第1章一元二次方程复习 单元试卷 2026-2027学年青岛版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级《一元二次方程》复习单元卷，通过文化传承（赵爽几何法、周瑜年龄诗词改编）、社会热点（流感传播）及跨学科（物理运动项目式学习）情境，覆盖定义、解法、根与系数关系等核心知识，适配单元复习，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|定义、系数、根的应用|结合赵爽几何法考方程思想，体现数学眼光| |填空题|5/15|根的判别式、整体代入|改编周瑜年龄诗词，渗透文化传承| |解答题|6/52|解方程、实际建模、新定义|项目式学习融合物理运动数据，创新考查模型意识；“整根方程”新定义题，发展推理能力|

· 2026-2027学年青岛版第一学期九年级《一元二次方程》复习单元试卷 一、单选题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　D　） A． B． C． D． 2．一元二次方程的一次项系数为（  B  ） A． B． C．2 D． 3．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（  A ）． A． B． C． D． 4．一元二次方程的两根为，，则下列结论正确的是（  C ） A． B． C． D． 5．用配方法解方程，下列配方正确的是（ C   ） A． B． C． D． 6．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（   C ） A． B． C． D． 7．在元旦庆祝活动中，小组内的同学互赠新年贺卡，某小组共送贺卡56张，问该小组共有多少人？设该小组共有x个人，则可列方程为（ A  ） A． B． C． D． 8．如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（ B  ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 9．已知，则的值是（  D  ） A．4 B．8 C．12 D．16 10．我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（ B   ） A．6 B．4 C．2 D．1 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_______． 12．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___-1___． 13．如关于x的方程的一个根是，则另一个根是___3____． 14．若a是一元二次方程的一个根，则的值是__7__． 15．小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》，改编后的大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程________． 三、解答题（本大题有6小题，共52分） 16.解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． （1）解：对于方程， 两边同时除以得， 开平方得， 解得，． （2）解：对于方程， 可得，，， ∴， ∴， 解得，． （3）解： ∴， 因式分解得， 可得或， 解得，． 17．关于的方程． (1)求证：不论为何实数，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值． （1）证明：∵， ∴原方程总有两个实数根； （2） 解：∵该方程的一个根为， ∴， 解得． 18．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的多少人？ 解：设每个人传染人，根据题意列方程得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：每轮每人传染的7人． 19． 已知关于的一元二次方程，其中分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； 答：为直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根 ． 为直角三角形 20．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． （1）解：设当羊圈的宽为，则羊圈的长为， 根据题意，得， 化简，得， 解得或20， 当时，，不合题意，舍去； 当时，； 答：当羊圈的长和宽分别为，时，能围成一个面积为的羊圈； (2)解：羊圈的面积不能达到．理由如下： 令， 化简，得， ， 方程没有实数根， 羊圈的面积不能达到． 21．【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 ．．． 运动速度 10 9 8 7 6 5 ．．． 滑行距离 0 19 36 51 64 75 ．．． 任务二：数据分析 观察分析发现，小球运动速度（单位：）与小球运动时间（单位：）满足关系式．小球滑行距离（单位：）与运动时间（单位：）满足关系式； （1）填空：___________，___________，___________． 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； （3）当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，问小球会不会撞上小车？并说明原因． 解：（1）当时，； 把代入得， 解得：， 则； 时，，时，， ， 解得， 则， 故答案为：； (2)由，当时，， 解得． 把代入， 得． （3） 小球滑行距离，小车行驶距离． 若小球能撞上小车， 则， 整理得， ， ∴方程无解， 故小球不会撞上小车． 22．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“整根方程”，代数式的值为该“整根方程”的“特征值”，用表示，若另一个一元二次方程也为“整根方程”，其“特征值”记为．当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“整根关联方程”． (1)“整根方程”的“特征值”是 ； (2)若（1）中的方程是一元二次方程的“整根关联方程”，求q的值； (3)若一元二次方程是（m，n均为正整数）的“整根关联方程”，求的值． （1）解：在关于的一元二次方程中， ， ∴“整根方程”的“特征值”是． 故答案为：． （2） 解：∵关于的一元二次方程是关于的一元二次方程的“整根关联方程”， ， ， 解得：； （3） 解：对于方程， ， 对于方程， ， ∵方程是方程的“整根关联方程”， ， a， ， ， ， ， ， 或， ∵、均为正整数， ∴不符合题意， ， ， 故的值为 2 ． 试卷第6页，共8页 试卷第3页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级《一元二次方程》复习单元试卷 （考试时间：60分钟；满分100分） 班级:___________姓名：___________座号：___________成绩：___________ 一、单选题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　） A． B． C． D． 2．一元二次方程的一次项系数为（    ） A． B． C．2 D． 3．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ）． A． B． C． D． 4．一元二次方程的两根为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 6．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 7．在元旦庆祝活动中，小组内的同学互赠新年贺卡，某小组共送贺卡56张，问该小组共有多少人？设该小组共有x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 9．已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 10．我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是__________． 12．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为______． 13．如关于x的方程的一个根是，则另一个根是________． 14．若a是一元二次方程的一个根，则的值是_____． 15．小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》，改编后的大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程___________． 三、解答题（本大题有6小题，共52分） 16.（6分）解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 17．（6分）关于的方程． (1)求证：不论为何实数，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值． 18．（8分）2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的多少人？ 19．（8分）已知关于的一元二次方程，其中分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； 20．（8分）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21．（9分）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 ．．． 运动速度 10 9 8 7 6 5 ．．． 滑行距离 0 19 36 51 64 75 ．．． 任务二：数据分析 观察分析发现，小球运动速度（单位：）与小球运动时间（单位：）满足关系式．小球滑行距离（单位：）与运动时间（单位：）满足关系式； （1）填空：___________，___________，___________． 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； （3）当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，问小球会不会撞上小车？并说明原因． 22．（10分）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“整根方程”，代数式的值为该“整根方程”的“特征值”，用表示，若另一个一元二次方程也为“整根方程”，其“特征值”记为．当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“整根关联方程”． (1)“整根方程”的“特征值”是 ； (2)若（1）中的方程是一元二次方程的“整根关联方程”，求q的值； (3)若一元二次方程是（m，n均为正整数）的“整根关联方程”，求的值． 试卷第2页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $