第1章 一元二次方程 单元卷 2026-2027学年青岛版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程全章核心，通过基础辨析、解法实践与实际应用，培养抽象能力、运算能力及模型意识，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、解法、根的判别式、应用|表格数据判根范围（几何直观）、新定义运算（推理意识）| |填空题|6/18|一般形式、根与系数、判别式|公式法逆用（抽象能力）、通道宽度计算（模型意识）| |解答题|8/72|解法综合、几何应用、实际问题|等腰三角形边长求解（运算能力）、动点面积问题（应用意识）|

第1章 一元二次方程（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程是一元二次方程的是（   ） A．（a、b、c为常数） B． C． D． 2、关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．5，，1 B．5，2， C．，2，1 D．，， 3、根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 4、用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5、解方程最适当的方法是（    ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 6、某种商品经过两次大的降价后，售价仅为原售价的49%，则平均每次的降价率为（　　） A. 30% B. 40% C. 50% D. 51% 7、新定义运算：，则方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 8、已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 9、如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边上留一个2米宽的门（建在处，门用其他材料）．设的长为米，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 10、已知一元二次方程中，下列说法：①若，则； ②若方程两根为和2，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、方程，化成一般形式是 ． 12、用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 13、关于的方程有一个根是，则另一个根是_______． 14、一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 15、已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是_________． 16、一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地米，米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 米． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题9分，18题12分，19-21，每题8分, 22-24，每题9分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 18、解方程： （1）（用配方法） （2）（用因式分解法） （3）（公式法） 19、若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围． 20、有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程的两根，求k的值. 21、为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加“人文之旅”泰山两日旅游行活动，所联系的旅行社收费标准如下：活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？ 22、设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+x+c-a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为x=0. （1）试判断△ABC的形状； （2）若a，b为方程x2+mx-3m=0的两个根，求m的值. 23、如图，用长为米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度米），设花圃的一边长为米． (1)如果所围成的花圃的面积为平方米，试求的长； (2)按题目的设计要求，能不能围成面积为平方米的花圃？若不能，请说明理由． 24、如图，在△ABC中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发． (1)________，________，________（用含的代数式表示）； (2)经过几秒后的面积等于； (3)四边形的面积能否等于，请说明理由． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 一元二次方程（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程是一元二次方程的是（   ） A．（a、b、c为常数） B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、当时，（a、b、c为常数），不是一元二次方程，不符合题意； B、，整理得：，是一元二次方程，符合题意； C、，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，不是整式方程，不符合题意； 2、关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．5，，1 B．5，2， C．，2，1 D．，， 【答案】B 【详解】由，得 ， 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是5，2，， 3、根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的解的范围为， 4、用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：原方程得： 5、解方程最适当的方法是（    ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【答案】D 【详解】解：方程可化为， 因此因式分解法最为合适． 6、某种商品经过两次大的降价后，售价仅为原售价的49%，则平均每次的降价率为（　　） A. 30% B. 40% C. 50% D. 51% 【答案】A 【详解】设原价为100，平均每次降价率是x，根据题意得： 100（1-x）2=49， 解得：x==30%或x=（舍去）． 7、新定义运算：，则方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ 方程即为 方程的根的情况是：有两个相等的实数根 8、已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【详解】解：∵a是方程的解， ∴ ∴ ∵a和b是方程的两个解 ∴， ∴ ， 9、如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边上留一个2米宽的门（建在处，门用其他材料）．设的长为米，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：矩形在边上留一个2米宽的门，设的长为米，共用长为70米的棚栏围成矩形， ∴（米）， ∵围成一个面积为640平方米的矩形羊圈， ∴， 10、已知一元二次方程中，下列说法：①若，则； ②若方程两根为和2，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①若，则1为方程的一个根，∴，故①正确； ②若方程两根为和2，则：，∴，②正确； ③若方程有两个不相等的实数根，则：， 当时，，满足题意， 但此时方程无实数解，故③错误； ④若，则， 即方程有两个不相等的实数根，④正确； 正确的为：①②④， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、方程，化成一般形式是 ． 【答案】 【详解】， 整理，得， 即． 故答案为： 12、用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意及求根公式， 得，，， 该一元二次方程为， 故答案为：． 13、关于的方程有一个根是，则另一个根是_______． 【答案】 【详解】解：设方程另一个根为， ， 故答案为： ． 14、一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 15、已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是_________． 【答案】 【详解】∵一元二次方程没有实数根， ∴且， 解得， 故答案：． 16、一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地米，米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 米． 【答案】1 【详解】解：设通道的宽为米， 根据题意得：， 解得：（不合题意舍去）或， 通道的宽为1米， 故答案为：1． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题9分，18题12分，19-21，每题8分, 22-24，每题9分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 【答案】(1)1 (2)且 (3) 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， ∴且， 解得：； （2）解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：且； （3）解：当时，原方程为， 解得：， ∵该方程有两个实根， ∴， ∴且， ∴． 18、解方程： （1）（用配方法） （2）（用因式分解法） （3）（公式法） 【答案】（1） （2） （3） 【小问1详解】 解：， ， ， ，即， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ，即， 或， ． 【小问3详解】 解：方程中的， 所以方程根的判别式为， 所以方程的解为， 即． 19、若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围． 【答案】且 【详解】解：根据题意，可得，且， 即且， 解得：且， 20、有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程的两根，求k的值. 【答案】k＝36. 【详解】（1）若边长3为等腰三角形的腰长，则3是方程的一个根，代入求值得k=27．这时方程x2－12x＋27＝0的解为3和9．由于长为3，3，9的线段不能构成三角形，故应舍去． （2） 若边长3为等腰三角形的底边，则方程x2－12x＋k＝0有两个相等的实根．由△=0，求得k＝36．这时方程的两个相等的解为6，并且6符合题意，故k＝36. 所以k＝36. 21、为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加“人文之旅”泰山两日旅游行活动，所联系的旅行社收费标准如下：活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？ 【答案】该班共有人参加这次春游活动 【详解】解：人的费用为元元， 参加这次春游活动的人数超过人， 设该班参加这次春游活动的人数为名． 根据题意，得， 整理，得， 解得：，， 时，，不合题意，舍去； 时，． 答：该班共有人参加这次春游活动 22、设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+x+c-a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为x=0. （1）试判断△ABC的形状； （2）若a，b为方程x2+mx-3m=0的两个根，求m的值. 【答案】（1）△ABC为等边三角形；（2）m=-12． 【详解】解：∵有两个相等的实数根， ∴， 整理得 ①， 又∵的根为， ∴②， 把②代入①得， ∴， ∴为等边三角形； ，是方程的两个根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴，． 当时，原方程的解为（不符合题意，舍去）， ∴． 23、如图，用长为米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度米），设花圃的一边长为米． (1)如果所围成的花圃的面积为平方米，试求的长； (2)按题目的设计要求，能不能围成面积为平方米的花圃？若不能，请说明理由． 【答案】(1)（米） (2)不能，理由见详解 【详解】（1）解：根据题意，，则（米）， ∴，整理得，， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴，即（米）； （2）解：不能，理由如下， 根据题意，，整理得，， ∴， ∴方程无解， 不能围成面积为平方米的花圃． 24、如图，在△ABC中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发． (1)________，________，________（用含的代数式表示）； (2)经过几秒后的面积等于； (3)四边形的面积能否等于，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)2秒 (3)不能，理由见解析 【详解】（1）解：由题意，； 故答案为： （2）过点作， ∵，， ∴， ∴的面积为， 解得：或（不合题意，舍去）； 故经过2秒后的面积等于； （3）不能，理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 当四边形的面积等于时， ，整理，得：， ∵， ∴方程无实数根， 故四边形的面积不能等于． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $