30-1 直线与圆 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦直线与圆的位置关系，包含点与圆位置关系、直线与圆的相离相切相交判定及数量关系、切线的判定性质、切线长定理及三角形内切圆。通过太阳与地平线等情境导入，以点与圆关系为基础支架，逐步构建知识体系。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言培养。用铁环测量实例引导从生活抽象模型，通过切线判定定理推理验证发展逻辑思维，以表格对比和辅助线口诀规范表达。实例分层如直角三角形与圆位置关系计算，助力学生提升几何直观与应用能力，为教师提供系统教学资源。

直线与圆 模块一： 直线和圆的 位置关系 点和圆的位置关系有几种？ d<r d=r d>r 用数量关系如何来判断呢？ ⑴点在圆内 · P ⑵点在圆上 · P ⑶点在圆外 · P (令OP=d ) 问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？ 直线与圆的 位置关系 图形 公共点个数 公共点名称 直线名称 2个 交点 1个 切点 切线 0个 相离 相切 相交 位置关系 公共点个数 直线与圆的位置关系 割线 直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）. A l O 要点归纳 1.直线与圆最多有两个公共点. 2.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上. 3.若A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切. 4.若C为⊙O外一点，则过点C的直线与⊙O相交或相离. 5.直线a 和⊙O有公共点，则直线a与⊙O相交. 判断： √ × × × × 直线和圆相交 d< r 直线和圆相切 d= r 直线和圆相离 d> r r d ∟ r d ∟ r d 数形结合： 位置关系 数量关系 （用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分） o o o 公共点个数 用数量关系判断直线与圆的位置关系 例1.已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d ： （3）若d=8cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点. （2）若d=6cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点. （1）若d=4cm ,则直线与圆　　　, 直线与圆有____个公共点. (3)若AB和⊙O相交,则 . 例2.已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件填写d的范围: (1)若AB和⊙O相离, 则 ; (2)若AB和⊙O相切, 则 ; 相交 相切 相离 d > 5cm d = 5cm 0cm＜d < 5cm 2 1 0 B C A 4 3 例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？ (1) r=2cm；(2) r=2.4cm； (3) r=3cm． 分析：要了解AB与⊙C的位置关系，只要知道圆心C到AB的距离d与r的关系．已知r，只需求出C到AB的距离d. D 解：过C作CD⊥AB，垂足为D. 在△ABC中， AB= 5. 根据三角形的面积公式有 ∴ 即圆心C到AB的距离d=2.4cm. 所以 (1)当r=2cm时, 有d >r, 因此⊙C和AB相离. B C A 4 3 D d 记住：斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边. （2）当r=2.4cm时,有d=r. 因此⊙C和AB相切. （3）当r=3cm时，有d<r， 因此，⊙C和AB相交. 例4 如图，Rt△ABC的斜边AB=10cm,∠A=30°，以点C为圆心，当半径为多少时，AB与☉C相切？ A C B 解：(1) 过点C作边AB上的高CD. D ∵∠A=30°，AB=10cm, 在Rt△BCD中，有 当半径为 时，AB与☉C相切. A B C A D 4 5 3 1.Rt△ABC,∠C=90°AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与直线AB没有公共点？ 当0cm＜r＜2.4cm或r＞4cm时, ⊙C与线段AB没有公共点. 2.Rt△ABC,∠C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB有一个公共点？当半径r为何值时，圆C与线段AB有两个公共点？ A B C A D 4 5 3 当r=2.4cm或3cm＜r＜4cm时,⊙C与线段AB有一个公共点. 当2.4cm＜r≤3cm 时,⊙C与线段AB有两公共点. .O .O .O .O .O 3.看图判断直线l与☉O的位置关系？ (1) (2) (3) (4) (5) 相离 相交 相切 相交 ? 相交 4．直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有（ ） A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5 5. ☉O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5，则直线l与☉O . 6. ☉O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与☉O的位置关系是（ ） A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切或相离 D. 上三种情况都有可能 B 相离 A 解析：过点A作AQ⊥MN于Q，连接AN，设半径为r，由垂径定理有MQ＝NQ，所以AQ＝2，AN＝r，NQ＝4－r，利用勾股定理可以求出NQ＝1.5，所以N点坐标为(－1，－2)．故选A. 7.如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点．若点M的坐标是(－4，－2)，则点N的坐标为(　　) A．(－1，－2) B．(1，2) C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2) A 6.已知☉O的半径r=7cm,直线l1 // l2,且l1与☉O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离. o l1 l2 A B C l2 解：（1） l2与l1在圆的同一侧： m=9-7=2 cm （2）l2与l1在圆的两侧： m=9+7=16 cm 模块二： 切线的判定 和性质 Ｏ A B C 问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？ 观察：（1） 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系? （2）二者位置有什么关系？为什么？ 切线的判定定理 一 O 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. OA为⊙O的半径 BC ⊥ OA于A BC为⊙O的切线 Ｏ A B C 切线的判定定理 应用格式 O 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 例1：如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，点A,且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线. 解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可. 证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°. ∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线. A O C B 例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线. O B A C 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可. 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线. 例3 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线． B O C E A 分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE. F 证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC. ∵⊙O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB. 又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点． ∴AO 平分∠BAC， F B O C E A ∴OE ＝OF. ∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC. ∴AC 是⊙O 的切线． 又OE ⊥AB ，OF⊥AC. 如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙O的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 对比思考 ？ 作垂直 连接 (1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径. 证切线时辅助线的添加方法 例1 例2 有切线时常用辅助线添加方法 见切点，连半径，得垂直. 切线的其他重要结论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？ A l O ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 切线的性质定理 二 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． 应用格式 例4 如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1)求证：△ACB≌△APO； (2)若AP＝ ，求⊙O的半径． 解析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC= AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO； O A B P C (2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长. (1)求证：△ACB≌△APO； O A B P C 在△ACB和△APO中， ∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB， ∴△ACB≌△APO. (1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点， 又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°， 又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形． ∴AB＝AO，∠ABO＝60°. 又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. ∴∠OAP＝90°. (2)若AP＝ ，求⊙O的半径． O A B P C ∴AO＝1， ∴CB＝OP＝2， ∴OB＝1，即⊙O的半径为1. (2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝ ， 1.判断下列命题是否正确. ⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） ⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） ⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ） ⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） ⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ） × × √ √ √ 3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ） A．40° B．35° C．30° D．45° 2.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是 . A P O 第2题 P O 第3题 D A B C 相切 C 4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？ O P B A 解：连接OB，则∠OBP=90°. 设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r. 在Rt△OBP中， OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3， 即⊙O的半径为3. 证明：连接OP. ∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OBP=∠C. ∴OP∥AC. ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP. ∴PE为⊙O的切线. 5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E. 求证:PE是⊙O的切线. O A B C E P 6.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M. 求证：CD与⊙O相切． 证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N， ∵⊙O与BC相切于点M， ∴OM⊥BC. 又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点， ∴OM＝ON， ∴CD与⊙O相切． M N 切线的 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1个公共点，则相切 d=r，则相切 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的 性质 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 有1个公共点 d=r 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直. 模块三： 切线长定理 切线长定理及应用 一 互动探究 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A O. P A B P 1.切线长的定义： 切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长． A O ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 2.切线长与切线的区别在哪里？ 知识要点 B P O A 切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. PA、PB分别切☉O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 注意 O. P 已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 证明：∵PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得OB⊥PB. ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 推理验证 A B 想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB. 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB. O. P A B M 想一想：若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明. 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. ∴PC=PC. ∴ △PCA ≌ △PCB， ∴AC=BC. CA=CB O. P A B C 例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H. 求证：AB+CD=AD+BC. · A B C D O 证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H， E F G H ∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH. ∴AB+CD=AD+BC. 例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径． 解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径． O 在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°， O Q 解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA. ∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO. 又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°. 即铁环的半径为 三角形的内切圆及作法 二 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. M N D 作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作 圆O. ☉O就是所求的圆. 1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. B A C I ☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形. 知识要点 三角形的内心的性质 三 B A C I 问题1 如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段OA，OB ,OC有什么特点？ 线段OA，OB ,OC 分别是∠A，∠B，∠C的平分线. B A C I 问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？ E F G IE=IF=IG 三角形内心的性质 三角形的内心在三角形的角平分线上. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. B A C I E F G IA，IB，IC是△ABC的角平分线，IE=IF=IG. 例3 如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠ BIC的度数. 解：连接IB，IC. A B C I ∵点I是△ABC的内心， ∴IB，IC分别是∠ B，∠C的平分线， 在△IBC中， 例4 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径. 该木模可以抽象为几何如下几何图形. C A B r O D 解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD. ∵圆O是△ABC的内切圆, ∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线 ∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠OAB=∠OBA=30o ∵OD⊥AB，AB=3cm， ∴AD=BD= AB=1.5(cm) ∴OD=AD· tan30o= (cm) 答:圆柱底面圆的半径为 cm. 例5 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长. 想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ B A C E D F O 解: 设AF=xcm，则AE=xcm. ∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm). 由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， ∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm). 方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 解得 x=4. A C E D F O 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边 中垂线的交 点 1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形的内部． 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内部． A B O A B C O A 2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= . 1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= . B P O A 第1题 B C O 第2题 20 ° 4 110 ° （3）若∠BIC=100 °，则∠A = 度. （2）若∠A=80 °，则∠BIC = 度. 130 20 3.如图，在△ABC中，点I是内心， （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC=_____. A B C I （4）试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？ 120° 4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC. 证明：连接OD， ∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC， ∴∠ODC=∠B=90°. 在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）， ∴∠DOC=∠BOC. ∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED， ∵∠DOB=∠ODE+∠OED， ∴∠BOC=∠OED， ∴DE∥OC． 方法二： 证明：连接BD， ∵AC切⊙O于点D，AC切⊙O于点B，∴DC=BC，OC平分∠DCB. ∴OC⊥BD. ∵BE为⊙O的直径，∴DE⊥BD. ∴DE∥OC． 5.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D. 求证：DI＝DB. 证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD， ∴BD=ID． 切线长 切线长定理 作用 图形的轴对称性 原理 提供了证线段和 角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点. 三角形内切圆 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 有关概念 内心概念及性质 应用 $