《2.2一元二次方程的解法》 同步练习题 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法，分层设计梯度清晰，从基础解法到综合应用，强化运算能力与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直接开平方法、配方法等单一解法|单选题1-3题直接考查解法步骤，解答题15题系统训练四种基本解法，夯实运算能力| |中档|判别式应用、简单实际问题|填空题11题结合根的判别式，单选题6题等腰三角形周长计算，体现模型意识| |提升|跨知识综合、新定义问题|解答题17题三角形形状判断，20题“同一根方程”新定义探究，发展推理意识与创新意识|

2026-2027学年苏科版九年级数学上册《2.2一元二次方程的解法》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 3．用配方法解方程，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的方程没有实数根，则a的值可以为（   ） A． B． C．0 D．2 5．已知a、b满足，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2 6．等腰三角形两边长是方程的解，则这个等腰三角形的周长是（ ） A．10 B．8 C．8或10 D．16或6 7．嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 二、填空题 8．如果对于任何实数x，分式 总有意义，那么c的取值范围是_______． 9．解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是________． 10．若一元二次方程的两个根分别是与，则 ____． 11．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么k的取值范围是______． 12．菱形的一条对角线的长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为_________． 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则函数与函数的图象交点个数为________． 14．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 三、解答题 15．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． (3)； (4)． 16．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为3，求的值． 17．已知关于x的一元二次方程．其中a、b、c分别为边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)如果方程有两个相等的实数根．试判断的形状，并说明理由． 18．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式恒为正数； (2)若代数式的最大值为，求的值； (3)已知是一个关于的完全平方式，求常数的值． 19．阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： (1)； (2)． 20．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”． (1)根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值． 参考答案 1．C 【分析】因式分解法解一元二次方程即可. 【详解】解：， ， ∴或， 解得，. 2．D 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式确定a，b，c的值即可． 【详解】解：方程移项整理，得， 则，，． 3．D 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，根据配方法的基本步骤：移项、配方（等式两边同时加上一次项系数一半的平方）、变形为完全平方式求解即可． 【详解】解： 移项得 即． 故选：D 4．D 【分析】根据一元二次方程没有实数根可得根的判别式小于0，求解得到a的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴根的判别式， 解得：， 只有选项D的2满足． 5．A 【分析】设，将等式变形为，解方程即可． 【详解】设， 由，得， 化简得， 解得， 即． 6．A 【分析】先解一元二次方程得到可能的边长，再结合等腰三角形性质与三角形三边关系，筛选出符合条件的边长组合，进而计算周长确定答案． 【详解】解：解方程得，或， ①若腰长为2，底边长为4， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴此情况舍去； ②若腰长为4，底边长为2， ∵，，满足三角形三边关系， ∴该三角形的周长为， 综上，只有周长为10． 7．C 【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为， ∵该方程一个根为， ∴将代入得， 解得， 甲：∵原方程为， ∴将代入原方程得， 解得， ∴是原方程的根，甲说法正确； 乙：由题意得，， 代入得， ， 当时，，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确． ∴甲、乙都对． 8． 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 分式有意义的条件是分母不为零．分母为二次表达式，需确保其对于所有实数均不等于零，即对应的二次方程无实数根，通过判别式小于零求解． 【详解】解：∵分式总有意义， ∴分母对于所有实数成立， ∴二次方程无实数根时，分母恒不为零， ∴判别式， 解得：， 所以当时，分式对所有实数均有意义， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了解分式方程，一元二次方程的概念，熟悉解分式方程的步骤是关键；将分式方程的分母因式分解，找到公分母，去分母后整理成一元二次方程的一般形式． 【详解】解：方程化为． 两边同乘公分母，得． 整理得：． 故答案为：． 10．2 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有． 【详解】解：∵， ∴ ， 解得， ∴两根互为相反数， ∵一元二次方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴一元二次方程的两个根分别是和， ∴， 故答案为：． 11．且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的根与系数的条件，掌握知识点是解题的关键．一元二次方程有两个实数根的条件是判别式大于或等于零且二次项系数不为零，即可解答． 【详解】解：方程是一元二次方程， 因此． 判别式． 有两个实数根，则， 即， 解得． 综上，的取值范围是且． 故答案为：且． 12．20 【分析】本题主要考查了菱形性质，三角形的三边关系，一元二次方程的解法，先求出方程的两个根，再根据三角形的三边关系判断出符合题意的菱形的边，即可求出菱形的周长． 【详解】解：， ， 解得或． 当时，由菱形的对角线的一条对角线6和菱形的两边3，3不能组成三角形，即不存在菱形，舍去； 当时，由菱形的对角线的一条对角线6和菱形的两边5，5能组成三角形，即存在菱形， ∴菱形的周长为． 故答案为：20． 13．2 【分析】由一元二次方程有实数根可得判别式大于零，从而得到k的取值范围；再联立两个函数方程，解出交点对应的方程，根据k的取值范围讨论交点个数． 本题考查了一元二次方程根的判别式，函数的交点，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， 则判别式， 解得； 联立函数和，得， 整理得， 当时，方程有两个实数解，即两函数图象有两个交点； 故答案为：2． 14．， 【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值． 【详解】解：关于的方程的解是，，，均为常数，， 方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 15．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）先两边同除以，再用直接开平方法求解； （2）用配方法将方程化为完全平方式，再开平方求解； （3）用因式分解法求解； （4）先展开整理为一般式，再因式分解求解． 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ， ，． （3）解：， ， ，． （4）解：， ， ， ， ，． 16．(1)详见解析 (2) 【分析】（1）求出方程的判别式得出，即可证明； （2）将代入方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）证明：， 无论取何实数，方程总有两个实数根 （2）解：把代入该方程中， 得， 解得． 17．(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）把代入一元二次方程，得出，即可得出三角形的形状； （2）根据方程有两个相等的实数根，得出，即可得出，说明三角形为直角三角形． 【详解】（1）解：∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 18．(1)见解析 (2)， (3)， 【分析】（1）整理多项式可得：原式，根据平方的非负性可知，所以恒为正数 ；   （2）整理多项式可得：原式，根据平方的非负性可知，解方程即可求出的值； （3）整理多项式可得：原式，根据是一个完全平方式，可知，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：整理可得：，    ， ， 则恒为正数 ；       （2）解： ， ， ， ， 整理得：， 解得：，；   （3）解： ， 是一个完全平方式， ， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，． 19．(1)， (2)， 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程，即可求解； （2）设，则原方程可化为，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 原方程的解为，． （2）解：设，则原方程可化为， 解得．             ， 即或， 解得，． 20．(1)①③ (2)1或 (3)1或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程，新定义“同一根方程”． （1）分别求出三个方程的解，根据“同一根方程”的定义进行判断即可； （2）先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同一根方程”，分情况求解即可； （3）一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， ∴ 可得：，； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同一根方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同一根方程”， 或， 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根1，符合题意； 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根，符合题意。 学科网（北京）股份有限公司 $