1.3一元二次方程的根与系数的关系（分层作业，8大题型）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 本同步练针对一元二次方程根与系数关系，采用A（理解）、B（掌握）、C（运用）三级分层，通过基础巩固-能力进阶-思维拔高路径，覆盖从概念应用到综合探究，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|根与系数关系基础应用|直接求值、代数式简单变形，强化符号意识与运算能力| |B组|参数求解、根的判别与变换|结合方程构造、参数反求，发展推理能力与模型意识| |C组|综合应用与跨情境问题|多知识点融合，提升数学思维与问题解决能力|

分层作业 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 根与系数关系基础（一元二次方程的根与系数的关系） 题型02 利用根与系数关系直接求值（一元二次方程的根与系数的关系） 题型03 根与系数关系的代数式求值（一元二次方程的根与系数的关系） B组 能力进阶 题型01 由根反求一元二次方程（一元二次方程的根与系数的关系） 题型02 已知一根求另一根及参数（一元二次方程的根与系数的关系） 题型03 根的判别与根的性质（一元二次方程的根与系数的关系） 题型04 根的变换与倒数关系（一元二次方程的根与系数的关系） C组 思维拔高 题型 根与系数关系综合应用（一元二次方程的根与系数的关系） 根与系数关系基础（一元二次方程的根与系数的关系）题型01 1．若是方程的两个根，则（    ） A． B．16 C． D．20 2．若方程有一根是1，则另一根是______． 3．设x1、x2是方程x2−mx=0的两个根，且x1+x2=−3，则m的值是______． 4．已知一元二次方程的两根分别为、，则的值为______． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知方程，求的值． 利用根与系数关系直接求值（一元二次方程的根与系数的关系）题型02 1．（25-26九年级上·四川巴中·月考）若方程的两根之积为2，则的值是（   ） A．2 B． C．0 D．1 2．（25-26八年级上·上海·月考）若方程的两根之和为，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 3．一元二次方程的两根之和为___________． 根与系数关系的代数式求值（一元二次方程的根与系数的关系）题型03 1．若，是方程的两根，则的值是（ ） A．18 B．9 C．6 D．0 2．设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______． 3．（24-25九年级上·江苏·月考）若方程的两个根分别是，则代数式的值为______． 4．若方程的两根是x1，x2，则的值为_____． 5．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知方程的两根为，不解方程，求的值． 由根反求一元二次方程（一元二次方程的根与系数的关系）题型01 1．若，，则以，为根的一元二次方程是（      ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程可以（   ） A． B． C． D． 已知一根求另一根及参数（一元二次方程的根与系数的关系）题型02 1．（2025·广东惠州·模拟）方程的一个根为2，则另一个根为（   ） A． B．1 C． D． 2．已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________． 3．关于x的方程的一根为1，则另一根为_________． 4．已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=___，另一个根是___． 5．已知是关于x的一元二次方程，若是方程的一个实数根，求m的值及另一个根． 根的判别与根的性质（一元二次方程的根与系数的关系）题型03 1．已知m，n是方程x2-2x-1=0的两实数根，则m+n=的值为(     ) A．-2 B．- C． D．2 2．已知、是方程的两个实数根，则________． 3．若m，n是方程的两个实数根，则的值为___． 4．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为___． 5．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程两个实数根的差为2，求的值． 根的变换与倒数关系（一元二次方程的根与系数的关系）题型04 1．（25-26九年级·四川·期末）已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为倒数，则的值为_________． 2．（24-25九年级上·甘肃平凉·月考）已知关于的一元二次方程，问：是否存在实数，使方程的两个实根之差的绝对值为？若存在，求出值；若不存在，说明理由． 3．求下列方程两根的和与两根的积： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（24-25九年级上·福建莆田·联考）如果一元二次方程的两实数根分别为，不解方程，求下列代数式的值． (1)； (2)． 根与系数关系综合应用（一元二次方程的根与系数的关系）题型 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B．3 C． D．10 2．若，且，则________． 3．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为______． 4．若，是一元二次方程的两个根，则的值是______． 5．（24-25八年级下·广西崇左·月考）已知一元二次方程的两根分别为和， (1)求和的值； (2)求的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 根与系数关系基础（一元二次方程的根与系数的关系） 题型02 利用根与系数关系直接求值（一元二次方程的根与系数的关系） 题型03 根与系数关系的代数式求值（一元二次方程的根与系数的关系） B组 能力进阶 题型01 由根反求一元二次方程（一元二次方程的根与系数的关系） 题型02 已知一根求另一根及参数（一元二次方程的根与系数的关系） 题型03 根的判别与根的性质（一元二次方程的根与系数的关系） 题型04 根的变换与倒数关系（一元二次方程的根与系数的关系） C组 思维拔高 题型 根与系数关系综合应用（一元二次方程的根与系数的关系） 根与系数关系基础（一元二次方程的根与系数的关系）题型01 1．若是方程的两个根，则（    ） A． B．16 C． D．20 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出本题中，，再将变形为，代入计算即可得出答案． 【详解】解：是方程的两个根， ，， ， 故选：C． 2．若方程有一根是1，则另一根是______． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，．设方程的另一根为n，根据根与系数的关系列出关于另一根n的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：方程有一根是1， 设方程的另一根为n， ∴， 解得：， 故答案为：2． 3．设x1、x2是方程x2−mx=0的两个根，且x1+x2=−3，则m的值是______． 【答案】-3 【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=m，结合x1+x2=-3可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵x1、x2是方程x2−mx=0的两个根， ∴x1+x2=m． ∵x1+x2=-3， ∴m=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=． 4．已知一元二次方程的两根分别为、，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得，，再把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知方程，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，得到，将变形为，再整体代入计算即可解答． 【详解】解：根据题意：， ， ， ． 利用根与系数关系直接求值（一元二次方程的根与系数的关系）题型02 1．（25-26九年级上·四川巴中·月考）若方程的两根之积为2，则的值是（   ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设分别是方程的两个根，然后根据“”进行求解即可． 【详解】解：设分别是方程的两个根， 由题意得：， ∴； 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海·月考）若方程的两根之和为，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题的关键． 由根与系数的关系结合两根之和为，即可求出值． 【详解】解：在中，两根之和等于， 关于的一元二次方程的两根之和为， ． 故选：D． 3．一元二次方程的两根之和为___________． 【答案】5 【分析】根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由根与系数的关系得：一元二次方程的两根之和为， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，． 根与系数关系的代数式求值（一元二次方程的根与系数的关系）题型03 1．若，是方程的两根，则的值是（ ） A．18 B．9 C．6 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．将方程化为标准形式后，利用一元二次方程根与系数的关系直接计算即可． 【详解】解：∵ 方程 可化为 ， ∴ ，， ∴ ． 故选：D． 2．设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______． 【答案】5 【分析】根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案． 【详解】解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根， ∴m+n=﹣2， ∵m是原方程的根， ∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7， ∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则，，掌握此性质是解题关键． 3．（24-25九年级上·江苏·月考）若方程的两个根分别是，则代数式的值为______． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值等知识．熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值是解题的关键． 由题意知，，，则，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 4．若方程的两根是x1，x2，则的值为_____． 【答案】5 【详解】解：根据题意得 所以 故答案为5． 5．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知方程的两根为，不解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，分式的求值，利用一元二次方程根和系数的关系可得，，再把分式通分后代入计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵方程的两根为， ∴，， ∴． 由根反求一元二次方程（一元二次方程的根与系数的关系）题型01 1．若，，则以，为根的一元二次方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴以，为根的一元二次方程是， 故选：A． 2．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程可以（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”、一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、由方程得：，，则此项符合题意； B、方程的根的判别式为，没有实数根，则此项不符合题意； C、由方程得：，，则此项不符合题意； D、方程的根的判别式为，没有实数根，则此项不符合题意； 故选：A． 已知一根求另一根及参数（一元二次方程的根与系数的关系）题型02 1．（2025·广东惠州·模拟）方程的一个根为2，则另一个根为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到两根之积为，进而求出方程的另一根即可． 【详解】解：∵方程的一个根为 2 ，且两根之积为， ∴另一个根为； 故选：C． 2．已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据该方程一个根为，即可求出另一个根． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∵该方程一个根为，令， ∴，解得：． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则，． 3．关于x的方程的一根为1，则另一根为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设这个一元二次方程的另一根为，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，进而可求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 【详解】解：设这个一元二次方程的另一根为， ∵关于的方程的一根为1， ∴， ∴， 故答案为：． 4．已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=___，另一个根是___． 【答案】 1 -3 【分析】根据一元二次方程的解定义，将x=2代入关于x的方程，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系，解出方程的另一个根． 【详解】根据题意，得 4+2m −6=0，即2m−2=0， 解得，m =1， 由韦达定理，知：， ∴ 解得： 故答案为：1，−3. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式是解决本题的关键. 5．已知是关于x的一元二次方程，若是方程的一个实数根，求m的值及另一个根． 【答案】的值为1，另一个根为0． 【分析】设方程的另一根为，由根与系数的关系可得到关于和的方程，可求得答案． 【详解】解：设方程的另一根为， 由根与系数的关系可得，， 即：，，解得，， 故：的值为1，另一个根为0． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，掌握方程两根与方程系数之间的关系是解题的关键，本题也可先把实数根代入方程先求的值，再解方程． 根的判别与根的性质（一元二次方程的根与系数的关系）题型03 1．已知m，n是方程x2-2x-1=0的两实数根，则m+n=的值为(     ) A．-2 B．- C． D．2 【答案】D 【详解】试题解析：∵m，n是方程x2-2x-1=0的两实数根 由一元二次方程根与系数的关系得：m+n=2. 故选D. 2．已知、是方程的两个实数根，则________． 【答案】4 【分析】根据根与系数的关系，可直接求出x1+x2的值 【详解】根据题意得x1+x2=−=−=4 故答案为4 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键 3．若m，n是方程的两个实数根，则的值为___． 【答案】1 【详解】解：根据韦达定理可得：m+n=－1， 将m代入方程可得：+m=2， 则原式=+m+m+n=2+(－1)=1． 故答案是：1． 4．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为___． 【答案】3 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：3 5．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程两个实数根的差为2，求的值． 【答案】(1) 解：关于的一元二次方程的根的判别式 ， 不论取任何实数，都有即成立； 当时，方程有两个不相等的实数根， 当时，方程有两个相等的实数根； 故该方程总有两个实数根； (2)2或． 【分析】（1）先求一元二次方程的根的判别式，然后再证明即可； （2）不妨设方程的两实数根为且，则，再利用一元二次方程的根与系数的关系可得，进而变形即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：不妨设方程的两实数根为且， 则， ， 又， ， 或， 故的值为2或． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式以及直接开平方求解一元二次方程等知识，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系的应用是解答此题的关键． 根的变换与倒数关系（一元二次方程的根与系数的关系）题型04 1．（25-26九年级·四川·期末）已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为倒数，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，倒数，解一元一次方程，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，根据已知条件“该方程的两根互为倒数”可得，于是可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：， 又该方程的两根互为倒数，即：， ， 解得：， 2．（24-25九年级上·甘肃平凉·月考）已知关于的一元二次方程，问：是否存在实数，使方程的两个实根之差的绝对值为？若存在，求出值；若不存在，说明理由． 【答案】当为或时，方程的两个实根之差的绝对值为 【分析】本题主要考查了根与系数关系的应用和一元二交方程的解法，熟练掌握根与系数关系的应用是解决此题的关键．设方程两根为，由根与系数的关系和得出的值，然后代入检验即可得解． 【详解】解：设方程两根为，由根与系数的关系得，， 由题意， ∴， ∴， ∴，整理得， 解得或， ∵， ∴当为或时，方程的两个实根之差的绝对值为． 3．求下列方程两根的和与两根的积： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查根与系数的关系：，是一元二次方程的两根，则，． （1）利用根与系数的关系：，，代入计算即可求解； （2）利用根与系数的关系：，，代入计算即可求解； （3）先将方程整理成一般式，再利用根与系数的关系：，，代入计算即可求解； （4）先将方程整理成一般式，再利用根与系数的关系：，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设，是方程的两根， 则，； （2）解：设，是方程的两根， 则，； （3）解：变形为， 设，是方程的两根， 则，； （4）解：变形为的两根， 设，是方程的两根， 则，． 4．（24-25九年级上·福建莆田·联考）如果一元二次方程的两实数根分别为，不解方程，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、整式运算、完全平方公式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，然后将整理为，代入求值即可； （2）将整理为，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两实数根分别为， ∴， ∴； （2）∵， ∴． 根与系数关系综合应用（一元二次方程的根与系数的关系）题型 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B．3 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两个实数根，则，．据此解答即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴的值为． 故选：B． 2．若，且，则________． 【答案】## 【分析】根据观察方程组的系数特点，可把方程组转化成的形式，其中，是其两个不等的实数根，利用根与系数的关系，得到结果． 本题考查了解方程组，一元二次方程根与系数关系的应用．关键是观察方程组的系数特点，得到，是方程的两个根，得到结果． 【详解】解：， ∴， ∴， ， ，是方程的两个根， ， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的应用．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据两个不相等的实数a，b满足，，得出，是方程的两个根，由根与系数的关系，得即可． 【详解】解：∵两个不相等的实数a，b满足，， ∴可以把，看作是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可知：． 故答案为：． 4．若，是一元二次方程的两个根，则的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 5．（24-25八年级下·广西崇左·月考）已知一元二次方程的两根分别为和， (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题． （1）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）将变形后再代入即可求得结果． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根分别为和， ，； （2）解：， ， ， 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $