1.1.3 第2课时 全集、补集及综合应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“全集、补集及综合应用”核心知识点，在集合基本关系（子集、交并集）基础上，引入全集概念作为研究背景，系统讲解补集的含义、性质及交并补综合运算，构建从基础概念到参数问题、新定义问题的学习支架。 该资料以考试单选题情境导入激发兴趣，通过具体实例抽象概念培养数学眼光，借助数轴、维恩图辅助理解发展几何直观，参数问题和新定义问题锻炼逻辑推理与数学表达。课中助教师高效授课，课后供学生巩固练习，弥补知识盲点。

第2课时　全集、补集及综合应用 新课导入 学习目标 在某次数学模拟考试中，单选题的第8题有四个选项，某同学求不出正确答案，但明显知道其余三个是错误的，那她能做对这道题目吗？理由是什么？这就是这节课我们所要学习的新知识． 1.在具体情境中，了解全集与补集的含义． 2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集． 3．会用维恩图、数轴解决集合的综合运算问题． 知识点一　全集与补集 如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F. 思考1　这三个集合之间有什么联系？ 提示：S＝M∪F，M∩F＝∅. 思考2　如果x∈S且x∉M，你能得到什么结论？ 提示：由x组成的集合恰为集合F. [知识梳理] 1．全集 (1)定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集． (2)记法：全集通常用U表示． 点拨　全集不是固定不变的，是相对于研究的具体问题情境而言的，例如在整数范围内研究问题，则全集U＝Z，在实数范围内研究问题，则全集U＝R. 2．补集及其性质 (1)定义 (2)性质 ①A∪(∁UA)＝U． ②A∩(∁UA)＝∅． ③∁UU＝∅，∁U∅＝U， ∁U(∁UA)＝A． ④(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B). ⑤(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B). 点拨　(1)求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同． (2)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． [例1] (对接教材例5)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA为(　　) A．{x∈R|0＜x＜2} B．{x∈R|0≤x＜2} C．{x∈R|0＜x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2} 【解析】　借助数轴(如图)易得∁UA＝{x∈R|0＜x≤2}． 【答案】　C 求集合的补集的方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． (2)维恩图法：借助维恩图可直观地求出全集及补集． (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题． [跟踪训练1] (1)设全集U＝{x|x是小于5的非负整数}，A＝{2，4}，则∁UA＝(　　) A．{1，3} B．{1，3，5} C．{0，1，3} D．{0，1，3，5} 解析：选C．U＝{x|x是小于5的非负整数}＝{0，1，2，3，4}，所以∁UA＝{0，1，3}．故选C． (2)设集合U＝R，M＝{x|x>2，或x<－2}，则∁UM＝(　　) A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2<x<2} C．{x|x<－2，或x>2} D．{x|x≤－2，或x≥2} 解析：选A．画出数轴如图， 可知∁UM＝{x|－2≤x≤2}． 知识点二　集合交、并、补的混合运算 [例2] (1)(2026·德州期中)设集合U＝{x∈N＋|x≤4}，A＝{1，2}，B＝{2，4}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{3} B．{1，2，3，4} C．{3，4} D．{2，3，4} (2)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，则(∁UA)∪B＝____________，A∩(∁UB)＝________． 【解析】　(1)由条件可得，U＝{1，2，3，4}，A∪B＝{1，2，4}， 所以∁U(A∪B)＝{3}． (2)根据题意，画出数轴， 由图1可得∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}． 由图2可得∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}． 所以(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}． 【答案】　(1)A　(2){x|x≤2或3≤x≤4}　{x|2<x<3} 集合混合运算的一般思路 (1)明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式； (2)明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算； (3)注意对运算结果进行检验． 常用结论　(1)(∁AB)∩(∁AC)＝∁A(B∪C)， (2)∁A(B∩C)＝(∁AB)∪(∁AC). [跟踪训练2] (1)已知全集U＝{－2，2，4，6}，集合A＝{－2，2，4}，B＝{2，4，6}，则(∁UA)∪(∁UB)＝(　　) A．{2，4} B．{－2，6} C．{2} D．{6} 解析：选B．方法一：由题意得∁UA＝{6}，∁UB＝{－2}，所以(∁UA)∪(∁UB)＝{－2，6}． 方法二：因为A∩B＝{2，4}，所以(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝{－2，6}． (2)(2026·东营月考)如图，设全集U＝R，M＝{x|x＜－1}，N＝{x|－3＜x＜0}，则图中阴影部分表示的集合为________． 解析：题图中阴影部分表示的集合为(∁UM)∩N＝{x|x≥－1}∩{x|－3＜x＜0}＝{x|－1≤x＜0}． 答案：{x|－1≤x＜0} 应用点一　与补集有关的参数问题 [例3] 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 【解】　由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅， 在数轴上表示，如图， 所以－m≤－2，即m≥2. 所以实数m的取值范围是[2，＋∞). 母题探究　若将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？ 解：因为A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}， 又(∁UA)∩B＝B，所以B⊆∁UA， 所以－m≥4，解得m≤－4. 所以实数m的取值范围是(－∞，－4]. 由集合的补集求解参数的方法 (1)对于由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解． (2)对于与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解． [跟踪训练3] (1)已知全集U＝{2，4，3－x2}，M＝{2，x2－x＋2}，∁UM＝{－1}，则实数x的值为(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D．－1 解析：选A．由题意得－1∈U且4∈M，所以3－x2＝－1且x2－x＋2＝4，解得x＝2. (2)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围为________． 解析：因为B＝{x|1<x<2}，所以∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}，又A＝{x|x<a}，A∪(∁RB)＝R，所以只需a≥2，即实数a的取值范围为[2，＋∞). 答案：[2，＋∞) 应用点二　集合的新定义问题 [例4] (1)(2026·日照月考)若x∈A，则－x∈A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M＝{－2，－1，0，1，2，3}的所有非空子集中具有“伙伴关系”的集合的个数是(　　) A．6 B．7 C．3 D．1 (2)对于集合M，N，定义M－N的运算结果为图中阴影部分表示的集合，定义M⊕N＝(M－N)∪(N－M).若全集U＝R，A＝{x|x＋2≥0}，B＝{x|x<0}，则A⊕B＝(　　) A．{x|x≥0} B．{x|x<－2} C．{x|x<－2或x≥0} D．{x|x≤－2或x>0} 【解析】　(1)若x＝－2，则－x＝2； 若x＝－1，则－x＝1； 若x＝0，则－x＝0， 则{－2，2}，{－1，1}，{0}，{－2，2，0}，{－1，1，0}，{－2，2，－1，1}，{－2，2，0，－1，1}为“伙伴关系”集合，共7个． (2)因为M－N＝M∩(∁UN)，所以A－B＝A∩(∁RB)＝{x|x≥－2}∩{x|x≥0}＝{x|x≥0}，B－A＝B∩(∁RA)＝{x|x<0}∩{x|x<－2}＝{x|x<－2}，所以A⊕B＝(A－B)∪(B－A)＝{x|x≥0}∪{x|x<－2}＝{x|x<－2或x≥0}． 【答案】　(1)B　(2)C 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： (1)紧扣新定义．分析新定义，把新定义的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解集合中的新定义问题的关键． (2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． [跟踪训练4] 设U为全集，对集合X，Y，定义运算“⊕”，满足X⊕Y＝(∁UX)∪Y，则对于任意集合X，Y，Z，X⊕(Y⊕Z)＝(　　) A．(X∪Y)∪(∁UZ) B．(X∩Y)∪(∁UZ) C．[(∁UX)∪(∁UY)]∩Z D．(∁UX)∪[(∁UY)∪Z] 解析：选D．根据运算“⊕”的含义，Y⊕Z＝(∁UY)∪Z.因此X⊕(Y⊕Z)＝(∁UX)∪[(∁UY)∪Z]. 1．(教材P20练习AT5改编)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤3}，则集合∁UM＝(　　) A．{x|－2<x<3} B．{x|x<－2，或x>3} C．{x|－2≤x≤3} D．{x|x≤2，或x≥3} 解析：选B．由题意得∁UM＝{x|x<－2，或x>3}．故选B． 2．设全集U＝R，集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|2≤x<5}，则A∩(∁UB)＝(　　) A．{x|1≤x<2} B．{x|x<2} C．{x|x≥5} D．{x|1<x<2} 解析：选D．因为∁UB＝{x|x<2，或x≥5}，所以A∩(∁UB)＝{x|1<x<2}． 3．(教材P20练习BT4改编)已知全集U＝{3，a}，集合A＝{b}，∁UA＝{5}，则a＋b＝________． 解析：由题意得{3，a}＝{b，5}，即a＝5，b＝3，所以a＋b＝8. 答案：8 4．(2026·潍坊月考)给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1∉S且x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个． 解析：若集合中不含“好元素”，则这3个元素一定是连续的3个整数，故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个． 答案：6 1．已学习：全集、补集的概念及性质，交、并、补集的综合运算，利用集合间的关系求参数． 2．须贯通：补集相对于全集而存在，既是集合间的一种关系，也是集合间的一种运算，还是一种数学思想(正难则反). 3．应注意：对补集和全集的概念理解不透彻，集合运算时要注意空集及端点值． 学科网（北京）股份有限公司 $