1.2一元二次方程的解法（分层作业，7大题型）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 该同步练习以“理解-掌握-运用”三级分层设计，通过基础解法巩固、根的情况分析及创新应用，构建从单一到综合的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法|基础运算题为主，如解方程，强化解法步骤掌握| |B组|判别式应用、参数求解|综合题型，如根据根的情况求参数，培养推理能力| |C组|创新问题、跨情境应用|情境化题型，如新定义运算、几何问题，发展创新意识|

分层作业 1.2 一元二次方程的解法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 直接开平方法（一元二次方程的解法） 题型02 配方法解方程（一元二次方程的解法） 题型03 因式分解法解方程（一元二次方程的解法） 题型04 公式法解方程（一元二次方程的解法） B组 能力进阶 题型01 判别式判断根的情况（一元二次方程的解法） 题型02 根据根的情况求参数（一元二次方程的解法） C组 思维拔高 题型 一元二次方程的解法·创新性问题 直接开平方法（一元二次方程的解法）题型01 1．（25-26九年级上·云南弥勒·期中）方程的解为（   ） A．1 B． C．0或1 D．1或 2．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）方程的解是(    ) A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）方程的根是（   ） A．2 B． C． D．4 4．（24-25九年级上·海南·期末）已知一元二次方程有一个根为0，则________． 5．解下列方程： (1)； (2)． 配方法解方程（一元二次方程的解法）题型02 1．（25-26九年级上·福建莆田·月考）一元二次方程配方为，则k的值是（    ） A．7 B．1 C．5 D． 2．（25-26九年级上·河南信阳·月考）将一元二次方程化成的形式，则_________． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）把方程配方后，可变形为____________． 4．将方程用配方法化为，则的值是_______． 5．用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 因式分解法解方程（一元二次方程的解法）题型03 1．方程（x﹣3）2=（x﹣3）的根为（　　） A．3 B．4 C．4或3 D．﹣4或3 2．方程•＝0的解是_______． 3．（25-26九年级上·江西抚州·期中）若代数式与互为相反数，则的值为________． 4．若锐角满足，求＝_____度 5．（24-25八年级下·浙江温州·月考）解方程： (1) (2) 公式法解方程（一元二次方程的解法）题型04 1．方程的正数根为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级·河南南阳·期中）以为根的一元二次方程是________． 3．若，则_____． 4．在实数范围内因式分解：______． 5．解方程：． 判别式判断根的情况（一元二次方程的解法）题型01 1．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 A．4 B．2 C．1 D．﹣4 2．关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则______． 3．一元二次方程________实数根（填“有”或“没有”）． 4．（24-25八年级下·安徽·期末）已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为_______． 5．已知关于x的方程，求证：不论k取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 根据根的情况求参数（一元二次方程的解法）题型02 1．关于x的方程有实根，则（    ） A． B． C．且 D．且 2．若一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 3．若一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 4．若一元二次方程有实数根，则c的取值范围是_____． 5．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 一元二次方程的解法·创新性问题题型 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）二次三项式， 方程可以这样解：，或， ，． (1)方程的根是： ； (2)对于实数，，定义运算“”：例如因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则的值为 ； (3)已知实数满足．求代数式的值． 2．如果一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是a，b，且a＞b，那么a的值是___． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·月考）利用公式法解一元二次方程可得两根为、，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东临沂·月考）关于x的一元二次方程的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值； (2)若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值． 6．（2026·安徽马鞍山·二模）在中，是内一点，且满足，，延长交于点． (1)如图，证明：；若平分，求证：； (2)如图，若，求的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2 一元二次方程的解法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 直接开平方法（一元二次方程的解法） 题型02 配方法解方程（一元二次方程的解法） 题型03 因式分解法解方程（一元二次方程的解法） 题型04 公式法解方程（一元二次方程的解法） B组 能力进阶 题型01 判别式判断根的情况（一元二次方程的解法） 题型02 根据根的情况求参数（一元二次方程的解法） C组 思维拔高 题型 一元二次方程的解法·创新性问题 直接开平方法（一元二次方程的解法）题型01 1．（25-26九年级上·云南弥勒·期中）方程的解为（   ） A．1 B． C．0或1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了直接开平方法解方程，根据，得的值是1或 【详解】解：∵， ∴， ∴的值是1或， 故选：D． 2．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）方程的解是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．先移项，然后直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：C． 3．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）方程的根是（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程， 根据直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：C． 4．（24-25九年级上·海南·期末）已知一元二次方程有一个根为0，则________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 根据一元二次方程的根就是一元二次方程的解，把代入方程得到，然后结合一元二次方程的概念求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为0， ∴把代入方程得：， 解得：， ∵，即， ∴． 故答案为：2． 5．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）利用直接开平方法解方程即可求解． （2）利用直接开平方法解方程即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴． （2）解： ∴， ∴． 配方法解方程（一元二次方程的解法）题型02 1．（25-26九年级上·福建莆田·月考）一元二次方程配方为，则k的值是（    ） A．7 B．1 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ 故选：B． 2．（25-26九年级上·河南信阳·月考）将一元二次方程化成的形式，则_________． 【答案】15 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【详解】解：由题知， ， ， ， 因为一元二次方程可化成的形式， 所以． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）把方程配方后，可变形为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．将方程用配方法化为，则的值是_______． 【答案】7 【分析】将方程化成一般式得x2-6x+9-n=0，根据两方程对应项系数相等求出m、n的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴x2-6x+9-n=0， ∵， ∴-m=-6，9-n=8， 则m=6，n=1． ∴m+n=6+1=7 故答案为：7． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程和求代数式的值，能够把完全平方式化成一般式是解此题的关键． 5．用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再两边加上一次项系数的一半的平方进行配方，据此解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 因式分解法解方程（一元二次方程的解法）题型03 1．方程（x﹣3）2=（x﹣3）的根为（　　） A．3 B．4 C．4或3 D．﹣4或3 【答案】C 【分析】运用因式分解法解方程即可. 【详解】， 移项得：， 提公因式得：， ∴，． 故选C． 2．方程•＝0的解是_______． 【答案】1 【分析】首先根据二次根式有意义的条件，判定x的取值范围，然后方程两边同时平方，解一元二次方程即可得解. 【详解】根据题意，得 解得 将方程两边平方，得 解得 综上， 【点睛】此题主要考查二次根式有意义的条件以及一元二次方程的求解，熟练掌握，即可解题. 3．（25-26九年级上·江西抚州·期中）若代数式与互为相反数，则的值为________． 【答案】3或##或3 【分析】本题考查相反数的定义、解一元二次方程．根据相反数的定义，两个代数式的和为零，列出方程并求解一元二次方程． 【详解】解：∵代数式与互为相反数， ∴ ， 即 ， ， 解得：或． 故答案为：3或 4．若锐角满足，求＝_____度 【答案】或 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，因式分解法解一元二次方程，先根据因式分解法求出，进而得出答案． 【详解】， 因式分解，得， ∴或， ∴或． 故答案为：45或60． 5．（24-25八年级下·浙江温州·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用因式分解法解答即可； （）把右边移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 公式法解方程（一元二次方程的解法）题型04 1．方程的正数根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，通过求根公式解方程，并判断正数根. 【详解】解：将方程整理为标准形式， 先计算判别式：其中，，， , 因此该方程有两个不等实根. 根据求根公式： 得到两个根：和 由于，则（正数），而为负数. 因此正数根为， 故选：D. 2．（25-26九年级·河南南阳·期中）以为根的一元二次方程是________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，熟练掌握求根公式式解题的关键． 通过对比给定的求根公式与标准求根公式，确定一元二次方程的系数，从而得到方程． 【详解】解：给定的求根公式为，标准求根公式为， 对比可得：，因此， ，因此， 根号内部表达式为，得， 因此一元二次方程为，即 故答案为：． 3．若，则_____． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，先把方程整理成一般式，利用公式法“”解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 4．在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【分析】先利用公式法求出方程的解，再分解因式即可． 【详解】解：∵方程中的，，， ∴方程根的判别式为，有两个不相等的实数根， ∴方程的解为， 即，， ． 5．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键．直接利用公式法解方程即可． 【详解】解：， ，，， ， ，． 判别式判断根的情况（一元二次方程的解法）题型01 1．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 A．4 B．2 C．1 D．﹣4 【答案】A 【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于的一元一次方程是解题的关键． 2．关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的根的判别式的值为24， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．一元二次方程________实数根（填“有”或“没有”）． 【答案】有 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是先根据根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【详解】解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数解． 故答案为：有． 4．（24-25八年级下·安徽·期末）已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及一元二次方程根的判别式． 当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程为一元二次方程，则，解得且，然后综合两种情况得到m的取值范围． 【详解】解：当时，即，方程变形为，解得； 当时， 解得且， 综上所述，m的取值范围为． 故答案为：． 5．已知关于x的方程，求证：不论k取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：∵在方程中， ， ∴不论k取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【分析】求出，再根据一元二次方程根的判别式的大小判断即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 根据根的情况求参数（一元二次方程的解法）题型02 1．关于x的方程有实根，则（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的知识，需掌握一元二次方程的根与之间的关系是解此题的关键．本题分两种情况进行讨论：①，是一元一次方程，必有实数根；②，是一元二次方程，可得判别式，继而可得：，解此不等式即可求得答案． 【详解】解：分两种情况： ①若，则方程为，必有实数根； ②若，则方程是一元二次方程，那么， 解得：． 综上可知，当时，关于x的方程有实根． 故选：B． 2．若一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 【答案】4 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴∆=16﹣4c=0， 解得c=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了根的判别式．一元二次方程 （a≠0）的根与∆=有如下关系：①当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当∆=0时，方程有两个相等的实数根；③当∆＜0时，方程无实数根．结论反过来也成立． 3．若一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意得出，求解即可． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 4．若一元二次方程有实数根，则c的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有实数根，得到判别式大于等于0，列出不等式，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ， 解得，， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程有两个相等的实数根时，，列方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 答：的值为2． 一元二次方程的解法·创新性问题题型 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）二次三项式， 方程可以这样解：，或， ，． (1)方程的根是： ； (2)对于实数，，定义运算“”：例如因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则的值为 ； (3)已知实数满足．求代数式的值． 【答案】(1)， (2)3或 (3)代数式的值为 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）将原方程变形为，进而求出结论即可； （2）先利用因式分解法解方程可得，，再分两种情况：①当，时，②当，时，根据新运算的定义代入计算即可得． （3）设，则原方程变形为，解出或，再分情况：①当时，原式；②当时，此方程无实数根，即可得出结论． 【详解】（1）解： 原方程变为， 或， ，； （2）解： ， ，， 根据“”运算的定义分情况讨论： ①若，，则， ②若，，则； 综上所述，的值为3或； （3）解：设，则原方程变形为． 分解因式得， 解得或， 或． 代数式可变形为， ①当时，原式， ②当时，， ， ，此方程无实数根， 代数式的值为． 2．如果一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是a，b，且a＞b，那么a的值是___． 【答案】3 【分析】用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：解方程， 移项得：， 解得：， 因为a＞b， 所以a＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握开方的法则是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·月考）利用公式法解一元二次方程可得两根为、，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，利用公式法求出一元二次方程的解，再根据即可求解，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，，， ∴， ∴ 故选：D． 4．（25-26九年级上·山东临沂·月考）关于x的一元二次方程的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义，解一元二次方程．先把代入方程的解求出，从而得到方程为，再解出方程，即可求解． 【详解】解：∵方程有一个根是0， ∴， ∴方程变成， 即， 解得：， ∵两根中只有一根等于0， ∴， ∴． 故选B 5．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值； (2)若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值． 【答案】(1) ∵， ∴， ∴，， ∴无论为何值，此方程总有一个根是定值； (2)或． 【分析】（）先通过因式分解解方程，从而可得到两个因式的积为，从而可求解； （）由（）求出方程的两个根为，，，然后分两种情况讨论即可； 本题主要考查一元二次方程解法，勾股定理，分类思想，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法及其应用． 【详解】（1）略 （2）分两种情况： 当为直角边时，则，得， 又∵边长， ∴， 当为斜边时，则，得， 又∵边长， ∴， 综上所述，的值为或． 6．（2026·安徽马鞍山·二模）在中，是内一点，且满足，，延长交于点． (1)如图，证明：；若平分，求证：； (2)如图，若，求的值． 【答案】(1) 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 由知，， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据同角（等角）的余角相等得出，，再由等角对等边得出，，等量代换即可得证；由角平分线的性质结合等量代换证明，得到，结合，即可得证； （2）作，垂足为，设，，证明，根据相似三角形的对应边成比例列式，结合解一元二次方程得到的值，证明，再次根据相似三角形的性质得到的值，最后在中，利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】（1）略 略 （2）解：如图，作，垂足为，设，， 在中，， ， ，， ， ，即， ， ， ， ，解得或（负值舍去）， 即， ，， ， ， ， ， 在中，． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $