1.1.2 集合的基本关系 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的基本关系，核心涵盖子集、真子集、集合相等概念及维恩图应用。通过A={1,2}与B={1,2,3,4}的实例导入，衔接元素与集合的从属关系，引出集合间的包含关系，搭建新旧知识的学习支架。 此资料亮点在于以具体实例归纳抽象概念，培养数学眼光，通过维恩图动态演示增强几何直观。探究子集个数规律时，引导学生经历列举、猜想、验证，发展数学思维中的推理意识。符号规范教学强化数学语言的精确表达，助力学生提升抽象能力与逻辑推理，为教师提供清晰的重难点指导和可操作的教学流程。

必修第一册 1.1.2 集合的基本关系 人教B版 高一 数学 教学设计-2026-2027学年 一、教材分析 本节是人教B版必修第一册第一章1.1集合的第二课时，在学生已掌握集合概念及元素与集合关系的基础上，进一步研究集合与集合之间的基本关系。子集与真子集是刻画集合间关系的核心概念，也是后续学习集合运算的逻辑前提。教材从实例出发归纳子集定义，继而引出真子集、集合相等与维恩图，并安排探索子集个数规律，体现了从具体到抽象的认知路径。 教材原文口径表述：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。因为空集不包含任何元素，所以我们规定：空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A。一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A⊊B（或B⊋A）。如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图。由集合相等以及子集的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A=B；如果A=B，则A⊆B且B⊆A。由上可以看出，当A是B的子集时，要么A是B的真子集，要么A与B相等。 二、学情分析 高一学生已初步建立集合与元素的概念，能判断一个对象是否为某集合的元素，但对集合整体之间的关系尚缺乏系统认知。学生容易混淆元素与集合的从属关系（∈）与集合间的包含关系（⊆），尤其对“空集是任意集合的子集”这一规定缺乏直观理解。在子集个数规律的探究中，学生具备从n=1到n=3归纳猜想的能力，但严谨证明的意识较弱。教学宜借助维恩图的直观性和具体数字集合的列举，帮助学生完成从感性到理性的过渡。 三、教学目标 1. 理解子集、真子集的概念，掌握符号A⊆B与A⊊B的含义及写法，能正确读出包含关系。 2. 掌握集合相等的判定方法，理解A⊆B且B⊆A与A=B的等价性。 3. 了解维恩图的含义，能用维恩图形象地表示集合间的包含与相等关系。 4. 掌握空集是任意集合子集的规定，以及任意集合是自身子集的结论。 5. 理解包含关系的传递性，能进行简单的子集关系推理。 6. 能区分∈与⊆的不同含义，在具体问题中正确选用。 7. 能写出含有有限个元素的集合的全部子集，归纳并应用子集个数规律。 8. 通过实例观察与归纳，提升从具体情境中抽象数学概念的能力。 9. 在子集个数规律的探索中，经历列举、猜想、验证的过程，培养合情推理的素养。 10. 通过集合关系的学习，体会数学符号的精确性与简洁性，养成严谨表述的科学态度。 四、教学重难点 重点：子集、真子集的概念与符号表示，集合相等的判定方法。 难点：∈与⊆的区别，空集是任何集合的子集这一规定的理解，子集计数规律的归纳与应用。 五、教学准备 教师准备多媒体课件，包含维恩图动态演示素材和子集个数规律的数据表格。学生准备好课本和练习本，复习上节课集合的概念与元素与集合的关系，预习本节内容。 六、教学过程 1. 情境导入。教师给出两个集合：A={1,2}，B={1,2,3,4}，提问：集合A的每一个元素是否都在集合B中？预设学生回答：是。教师追问：这与之前学过的1∈B有何不同？预设学生回答：1是元素，A是集合，这里讨论的是两个集合之间的关系。教师指出：元素与集合之间是“属于”关系，集合与集合之间是“包含”关系，本节课就来研究集合间的基本关系。 2. 新授探究。 （1）子集概念的建立。教师给出定义：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。教师板书符号并强调“任意一个”的含义。提问：若A={1,2}，B={1,2,3}，A⊆B是否成立？预设学生回答：成立，因为1∈B且2∈B。教师再问：若A={1,2,5}，A⊆B是否成立？预设学生回答：不成立，因为5∉B。教师指出A不是B的子集记作A⊈B。 （2）规定与结论。教师提问：任意一个集合A是否是它自身的子集？预设学生回答：是，因为A的任意一个元素当然在A中，即A⊆A。教师继续引导：空集∅不包含任何元素，它是否是某集合的子集？教师给出规定：空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A。教师解释：从逻辑上讲，“A的任意一个元素都是B的元素”这一命题在A为空集时自动成立，因为空集中不存在不满足条件的元素。 （3）真子集与集合相等。教师给出定义：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A⊊B（或B⊋A）。以A={1,2}，B={1,2,3}为例，A⊆B且3∈B但3∉A，故A⊊B。教师指出由集合相等以及子集的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A=B；如果A=B，则A⊆B且B⊆A。当A是B的子集时，要么A是B的真子集，要么A与B相等。 （4）维恩图。教师介绍：如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图。教师画出B的封闭曲线，将A的封闭曲线画在B的内部，直观展示A⊊B。 （5）传递性。教师提问：若A⊆B且B⊆C，能否推出A⊆C？预设学生回答：能。教师说明包含关系具有传递性：A⊆B且B⊆C，则A⊆C；同理A⊊B且B⊊C，则A⊊C。 3. 例题精讲。 例1. 判断下列关系是否正确，并说明理由。 （1）2⊆{1,2,3}；（2）{2}⊆{1,2,3}；（3）∅⊆{1,2,3}；（4）{1,2,3}⊆{1,2,3}。 解析：（1）2是元素，{1,2,3}是集合，元素与集合之间只能用∈，故2∈{1,2,3}正确，2⊆{1,2,3}错误。（2）{2}的元素2在{1,2,3}中，故{2}⊆{1,2,3}正确。（3）空集是任意集合的子集，故∅⊆{1,2,3}正确。（4）任意集合是自身的子集，故{1,2,3}⊆{1,2,3}正确。 答案：（1）错误；（2）正确；（3）正确；（4）正确。 3. 巩固练习1 1. 设A={x|x是矩形}，B={x|x是平行四边形}，判断A与B的关系。 解析：矩形一定是平行四边形，故A的任意元素都是B的元素，但B中存在非矩形的平行四边形（如一般的菱形），所以A⊊B。答案：A⊊B。 2. 写出集合{a,b}的所有子集，并指出其中真子集。 解析：子集有∅，{a}，{b}，{a,b}，共4个。其中真子集为∅，{a}，{b}，共3个（{a,b}是自身，不是真子集）。答案：子集为∅，{a}，{b}，{a,b}；真子集为∅，{a}，{b}。 3. 已知A={1,2}，B={1,2,{1,2}}，判断下列各式是否正确：①1∈A；②1⊆B；③A∈B；④A⊆B。 解析：①1是A的元素，1∈A正确。②1是元素，B是集合，应用∈，1∈B正确，1⊆B错误。③B中含有元素{1,2}，即A本身是B的一个元素，故A∈B正确。④A的元素1∈B，2∈B，故A⊆B正确。答案：①正确；②错误；③正确；④正确。 4. 探索与研究：填写下表，归纳子集个数规律。 集合 元素个数n 子集个数 ∅ 0 1 {a} 1 2 {a,b} 2 4 {a,b,c} 3 8 解析与答案：当n=0时子集个数为1=，当n=1时为2=，当n=2时为4=，当n=3时为8=。归纳可知：含有n个元素的集合的子集个数为，真子集个数为−1。 七、板书设计（主版面） 左板 右板 一、子集定义：A⊆B 二、真子集定义：A⊊B 三、规定：∅⊆A；A⊆A 四、集合相等：A⊆B且B⊆A⇔A=B 五、传递性：A⊆B且B⊆C⇒A⊆C 例1判断与解析 巩固练习要点 子集个数规律：个 真子集个数：−1个 八、作业设计 基础层。 1. 判断下列各式的正误。（1）0⊆{0}；（2）∅⊊{0}；（3）{0}⊆{0,1}。 答案：（1）错误，0是元素应用∈，应为0∈{0}；（2）正确，空集是任何非空集合的真子集；（3）正确，{0}的元素0∈{0,1}。 2. 写出集合{1,2,3}的所有子集。 答案：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共8个。 提高层。 3. 已知集合A={x|x²−3x+2=0}，B={1,2}，判断A与B的关系。 答案：x²−3x+2=0即(x−1)(x−2)=0，解得x=1或x=2，故A={1,2}=B，所以A⊆B且B⊆A，即A=B。 4. 若集合A有4个元素，求A的子集个数与真子集个数。 答案：子集个数为=16个，真子集个数为16−1=15个。 拓展层。 5. 已知A={1,2}，B={x|x⊆A}，判断A∈B与A⊆B是否都成立，并说明理由。 答案：B的元素是A的所有子集，即B={∅,{1},{2},{1,2}}。因为A={1,2}是B的一个元素，所以A∈B成立。又A的元素1∈B不成立（1不是B的元素），所以A⊆B不成立。综上，A∈B成立，A⊆B不成立。 九、教学反思与评价建议 本节通过实例引入子集概念，借助维恩图直观呈现包含关系，学生对子集与真子集的定义掌握较好。在∈与⊆的辨析环节，部分学生仍存在符号混淆，后续应增加对比练习。空集是任意集合子集的规定，学生通过逻辑解释理解了其合理性。子集个数规律的探究环节，学生能从n=0到n=3的数据归纳出的结论，建议在后续练习中加强真子集与子集个数差1的巩固。整体教学节奏适中，建议在传递性推理处适当增加变式训练以深化理解。 学科网（北京）股份有限公司 $