又引进了一条智能化生产线来完成订单剩余的70000个产品，其每天的产量是半自动生产线计划生产量的倍，并计划一个月（按30天计算）内完成． ①这条智能化生产线完成订单所需时间与成_____关系；（填“正比例”或“反比例”） ②当时，该企业能否在规定时间内完成订单？请通过计算说明． 五、课后作业 1．小明家有山羊只，绵羊的数量比山羊的倍多只，绵羊的数量为（   ） A．只 B．只 C．只 D．只 2．下列说法中，不能表示代数式“”意义的是（ ）． A．的倍 B．与的积 C．个相加的和 D．个相乘 3．请仔细分析下列赋予代数式实际意义的例子，其中错误的是（   ） A．若葡萄的价格是4元/千克，则表示买a千克该葡萄的金额 B．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 C．一辆汽车以a千米/时的速度行驶，则表示4个小时所行驶的路程 D．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 4．下列式子，符合代数式书写格式的是（   ） A． B． C． D．人 5．一个长方形的长m厘米，宽n厘米，若把它的长和宽都增加1厘米后形成一个更大的长方形，那么现在的面积比原来增加了（　　）平方厘米． A． B． C． D． 6．【原创新考向题】如图，已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将6个这样的圆环一个接一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 7．某公司三月份的产值为a万元，比二月份增长了，那么二月份的产值（单位：万元）为（    ） A． B． C． D． 8．正方体的每条棱上放置相同数量的小球，且正方体8个顶点处均有一个小球，如图所示的是每条棱上放置4个小球的情况，若每条棱上的小球数为m，则下列表示正方体上小球总数的代数式正确的是（　 　） A． B． C． D． 9．用代数式表示：a、b两数的平方差为___________，a、b两数差的平方为___________，a、b两数的平均值为___________． 10．一个三位数，个位上的数字8，十位数的数字b，百位上的数字是a，表示这个三位数的式子是 ___________． 11．用代数式表示 (1)的平方的3倍与5的差 (2)比的倒数与的倒数的和大1的数 (3)、两数的平方和减去它们乘积的2倍 (4)、两数的平方差除以、两数的和的平方所得的商． 12．港珠澳大桥建成通车，极大缩短香港、珠海和澳门三地间的时空距离；作为中国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作，该桥被业界誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，被英国《卫报》称为“现代世界七大奇迹”之一． (1)如果一辆汽车在港珠澳大桥上以90千米/小时（1.5千米/分钟）的速度行驶，那么2分钟行驶多少千米？3分钟行驶多少千米？t分钟行驶多少千米？ (2)如果用字母t表示时间，用v表示速度，那么汽车行驶的路程是多少呢？ 13．【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： (1)第n个图案中“”的个数为______个； (2)第1个图案中“★”的个数可表示为个，第2个图案中“★”的个数可表示为个，第3个图案中“★”的个数可表示为个，…，按照这个规律，则第n个图案中“★”的个数可表示为______个． 14．姚江，古名舜江，又称余姚江，是宁波的“母亲河”，每年的4月到11月，我们的“母亲河”经常会出现水葫芦爆发成灾的现象．同时研究表明：适量的水葫芦对水质的净化是有利的，关键是需要科学的管理和利用．假设在适宜的条件下1株水葫芦每5天就能繁殖出1株新的水葫芦（不考虑死亡、被打捞等其它因素）． (1)假设江面土现有1株水葫芦，不考虑死亡、被打捞等其它因素，第15天江面上将有____________株水葫芦，第50天江面上将有____________株水葫芦，第天江面上将有____________株水葫芦； (2)假定在某段流域内的水葫芦维持在1280株以内对水质净化是有益的，若现有10株水葫芦，请你计算下，按照上述的生长速度，多少天后会有1280株水葫芦． 15．某果园投入元对果树苗进行扦插，今年大获丰收，水果总产量达千克，该果园分别用以下两种不同的方式进行销售． 方式一：将水果运到批发市场销售，每千克售价元，平均每天卖出千克，需雇人帮忙，每人每天佣金元，运费及其他各项税费平均每天元； 方式二：通过电商平台在网上销售，每千克售价元()，且无其他费用． (1)当时，水果以方式一全部售完的纯收入是多少元？（纯收入＝总收入－总支出） (2)用分别表示出两种方式售完水果的纯收入各是多少元？ (3)若两种销售方式都在相同的时间内售完全部水果，已知，（为正整数），试求为何值时选择哪种销售方式的纯收入更高？ 学科网（北京）股份有限公司 $