3.1 列代数式表示数量关系 讲义 2026-2027学年人教版七年级上册数学

本讲义聚焦“列代数式表示数量关系”核心知识点，系统梳理代数式的概念、书写要求、意义及列代数式的方法，衔接用字母表示数与代数式应用，构建从概念理解到实际问题解决的学习支架。 资料特色在于结合生活情境（如苹果价格、公园小路面积）设计问题，通过易错点提示（如“a的2倍”与“a²”辨析）培养数学思维，分层训练覆盖基础到压轴挑战，助力课中教学与课后查漏，提升抽象能力和应用意识。

初中数学（RJ）七年级上册 3.1 列代数式表示数量关系 学生版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义；能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义。 二、知识梳理 知识点 1 　代数式的概念 代数式的概念：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。 代数式的书写要求： ①数与数相乘必须必须用“×”连接，数与字母相乘，字母与字母相乘时把“×”用“·”代替或直接省略。 ②在数与字母以及式子相乘中，排列的先后顺序依次是数，字母，然后单项式，最后多项式。 ③带分数写成假分数。 ④写含有字母的除法时，要把除法写成分数的形式。 ⑤代数式后面有单位时一定要用括号把代数式括起来。 ★ 重点　代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子；单独的一个数或一个字母也是代数式。 ⚠ 易错　含有“＝”“＜”“＞”“≠”等关系符号的式子（如等式、不等式）不是代数式；代数式只含运算，不含“关系”。 ◆ 方法　判断口诀：看有没有等号/不等号——有就不是代数式。 知识点 2 　代数式的意义 能从“数值计算”与“文字语言”两个角度解释代数式：既会算它的值，也会用语言描述它表示的数量关系。 ⚠ 易错　只会对字母代入求值的，未必真正理解意义；要能把 2a+3 读成“a 的 2 倍与 3 的和”。 知识点 3 　列代数式 把文字语言中的数量关系翻译成含字母的式子：和→加、差→减、倍→乘、几分之几→除、平方→乘方、倒数→取倒数。 ⚠ 易错　“a 的 2 倍”是 2a 不是 a2；“a 与 b 的差的平方”是 (a−b)² 不是 a²−b²；“和、差”带单位必须加括号。 ◆ 方法　先设字母，再按“和差倍分、平方、倒数”逐词翻译。 知识点 4 　用代数式表示实际问题中的数量关系 设字母表示未知量，再根据题意把运算关系写成代数式；常涉及路程=速度×时间、总价=单价×数量等。 ⚠ 易错　单位不统一时先统一单位；表示“增加/减少”要分清先后，如“比 x 多 5”是 x+5。 知识点 5 　反比例关系以及实际问题中的反比例关系 两个量的乘积为定值（xy=k，k≠0）时成反比例关系；实际问题中常表现为“积一定”。 ⚠ 易错　反比例是“积一定”，不要与正比例（商一定）混淆；k 必须非零。 三、即学即练 1.　甲、乙同学关于代数式“2（x+y）”的意义叙述，判断正确的是（　　） 甲：x与y的和的2倍． 乙：苹果每千克2x元，橙子每千克y元，两种水果各买1kg的总费用． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 2.　用代数式表示：a的3倍与5的差．下列表示正确的是（　　） A．3a﹣5 B．3（a﹣5） C．3a+5 D．3 （a+5） 3.　如图，长方形公园ABCD，长AB＝a，宽BC＝b．该公园中有3条宽均为1的小路（阴影部分），其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为（　　） A．ab﹣a﹣2b+1 B．ab﹣a﹣2b+2 C．ab﹣2a﹣2b+1 D．ab﹣a﹣2b 4.　在一次劳动实践活动中，小欢采摘了a个西红柿，小乐采摘的西红柿个数比小欢少3个，则小欢和小乐一共采摘的西红柿的个数为（　　） A．a+3 B．a﹣3 C．2a+3 D．2a﹣3 5.　小明和小华各收集了一些邮票，已知小华收集了x枚邮票，小明收集的邮票数量比小华的2倍少5枚，则小明收集邮票的数量为（　　） A．（2x﹣5）枚 B．（2x+5）枚 C．枚 D．枚 6.　5：x＝3y，则x和y成 比例关系． 7.　冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成．若每根竹签穿8个山楂，则穿n串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 8.　如图所示的阴影部分面积用代数式表示为 ． 四、典例精析 题型 1 　判断代数式及其书写　 例1　下列代数式中符合书写要求的是（　　） A．ab2×4 B．6xy2÷3 C． D． 【答案】D．解：选项A正确的书写格式是4ab2，故此选项不符合题意；选项B正确的书写格式是2xy2，故此选项不符合题意；选项C正确的书写格式是，故此选项不符合题意；选项D正确，故此选项符合题意． 变式1　下列代数式符合书写规范的是（　　） A． B． C．﹣5÷m D．a4 【答案】B．解：选项A正确的书写格式是，故此选项不符合题意；选项B正确，故此选项符合题意；选项C正确的书写格式是，故此选项不符合题意；选项D正确的书写格式是4a，故此选项不符合题意． 题型 2 　代数式表示的意义　 例2　用代数式表示“a的2倍与3的和”，下列表示正确的是（　　） A．2a﹣3 B．2a+3 C．2（a﹣3） D．2（a+3） 【答案】B．解：a的2倍就是：2a，a的2倍与3的和就是：2a与3的和，可表示为：2a+3． 变式1　下列代数式与文字表述，不正确的是（　　） A．a的立方与b的和可表示为a3+b B．a，b两数的差的立方可表示为（a﹣b）3 C．（x+y）2可叙述为“x与y两数和的平方” D．若x比y的3倍少2，则y可用含x的代数式表示为 【答案】D解：A、a的立方与b的和可表示为a3+b是正确的，不符合题意；B、a，b两数的差的立方可表示为（a﹣b）3是正确的，不符合题意；C、（x+y）2可叙述为“x与y两数和的平方”是正确的，不符合题意；D、若x比y的3倍少2，则y可用含x的代数式表示为，原来的说法错误，符合题意 变式2　用字母表示的代数式是具有一定意义的，赋予4a实际意义的例子中错误的是（　　） A．若a表示一个正方形的边长则a表示这个正方形的周长 B．若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则4a表示这工程队4天完成的工作量 C．若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则4a表示这个两位数 D．若汽车行驶速度是a千米/小时，则4a表示这辆汽车行驶4小时的路程 【答案】C解：A选项，正方形的周长公式为“边长×4”，若a表示正方形的边长，则其周长为4a，该选项正确；B选项，工作量的计算公式为“工作效率×工作时间”，工程队平均每天铺设管道长度a千米（工作效率），4天（工作时间）完成的工作量为a×4＝4a，该选项正确；C选项，两位数的表示方法为“十位数字×10+个位数字”，若十位数字是4，个位数字是a，则这个两位数应为4×10+a＝40+a，而非4a，该选项错误；D选项，路程的计算公式为“速度×时间”，汽车行驶速度是a千米/小时（速度），行驶4小时（时间）的路程为a×4＝4a，该选项正确． 题型 3 　根据实际问题列出代数式　 例3　一个长方形的周长为6a+10b，若一边长为a+2b，则与它相邻的另一边边长为（　　） A．2a+3b B．a+4b C．5a+8b D．a+3b 【答案】A解：由题知，因为长方形的周长为6a+10b，所以长方形的长与宽的和为3a+5b， 则3a+5b﹣（a+2b）＝2a+3b 变式1　随着安徽新能源汽车产业的跨越式发展，合肥本土车企生产的某款家用新能源汽车经过两次官方调价，由原来每辆a万元下降到每辆b万元．已知第一次在厂商指导价基础上下调了10%，第二次在第一次降价后的价格基础上下调了5%，则a与b满足的数量关系是（　　） A．b＝a（1﹣10%﹣5%） B．b＝a（1﹣10%）（1﹣5%） C．a＝b（1+10%）（1+5%） D．b＝a﹣10%﹣5% 【答案】B．解：根据题意得：b＝a（1﹣10%）（1﹣5%）． 变式2　张师傅做小商品生意．第一次进货时，他以每件a元的价格购进了20件甲商品，以每件b元的价格购进了30件乙商品（a＞b）．根据市场行情，他将这两种商品都以每件元的价格出售．在这次买卖中，张师傅（　　） A．赚钱 B．不赚不赔 C．赔钱 D．无法确定赚和赔 【答案】A．解：根据题意可知：总进价为20a+30b，总售价为（20+30）＝25a+25b， ∴25a+25b﹣（20a+30b）＝5a﹣5b， ∵a＞b，∴5a﹣5b＞0，那么售价＞进价，∴他赚了． 题型 4 　反比例关系的判断及其简单应用　 例5　若x＝3y（x，y均不为0），则x和y成（　　） A．正比例 B．反比例 C．不成比例 D．无法判断 【答案】A．解：∵x＝3y（x，y均不为0）， ∴，∴若x＝3y（x，y均不为0），则x和y成正比例 变式1　下面各选项中，两种量成反比例关系的是 （填序号）． ①时间一定，路程与速度； ②车轮直径一定，行驶的路程和车轮转动周数； ③烧煤的总量一定，每天的烧煤量与所烧天数． 【答案】解：①时间一定，路程与速度成正比例关系；②车轮直径一定，行驶的路程和车轮转动周数成正比例关系；③烧煤的总量一定，每天的烧煤量与所烧天数成反比例关系； 题型 5 　用代数式表示数字或图形的规律　 例6　“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中a，b，c之间的关系为 ． 【答案】解：设中间的数为n，则第二行第一个数为2n﹣b，第三行第三个数为2n﹣a，如图所示， 根据题意得：a+2n﹣b＝c+2n﹣a， ∴2a＝b+c． 变式1　如图所示，每个字母分别代表不同的数字，四个角上每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间四边形BDGE四个顶点上的数字之和相等，若A＝3n﹣2，C＝3n，F＝2n+1，则H＝ （用含n的式子表示）． 【答案】】解：根据题意得：A+B+D＝C+B+E＝F+D+G， ∴E＝A+D﹣C＝3n﹣2+D﹣3n＝D﹣2，G＝A+B﹣F＝3n﹣2+B﹣2n﹣1＝B+n﹣3， ∵A+B+D＝H+G+E， ∴H＝A+B+D﹣G﹣E＝3n﹣2+B+D﹣（B+n﹣3）﹣（D﹣2）＝2n+3 五、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　下列对代数式﹣3x的意义表述正确的是（　　） A．﹣3与x的和 B．﹣3与x的差 C．﹣3与x的积 D．﹣3与x的商 2.　代数式﹣7x的意义可以是（　　） A．﹣7与x的和 B．﹣7与x的差 C．﹣7与x的积 D．﹣7与x的商 3.　我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请仔细分析下列赋予3a实际意义的例子中不正确的是（　　） A．若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额 B．若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长 C．将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a表示桌面受到的压强，则3a表示小木块对桌面的压力 D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a表示这个两位数 4.　某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以（x﹣10）元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（　　） A．原价减去10元后再打8折 B．原价打8折后再减去10元 C．原价减去10元后再打2折 D．原价打2折后再减去10元 5.　在下列表述中，不能表示代数式“4a”的意义的是（　　） A．4的a倍 B．a的4倍 C．4个a相加 D．4个a相乘 B 档 　巩固提升　 1.　智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（m＞1），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（　　） A．6m B．m+10 C．60m D．10m 2.　如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么下列运算结果一定是正数的是（　　） A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|﹣b 3.　对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x*y．若1*（﹣1）＝2，则（﹣2）*2的值是 　 　 ． 4.　冰糖葫芦是我国传统小吃．若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为　 ． C 档 　提高拓展　 1.　A、B两厂牌的疫苗皆进行实验以计算其疫苗效力．两厂牌的疫苗实验人数皆为30000人，各厂牌实验人数中一半的人施打疫苗，另一半的人施打不具疫苗成分的安慰剂．经过一段时间后观察得知，在A厂牌的实验中，施打疫苗后仍感染的人数为50人，施打安慰剂后感染的人数为500人，而疫苗效力的算式如下： 疫苗效力＝（1﹣p÷q）×100%，其中 p，q 请根据上述资讯回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释． （1）根据实验数据算出A厂牌的疫苗效力为多少？ （2）若B厂牌的实验数据算出的疫苗效力高于A厂牌，请详细说明B厂牌的实验中施打疫苗后仍感染的人数，是否一定低于A厂牌实验中施打疫苗后仍感染的人数？ 2.　如图，请你求出阴影部分的面积（用含有x的代数式表示）． D 档 　压轴挑战　 1.　小明、小红在微信里互相给对方发红包．小明先给小红发1元，小红给小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了．若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则最终小红的收支情况是（　　） A．赚了99元　　B．赚了100元　　C．亏了99元　　D．亏了100元 2.　某养殖场计划用360米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，三个养殖区组成一个大长方形，其中区域①是正方形，区域②和③是长方形，且AG＝2BG．设BG的长为2x米．（公共边共用一条篱笆）． （1）用含x的代数式表示AF的长为 米； （2）用含x的代数式表示DF的长．（结果需化为最简形式） 3.　某公司准备修建一块长方形草坪，长为45米，宽为20米，并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽x米，回答下列问题： （1）修建十字路的面积是多少平方米？ （2）草坪（阴影部分）的面积是多少？ （3）如果十字路宽2米，那么草坪（阴影部分）的面积是多少？ 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）七年级上册 3.1 列代数式表示数量关系 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义；能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义。 二、知识梳理 知识点 1 　代数式的概念 代数式的概念：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。 代数式的书写要求： ①数与数相乘必须必须用“×”连接，数与字母相乘，字母与字母相乘时把“×”用“·”代替或直接省略。 ②在数与字母以及式子相乘中，排列的先后顺序依次是数，字母，然后单项式，最后多项式。 ③带分数写成假分数。 ④写含有字母的除法时，要把除法写成分数的形式。 ⑤代数式后面有单位时一定要用括号把代数式括起来。 ★ 重点　代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子；单独的一个数或一个字母也是代数式。 ⚠ 易错　含有“＝”“＜”“＞”“≠”等关系符号的式子（如等式、不等式）不是代数式；代数式只含运算，不含“关系”。 ◆ 方法　判断口诀：看有没有等号/不等号——有就不是代数式。 知识点 2 　代数式的意义 能从“数值计算”与“文字语言”两个角度解释代数式：既会算它的值，也会用语言描述它表示的数量关系。 ⚠ 易错　只会对字母代入求值的，未必真正理解意义；要能把 2a+3 读成“a 的 2 倍与 3 的和”。 知识点 3 　列代数式 把文字语言中的数量关系翻译成含字母的式子：和→加、差→减、倍→乘、几分之几→除、平方→乘方、倒数→取倒数。 ⚠ 易错　“a 的 2 倍”是 2a 不是 a2；“a 与 b 的差的平方”是 (a−b)² 不是 a²−b²；“和、差”带单位必须加括号。 ◆ 方法　先设字母，再按“和差倍分、平方、倒数”逐词翻译。 知识点 4 　用代数式表示实际问题中的数量关系 设字母表示未知量，再根据题意把运算关系写成代数式；常涉及路程=速度×时间、总价=单价×数量等。 ⚠ 易错　单位不统一时先统一单位；表示“增加/减少”要分清先后，如“比 x 多 5”是 x+5。 知识点 5 　反比例关系以及实际问题中的反比例关系 两个量的乘积为定值（xy=k，k≠0）时成反比例关系；实际问题中常表现为“积一定”。 ⚠ 易错　反比例是“积一定”，不要与正比例（商一定）混淆；k 必须非零。 三、即学即练 1.　甲、乙同学关于代数式“2（x+y）”的意义叙述，判断正确的是（　　） 甲：x与y的和的2倍． 乙：苹果每千克2x元，橙子每千克y元，两种水果各买1kg的总费用． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 【答案】A解：关于代数式“2（x+y）”的意义叙述中，甲的叙述：“x与y的和的2倍”对应代数式为 2（x+y），与给定代数式一致，甲判断正确，符合题意；乙的叙述：“苹果每千克2x元，橙子每千克y元，各买1kg的总费用”对应代数式为2x+y，而 2（x+y）＝2x+2y，两者不符，乙判断错误，不符合题意． 2.　用代数式表示：a的3倍与5的差．下列表示正确的是（　　） A．3a﹣5 B．3（a﹣5） C．3a+5 D．3 （a+5） 【答案】A解：a的3倍与5的差，表示为：3a﹣5． 3.　如图，长方形公园ABCD，长AB＝a，宽BC＝b．该公园中有3条宽均为1的小路（阴影部分），其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为（　　） A．ab﹣a﹣2b+1 B．ab﹣a﹣2b+2 C．ab﹣2a﹣2b+1 D．ab﹣a﹣2b 【答案】B解：由题知，种草部分可平移组成一个长为（a﹣2×1），宽为（b﹣1）的长方形，则该公园小草的面积为：（a﹣2）（b﹣1）＝ab﹣a﹣2b+2． 4.　在一次劳动实践活动中，小欢采摘了a个西红柿，小乐采摘的西红柿个数比小欢少3个，则小欢和小乐一共采摘的西红柿的个数为（　　） A．a+3 B．a﹣3 C．2a+3 D．2a﹣3 【答案】D解：根据题意知：a+a﹣3＝2a﹣3． 5.　小明和小华各收集了一些邮票，已知小华收集了x枚邮票，小明收集的邮票数量比小华的2倍少5枚，则小明收集邮票的数量为（　　） A．（2x﹣5）枚 B．（2x+5）枚 C．枚 D．枚 【答案】A解：由题意可得：小明收集的邮票数量为（2x﹣5）枚， 6.　5：x＝3y，则x和y成 比例关系． 【答案】解：由5：x＝3y得，故成反比例关系， 7.　冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成．若每根竹签穿8个山楂，则穿n串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 【答案】解：穿n串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为8n． 8.　如图所示的阴影部分面积用代数式表示为 ． 【答案】解：长方形的面积是ab，两个扇形的圆心角是90°， ∴这两个扇形是半径为b的圆面积的四分之一． ∴阴影部分面积为ab﹣2•ab． 四、典例精析 题型 1 　判断代数式及其书写　 例1　下列代数式中符合书写要求的是（　　） A．ab2×4 B．6xy2÷3 C． D． 【答案】D．解：选项A正确的书写格式是4ab2，故此选项不符合题意；选项B正确的书写格式是2xy2，故此选项不符合题意；选项C正确的书写格式是，故此选项不符合题意；选项D正确，故此选项符合题意． 变式1　下列代数式符合书写规范的是（　　） A． B． C．﹣5÷m D．a4 【答案】B．解：选项A正确的书写格式是，故此选项不符合题意；选项B正确，故此选项符合题意；选项C正确的书写格式是，故此选项不符合题意；选项D正确的书写格式是4a，故此选项不符合题意． 题型 2 　代数式表示的意义　 例2　用代数式表示“a的2倍与3的和”，下列表示正确的是（　　） A．2a﹣3 B．2a+3 C．2（a﹣3） D．2（a+3） 【答案】B．解：a的2倍就是：2a，a的2倍与3的和就是：2a与3的和，可表示为：2a+3． 变式1　下列代数式与文字表述，不正确的是（　　） A．a的立方与b的和可表示为a3+b B．a，b两数的差的立方可表示为（a﹣b）3 C．（x+y）2可叙述为“x与y两数和的平方” D．若x比y的3倍少2，则y可用含x的代数式表示为 【答案】D解：A、a的立方与b的和可表示为a3+b是正确的，不符合题意；B、a，b两数的差的立方可表示为（a﹣b）3是正确的，不符合题意；C、（x+y）2可叙述为“x与y两数和的平方”是正确的，不符合题意；D、若x比y的3倍少2，则y可用含x的代数式表示为，原来的说法错误，符合题意 变式2　用字母表示的代数式是具有一定意义的，赋予4a实际意义的例子中错误的是（　　） A．若a表示一个正方形的边长则a表示这个正方形的周长 B．若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则4a表示这工程队4天完成的工作量 C．若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则4a表示这个两位数 D．若汽车行驶速度是a千米/小时，则4a表示这辆汽车行驶4小时的路程 【答案】C解：A选项，正方形的周长公式为“边长×4”，若a表示正方形的边长，则其周长为4a，该选项正确；B选项，工作量的计算公式为“工作效率×工作时间”，工程队平均每天铺设管道长度a千米（工作效率），4天（工作时间）完成的工作量为a×4＝4a，该选项正确；C选项，两位数的表示方法为“十位数字×10+个位数字”，若十位数字是4，个位数字是a，则这个两位数应为4×10+a＝40+a，而非4a，该选项错误；D选项，路程的计算公式为“速度×时间”，汽车行驶速度是a千米/小时（速度），行驶4小时（时间）的路程为a×4＝4a，该选项正确． 题型 3 　根据实际问题列出代数式　 例3　一个长方形的周长为6a+10b，若一边长为a+2b，则与它相邻的另一边边长为（　　） A．2a+3b B．a+4b C．5a+8b D．a+3b 【答案】A解：由题知，因为长方形的周长为6a+10b，所以长方形的长与宽的和为3a+5b， 则3a+5b﹣（a+2b）＝2a+3b 变式1　随着安徽新能源汽车产业的跨越式发展，合肥本土车企生产的某款家用新能源汽车经过两次官方调价，由原来每辆a万元下降到每辆b万元．已知第一次在厂商指导价基础上下调了10%，第二次在第一次降价后的价格基础上下调了5%，则a与b满足的数量关系是（　　） A．b＝a（1﹣10%﹣5%） B．b＝a（1﹣10%）（1﹣5%） C．a＝b（1+10%）（1+5%） D．b＝a﹣10%﹣5% 【答案】B．解：根据题意得：b＝a（1﹣10%）（1﹣5%）． 变式2　张师傅做小商品生意．第一次进货时，他以每件a元的价格购进了20件甲商品，以每件b元的价格购进了30件乙商品（a＞b）．根据市场行情，他将这两种商品都以每件元的价格出售．在这次买卖中，张师傅（　　） A．赚钱 B．不赚不赔 C．赔钱 D．无法确定赚和赔 【答案】A．解：根据题意可知：总进价为20a+30b，总售价为（20+30）＝25a+25b， ∴25a+25b﹣（20a+30b）＝5a﹣5b， ∵a＞b，∴5a﹣5b＞0，那么售价＞进价，∴他赚了． 题型 4 　反比例关系的判断及其简单应用　 例5　若x＝3y（x，y均不为0），则x和y成（　　） A．正比例 B．反比例 C．不成比例 D．无法判断 【答案】A．解：∵x＝3y（x，y均不为0）， ∴，∴若x＝3y（x，y均不为0），则x和y成正比例 变式1　下面各选项中，两种量成反比例关系的是 （填序号）． ①时间一定，路程与速度； ②车轮直径一定，行驶的路程和车轮转动周数； ③烧煤的总量一定，每天的烧煤量与所烧天数． 【答案】解：①时间一定，路程与速度成正比例关系；②车轮直径一定，行驶的路程和车轮转动周数成正比例关系；③烧煤的总量一定，每天的烧煤量与所烧天数成反比例关系； 题型 5 　用代数式表示数字或图形的规律　 例6　“洛书”是古老华夏智慧的数学结晶（如图1），是世界上最早的“幻方”．把9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“三阶幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则其中a，b，c之间的关系为 ． 【答案】解：设中间的数为n，则第二行第一个数为2n﹣b，第三行第三个数为2n﹣a，如图所示， 根据题意得：a+2n﹣b＝c+2n﹣a， ∴2a＝b+c． 变式1　如图所示，每个字母分别代表不同的数字，四个角上每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间四边形BDGE四个顶点上的数字之和相等，若A＝3n﹣2，C＝3n，F＝2n+1，则H＝ （用含n的式子表示）． 【答案】】解：根据题意得：A+B+D＝C+B+E＝F+D+G， ∴E＝A+D﹣C＝3n﹣2+D﹣3n＝D﹣2，G＝A+B﹣F＝3n﹣2+B﹣2n﹣1＝B+n﹣3， ∵A+B+D＝H+G+E， ∴H＝A+B+D﹣G﹣E＝3n﹣2+B+D﹣（B+n﹣3）﹣（D﹣2）＝2n+3 五、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　下列对代数式﹣3x的意义表述正确的是（　　） A．﹣3与x的和 B．﹣3与x的差 C．﹣3与x的积 D．﹣3与x的商 【答案】C选项A：﹣3与x的和应为：﹣3+x，不合题意；选项B：﹣3与x的差应为：﹣3﹣x，不合题意；选项C：符合题意；选项D：﹣3与x的商应为：，不合题意． 2.　代数式﹣7x的意义可以是（　　） A．﹣7与x的和 B．﹣7与x的差 C．﹣7与x的积 D．﹣7与x的商 【答案】C解：代数式﹣7x的意义可以是﹣7与x的积 3.　我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，请仔细分析下列赋予3a实际意义的例子中不正确的是（　　） A．若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额 B．若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长 C．将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a表示桌面受到的压强，则3a表示小木块对桌面的压力 D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a表示这个两位数 【答案】D解：A、若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额，正确；B、若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长，正确；C、将一个小木块放在水平桌面上，若3表示小木块与桌面的接触面积，a表示桌面受到的压强，则3a表示小木块对桌面的压力，正确；D、若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则30+a表示这个两位数，此选项错误 4.　某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以（x﹣10）元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（　　） A．原价减去10元后再打8折 B．原价打8折后再减去10元 C．原价减去10元后再打2折 D．原价打2折后再减去10元 【答案】B解：根据分析，可得 将原价x元的衣服以（x﹣10）元出售， 是把原价打8折后再减去10元． 5.　在下列表述中，不能表示代数式“4a”的意义的是（　　） A．4的a倍 B．a的4倍 C．4个a相加 D．4个a相乘 【答案】D解：A、4的a倍用代数式表示4a，故A选项正确； B、a的4倍用代数式表示4a，故B选项正确； C、4个a相加用代数式表示a+a+a+a＝4a，故C选项正确； D、4个a相乘用代数式表示a•a•a•a＝a4，故D选项错误； B 档 　巩固提升　 1.　智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（m＞1），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（　　） A．6m B．m+10 C．60m D．10m 【答案】D解：m（m＞1）个机械手每分钟采摘苹果：10m， 2.　如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么下列运算结果一定是正数的是（　　） A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|﹣b 【答案】A解：由数轴可知，a＜a+b＜b，∴a＜0，b＞0， ∵AM＝a+b﹣a＝b＞0，OB＝b，∴O点在A、M之间， ∴a+b＞0，且|a|＜|b|，∴运算结果一定是正数的是a+b． 3.　对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x*y．若1*（﹣1）＝2，则（﹣2）*2的值是 　 　 ． 【答案】解：∵1*（﹣1）＝2，∴2即a﹣b＝2 ∴原式（a﹣b）＝﹣1 4.　冰糖葫芦是我国传统小吃．若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为　 ． 【答案】解：需要的山楂总个数为：（5m+3n）个 C 档 　提高拓展　 1.　A、B两厂牌的疫苗皆进行实验以计算其疫苗效力．两厂牌的疫苗实验人数皆为30000人，各厂牌实验人数中一半的人施打疫苗，另一半的人施打不具疫苗成分的安慰剂．经过一段时间后观察得知，在A厂牌的实验中，施打疫苗后仍感染的人数为50人，施打安慰剂后感染的人数为500人，而疫苗效力的算式如下： 疫苗效力＝（1﹣p÷q）×100%，其中 p，q 请根据上述资讯回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释． （1）根据实验数据算出A厂牌的疫苗效力为多少？ （2）若B厂牌的实验数据算出的疫苗效力高于A厂牌，请详细说明B厂牌的实验中施打疫苗后仍感染的人数，是否一定低于A厂牌实验中施打疫苗后仍感染的人数？ 【答案】解：（1）由题意得：（1）×100%＝（1）×100%＝90%； （2）不一定； 理由：设在B厂牌的实验中，施打疫苗后仍感染的人数为a人，施打安慰剂后感染的人数为b人： 则：10.9， ∴0.1，∴10a＜b，∴a与50没有可比性． 2.　如图，请你求出阴影部分的面积（用含有x的代数式表示）． 【答案】解：由图可得，阴影部分的面积是：x2+3x+3×2＝x2+3x+6 D 档 　压轴挑战　 1.　小明、小红在微信里互相给对方发红包．小明先给小红发1元，小红给小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了．若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则最终小红的收支情况是（　　） A．赚了99元　　B．赚了100元　　C．亏了99元　　D．亏了100元 【答案】B解：1﹣2+3﹣4+5﹣6+...+197﹣198+199＝（﹣1）×+199＝（﹣1）×99+199＝（﹣99）+199＝100（元），则小红赚了100元 2.　某养殖场计划用360米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，三个养殖区组成一个大长方形，其中区域①是正方形，区域②和③是长方形，且AG＝2BG．设BG的长为2x米．（公共边共用一条篱笆）． （1）用含x的代数式表示AF的长为 米； （2）用含x的代数式表示DF的长．（结果需化为最简形式） 【答案】解；（1）设BG的长为2x米．则AG＝4x，∵区域①是正方形，∴AF＝AG＝4x， （2）∵区域①是正方形，∴AF＝AG＝GH＝FH＝4x米，∴EH＝BG＝2x米，BE＝GH＝4x米，则EF＝FH+EH＝6x米． ∵区域③是长方形，∴DF＝CE，CD＝EF＝6x米，则DF=(360−3EF−3AF)=(360−18x−12x)=180−15x（米）． 3.　某公司准备修建一块长方形草坪，长为45米，宽为20米，并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽x米，回答下列问题： （1）修建十字路的面积是多少平方米？ （2）草坪（阴影部分）的面积是多少？ （3）如果十字路宽2米，那么草坪（阴影部分）的面积是多少？ 【答案】解：（1）修建十字路的面积是45x+2×20x﹣2x2＝﹣2x2+85x， 答：修建十字路的面积是（﹣2x2+85x）平方米． （2）草坪的面积为：45×20﹣（﹣2x2+85x）＝2x2﹣85x+900； （3）十字路宽2米，∴草坪（阴影部分）的面积是2×22﹣85×2+900＝738（平方米）． 答：草坪（阴影部分）的面积738平方米． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $