专题1.1.2 集合的基本关系（高效培优讲义）（8大题型）高一数学人教B版必修第一册

本讲义聚焦集合的基本关系核心知识点，从Venn图直观工具切入，系统梳理子集、真子集、集合相等的概念，明确元素与集合从属关系、集合间包含关系的区别，结合空集性质构建完整知识支架。 本资料通过“知识点+即学即练+题型变式”设计，以Venn图培养数学眼光的几何直观，通过子集个数计算、参数求解等题型训练数学思维的推理能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题1.1.2 集合的基本关系 教学目标 1．理解集合之间包含与相等的含义． 2．能判断给定集合间的关系，在具体情境中掌握子集、真子集和空集的含义． 3．能使用图表示集合间关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4．通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体会其现实意义． 5．通过集合间基本关系的应用，体会数形结合、分类讨论的数学思想． 教学重难点 1.重点 集合与集合之间的包含及相等关系；子集与真子集之间的区别． 2.难点 元素和集合的属于关系；集合和集合的包含关系的区别与联系． 知识点01 venn图（唯恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 【即学即练】（2026·高一·湖北武汉·期末）下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 子集 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练】（2026·高二·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 知识点03 集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 【即学即练】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 知识点04 真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练】已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．8 B．7 C．3 D．1 知识点05 集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 【即学即练】设，若，则（   ） A． B．5 C． D．1 知识点06 空集的理解 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【即学即练】下列表述正确的是（   ） A． B． C． D． 题型 01: 判断两个集合的包含关系 【典例1】（2026·高二·河北保定·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高二·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 题型 02: 判断子集 (真子集) 的个数 【典例2】（2026·高二·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 【变式2-1】（2026·四川绵阳·模拟预测）若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【变式2-2】（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【变式2-3】（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 题型 03: 求集合中子集 (真子集) 【典例3】已知集合满足，求集合及其个数． 【变式3-1】（2026·高一·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【变式3-2】（2026·高一·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【变式3-3】写出下列集合的子集和真子集，并观察“元素个数”与“子集个数”、“真子集个数”之间存在什么关系？ (1) (2) (3) 题型 04: 空集的概念及判断 【典例4】下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高一·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【变式4-2】（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高一·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型 05: 空集的性质及应用 【典例5】给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【变式5-1】（2026·高一·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【变式5-2】（2026·高一·辽宁·阶段检测）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-3】已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型 06: 判断两个集合是否相等 【典例6】（2026·高一·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·高一·河北衡水·阶段检测）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高一·北京·阶段检测）已知集合，则与集合M相等的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·高一·安徽六安·阶段检测）下列各组中M，P表示相同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型 07: 根据两集合相等求参数 【典例7】设，，其中，若，则________． 【变式7-1】（2026·高一·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知集合，，若，则实数的值为______. 【变式7-2】（2026·高一·山东淄博·阶段检测）已知实数，集合，则__________． 【变式7-3】（2026·高一·陕西·阶段检测）若，则______． 题型 08: 根据集合包含关系求参数 【典例8】设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【变式8-1】已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【变式8-2】（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2026·高一必修第一册）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【变式8-3】已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 1．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2．（2026·湖南常德·一模）集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．（2026·高二·四川德阳·期末）含有个元素的集合的非空真子集的个数为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 5．（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·湖南长沙·期中）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 1．（2026·高二·浙江衢州·期中）设集合，且，则实数的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（2026·高一·江苏连云港·期中）设集合，则集合的子集个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 4．（2026·高一·重庆·期中）集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2026·高一·云南昭通·期中）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 7．（多选题）（2026·高一·湖南长沙·期中）下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高一·山东济宁·期中）已知集合，，若，则实数的所有可能取值为（ ） A．2 B． C． D．0 9．已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 10．（2026·高一·湖北荆州·阶段检测）已知，，若集合，则的值为______． 11．已知，若，求的值 12．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1.2 集合的基本关系 教学目标 1．理解集合之间包含与相等的含义． 2．能判断给定集合间的关系，在具体情境中掌握子集、真子集和空集的含义． 3．能使用图表示集合间关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4．通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体会其现实意义． 5．通过集合间基本关系的应用，体会数形结合、分类讨论的数学思想． 教学重难点 1.重点 集合与集合之间的包含及相等关系；子集与真子集之间的区别． 2.难点 元素和集合的属于关系；集合和集合的包含关系的区别与联系． 知识点01 venn图（唯恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 【即学即练】（2026·高一·湖北武汉·期末）下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合，， 所以集合和关系的图为A. 知识点02 子集 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练】（2026·高二·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，故A正确； 因为，所以，不是的子集，故BC错误； 因为，所以不是的子集，故D错误. 故选：A. 知识点03 集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 【即学即练】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以． 知识点04 真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练】已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．8 B．7 C．3 D．1 【答案】B 【解析】真子集的个数为. 故选：B. 知识点05 集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 【即学即练】设，若，则（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【解析】由，可得，解得， . 故选：C. 知识点06 空集的理解 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【即学即练】下列表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确； 故选：D. 题型 01: 判断两个集合的包含关系 【典例1】（2026·高二·河北保定·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以． 【变式1-1】（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知， 所以与的关系为 【变式1-2】（2026·高二·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得, 显然仅表示奇数，而表示整数， 因此集合是集合的子集，即， 故选：B 【变式1-3】已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 题型 02: 判断子集 (真子集) 的个数 【典例2】（2026·高二·河南南阳·期末）集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【解析】因为， 所以集合有5个元素，故的非空子集个数是． 【变式2-1】（2026·四川绵阳·模拟预测）若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】因为集合共含有个元素， 因此A的子集个数为 【变式2-2】（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以的真子集个数为个 【变式2-3】（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】由已知， 其子集为，，，，，，，，共计8个. 题型 03: 求集合中子集 (真子集) 【典例3】已知集合满足，求集合及其个数． 【解析】当中含有两个元素时，为； 当中含有三个元素时，为； 当中含有四个元素时，为； 当中含有五个元素时，为； 所以满足条件的集合为， 集合的个数为8． 【变式3-1】（2026·高一·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【解析】由， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 【变式3-2】（2026·高一·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【解析】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）集合的所有子集为： . 【变式3-3】写出下列集合的子集和真子集，并观察“元素个数”与“子集个数”、“真子集个数”之间存在什么关系？ (1) (2) (3) 【解析】（1）子集：，共2个；真子集：共1个. （2）子集：，，，共4个；真子集：，，共3个. （3）子集：，，，，，，，共8个； 真子集：，，，，，，共7个. 元素个数为n，则子集个数为，真子集个数. 题型 04: 空集的概念及判断 【典例4】下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确. 【变式4-1】（2026·高一·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【解析】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 【变式4-2】（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 【变式4-3】（2026·高一·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 题型 05: 空集的性质及应用 【典例5】给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【答案】D 【解析】由于元素与集合之间用或表示，所以①错误，②正确， 由于，集合与集合之间用或等表示，所以③错误，④正确， 根据集合与集合的关系可得⑤，⑥均正确， 所以正确的是②④⑤⑥， 故选：D. 【变式5-1】（2026·高一·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 【变式5-2】（2026·高一·辽宁·阶段检测）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 【变式5-3】已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，二次方程无解，故，解得. 故选：D 题型 06: 判断两个集合是否相等 【典例6】（2026·高一·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 【变式6-1】（2026·高一·河北衡水·阶段检测）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，集合中只有一个元素，所以A错误， 对于B，集合的元素是点，所以B错误， 对于C，由，解得或， 所以，故C正确， 对于D，集合中有二个元素，，所以D错误， 故选：C. 【变式6-2】（2026·高一·北京·阶段检测）已知集合，则与集合M相等的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A，B是点集，不符合题意； 对于C：当为奇数时，当为偶数时，所以C等价于，不符合题意； 对于D：因为，由知可取，所以D等价于，符合题意. 故选：D. 【变式6-3】（2026·高一·安徽六安·阶段检测）下列各组中M，P表示相同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，与表示不同的点，则，二者不是同一集合； 对于B，是数集，是点集，二者不是同一集合； 对于C，集合表示大于或者等于的数，集合也表示大于或者等于的数， 则，二者是同一集合； 对于D，集合表示二次函数中取值的集合，为数集， 而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，为点集， 则，二者不是同一集合. 故选：C. 题型 07: 根据两集合相等求参数 【典例7】设，，其中，若，则________． 【答案】1 【解析】，由元素互异性得：，且． ，由元素互异性得：． 若集合中，则，此时，， 由得，所以，此时，符合要求； 若集合中，则，此时， ，这与矛盾，故这种情况不成立， 综上可知，，故． 【变式7-1】（2026·高一·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知集合，，若，则实数的值为______. 【答案】1 【解析】因为集合，， ， 所以或，解得. 所以实数的值为1. 故答案为：1 【变式7-2】（2026·高一·山东淄博·阶段检测）已知实数，集合，则__________． 【答案】2 【解析】因集合中有，故，则，即，， 此时两集合分别为=， 即可得，所以，． 故答案为：2． 【变式7-3】（2026·高一·陕西·阶段检测）若，则______． 【答案】/ 【解析】由元素的互异性可得，故，故， 故，则或. 当时，； 当时，，，符合题意. 所以． 故答案为： 题型 08: 根据集合包含关系求参数 【典例8】设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【解析】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 【变式8-1】已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【解析】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为或或. （4）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 【变式8-2】（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2026·高一必修第一册）设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【解析】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 【变式8-3】已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值范围为． （2）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值范围为． 1．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【解析】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. 2．（2026·湖南常德·一模）集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解析】由题意得：，解得，又， 所以，所以，所以， 所以集合的真子集的个数为. 3．（2026·高二·四川德阳·期末）含有个元素的集合的非空真子集的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据集合子集的计数性质，含有个元素的集合，其所有子集的总个数为， 非空真子集是指既不是空集，也不等于原集合， 因此需要从总子集数中排除空集、原集合共2个不符合要求的子集， 所以该集合的非空真子集个数为． 4．（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【解析】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 5．（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得，解得. 故选：D. 6．（2026·高二·湖南长沙·期中）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】解不等式，得，因为， 则集合，所以集合共有个子集. 1．（2026·高二·浙江衢州·期中）设集合，且，则实数的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为，所以或. 当时，，若，集合，不满足互异性，舍去； 若，此时集合，满足，符合条件. 当时，或， 若，集合，不满足互异性，舍去，同理，也舍去， 综上，. 2．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 3．（2026·高一·江苏连云港·期中）设集合，则集合的子集个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】C 【解析】，所以集合的子集个数是. 故选：C. 4．（2026·高一·重庆·期中）集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知， 由于，可得：. 故选：A 5．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵， ， 显然， 故选：B. 6．（多选题）（2026·高一·云南昭通·期中）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 【答案】AB 【解析】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，集合有两个子集，B正确； 对于C，若集合只有一个元素， 当时，，合乎题意， 当时，则有，解得， 故当中只有一个元素时，或，C错误； 对于D，当时，则关于的方程无实数解， 所以，解得， 故当时，，D错误. 故选：AB. 7．（多选题）（2026·高一·湖南长沙·期中）下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为集合是所有奇数构成的集合， 对于选项A，集合里有偶数，所以选项A的集合不是集合A的子集； 对于选项B，元素全是奇数，所以选项B的集合是集合A的子集； 对于选项C，表示所有奇数构成的集合，所以选项C的集合是集合A的子集； 对于选项D，表示所有4的倍数加1构成的集合，元素都是奇数，但不是所有奇数都在集合里， 所以D选项的集合是集合A的子集． 故选：BCD． 8．（多选题）（2026·高一·山东济宁·期中）已知集合，，若，则实数的所有可能取值为（ ） A．2 B． C． D．0 【答案】BCD 【解析】当时，不成立，，满足． 当时，， 当时，；当时，； 综上得，的所有可能取值为． 故选：． 9．已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】或 【解析】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是或. 10．（2026·高一·湖北荆州·阶段检测）已知，，若集合，则的值为______． 【答案】 【解析】由可知， ，，即， ， ，解得或， 当时，不符合元素的互异性，故舍去， 综上，，， 则． 故答案为． 11．已知，若，求的值 【解析】由，得，解得或. 所以， 当时，，满足； 当时，, 因为，所以或， 所以或. 综上所述，或或. 12．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，所以，得， 则，解得或， 所以. （2）由， 所以集合的子集为：，，，. （3）由，由集合的子集为：，，，. 当时，即，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上：实数的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $