1.1.2集合的基本关系讲义 -2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的基本关系，系统梳理子集（定义、图形与符号表示、性质）、真子集（定义、表示、性质）、集合相等（定义、表示）及子集个数公式，形成从概念到性质再到应用的学习支架，为后续集合运算奠定基础。 资料以“数学眼光”通过Venn图直观呈现集合关系，“数学思维”强化性质推导与逻辑判断，如真子集传递性证明，“数学语言”规范符号使用。题型含判断关系、求参数等，结合名校试题，课中助教师系统授课，课后练习助学生查漏补缺，提升推理与抽象能力。

1.1.2集合的基本关系 一、知识点 1.子集 一般地，如果集合的任意一个元素都是集合的元素，那么集合称为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或包含）. 对应地，如果不是的子集，则记作 （或），读作“不包含于”（或“不包含”）. （1） 的图形表示： （2）的符号表示：对任意，都有. （3）当集合中存在不属于集合的元素时，我们就说集合不是集合的子集. （4）性质：①任何集合都是它本身的子集，记作； ②传递性：对于集合，，，如果，且，那么. 说明：元素与集合的关系是“属于”或“不属于”的关系，用符号表示为“”或“”. 集合与集合之间的关系是“包含”或“不包含”的关系，用符号表示为“”或“”. 规定：空集是任何集合的子集；空集只有一个子集. 2.真子集 一般地，如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于，那么集合称为集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”（或“真包含”）. （1）的图形表示： （2）的符号表示：对于任意，都有，但存在元素，且. （3）性质：①任何集合都不是它本身的真子集； ②传递性：对于集合，，，如果 ，且 ，那么 . 规定：空集是任何非空集合的真子集，即 （非空）. 3.集合的相等 一般地，如果集合和集合的元素完全相同，则称集合和集合相等，记作，读作“等于”. 由集合相等的定义可知：若且，则；反之，如果，则且. （1）的图形表示： （2）集合与集合相等，就是集合与集合中的元素完全一致. （3）可类比实数中的结论“若且，则”，即“若且，则”. （4）若，则有且. 4.子集、真子集的个数 若一个集合中含有个元素，则 ①该集合的子集有个； ②该集合的真子集有个； ③该集合的非空子集有个， ④该集合的非空真子集有个. 二、题型训练 1.判断两集合间的关系 例1.对于集合，，“”不成立的含义是（ ） A. 是的子集 B. 中的元素都不是中的元素 C. 中至少有一个元素不属于 D. 中至少有一个元素不属于 例2.已知集合，，，，则（ ） A. B. C. D. 例3.[山东省实验中学2026高一期中]已知集合，，则（ ） A. B.  C.  D. 例4.设集合和，那么与的关系为________. 例5.设，，，则集合，的关系是________． 练习： 1.下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 2.已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 3.集合，集合，则与的关系是（      ） A. B. C.  D. 4.设集合，，则（    ） A. B. C. D. 5.已知集合和的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6.下列命题中，正确的有（ ） ①空气是任何集合的真子集；②若，，这个；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于的元素一定不属于，则. A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 7.若，，，则集合，之间的关系为（ ） A.  B.  C. D. 8.设集合，，则集合和集合的关系为（ ） A. B.  C. D. 9.下列四个结论，①；②；③；④.其中正确的结论序号为________. 10.已知集合，，判断这两个集合间的关系. 11.[黑龙江省实验中学2026高一月考]下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 12.设集合，，则下列图形能表示与的关系的是 A. B. C. D. 13.[陕西汉中2026年高一期中]（多选）下面表示同一个集合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 14.（多选）以下写法正确的是（ ） A. B. C. D. 15.[黑龙江哈尔滨2025高一期末]若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 16.[辽宁阜新2026高一其中]（多选）下列说法正确的是（ ） A.集合的非空真子集个数为 B. C. 若，，则 D. 17.[山东泰安一中2025高一月考]下列每组集合是相等集合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. , 18.[四川成都七中2026高一月考]若集合，，等于，则，，之间的关系是（ ） A. B. C. D. 2.判断子集（真子集）的个数 例6.集合，则的真子集的个数为_________，的非空真子集的个数为_________. 例7.已知集合，则含有元素的的子集个数是（     ） A. B. C. D. 例8.已知集合满足，那么这样的集合的个数为（    ） A. B. C. D. 练习： 1.[广东广州2025模拟]满足的解集合的个数为（ ） A. B. C. D. 2.[河北邢台部分高中2025期末]（多选）已知集合恰有两个子集，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 3.[辽宁沈阳2026高一期中]已知集合，则的子集的个数为（ ） A. B. C. D. 4.[江苏常州2026高一段考]若集合有个子集，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5.设集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.已知集合，且中至少包含有一个奇数，则这样的集合的个数为（ ） A. B. C. D. 7.集合的真子集的个数是（ ） A. B. C. D. 8.集合的子集个数为（    ）． A. B. C. D. 9.已知集合，则集合的子集为______. 10.已知集合，，则满足条件的集合的个数为（    ） A. B. C. D. 11.如果集合满足，则满足条件的集合的个数为_________． 12.已知集合，集合，则满足关系的所有集合为______. 3.根据集合间的关系求参数 例9.设集合，，若，则（     ）. A. B. C. D. 例10.已知集合，，且，则实数的取值范围是________. 例11.已知，，且，则的取值范围为_________． 练习： 1.[河南部分校2025联考]已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2.[山东烟台2025期末]设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，若，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 或或 4. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.已知集合，，若，则实数的取值范围是________. 6.已知集合，，，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7.（多选）若集合，则满足的集合可以是（ ） A. B. C. D. 8.设集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9.已知，，若，则实数的取值范围是_______. 10.若集合，，且，则满足条件的实数的个数为（ ） A. B. C. D. 11.已知集合，，若，求实数的取值范围. 12.已知集合，，求满足的实数的取值范围. 13.设集合，，且，则的值为________. 14.已知集合，，且，则实数的值是_________． 15.已知，，若，则（     ） A.， B.， C.， D.， 16.已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 17.已知集合，. （1）若，则实数的值是多少? （2）若，则实数的取值范围是多少? （3）若，则实数的取值范围是多少? 18.已知，. （1）若，求的值； （2）若，求实数的取值范围. 4.根据集合相等求参数 例12.已知集合，，若，则的值为（    ） A. B. C. D. 或 练习： 1.[辽宁朝阳2026高一联考]设，，集合，，若，则的值为________. 2.集合，，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 3.已知集合，，若，则________. 4.已知集合，，若，求的值． 5.已知关于的方程的解集为，则的值为______． 6.若，则的值为（     ） A. B. C. D. 7.设，且满足，则______. 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2集合的基本关系 一、知识点 1.子集 一般地，如果集合的任意一个元素都是集合的元素，那么集合称为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或包含）. 对应地，如果不是的子集，则记作 （或），读作“不包含于”（或“不包含”）. （1） 的图形表示： （2）的符号表示：对任意，都有. （3）当集合中存在不属于集合的元素时，我们就说集合不是集合的子集. （4）性质：①任何集合都是它本身的子集，记作； ②传递性：对于集合，，，如果，且，那么. 说明：元素与集合的关系是“属于”或“不属于”的关系，用符号表示为“”或“”. 集合与集合之间的关系是“包含”或“不包含”的关系，用符号表示为“”或“”. 规定：空集是任何集合的子集；空集只有一个子集. 2.真子集 一般地，如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于，那么集合称为集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”（或“真包含”）. （1）的图形表示： （2）的符号表示：对于任意，都有，但存在元素，且. （3）性质：①任何集合都不是它本身的真子集； ②传递性：对于集合，，，如果 ，且 ，那么 . 规定：空集是任何非空集合的真子集，即 （非空）. 3.集合的相等 一般地，如果集合和集合的元素完全相同，则称集合和集合相等，记作，读作“等于”. 由集合相等的定义可知：若且，则；反之，如果，则且. （1）的图形表示： （2）集合与集合相等，就是集合与集合中的元素完全一致. （3）可类比实数中的结论“若且，则”，即“若且，则”. （4）若，则有且. 4.子集、真子集的个数 若一个集合中含有个元素，则 ①该集合的子集有个； ②该集合的真子集有个； ③该集合的非空子集有个， ④该集合的非空真子集有个. 二、题型训练 1.判断两集合间的关系 例1.对于集合，，“”不成立的含义是（ ） A. 是的子集 B. 中的元素都不是中的元素 C. 中至少有一个元素不属于 D. 中至少有一个元素不属于 【答案】C 【解析】 “”成立的含义是集合中的任何一个元素都是集合的元素，不成立的含义是集合中至少一个元素不属于集合，故选C. 例2.已知集合，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为等腰直角三角形必须为等腰三角形，所以. 例3.[山东省实验中学2026高一期中]已知集合，，则（ ） A. B.  C.  D. 【答案】C 【解析】 在数轴上标记两个集合，可得，故选C. 例4.设集合和，那么与的关系为________. 【答案】 【解析】 ，同号.又，，，即集合表示第三象限内的点，而集合也表示第三象限内的点，故. 例5.设，，，则集合，的关系是________． 【答案】 【解析】 集合表示直线上所有的点组成的集合， 集合中，，，表示直线上除了原点之外的所有点组成的集合， 所以有. 故答案为：. 练习： 1.下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由题意得： 由题意得，， 所以是的真子集． 故选：B. 2.已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意知，， 所以. 故选：B. 3.集合，集合，则与的关系是（      ） A. B. C.  D. 【答案】C 【解析】 ，，故. 故选：C. 4.设集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 集合， ， . 故选：B. 5.已知集合和的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 根据集合间的包含关系可得B选项正确. 6.下列命题中，正确的有（ ） ①空气是任何集合的真子集；②若，，这个；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于的元素一定不属于，则. A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 【答案】C 【解析】 ①空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故①错误； ②真子集具有传递性，故②正确； ③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错误； ④由维恩图易知④正确.故选C. 7.若，，，则集合，之间的关系为（ ） A.  B.  C. D. 【答案】B 【解析】 ，. 8.设集合，，则集合和集合的关系为（ ） A. B.  C. D. 【答案】B 【解析】 ，.，，则，故选B. 9.下列四个结论，①；②；③；④.其中正确的结论序号为________. 【答案】①③ 【解析】 ①空集是自身的子集，①正确；不是空集中的元素，②错误；空集是任何非空集合的真子集，③正确；是含一个元素的集合，不是空集，④错误；故正确结论的序号为①③. 10.（多选）已知集合，，判断这两个集合间的关系. 【答案】 【解析】 因为，，所以，因为，，所以，故，，所以. 11.[黑龙江省实验中学2026高一月考]下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 对于A，元素和集合之间的关系用“”和“”不表示，故A错误；对于B，由于是无理数，故B错误；对于C，空集是任何集合的子集，故C正确；对于D，，故D错误.故选C. 12.设集合，，则下列图形能表示与的关系的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 集合，，所以.故选A. 13.[陕西汉中2026年高一期中]（多选）下面表示同一个集合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 选项A：由，，解得，所以集合，由，，解得，所以集合，所以，即集合，表示同一集合，故A正确； 选项B：因为集合，中的元素是有序数对，有序数对的顺序不同表示的元素不同，所以集合，表示不同集合，故B错误； 选项C：因为集合，中完全元素完全相同，所以集合，表示同一集合，故C正确； 选项D：因为表示奇数集，也表示奇数集，所以集合，表示同一集合，故D正确.故选：ACD. 14.（多选）以下写法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 对于A，，故A正确；对于B，因为，表示集合，所以，故B错误；对于C，由，故C正确；对于D，根据集合与集合间的关系，，故D错误.故选AC. 15.[黑龙江哈尔滨2025高一期末]若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误；，故B错误；，因此，故C错误；由，可知，故D正确.故选D. 16.[辽宁阜新2026高一其中]（多选）下列说法正确的是（ ） A.集合的非空真子集个数为 B. C. 若，，则 D. 【答案】ACD 【解析】 对于A选项，集合的非空真子集的个数为，A选项正确；对于B选项，因为菱形不一定是正方形，所以不是的元素，也不是其子集，B错误； 对于C选项，因为，令，.则集合中元素被除余的整数，又集合中元素也为被除于的整数，所以两集合相等，C正确； 对于D选项，，空集是任何集合的子集，D正确. 故选ACD. 17.[山东泰安一中2025高一月考]下列每组集合是相等集合的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. , 【答案】D 【解析】 对于A，，，故，所以A错误；对于B，为点集，为数集，故，所以B错误；对于C，，，故，所以C错误；对于D，数集和数集所含元素相同，故，所以D正确.故选D. 18.[四川成都七中2026高一月考]若集合，，等于，则，，之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，，，其中为偶数，，均表示为整数，故，故选B. 2.判断子集（真子集）的个数 例6.集合，则的真子集的个数为_________，的非空真子集的个数为_________. 【答案】 【解析】 小于的质数有，，即，故的真子集的个数为，非空真子的个数为. 例7.已知集合，则含有元素的的子集个数是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 含有元素的的子集有，，，，，，，， 故含有元素的的子集个数为. 故选：D. 例8.已知集合满足，那么这样的集合的个数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为， 所以集合可以为：，，，，，，，共个， 故选：C. 练习： 1.[广东广州2025模拟]满足的解集合的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由，整理得，解得或，则，所以可得满足题意的集合的个数为.故选B. 2.[河北邢台部分高中2025期末]（多选）已知集合恰有两个子集，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 由题意可知集合中有只有一个元素.由，可得，当时，解得，此时符合题意；当，即时，则或是方程的解.当是方程的解时，，解得，此时，符合题意；当是方程的解时，无解，故或.故选AC. 3.[辽宁沈阳2026高一期中]已知集合，则的子集的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 集合，则集合的子集个数为.故选B 4.[江苏常州2026高一段考]若集合有个子集，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 因为集合有个子集，所以集合有且只有一个元素，当时，，符合题意；当时，则关于的方程有两个相等的实根，所以，解得，综上所述，或.故选C. 5.设集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题得集合，结合数轴可知，要使，只要即可，即实数的取值范围是，故选D. 6.已知集合，且中至少包含有一个奇数，则这样的集合的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题知，，，，，，共个. 7.集合的真子集的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 当时，；当时，；当时，；当时，，所以，共个元素，故其真子集的个数为，故选C. 8.集合的子集个数为（    ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为， 所以该集合的子集的个数为， 故选：C． 9.已知集合，则集合的子集为______. 【答案】，，， 【解析】 因为， 所以的子集为，，，. 故答案为：，，，. 10.已知集合，，则满足条件的集合的个数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为集合， ，且， 所以或或或. 故选：B. 11.如果集合满足，则满足条件的集合的个数为_________． 【答案】 【解析】 由题意知集合中必须包含，两个元素， 但集合； 满足条件的集合为：，，，，，，； 满足条件的集合的个数为． 故答案为：． 12.已知集合，集合，则满足关系的所有集合为______. 【答案】，，， 【解析】 因为，， 所以集合为，，，， 故答案为：，，， 3.根据集合间的关系求参数 例9.设集合，，若，则（     ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 例10.已知集合，，且，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 由集合， 若时，可得，此时满足； 若时，要是得到，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 例11.已知，，且，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 由题意，集合， 当时，即，解得，此时满足， 当时，要使得，则或， 当时，可得，即，此时，满足； 当时，可得，即，此时，不满足， 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为：. 练习： 1.[河南部分校2025联考]已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，中最多只有个元素，因为，所以，所以，故选C. 2.[山东烟台2025期末]设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为集合，，且，所以或或，解得或或.当时，，，符合题意；当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去；当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去.综上所述，. 3. 已知集合，，若，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 或或 【答案】D 【解析】 当时，集合，满足；且当时，集合，由得或，即或.综上或或，故选D. 4. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为，当时，符合要求，则有，即； 当时，则有，解得. 综上，实数的取值范围是，故选C. 5.已知集合，，若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 如图，在数轴上表示出，，因为，所以. 6.已知集合，，，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 因为，所以或，若，则，，满足.若，解得或，①若，则，，满足；②若，则，不满足集合中元素的互异性，舍去.综上，或，故选B. 7.（多选）若集合，则满足的集合可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 因为集合，且，所以集合可以是集合，也可以是，故选AB. 8.设集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 化简得集合，结合数轴可知，要使，则只要即可，即实数的取值范围是，故选D. 9.已知，，若，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 ，，，或，解得或. 10.若集合，，且，则满足条件的实数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为，所以或，当时，，此时，或，，符合题意，当时，或（舍去），此时，，符合题意，故或. 11.已知集合，，若，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 当时，由题意，得，解得，此时成立；当时，由题意，得，解得，要使成立，应有，且，解得，此时，综上，实数的取值范围为. 12.已知集合，，求满足的实数的取值范围. 【答案】 【解析】 ①当时，，满足； ②当时，，因为，所以，解得； ③当时，，因为，所以，解得； 综上所述，所求实数的取值范围为. 13.设集合，，且，则的值为________. 【答案】或 【解析】 由，可得或，解得或， 当时，，，此时满足，符合题意； 当时，，，此时满足，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或. 14.已知集合，，且，则实数的值是_________． 【答案】 【解析】 因为，，， 所以是方程的解， 即，解得. 经检验，符合题意，所以. 故答案为：. 15.已知，，若，则（     ） A.， B.， C.， D.， 【答案】C 【解析】 由于表示一元二次方程的解的集合， 而最多有两个不相等的实数根， 由于，，所以， 故由韦达定理可得， 故选：C 16.已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）不存在 【解析】 （1）解：①当时，即，解得，此时满足； ②当时，要使得，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. （2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解， 所以实数不存在，即不存在实数使得. 17.已知集合，. （1）若，则实数的值是多少? （2）若，则实数的取值范围是多少? （3）若，则实数的取值范围是多少? 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1）因为集合，，， 所以. （2）因为，如图，    由图可知，即实数的取值范围是. （3）因为，如图，    由图可知，即实数的取值范围是. 18.已知，. （1）若，求的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或或 【解析】 （1）由方程，解得或， 所以，又，， 所以，即方程的两根为或， 利用韦达定理得到：，即； （2）由已知得，又， 所以时，则，即，解得或； 当时， 若中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数的取值范围是或或. 4.根据集合相等求参数 例12.已知集合，，若，则的值为（    ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 由于， 所以对于集合有，或. 若，则，此时符合题意，. 若，则集合不满足互异性，不符合. 所以的值为. 故选：A 练习： 1.[辽宁朝阳2026高一联考]设，，集合，，若，则的值为________. 【答案】 【解析】 因为集合 ，，，所以根据集合元素的互异性可知，所以或， 当时，解得，由于，故，此时，，所以，即，此时，符合要求； 当时，，，则有，即，解得，与矛盾，舍去.所以，，所以. 2.集合，，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由集合中元素的互异性可知，，，，即，，，则①，解得，与矛盾；②或，解得； 综上所述满足集合中元素的互异性的仅有，符合，故选A. 3.已知集合，，若，则________. 【答案】或 【解析】 因为，所以①或②， 解①得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 解②得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 所以或. 故答案为：或. 4.已知集合，，若，求的值． 【答案】 【解析】 因为，集合中有一元素为，显然不成立，故只能，此时，，故满足，解得，经检验，故. 5.已知关于的方程的解集为，则的值为______． 【答案】 【解析】 由题意，， 所以． 故答案为：. 6.若，则的值为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为， 所以，解得， 所以. 故选：C. 7.设，且满足，则______. 【答案】 【解析】 因为 所以， 所以，即. 故答案为： 8 学科网（北京）股份有限公司 $