《2.3一元二次方程的根与系数的关系》 同步练习题 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础辨析、综合应用、创新拓展三层设计，构建从根与系数关系直接应用到跨情境综合探究的巩固路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单选1-5、填空8-10|根与系数关系直接计算，如求两根和积，强化概念辨析| |提升层|单选6-7、填空11-13、解答15-17|代数式变形与几何应用，结合方程解定义，如菱形边长与方程根关系| |综合层|填空14、解答18-20|新定义与跨学科应用，引入“再生韦达方程”，培养创新意识|

2026-2027学年苏科版九年级数学上册《2.3一元二次方程的根与系数的关系》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（  ） A．3 B． C．9 D． 2．已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2024 3．若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B． C． D． 4．若，是方程的两个实数根，则可以分解为（   ） A． B． C． D． 5．已知α，β是方程的两个实数根，则式子的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的3倍，则的值为（    ） A．或1 B．或 C． D．1 7．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．若，是方程的两个实数根，则________． 9．已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为相反数，则的值为______． 10．已知关于的方程的两个实数根，满足，则实数的值为 ___________________ ． 11．已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是______． 12．已知为等腰三角形，一边长为3，它的另两条边的长度分别是方程的两个根，那么m的值是__________． 13．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_____________． 14．已知三个不同的实数a、b、c满足，关于的方程和有一个相同的实数根，关于的方程和也有一个相同的实数根，则的值为___________________． 三、解答题 15．已知、是方程的两个实数根，求下列各式的值： (1)； (2)． 16．已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若此方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 17．已知关于x的一元二次方程的两个实数根，的值分别是平行四边形的两边，的长． (1)若，试求四边形的周长； (2)当m为何值时，四边形是菱形？ 18．已知关于x的一元二次方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)是直角三角形，它的斜边，直角边a，b长是方程的两根，求的面积． 19．新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．比如：一元二次方程的两根分别为，，则，，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，若它的“再生韦达方程”二次项的系数为1，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程” ，若它的“原生方程”二次项的系数为1．求它的“原生方程”． 20．阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且． 根据材料．求的值． 解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 解决以下问题： (1)方程的两个实数根为，，则_____，______． (2)已知实数m，n满足，，且，求的值． (3)已知实数p，q满足，，且，求的值． 参考答案 1．D 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：． 2．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义； 根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：已知是一元二次方程的两个实数根， ． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，已知方程的一个根为，利用根的和等于即可求出另一个根即可. 【详解】解：设该方程的另一个根为t，由题意得：， ∴另一个根为：； 故选 C． 4．B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解；已知一元二次方程的两根，可利用根与系数的关系求得字母未知系数，从而完成式子的因式分解． 【详解】解：根据根与系数的关系可得：，． ∴ 因此． 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系．难度中等．关键是利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解． 利用方程根的定义及根与系数的关系，通过降次化简表达式即可得出答案． 【详解】∵是方程的根， ， ， ， 又∵、是方程的两个实根， ， ． 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握根与系数的关系． 先设，，根据根与系数的关系得到，解这个方程，求出的值，再求得：，，从而可得，求出． 【详解】解：设关于的一元二次方程的两个根， ∵其中一根是另一根的3倍， ∴设，， ， 解得：，， ∴， ， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系等知识，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键； 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，进而可判断①；把代入方程变形进而可判断②；把代入方程即可判断③；把代入方程变形整理得到，即可判断④，即可求解. 【详解】解：若方程的两个根是和，则， ∴， ∴，故说法①正确； 若是方程的一个根，则， ∴， ∴或， ∴当时，不一定有，故说法②错误； 若方程有一个根是，则，反之也成立，故说法③正确； 若方程有一个根是，则， ∴，即， ∴方程一定有一个实数根，故说法④正确； 综上，说法正确的有3个， 故选：C． 8．7 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，利用根与系数的关系得到 ，并由方程根的定义得到，代入化简求值即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：7． 9．3 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，相反数的性质，解答该题时，一定要弄清楚一元二次方程的根与系数的关系中的、的意义．根据一元二次方程根与系数的关系 得到，由两根互为相反数可得两根之和为，从而列出关于的方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得 ， 该方程的两根互为相反数， ， ， 解得． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键． 首先将方程化为标准形式，利用判别式求的取值范围，再根据条件 分两种情况讨论，结合根与系数的关系求解． 【详解】解：原方程可化为 ， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， 即：， 解得 ， ∵， ∴或， 若，则 ，即 ，解得 ， 若，则，由根与系数的关系，，解得 ， 但 时，，无实数根，故舍去， ∴， 故答案为：． 11．3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式求值、二次根式的混合运算等知识点，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得两根之和与两根之积，再将化简后代入计算即可． 【详解】解：∵ a、b 是方程 的两个根， ∴，． ∴． 故答案为：3． 12．3或4 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系和三角形三边关系的应用，根据根与系数的关系，方程两根之和为4，两根之积为．分两种情况讨论：当3为底边时，两腰相等且为方程根，求；当3为腰时，另一腰为3，底边为方程另一根，求．并验证三角形三边存在条件． 【详解】解：设方程的两个根为和，则，． 由于是等腰三角形且一边长为3， ①若3为底边，则两腰和相等，即，此时，三边分别为2、2、3，满足三角形三边关系（两短边之和大于第三边）． ②若3为腰，则另一腰也为3，底边为方程的另一根，设，则，此时，三边分别为3、3、1，满足三角形三边关系． 故的值为3或4， 故答案为：3或4． 13．2024 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数，已知式子的值求代数式的值．根据根与系数的关系，求出和的值，再代入代数式，进行化简计算，即可作答． 【详解】∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ． 故答案为：2024． 14． 【分析】此题考查了一元二次方程的解，以及根与系数的关系；根据根相同列出方程组，用，，表示相同的根，从而得出方程根的关系进而求解．设方程和的一个相同实数根，设方程和有一个相同的实数根，将代入方程和组成方程组，把代入方程和组成方程组，解出，解出，得,方程的两根之积等于，所以是方程和的解，进而解得，再代入方程和，可得，，结合即可，即可解决问题． 【详解】解：设方程和的一个相同实数根，设方程和有一个相同的实数根， 则 ，则 ， 解得，， ∴， ∵方程的两根之积等于， ∴也是方程的根； ∵是方程和的解， 则， 解得(其中)， 把代入方程和， 得，， ∵， ∴,， ∴，，， ∴. 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系． （1）先求出再把展开，再代入求值即可； （2）先通分，再利用完全平方公式配方得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可； 【详解】（1）解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴． ∴； （2）∵， ∴． 16．(1) (2)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得，解之即可得到答案； （2）由根与系数的关系得到，，根据得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 的取值范围是； （2）解：方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵ ， 解得，（舍）， 的值为1 17．(1)6 (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式及平行四边形和菱形的性质． （1）代入已知根求m的值，求解出m的值，再确定方程并求出两根之和后计算出平行四边形的周长即可； （2）根据菱形性质确定方程根的关系，再根据根的判别式列出方程并求解出m的值即可． 【详解】（1）解：将代入原方程， 得，解得， 则方程为， ∴， ∴， 即平行四边形的周长为6． （2）解：∵平行四边形是菱形， ∴， ∴，解得， ∴当时，四边形是菱形． 18．(1)见解析 (2)8 【分析】（1）计算方程根的判别式并得出大于零即可． （2）根据勾股定理得，并变形有，根据根与系数的关系得，，再代入进去结合三角形边的属性则可求出m的值，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由， ∴， ∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵是直角三角形，它的斜边， ∴， ∴， ∵直角边a，b长是方程的两根， ∴，， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，完全平方公式的变形，三角形边的性质，熟练掌握根的判别式和勾股定理是解题的关键． 19．(1) (2)或 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，       所以二次项的系数为1的“再生韦达方程”为， 即； （2）解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求次项的系数为1的“原生方程”为；           当，则所求次项的系数为1的“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 20．(1)， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了根与系数的关系：二次项系数不为0，则常用以下关系：，是一元二次方程的两根时，，． （1）直接利用根与系数的关系求解； （2）先把、看作方程的两根，则利用根与系数的关系得到，，再对进行化简求值即可． （3）先把变形为，则、可看作方程的两根，根据根与系数的关系得到，，接着把化为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， 故答案为：，． （2）解： ，，且， 、可看作方程的两根， ，， ∴． （3）解：， ， ∴两边除以得：， ，即， 、可看作方程的两根， ，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $