1.2 菱形的性质与判定 同步练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册“菱形的性质与判定”同步练习，以基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，覆盖从性质应用到实际探究的知识路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|菱形性质（角度、面积）、判定（对角线、邻边相等）|单选1-5直接考查定义与性质，填空9-10强化判定条件| |提升层|性质与勾股定理结合、中位线应用|单选6-8综合平行四边形知识，填空11-12渗透几何计算| |拓展层|动态问题、实际情境探究|解答题15-17含证明与探究，培养空间观念与模型意识|

1.2 菱形的性质与判定 同步练习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．如图，菱形中，，则（    ） A．60° B．30° C．25° D．15° 2．已知菱形的对角线长分别为、，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 4．小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．菱形 D．正方形 5．如图，在菱形中，，对角线的长为（     ） A．20 B．15 C． D．5 6．如图，中，点，，分别为边，，的中点，连接，，，下列条件中，能判断四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，按如下步骤作四边形：①作；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则（     ） A． B． C． D． 8．如图．在平行四边形中，用直尺和圆规作出的平分线，交于点F，若，则长为（   ） A．11 B．12 C．14 D．21 二、填空题 9．对角线互相垂直平分的四边形是_________． 10．如图，在中，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________使是菱形． 11．如图所示衣帽架由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节、之间的距离．已知调节完之后、间的距离为，、间的距离为，则与之间的距离为________． 12．教材在实践栏目窗口设计了一个活动如下：将一张菱形纸片，沿着对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形按照图中的方法能拼成正方形，根据图，图中给出的数据，图的菱形面积是__________． 13．如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形．若，，则的最小值为__________． 三、解答题 14．如图，已知，．请用尺规作图法，求作一点，使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 15．如图，中，，，，对角线、交于O点，将直线绕点O顺时针旋转，分别交、于点E、F．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)猜想：当绕点O顺时针旋转多少度时，四边形是菱形． 16．已知：如图，四边形是菱形，两条对角线相交于点O，为的平分线，交于点E，为的平分线，交于点F，连接，．求证：四边形是菱形． 17．综合与实践 【问题情境】市政公园休闲区搭建两组菱形镂空景观钢架，两套钢架共用顶部固定支点，大型钢架为菱形，小型钢架为菱形，设计图纸规定两个菱形顶角，、是钢架支撑杆．施工时小型钢架锁死固定不动，大型钢架可绕支点自由旋转调整摆放角度，工程人员需要测算钢架支撑杆长度解决施工用料问题． 【操作发现】 (1)如图，调整大型钢架，使得大型钢架边与小型钢架边重合．请直接写出钢架支撑杆与之间的数量关系． 【探究验证】 (2)按图方式摆放钢架，此时大型钢架的顶点落在小型钢架的侧边上，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓广探究】 (3)现场实测：图摆放状态下，，大型钢架边长为米． ①求小型菱形钢架的边长． ②旋转调整大型钢架菱形，当、、三点落在同一条直线上时，需增加一条钢架支撑杆，请直接写出的长度． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B C D C A C 1．【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】由菱形的性质可得AB=BC，∠B=∠D=120°，由菱形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，∠B=∠D=120°， ∴∠1=30°， 故选：B 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键． 2．【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是本题的关键．由菱形的面积公式对角线乘积的一半可求解即可． 【详解】解：菱形的面积， 故选：B． 3．【答案】B 【知识点】等边三角形的性质、利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质证明、轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形和轴对称图形的概念以及等边三角形、菱形、平行四边形和正多边形的性质求解即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 4．【答案】C 【知识点】证明四边形是菱形、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定等知识点，熟练掌握折叠问题是解题的关键． 由折叠的性质可知，重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等，由此即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可知：重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等， 得到的平面图形一定是菱形， 故选：． 5．【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长 【分析】根据菱形的性质证明为等边三角形即可． 【详解】解：在菱形中，，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴． 6．【答案】C 【知识点】与三角形中位线有关的证明、添一个条件使四边形是菱形 【分析】由三角形中位线定理得到，则可证明四边形是平行四边形；再根据菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵点，，分别为边，，的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； 当时，则垂直平分， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故C符合题意； A、B、D三个选项中的条件，结合现有条件无法证明四边形是菱形，故A、B、D不符合题意． 7．【答案】A 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】根据作图可得四边形为菱形，即可解答． 【详解】解：根据题意可得， 四边形为菱形， ， ． 8．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，连接，证明四边形为菱形，根据菱形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设交于点， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵用直尺和圆规作出的平分线， ∴， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴； 故选C． 9．【答案】菱形 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定定理．根据菱形的判定定理直接得出结论即可． 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 故答案为：菱形． 10．【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】已知四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理，添加一组邻边相等或对角线互相垂直都可使平行四边形成为菱形． 【详解】解：已知四边形是平行四边形． 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形． 因此添加条件，即可得到是菱形． 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 因此添加条件，即可得到是菱形． 其他符合要求的条件还有、等，本题答案不唯一． 11．【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，面积，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，求出菱形的边长及面积，即可求出菱形的高，根据图形可知与之间的距离是菱形的高的3倍，即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图, 有， ∴，，， ∴， 设菱形的高为h，则 ， 即， ∴与之间的距离为． 故答案为． 12．【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、利用菱形的性质求面积 【分析】设直角三角形的短直角边为，长直角边为，根据题意列出二元一次方程组，求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】∵如图，根据裁剪，得到四个全等的直角三角形，设直角三角形的短直角边为，长直角边为， 据题意，，解得， ∴菱形面积为． 13．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质求线段长、垂线段最短 【分析】连接，，与交于点，根据可得当，最小，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接，，与交于点， ∵菱形， ∴，， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， 当，即时，最小， 此时，的最小值为． 14．【答案】如图，点即为所求． 【知识点】作线段(尺规作图)、证明四边形是菱形 【分析】由作图可得，，则四边形是菱形 【详解】解：分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧在右侧相交，交点即为点． 15．【答案】(1)见解析 (2) (3)当旋转角时，四边形是菱形 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据定理得出，由此可得出结论； （2）在中由勾股定理求的长，再利用求出的长，即可得出结论； （2）连接，，与互相平分可知，当时四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】（1） 证明：∵平行四边形中，， ， 在和中， ，； （2）解：在中，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （3）当旋转角时，四边形是菱形，理由如下： 连接，，   四边形平行四边形， ， 由（1）知，， ， 四边形是平行四边形， 由（2）知，， 又， ， ， 四边形是菱形， 即在旋转过程中，四边形能是菱形，此时绕点O顺时针旋转的度数是． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 16．【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是菱形． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是菱形、利用菱形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】先证明，得出，再证明四边形是平行四边形，最后结合，即，即可得证． 【详解】略． 17．【答案】(1) (2)解：仍然成立，理由如下： ∵四边形和均为菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴； (3)①米；②6米或米 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、二次根式的加减运算、利用菱形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）证明，即可解答； （2）证明，即可解答； （3）①过点E作于点H，则，根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，可得，，再由，米，即可求解； ②连接，过点B作于点M，则，根据菱形以及直角三角形的性质可得，然后分两种情况：当点G在线段上时， 当点G在线段的延长线上时，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形和均为菱形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①如图，过点E作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，米， ∴， ∴米， 即菱形的边长为米； ②如图，连接，过点B作于点M，则， 在菱形中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：菱形的边长为米， ∴， 当点G在线段上时，如图， ∵A，B，F三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴A，G，C三点也在同一条直线上， ∴； 当点G在线段的延长线上时，连接，如图， ∵四边形为菱形， ∴， ∵A，B，F三点在同一条直线上， ∴， ∴A，G，C三点也在同一条直线上， ∴； 综上所述，的长为6米或米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $