21.2 一元二次方程的解法7大题型（分层作业练题型）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 本同步练习以一元二次方程解法为核心，通过A、B、C三级分层及中考链接设计，构建从基础巩固到思维创新的递进式知识巩固路径，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|直接开平方法、因式分解法等7类基础解法|选择、填空、解答题结合，聚焦单一知识点应用，夯实运算能力| |B组|解法综合应用、实际问题转化|含跨知识点题型（如三角形边长求解），培养推理意识与模型观念| |C组|规律探究、新定义运算|以三角点阵、日历结构等情境设计探究题，发展创新意识| |拓展|中考真题适配|精选根与系数关系、判别式等高频考点，衔接升学测评|

分层作业 21.2一元二次方程的解法 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 直接开平方法 题型02 因式分解法 题型03 配方法 题型04 公式法 题型05 根的判别式 题型06 根据一元二次方程根的情况求参数 题型07 根与系数的关系 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 直接开平方法 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】利用直接开平方法结合实数平方的非负性，分别判断两个方程解的情况即可． 【详解】解：甲方程： ∴两边开平方得， 解得，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程：， ∵任意实数的平方都满足，不可能等于 ∴不存在实数使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的要求，等式右边必须为非负数，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵任意实数的平方为非负数 ∴ ∵方程可以用直接开平方法求解 ∴等式右边需满足非负，即 解得． 3. （25-26八年级下·福建厦门·期末）若，该方程的解为______． 【答案】 ， 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【详解】解： 或 ∴，． 4．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）已知直线和双曲线在坐标平面内交于两点和，则的值是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数交点问题，解一元二次方程． 利用交点坐标得到等式，计算求出，求出k的值，代入点和点判断是否成立即可． 【详解】解：∵直线和双曲线在坐标平面内交于点和点， ∴，，，即， 将代入得：， 即， 解得：， ∵， ∴或． 当时，，即，，重合，不合题意； 当时，，即，，不重合，符合题意； ∴． 故答案为：．． 题型02 因式分解法 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】解出每个选项一元二次方程的根，再一一辨别即可． 【详解】A：，两个根分别为，符合题意； B：，两个根分别为，不符合题意， C：，两个根分别为，不符合题意， D：，两个根分别为，不符合题意． 6．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 7. （25-26八年级下·陕西西安·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由一元二次方程的解求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】将方程的一个根代入得到的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ， ， ，． 8. （2026·广东茂名·二模）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解分式方程（化为一元二次） 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解．． 题型03 配方法 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】通过移项、配方将原方程化为题目要求的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． 10. （25-26八年级下·浙江台州·期末）用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的操作，解题关键是掌握配方法构造完全平方式的规则，当二次项系数为1时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 根据配方法的规则，要使左边成为完全平方式，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即 ， ∴ 等号两边应同时加上． 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴． 12. （25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】配方法的应用、整式的加减运算 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 题型04 公式法 13．（25-26七年级上·广东中山·月考）是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程公式法求解，通过对比一元二次方程的求根公式，直接确定系数的值，从而匹配对应方程 【详解】解：一元二次方程， ， ， ，即；，即； ， ， 故方程为 ， 故选：A 14．（25-26九年级下·浙江温州·期中）方程的正根介于正整数与之间，则________． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、公式法解一元二次方程 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 15.（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）解方程：． 【答案】 ， 【难度】0.72 【知识点】公式法解一元二次方程 【详解】解：在方程中，，，， ， ∴， ，． 16. （25-26八年级下·江苏苏州·期末）若代数式与的值互为相反数，求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相反数的定义、公式法解一元二次方程 【分析】根据相反数的定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 题型05 根的判别式 17. （25-26八年级下·山东青岛·期末）一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【难度】0.8 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】运用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可求解． 【详解】解：∵，则，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 18. （2026·四川广元·三模）已知关于x的一元二次方程 的系数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则方程根的情况正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】利用判别式大于0求解即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴一元二次方程 的判别式为， ∴方程有两个不相等的实数根． 19. 已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】配方法的应用、由一元二次方程的解求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）把代入方程，求出的值，进行判断即可； （2）根据方程都有实数根，得到，进而求出 b的取值范围即可. 【详解】解：（1）∵方程有一个根为， ∴， 整理，得； ∵， ∴，即； （2）由题意，， ∵对于任何实数a，此方程都有实数根， ∴对于任何实数a，都有，即， ∴对于任何实数a，都有， ∵， ∴b的取值范围是. 20. （25-26九年级下·山东滨州·期中）关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算判别式的值，由判别式的符号即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵，可得 ，，， ∴， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根．． 题型06 根据一元二次方程根的情况求参数 21.（25-26八年级下·安徽宣城·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 22.（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】利用方程有两个相等实数根得到判别式为0，结合已知条件整理得到a，b，c的关系，进而判断选项． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， ， ， 将代入，得， 整理，得， ， ， 将代入，得， ， 故C正确； ， ， 故A错误； ， 故B错误； ，a的值不确定， 不一定等于， 故D错误． 23.（25-26八年级下·吉林长春·期末）若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的定义求参数 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 将，，代入得， 解得， 满足， ∴的值是． 24.（25-26八年级下·安徽宣城·期末）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】先对关于的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为，分情况列方程计算的值即可． 【详解】解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 题型07 根与系数的关系 25.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解，先确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算两根和与两根积，即可判断正确选项． 【详解】解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 26.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 27.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】提公因式法分解因式、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，， ． 28.（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的方程的两根分别为，，则________． 【答案】1 【难度】0.75 【知识点】二次根式的混合运算、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】已知一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求出和的值，再计算即可. 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴， ， ∴. B组 能力进阶 1. 已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 2. （25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】三角形三边关系的应用、因式分解法解一元二次方程 【分析】先解一元二次方程得到第三边的两个可能值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的边长，最后计算周长得到答案． 【详解】解：， 解得，， ∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ， 即第三边 ， ∴不符合要求，舍去， 则第三边长为6， ∴此三角形的周长为． 3. 已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．先将代入原式，可整理得，再代入到，配方得，进而求解即可． 【详解】∵当时，该多项式的值为， ∴， 整理得，即 ∵， ∴，即， ∴， ∴， 四个选项中，只有A符合， 故选：A． 4. （25-26八年级下·广西崇左·期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、新定义下的实数运算 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 5. （25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 【答案】且 【难度】0.65 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴．其中，，， 代入得：， 展开得， 化简得， 解得． 综上，k的取值范围为且． 6. （25-26八年级下·山东烟台·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用一元二次方程的解得到，根据根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 7. （25-26九年级下·山东淄博·期末）爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 【答案】(1)，，， (2)， 【难度】0.62 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【详解】（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． (2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【难度】0.6 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案； （2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答． 【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案． （2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 9. （25-26八年级下·山东威海·期末）用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.64 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【详解】（1）解： 因式分解： ； （2）解： 配方法： ． C组 思维拔高 1．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，前行的点数和可能是以下哪个结果（    ） A．100 B．93 C．86 D．78 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】公式法解一元二次方程、图形类规律探索 【分析】根据题意得出前行的点数和公式，进而列一元二次方程求解即可． 【详解】解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点， 前行的点数和为． A、若和为100，则，即，解得：，无正整数解，故A不符合题意； B、若和为93，则，即，解得：，无正整数解，故B不符合题意； C、若和为86，则，即，解得：，无正整数解，故C不符合题意； D、若和为78，则，即，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故D符合题意． 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】公式法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：①方程有两个不相等的实根， ， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根，故①正确； ②是方程的一个根，则， ， 若，等式仍然成立，但不一定成立，故②不正确； ③若是一元二次方程的根， 则由求根公式得或， 或， ，故③正确； ④存在实数，使得， 整理得，即， 因为，只需取即可满足， 例如取，，就有，故④正确． 3．（2026·黑龙江大庆·二模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，例如：．则______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】数字类规律探索、解一元二次方程——直接开平方法、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查新定义运算与规律探究，根据新定义得出的指数的循环规律，每4个为一个循环，每个循环的和为0，计算总项数除以4的余数，再根据余数计算最终结果即可 【详解】解：由题意得： ，，，，， 可得的指数每4个一循环，且一个循环的和为， ， 即共有506个完整循环，剩余2项为和， ，， ． 4.（25-26八年级下·福建福州·期末）已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】将用含和的代数式表示，代入得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程有实根时判别式非负，结合求出的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】解：由得 ， 将代入得 ， 整理得 ， 两边同除以得 ， 因为为实数，所以关于的一元二次方程有实数根，判别式， 即 ， 因式分解得 ， 因为已知， 所以， 即 故的最小值为． 5.（25-26八年级下·浙江台州·期末）如下为年月份的日历，学校数学兴趣小组在日历上发现了一种结构运算：有四个正整数，，，在日历中的关系位置如图所示，将下图平移覆盖到日历上，使得，，，分别与日历上的四个数字重合，规定，则一定是某一个数的平方． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)特例研究： ①当时，（__________）； ②当时，； ③当时，； ④当时，． (2)观察归纳： 通过运算证明：一定是某一个数的平方． 以下是小组成员的部分证明过程： … 请把接下去的证明过程补充完整． (3)拓展应用：图的日历中是否存在，若存在，求出此时所对应的数字，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)11． (2) ， 故一定是某一个数的平方． (3)当时，， 因为，所以，则，整理得， 解得：（舍去）， 由图可知，当时，不存在． 【难度】0.42 【知识点】数字类规律探索、因式分解的应用、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）按顺序计算出结果再开方即可； （2）将变形为含的完全平方公式即可解答； （3）根据题意列方程，结合日历的数据特点即可解答． 【详解】（1）解：; (2) ， 故一定是某一个数的平方． (3)当时，， 因为，所以，则，整理得， 解得：（舍去）， 由图可知，当时，不存在． 拓展 链接中考 1．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质求面积、因式分解法解一元二次方程 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 2．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 3. （2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】新定义下的实数运算、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 4. （2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 5．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 21.2一元二次方程的解法 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 直接开平方法 题型02 因式分解法 题型03 配方法 题型04 公式法 题型05 根的判别式 题型06 根据一元二次方程根的情况求参数 题型07 根与系数的关系 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 直接开平方法 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3. （25-26八年级下·福建厦门·期末）若，该方程的解为______． 4．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）已知直线和双曲线在坐标平面内交于两点和，则的值是______． 题型02 因式分解法 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 7. （25-26八年级下·陕西西安·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 8. （2026·广东茂名·二模）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 题型03 配方法 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 10. （25-26八年级下·浙江台州·期末）用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 12. （25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 题型04 公式法 13．（25-26七年级上·广东中山·月考）是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级下·浙江温州·期中）方程的正根介于正整数与之间，则________． 15.（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）解方程：． 16. （25-26八年级下·江苏苏州·期末）若代数式与的值互为相反数，求的值． 题型05 根的判别式 17. （25-26八年级下·山东青岛·期末）一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 18. （2026·四川广元·三模）已知关于x的一元二次方程 的系数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则方程根的情况正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 19. 已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 20. （25-26九年级下·山东滨州·期中）关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 题型06 根据一元二次方程根的情况求参数 21.（25-26八年级下·安徽宣城·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 22.（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 23.（25-26八年级下·吉林长春·期末）若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是________． 24.（25-26八年级下·安徽宣城·期末）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 题型07 根与系数的关系 25.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． 26.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 27.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 28.（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的方程的两根分别为，，则________． B组 能力进阶 1. 已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 2. （25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 3. 已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 4. （25-26八年级下·广西崇左·期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 5. （25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 6. （25-26八年级下·山东烟台·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为______． 7. （25-26九年级下·山东淄博·期末）爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 9. （25-26八年级下·山东威海·期末）用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) C组 思维拔高 1．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，前行的点数和可能是以下哪个结果（    ） A．100 B．93 C．86 D．78 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 3．（2026·黑龙江大庆·二模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，例如：．则______． 4.（25-26八年级下·福建福州·期末）已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 5.（25-26八年级下·浙江台州·期末）如下为年月份的日历，学校数学兴趣小组在日历上发现了一种结构运算：有四个正整数，，，在日历中的关系位置如图所示，将下图平移覆盖到日历上，使得，，，分别与日历上的四个数字重合，规定，则一定是某一个数的平方． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)特例研究： ①当时，（__________）； ②当时，； ③当时，； ④当时，． (2)观察归纳： 通过运算证明：一定是某一个数的平方． 以下是小组成员的部分证明过程： … 请把接下去的证明过程补充完整． (3)拓展应用：图的日历中是否存在，若存在，求出此时所对应的数字，若不存在，请说明理由． 拓展 链接中考 1．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 3. （2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4. （2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 21.2一元二次方程的解法 目录 分层作业 A组巩固过关 题型01直接开平方法 题型02因式分解法 题型03配方法 题型04公式法 题型05根的判别式 题型06根据一元二次方程根的情况求参数 题型07根与系数的关系 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01直接开平方法 1.A 2.D 3.1=3,x2=-1. 4.3 题型02因式分解法 5.A 6.C 7.-3 2或3 1/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03配方法 9.C 10.B 11.7 12.<. 题型04公式法 13.A 14.2 k5 15Y,=5+33 4 16.解：，代数式2a+a-3与-a+4a+1的值互为相反数， .-a2+4a+1+2a2+a-3=0, ∴.a+5a-2=0, .△=52-4×1×-2=33>0， :a=5±33 2×1, 解得a,=-5+ 3a,=5-3 2 题型05根的判别式 1 17.A 18.C 19.a<b b≤- 20.方程有两个不相等的实数根.· 题型06根据一元二次方程根的情况求参数 21.A 22.C 23.1 24.m=-1或m=-3. 题型07根与系数的关系 25.A 26.A 27.-20. 28.1 ● B组 能力进阶 1.D 2.A 3.A 4.X1=4,X2=-6. 6.2026. 7.【详解】(1)解：原方程可变形，得，x-6+3x-6-3=3, 2/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理得，x-62-32=3, 所以，x-62=3+32, 所以，直接开平方得，x-6=3+3,或x-6=.3+32, 所以，原方程的解为：x1=6+3+32,x2=6-3+32」 即m=-6,n=3,x,=6+V3+32=6+23,x,=6-3+32=6-23: (2)解：原方程可变形，得，x-3-8x-3+8=36, 整理得，x-32-82=36, 所以，x-32=36+82, 所以，直接开平方得，x-3=36+82=10,或x-3=-36+82=-10, 所以，原方程的解为：X1=13,X2=-7 8.解：(1)小明和小颖的解法都不正确. 正确的解答过程：整理得：x-22-5x-2=0, .x-2x-2-5=0,即x-2x-2-5=0, .x-2x-7=0, .X-2=0或x-7=0, ∴.1=2，X2=7」 (②)先移项将其整理为mx2-x=0的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一 次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解. 9.【详解】(1)解：3x2+8x-3=0 因式分解：3x-1x+3=0 1 x13x2=-3: (2)解：x2-4x-8=0 配方法：x2-4X+4=12 x-22=12 x-2=±23 x1=2+23,x2=2-2V3」 C组 思维拔高 1.D 2.C 3.i-1 4.1 314 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.【详解】(1)解：1×2×7×8+9=121=11： (2M=aa+1a+6la+7+9=aa+7a+1川a+6+9 =a2+7aa2+7a+6+9 =a2+7a+6a2+7a+9 =a2+7a+32, 故M一定是某一个数的平方. (3)当M=1012时，a2+7a+3=1012, 因为a>0,所以a2+7a+3>0,则a2+7a+3=101,整理得a-7川a+14=0, 解得：a1=7,a2=-14(舍去)， 由图可知，当a=7时，不存在. 拓展 链接中考 Hw一1 1.D 2.D 3.A 4.B 5.A 414