1.1.1集合及其表示方法讲义 -2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

1.1.1集合及其表示方法 一、知识点 1.元素与集合的概念 1）集合：把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象组成的集合（有时简称为集），通常用英文大写字母，，，表示； 2）元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母，，，表示. 2.元素与集合的关系 1）属于：如果是集合中的元素，就说属于集合，记作； 2）不属于：如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作. 说明：还是取决于元素是否是集合中的元素，这两种情况中必有且只有一种成立. 3.集合中元素的特性 1）确定性：集合的元素必须是确定的； 2）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的； 3）无序性：集合中的元素是没有先后顺序的. 4.集合的表示方法 1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法； 2）列举法：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），并用写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法； 说明：集合中的元素用“，”即逗号隔开；“”代表所有、全部等含义. 3）描述法：一般地，如果属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有这个性质，则性质称为集合的一个特征性质.此时，集合可以用它的特征性质表示为.这种表示集合的方法称为特征性质描述法，简称为描述法. 4）韦恩图法：画一条封闭的曲线，用它的内部表示集合. 例：集合用韦恩图法的表示如图所示. 5）区间法与数轴法 在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间的概念． 1）一般区间的表示：设，是两个实数，而且，我们规定：这里的实数，叫做区间的端点； 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2）实数集可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． 3）特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 5.几种常见的数集 数集 非负整数集（自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 6.集合的分类 1）有限集：含有有限个元素的集合； 无限集：含有无限个元素的集合. 2）空集：不含任何元素的集合，记作. 二、题型训练 1.集合的含义与元素的特征 例1.[山东济南2026高一期中]下列各组对象中，能构成集合的是（ ） A.班级里成绩好的同学 B.喜欢运动的同学 C.小于的正整数 D的所有近似值 【答案】C 【解析】 对于A，成绩好没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的，故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意；对于B，喜欢运动没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的，故喜欢运动的人不能构成集合，故B不符合题意；对于C，小于的正整数是确定的，故小于的正整数能构成集合，故C符合题意；对于D，的所有近似值，根据近似值的标准不一样，得到的近似值不一样，因此对象不能确定，故不能构成集合，故D不符合题意；故选C. 例2.“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是_________. 【答案】 【解析】 根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共个，故该集合中的元素个数是. 故答案为：. 例3.[河北保定2026高一月考]若，则实数的取值集合为_______. 【答案】 因为，当时，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当，即时，解得或或（舍去）， 当时，符合要求；当时，，符合要求； 故实数的取值集合为. 例4.非零实数，构成的数能组成的集合是________________. 【答案】 【解析】当，时，，， 当，时，，， 当，时，，， 当，时，，， 由元素的互异性可知数能组成的集合是， 故答案为：. 练习： 1.[湖南部分学校2025高一联考]集合中的三个元素表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（ ） A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 【答案】A 【解析】 根据集合中元素的互异性得，，，，故这三角形一定不是等腰三角形.故选A. 2.由实数，，，，，所组成的集合，最多可含有的元素的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 由题意可知，，，可分别化为，，，所以由实数，，，，，所组成的集合，最多可含有个元素，分别为，，，此时，且，故选B. 3.下列说法正确的是（ ） A.某校爱好足球的同学组成一个集合 B.是不大于的自然数组成的集合 C.集合和表示同一集合 D.， ，，，，，组成的集合有个元素 【答案】C 【解析】 选项A，不满足确定性，故错误；选项B，不大于的自然数组成的集合是，故错误；选项C，满足集合中元素的互异性、无序性和确定性，故正确；选项D，， ，，，，，组成的集合有个元素，故错误；故选C. 4.下列四组对象，能构成集合的是（ ） A.某班所有高个子的学生 B.著名的艺术家 C.一切很大的书 D.倒数等于它自身的实数 【答案】D 【解析】 某班所有高个子的学生，因为高个子学生不确定，所以不满足集合的确定性；著名的艺术家，因为著名的艺术家不确定，所以不满足集合的确定性；一切很大的书，因为很大的书不能确定，所以不满足集合的确定性；因为倒数等于它自身的实数为与，所以满足集合的定义，故选正确，故选D. 5.以方程和方程的根为元素的集合中共有_______元素. 【答案】 【解析】 方程的根是，，方程的根是，，根据集合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中共有个元素. 6.由，，，构成的集合中，元素个数最多是______. 【答案】 【解析】 当时，，此时元素个数为； 当时，， 所以一定与或中的一个一致，此时元素个数为. 所以由，，，构成的集合中，元素个数最多是个. 故答案为： . 7.（多选）设，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（　　） A. B. C. D. 以上都不正确 【答案】ABC 【解析】 因为，，为非零实数， 当，，时，； 当，，中有一个小于时，不妨设，，，此时； 当，，中有一个大于时，不妨设，，，此时； 当，，时，， 所以集合，结合选项A、B、C正确. 故选：ABC. 2.元素与集合的关系 例5.用符号“”和“”填空. （1）设集合是正整数集合，则_______，_______，_______； （2）设集合是由满足（其中为正整数）的实数组成的，则_______，_______； （3）设集合是由满足的有序实数对组成的，则_______，_______； （4）设集合由可表示为的实数构成，则_______，_______，_______. 【答案】（1），，；（2），；（3），；（4），，. 【解析】 例6.已知集合含有两个元素和，若，则实数的值为________． 【答案】或 【解析】 因为，所以或，即或. 故答案为：或. 例7.已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若集合中仅含有一个元素，求实数的值； （3）若集合中仅含有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）. 【解析】 （1），，； （2）当时，，符合题意； 当时，，． 综上，或； （3）集合中含有两个元素，即关于的方程有两个不相等的实数解， ，且， 解得且， 实数的取值范围为． 例8.（多选）已知是同时满足下列条件的集合：①，；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（   ） A. B. C.若，则 D.若，则 【答案】ACD 【解析】 （1）由①，，则由②，，，由③得，故A正确； （2）由（1）可知，故B错误； （3）由①知，，，，， 即，故C正确； （4），则，由③可得，，，，即，； 由（3）可知当，，， 当，可得，， 故D正确； 故答案为：ACD 练习： 1.已知集合中含有两个元素和． （1）若是集合中的元素，试求实数的值； （2）能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）不能，理由见解析 【解析】 （1）因为是集合中的元素， 所以或． 若，则， 此时集合含有两个元素，，符合要求； 若，则， 此时集合中含有两个元素，，符合要求． 综上所述，满足题意的实数的值为或． （2）不能．理由如下： 若为集合中的元素，则或． 当时，解得，此时，显然不满足集合中元素的互异性； 当时，解得，此时显然不满足集合中元素的互异性． 综上，不能为集合中的元素． 2.记方程的解构成的集合为，若，试写出集合中的所有元素． 【答案】， 【解析】 因为，所以，解得． 解方程，即，得或． 故含有两个元素，. 3.集合是含有两个不同实数，的集合，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】 根据题意可知中有两个元素，由集合中元素的互异性，可得，所以. 即实数的取值范围为，. 4.若由，组成的集合中有两个元素，则的取值可以是(　　) A. B. C. D. 或 【答案】 C 【解析】 若集合中有两个元素，则.即且. 5.已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数. （1）若是空集，求的范围； （2）若是单元素集合，求的范围： （3）若中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）或；（3）或 【解析】 （1）若是空集，则方程无解， 当时，方程有解，不符合题意； 当时，，得. 综上所述：. （2）若是单元素集合，则方程有唯一实根， 当时，方程有唯一解，符合题意； 当时，，得. 综上所述：或. （3）若中至多有一个元素，则方程至多有一个解， 当方程无解时，由（1）知，； 方程有唯一实根时，由（2）知，或. 综上所述：或. 6.[辽宁大连2026高一期中]已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 对于A选项，若，则，可得，所以，A错误；对于B选项，，B错误；对于C选项，，C正确；对于D选项，，D错误；故选C. 7.已知集合，若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 因为，所以，解得，所以实数的取值范围是. 8.[北京人大附中2026高一月考]已知集合. （1）若，求实数的值； （2）若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）因为，所以，解得； （2）①当时，方程为，解得，此时集合中只有一个元素，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解，即，解得且； 综上所述，实数的取值范围为. 9.[辽宁部分校2026高一联考]已知集合，且，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 集合，且，所以或，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，符合题意， 故的值可以为，，故选ABD. 10.已知集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合. 【答案】答案见解析 【解析】 根据集合中元素的互异性知，当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 由， 当时，可得，不符合题意； 当时，即时，可得，符合题意； 当且时，此时，可得，解得， 此时，符合题意， 综上可得，实数的值为或. 当时，；当时，. 11.已知方程． （1）若方程的解集为，求实数，满足的关系式； （2）若方程的解集有两个元素分别为，，求实数，的值. 【答案】（1）；（2），. 【解析】 （1）若方程的解集为，则方程无实数解， 所以，即实数，满足， （2）由题意可知，是方程的两根， 由韦达定理有，即，. 12.已知集合， （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）由题意，集合，则方程无实数根， 则，解得， 所以当是空集，的取值范围为； （2）由题意，集合中至多只有一个元素，则或中只有一个元素， ①当时，由（1）得； ②当中只有一个元素时， 当时，可得，则适合题意； 当时，则，即； 综上，若中至多只有一个元素，的取值范围为． 13.设是实数集，满足若，则，，且. （1）若，则集合中至少还有几个元素?求出这几个元素. （2）集合中能否只含有一个元素?请说明理由. 【答案】（1）至少还有两个元素和；（2）不能，理由见解析 【解析】 （1），，，， 因此中至少还有两个元素：和； （2）不能.用反证法证明： 如果集合中只含有一个元素，则，整理得，该方程无实数解，故在实数范围内，集合中不可能只含有一个元素. 3.集合的分类 例9.下列四个说法： ①是空集； ②若，则； ③集合中有两个元素； ④集合是有限集. 其中正确说法的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 中只有一个元素，不是空集，①不正确；当时不成立，②不正确；有两个相等的实数根，因此集合中只有一个元素，③不正确；集合是有限集，④正确.故选B. 练习： 1.下列四个集合中，是空集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ，，方程无解，，故选D. 2.（多选）下列集合是无限集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 对于A，能被整除的数有无数个，所以为无限集； 对于B，满足的实数有无数个，所以集合为无限集； 对于C，该集合可表示为，为有限集； 对于D，面积为的菱形有无数个，所以为无限集. 故选：ABD. 4.集合的表示方法 例10.试用列举法表示下列集合： （1）不大于的非负偶数组成的集合； （2）方程的所有实数解组成的集合； （3）直线与轴的交点所组成的集合； （4）由所有正整数构成的集合． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】 （1）因为不大于是指小于或等于，非负是大于或等于的意思，所以不大于的非负偶数集是； （2）方程的解是或，所以方程的解组成的集合为； （3）将代入，得，即交点是，故交点组成的集合是； （4）正整数有，，，，所求集合为． 例11.试用描述法表示下列集合： （1）正偶数集； （2）被除余的正整数集合； （3）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 （1）偶数可用式子，表示，但此题要求为正偶数，故限定，所以正偶数集可表示为； （2）设被除余的数为，则，，但元素为正整数，故，所以被除余的正整数集合可表示为； （3）坐标轴上的点的特点是横、纵坐标中至少有一个为，即，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为. 例12.用适当的方法表示下列集合． （1）方程组的解集； （2）由所有小于的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； （3）方程的实数根组成的集合； （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合； （5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】（1）或；（2）；（3）或；（4）；（5）. 【解析】 （1）解方程组，得，故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为； （2）小于的既是奇数又是质数的自然数有个，分别为，，，，故可用列举法表示为； （3）方程的实数根为，因此可用列举法表示为，也可用描述法表示为； （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对，其中，满足， 由于点有无数个，则用描述法表示为； （5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为，是实数，故可用描述法表示为． 练习： 1.（多选）方程组的解集可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 方程组的解为， 方程组的解集中只有一个元素，且此元素是有序数对， 、、均符合题意． 故选：ABD． 2.（多选）给出下列说法，其中正确的是（ ） A.集合用列举法表示为 B.实数集可以表示为或 C.方程组的解组成的集合为 D.方程的所有解组成的集合为 【答案】AD 【解析】 对于A，解，得或或，而，因此用列举法表示为，A正确； 对于B，符号“”包含“所有”“全体”等含义，而“”已表示所有的实数构成的集合，则实数集可表示为或，B不正确； 对于C，方程组的解是有序实数对，而表示两个等式组成的集合，C不正确； 对于D，由得且，因此方程的所有解组成的集合为，D正确，故选AD. 3.用列举法表示集合的结果为________. 【答案】 【解析】 由可知为的约数，所以，，，.又，所以，，，，此时，，，，因此集合用列举法表示为. 5.区间及其表示 例13.试用区间表示下列的集合：                     【答案】；；；； 【解析】 略 例14.已知区间关于原点对称，求的值，并写出该区间. 【答案】， 【解析】 由已知得，，，即该区间为. 练习： 1.区间对应的不等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 根据区间的意义可知区间对应的不等式是，故选A. 2.（多选）下列集合写成区间形式后可以含有“”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 根据集合与区间的关系可知，只有选项A，C中的集合写成区间的形式后含有“” 3.在数轴上集合与集合的公共部分用区间表示为________. 【答案】 【解析】 集合表示为，而集合表示为，因此在数轴上其公共部分的集合为，用区间表示为. 4.若区间的长度不超过，则实数的取值范围用区间表示为_______. 【答案】 【解析】 由题意可知，所以，即实数的取值范围是. 6.集合的新定义 例15.（多选）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（     ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 根据“影子关系”集合的定义， 可知，，为“影子关系”集合， 由，得，当时，，故不是“影子关系”集合． 故选：ABD 练习： 1.设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有（除数），则称是一个数域，则下列集合为数域的是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，，故不是数域，A选项错误，同理B选项错误； 任意，都有（除数），故是一个数域，C选项正确； 对于集合，，，故不是数域，D选项错误. 故选：C 2.对于任意两个正整数，，定义运算如下： ①当，奇偶性相同时，； ②当，奇偶性不同时，． 若集合，则的元素个数为__________． 【答案】 【解析】 因为， 当、都是正偶数时，则集合中含有，，，，共个元素； 当、都是正奇数时，则集合中含有，，，，，共个元素； 当、一个为正偶数，一个为正奇数，则集合中含有，，，共个元素； 所以的元素共有个. 故答案为：. 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1集合及其表示方法 一、知识点 1.元素与集合的概念 1）集合：把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象组成的集合（有时简称为集），通常用英文大写字母，，，表示； 2）元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母，，，表示. 2.元素与集合的关系 1）属于：如果是集合中的元素，就说属于集合，记作； 2）不属于：如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作. 说明：还是取决于元素是否是集合中的元素，这两种情况中必有且只有一种成立. 3.集合中元素的特性 1）确定性：集合的元素必须是确定的； 2）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的； 3）无序性：集合中的元素是没有先后顺序的. 4.集合的表示方法 1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法； 2）列举法：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），并用写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法； 说明：集合中的元素用“，”即逗号隔开；“”代表所有、全部等含义. 3）描述法：一般地，如果属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有这个性质，则性质称为集合的一个特征性质.此时，集合可以用它的特征性质表示为.这种表示集合的方法称为特征性质描述法，简称为描述法. 4）韦恩图法：画一条封闭的曲线，用它的内部表示集合. 例：集合用韦恩图法的表示如图所示. 5）区间法与数轴法 在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间的概念． 1）一般区间的表示：设，是两个实数，而且，我们规定：这里的实数，叫做区间的端点； 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2）实数集可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． 3）特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 5.几种常见的数集 数集 非负整数集（自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 6.集合的分类 1）有限集：含有有限个元素的集合； 无限集：含有无限个元素的集合. 2）空集：不含任何元素的集合，记作. 二、题型训练 1.集合的含义与元素的特征 例1.[山东济南2026高一期中]下列各组对象中，能构成集合的是（ ） A.班级里成绩好的同学 B.喜欢运动的同学 C.小于的正整数 D的所有近似值 例2.“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是________. 例3.[河北保定2026高一月考]若，则实数的取值集合为_______. 例4.非零实数，构成的数能组成的集合是________________. 练习： 1.[湖南部分学校2025高一联考]集合中的三个元素表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（ ） A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 2.由实数，，，，，所组成的集合，最多可含有的元素的个数为（ ） A. B. C. D. 3.下列说法正确的是（ ） A.某校爱好足球的同学组成一个集合 B.是不大于的自然数组成的集合 C.集合和表示同一集合 D.， ，，，，，组成的集合有个元素 4.下列四组对象，能构成集合的是（ ） A.某班所有高个子的学生 B.著名的艺术家 C.一切很大的书 D.倒数等于它自身的实数 5.以方程和方程的根为元素的集合中共有_______元素. 6.由，，，构成的集合中，元素个数最多是______. 7.（多选）设，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（　　） A. B. C. D. 以上都不正确 2.元素与集合的关系 例5.用符号“”和“”填空. （1）设集合是正整数集合，则_______，_______，_______； （2）设集合是由满足（其中为正整数）的实数组成的，则_______，_______； （3）设集合是由满足的有序实数对组成的，则_______，_______； （4）设集合由可表示为的实数构成，则_______，_______，_______. 例6.已知集合含有两个元素和，若，则实数的值为________． 例7.已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若集合中仅含有一个元素，求实数的值； （3）若集合中仅含有两个元素，求实数的取值范围． 例8.（多选）已知是同时满足下列条件的集合：①，；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（   ） A. B. C.若，则 D.若，则 练习： 1.已知集合中含有两个元素和． （1）若是集合中的元素，试求实数的值； （2）能否为集合中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由． 2.记方程的解构成的集合为，若，试写出集合中的所有元素． 3.集合是含有两个不同实数，的集合，求实数的取值范围． 4.若由，组成的集合中有两个元素，则的取值可以是(　　) A. B. C. D. 或 5.已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数. （1）若是空集，求的范围； （2）若是单元素集合，求的范围： （3）若中至多有一个元素，求的取值范围. 6.[辽宁大连2026高一期中]已知集合，则（ ） A. B. C. D. 7.已知集合，若，则实数的取值范围是________. 8.[辽宁部分校2026高一联考]已知集合，且，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 9.已知集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合. 10.已知方程． （1）若方程的解集为，求实数，满足的关系式； （2）若方程的解集有两个元素分别为，，求实数，的值. 11.已知集合， （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围． 12.设是实数集，满足若，则，，且. （1）若，则集合中至少还有几个元素?求出这几个元素. （2）集合中能否只含有一个元素?请说明理由. 3.集合的分类 例9.下列四个说法： ①是空集； ②若，则； ③集合中有两个元素； ④集合是有限集. 其中正确说法的个数是（ ） A. B. C. D. 练习： 1.下列四个集合中，是空集的是（ ） A. B. C. D. 2.（多选）下列集合是无限集的是（ ） A. B. C. D. 4.集合的表示方法 例10.试用列举法表示下列集合： （1）不大于的非负偶数组成的集合； （2）方程的所有实数解组成的集合； （3）直线与轴的交点所组成的集合； （4）由所有正整数构成的集合． 例11. 试用描述法表示下列集合： （1）正偶数集； （2）被除余的正整数集合； （3）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 例12.用适当的方法表示下列集合． （1）方程组的解集； （2）由所有小于的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； （3）方程的实数根组成的集合； （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合； （5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 练习： 1.（多选）方程组的解集可表示为（　　） A. B. C. D. 2.（多选）给出下列说法，其中正确的是（ ） A.集合用列举法表示为 B.实数集可以表示为或 C.方程组的解组成的集合为 D.方程的所有解组成的集合为 3.用列举法表示集合的结果为________. 5.区间及其表示 例13. 试用区间表示下列的集合：                     例14.已知区间关于原点对称，求的值，并写出该区间. 练习： 1.区间对应的不等式是（ ） A. B. C. D. 2.（多选）下列集合写成区间形式后可以含有“”的有（ ） A. B. C. D. 3.在数轴上集合与集合的公共部分用区间表示为________. 4.若区间的长度不超过，则实数的取值范围用区间表示为_______. 6.集合的新定义 例15.（多选）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（     ） A. B. C. D. 练习： 1.设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有（除数），则称是一个数域，则下列集合为数域的是（     ） A. B. C. D. 2.对于任意两个正整数，，定义运算如下： ①当，奇偶性相同时，； ②当，奇偶性不同时，． 若集合，则的元素个数为__________． 8 学科网（北京）股份有限公司 $