30.2 三角形的内切圆（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件围绕“三角形的内切圆”展开，涵盖定义、内心性质、公式及应用。通过“公共绿地设计喷泉水池”情境导入，引导学生从实际问题出发，结合角平分线、切线长定理等前置知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实问题，用“数学思维”推理内心性质及公式，通过分层练习（基础选择填空、能力提升解答题）和易错点总结强化理解。如对比内心与外心表格助学生构建知识体系，既提升学生抽象能力与推理意识，又为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第三十章 直线与圆的位置关系 30.2 三角形的内切圆 2026年8月3日 人教版九年级数学30.2 三角形的内切圆 同步练习题 一、知识梳理（课前回顾） 1. 三角形内切圆定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 2. 内心性质：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；内心到三角形三边的距离相等，且距离长度即为内切圆半径；内心一定在三角形内部，与三角形形状无关。 3. 核心公式与结论：①任意三角形内切圆半径公式：$$r=\frac{2S}{C}$$（S为三角形面积，C为三角形周长）；②直角三角形内切圆半径专属公式：$$r=\frac{a+b-c}{2}$$（a、b为直角边，c为斜边）；③结合切线长定理，三角形内切圆切点分割三边的线段长度可等量代换求解。 4. 常考辅助线：连接内心与三角形各顶点（平分内角）、连接内心与各边切点（垂直于对应边，构造直角三角形）。本节是圆与三角形综合的核心考点，常结合勾股定理、方程思想出填空、解答题。 二、基础巩固练习题（选择+填空，共48分） 选择题（每题6分，共24分） 1. 下列关于三角形内心的说法正确的是（） A. 内心是三角形三边垂直平分线的交点 B. 内心到三角形三个顶点的距离相等 C. 任意三角形的内心都在三角形内部 D. 直角三角形的内心在斜边中点上 解析：三角形内心是三条角平分线交点，到三边距离相等，恒在三角形内部；三边垂直平分线交点是外心，斜边中点是直角三角形外心，故选C。 2. 已知△ABC的内切圆⊙O与三边分别相切，若⊙O半径为2，则点O到△ABC任意一边的距离为（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 无法确定 解析：内心到三角形三边的距离等于内切圆半径，故选B。 3. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，斜边AB=13，则该三角形内切圆半径为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析：代入直角三角形内切圆公式$$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{5+12-13}{2}=2$$，故选A。 4. 若三角形的外心与内心重合，则该三角形一定是（） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 解析：只有等边三角形的内心、外心、重心、垂心四心重合，故选C。 填空题（每题6分，共24分） 1. 三角形的内心是三角形________的交点，它到三角形________的距离相等。 2. 已知△ABC的周长为36，面积为54，则△ABC内切圆半径r=________。 3. 等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则该三角形内切圆半径为________。 4. △ABC内切圆与AB、BC、AC分别切于D、E、F，若AD=4，BE=3，则CF=________。 三、能力提升解答题（共52分） 9.（16分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，已知AB=9，BC=8，AC=7。 （1）求AD、BE、CF的长度； （2）若△ABC面积为24，求内切圆半径r。 10.（18分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。 （1）求斜边AB的长度； （2）求△ABC内切圆的半径； （3）求内心到顶点C的距离。 11.（18分）如图，△ABC中，O是内心，∠BOC=110°，求∠BAC的度数，并总结∠BOC与∠BAC的数量关系。 四、参考答案与详细解析 选择题答案 1.C 2.B 3.A 4.C 填空题答案 5. 三条角平分线；三边 6. 3（解析：由$$r=\frac{2S}{C}=\frac{2\times54}{36}=3$$） 7. 3（解析：先求高为8，面积48，周长32，$$r=\frac{2\times48}{32}=3$$） 8. 2（解析：由切线长定理，AD=AF=4，BE=BD=3，CF=CE，设CF=x，列方程求解得x=2） 解答题解析 9. 解：（1）设AD=AF=x，BD=BE=y，CE=CF=x， 根据题意列方程组：$$\begin{cases}x+y=9\\y+z=8\\x+z=7\end{cases}$$，解得x=4，y=5，z=3， 即AD=4，BE=5，CF=3； （2）由$$r=\frac{2S}{C}=\frac{2\times24}{9+8+7}=2$$，即内切圆半径为2。 10. 解：（1）由勾股定理得$$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$$cm； （2）直角三角形内切圆半径$$r=\frac{6+8-10}{2}=2$$cm； （3）内心到C点距离：连接OC，内心到AC、BC距离均为2，构造直角三角形，得$$OC=2\sqrt{2}$$cm。 11. 解：∵O是△ABC内心，∴BO、CO平分∠ABC、∠ACB， $$\angle OBC+\angle OCB=180^\circ-110^\circ=70^\circ$$， $$\angle ABC+\angle ACB=2\times70^\circ=140^\circ$$， $$\angle BAC=180^\circ-140^\circ=40^\circ$$， 数量关系：$$\angle BOC=90^\circ+\frac{1}{2}\angle BAC$$。 五、易错点总结 1. 混淆内心与外心：内心是角平分线交点，到三边距离相等；外心是垂直平分线交点，到三顶点距离相等，切勿混淆性质。 2. 公式乱用：直角三角形内切圆专属公式仅适用于直角三角形，任意三角形需使用$$r=\frac{2S}{C}$$通用公式。 3. 角度关系记错：牢记内心夹角公式$$\angle BOC=90^\circ+\frac{1}{2}\angle BAC$$，避免计算角度时出错。 4. 切线长代换混乱：求解三角形切点线段长度时，未合理设未知数，导致方程组列写错误。 （全文1215字） 某市规划局有一块三角形的公共绿地，现在要向全市设计师公开招标，设计一个圆形喷泉水池，要求如下： 很多设计师投了方案，但都被驳回了. 因为他们的圆心位置不对，导致喷泉要么偏向一边，要么离某条人行道太远. 现在，你们就是最终入围的设计师团队，如何帮市政府找到那个“刚刚好”的圆心呢？ ① 水池必须完全建在绿地内部； ② 水池要尽可能大； ③ 水池的边缘要与三条人行道（三角形的三条边）都恰好相切. A B C 假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形三边的距离都等于半径. 如何确定这个圆的圆心和半径呢？ · 思考：如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且所截的圆与三角形的三条边都相切？ 因为三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等，所以只需作出三角形两个内角的平分线，它们的交点即这个圆的圆心. 圆心到任意一边的距离即这个圆的半径. 如图 ，分别作 ， 的平分线 ，，设它们相交于点 ，那么点  到 ，， 的距离都相等. 过点  作  的垂线，垂足为 . 以点  为圆心， 为半径作圆，则  与  的三条边都相切.  即所求作的圆. A B C M N I D · 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心.这个三角形叫作圆的外切三角形. 注意 一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. 三角形内心的性质： (1)三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于三角形内切圆的半径. (2)三角形的内心与三角形三个顶点的连线分别平分三角形的三个内角. 1. 返回 已知⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(　　) A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高线的交点 B 举一反三 7 返回 2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝46°，∠ACB＝84°.⊙O是△ABC的内切圆，连接OB，OC，则∠BOC的度数为(　　) A．105° B．110° C．115° D．125° C 举一反三 如图，△ABC 的内切圆 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F，且 AB = 9，BC = 14，CA = 13. 求 AF，BD，CE 的长. 例1 解：设 AF = x，则 AE = x. 则 BD = BF = AB AF = 9 x. CD = CE = AC AE = 13 x. 由 BD + CD = BC， 可得 解得 因此 名称 三角形的外心 三角形的内心 形成 三角形的外接圆圆心，即三角形三边垂直平分线的交点. 三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点. 图形 性质 外心到三角形三个顶点的距离相等， 即 OA=OB=OC. 内心到三角形三条边的距离相等，即 ID=IE=IF. 位置 外心不一定在三角形的内部. 内心一定在三角形的内部. 角度关系 ∠BOC=2∠BAC. ∠BIC=90°+ ​∠A. 思考：你能说出三角形外心、内心的区别吗？ 如图，点  是  的内切圆的圆心，若 ， 则  的度数为（ ） A.  B.  C.  D.  跟踪训练 解析：∵ 点  是  的内切圆的圆心， ∴  分别平分 ， ∴ ，，， ∴ . C 返回 3. 如图，点P是△ABC的内心，△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1，S2，S3，则S1________S2＋S3.(填“<”“＝”或“>”) ＜ 举一反三 返回 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，若⊙O的半径为2，求△ABC的周长． 解：连接OE，OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x. ∵⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F， ∴OE⊥AC，OF⊥BC，BD＝BF. 又∵∠C＝90°，OE＝OF，∴四边形OECF为正方形． 举一反三 ∵⊙O的半径为2，∴CE＝CF＝2. 又∵BC＝5，∴BD＝BF＝BC－CF＝3. 在Rt△ABC中，∵AC2＋BC2＝AB2， ∴(x＋2)2＋52＝(x＋3)2，解得x＝10， ∴AD＝AE＝10，∴AB＝13，AC＝12， ∴△ABC的周长为AC＋BC＋AB＝12＋5＋13＝30. 返回 举一反三 [邯郸丛台区期中]如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，若AE＝2，CD＝1，BF＝3，则内切圆的半径r＝________. 5. 返回 1 举一反三 如图，已知P为平面上一点，若O是△ABC的内心，也是△BCP的外心，∠BAC＝70°，则∠BPC的度数为________． 返回 6. 62.5° 举一反三 返回 7. [攀枝花中考]如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∠DOE＝120°，∠EOF＝150°. (1)求△ABC的三个内角的大小； 解：∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC， CA分别相切于点D，E，F， ∴AB⊥OD，BC⊥OE，CA⊥OF， ∴∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°.　 举一反三 ∵∠DOE＝120°，∠EOF＝150°， ∴∠B＝360°－∠ODB－∠OEB－∠DOE＝60°， ∠C＝360°－∠OEC－∠OFC－∠EOF＝30°， ∴∠A＝180°－∠B－∠C＝90°， ∴∠A，∠B，∠C的度数分别为90°，60°，30°. 返回 举一反三 返回 (2)设⊙O的直径为d，证明：d＝AB＋AC－BC.　 证明：由切线长定理得AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE， ∴BD＋CF＝BE＋CE＝BC. ∵AB＋AC＝AD＋BD＋CF＋AF＝2AF＋BC， ∴2AF＝AB＋AC－BC. ∵∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°， ∴四边形ADOF是矩形，∴OD＝AF， ∵⊙O的直径为d，OD为⊙O的半径， ∴d＝2OD＝2AF，∴d＝AB＋AC－BC. 举一反三 三角形的内切圆 三角形的内切圆 三角形的内心 尺规作图 定义：三角形三条角平分线的交点. 性质：(1)三角形的内心到三角形三条边的距离相等； (2)三角形的内心与三角形三个顶点的连线分别平分三角形的三个内角. 定义：与三角形各边都相切的圆 步骤： (1)定圆心：作三角形任意两内角的平分线，其交点为圆心； (2)定半径：以圆心到任意一边的距离为半径画圆. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $