第一章特殊的平行四边形 同步练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习针对特殊平行四边形单元，通过基础、中档、拔高三层设计，覆盖性质判定到动态综合应用，强化几何直观与推理能力，适配单元复习巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|矩形、菱形、正方形性质与判定|选择1-3题直接考查性质差异，填空11-13题结合折叠、面积计算，夯实概念| |中档|图形性质综合应用|选择4-7题结合坐标系、动点，解答19-21题涉及性质证明与计算，提升推理能力| |拔高|动态问题与跨知识综合|选择8-10题、解答22-23题含动点轨迹、多结论判断，培养空间观念与创新意识|

2026年北师大九年级上册数学第一章特殊的平行四边形 一、选择题：本大题共10小题，共30分。 1.下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是(    ) A. 内角和为 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 2.如图，四边形ABCD是菱形，，，于H，则DH等于(    ) A. B. C. 5 D. 4 第6题图 第4题图 第5题图 第2题图 3.已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是(    ) A. ， B. 当时，四边形ABCD是菱形 C. 当时，四边形ABCD是矩形 D. 当且时，四边形ABCD是正方形 4.如图，在平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴的正半轴的夹角为，则点B的纵坐标为      A. B. C. D. 5.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在正方形ABCD中，，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接DE，FG，下列结论：①；②；③；④FG的最小值为其中正确结论的个数有(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7.如图，正方形ABCD的边长为3，F为对角线BD上一点，连接AF，过点F作，交BC于点E，连接AE，若，则AE的长为      A. B. C. D. 8.如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是AC，BD的中点．若四边形EMFN是菱形，则原四边形ABCD应满足的条件是      A. B. C. D. 第9题图 第8题图 第7题图 9.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，，下列结论：①；②；③四边形AECF是菱形；④其中正确结论的个数是    A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10.如图，正方形ABCD的边长为2，E为边BC上一动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转得到线段FE，连接AF，则点D到点F距离的最小值为(    ) 第10题图 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，共15分。 11.如图，矩形ABCD中，，，将矩形沿AC折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为          . 第13题图 第12题图 第11题图 12.如图，菱形ABCD的面积为36，E是AB的中点，F是BC上的动点.若的面积为6，则图中阴影部分的面积为          . 13.如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.若菱形的两条对角线长分别为6和18，则阴影部分的面积为          . 14.如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为          . 第15题图 第14题图 15.如图，矩形ABCD中，，，P是BC边上一动点，连接PA，则的最小值为          . 三、解答题：本大题共8大题，共75分。 16.如图，在中，，AD是的一条角平分线，AN为的外角的平分线，，垂足为连接DE，交AC于点 试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论. 线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论. 17.已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，连接EN、 求证：≌； 判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论； 当AD：______时，四边形 MENF是正方形只写结论，不需证明 18.如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形的一个顶点，交AB于点E，交BC于点 求证：≌； 如果两个正方形的边长都为a，那么正方形绕点O转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？ 19.在中，点D是边AB上的一点，连接作，，连接 如图1，当时，求证：； 如图2，当D是边AB的中点时，若，，求四边形ADCE的面积． 20.如图1，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD看上去是菱形． 定理：四边相等的四边形是菱形． 【定理证明】请你结合上述材料，完成这个定理的证明． 【实际应用】应用上述定理解决实际问题：周末，小辰和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图2所示，四边形ABCD是一个菱形内框架，四边形AECF是其外部框架，且点E，B，D，F在同一直线上， ①求证：四边形AECF是菱形； ②若外框AECF的周长为80 cm，，，求出AB的长． 21.如图①，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是边AB，BC上的点，且，连接CM，DN，CM与DN相交于点 探索线段DN与CM的数量关系和位置关系，并说明理由; 如图②，若E，F分别是DN与CM的中点，连接EF，计算EF的长. 22.问题解决：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，，且DE与AF相交于点 与AF的位置关系为          . 延长CB到点H，使得，判断的形状，并说明理由.类比迁移： 如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，DE与AF相交于点G，，，，，求DE的长. 23.如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，点P从点A出发，沿射线AB运动，连接PD，过点D作，交直线BC于点 探究发现：当点P在线段AB上时如图，           数学思考：当点P在线段AB的延长线上时如图，猜想线段BP，CE，BD之间满足的关系式，并加以证明. 拓展应用：若直线PE分别交直线BD，CD于点M，N，，，直接写出PD的长. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年北师大九年级上册数学第一章特殊的平行四边形 一、选择题：本大题共10小题，共30分。 1.下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是() A.内角和为360° B.对角线互相平分C.对角线相等 D.对角线互相垂直 2.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH等于() A告 B.2 C.5 D.4 H G 第2题图 第4题图 第5题图 第6题图 3.己知四边形ABCD是平行四边形，AC,BD相交于点O,下列结论错误的是() A.0A=OC,OB=OD B.当AB=CD时，四边形ABCD是菱形 C.当LABC=90时，四边形ABCD是矩形 D.当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形 4.如图，在平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方 形，OC与x轴的正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为() A.-2 B号 c号 D.- 5.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE,AC、BE相交于点F,则LBFC为() A.45° B.559 C.60° D.75 6.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为对角线AC上与A,C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于 点F,EG⊥BC于点G,连接DE,FG,下列结论：①DE=FG;②DE⊥FG;③∠BFG=∠ADE;④FG的 最小值为3.其中正确结论的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，正方形ABCD的边长为3，F为对角线BD上一点，连接AF,过点F作EF L AF,交BC于点E, 连接AE,若DF=√2，则AE的长为() A.√10 B.2W3 C.15 D.25 第1页，共5页 8.如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线，E,F分别是AD,BC的中点，M,N分别是AC,BD的中 点.若四边形EMN是菱形，则原四边形ABCD应满足的条件是() A.AC=BD B.AB=CD C.AC⊥BD D.∠ABC+∠DCB=90 F D A B E C 第7题图 第8题图 第9题图 9.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点 F,LABC=60°，BC=2AB.下列结论：①AB1AC:②AD=4OE;③四边形AECF是菱形：④S△BOB= 68c其中正确结论的个数是(） A.4 B.3 C.2 D.1 10.如图，正方形ABCD的边长为2，E为边BC上一动点，连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转90°得 到线段FE,连接AF,则点D到点F距离的最小值为() D 第10题图 A.V5 B.V5-1 C.v2 D.3-V2 二、填空题：本大题共5小题，共15分。 11.如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的 面积为■ D 第11题图 第12题图 第13题图 第2页，共5页 12.如图，菱形ABCD的面积为36，E是AB的中点，F是BC上的动点.若△BEF的面积为6，则图中阴影 部分的面积为 13.如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空 白部分.若菱形的两条对角线长分别为6和18，则阴影部分的面积为一 14.如图，己知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2,BE与AF相交于点 G,点H为BF的中点，连接GH,则GH的长为 D H B P 第14题图 第15题图 15.如图，矩形ABCD中，AD=6,AB=4,P是BC边上一动点，连接PA,PD.则PA+PC的最小值 为 三、解答题：本大题共8大题，共75分。 16.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， CE L AN,垂足为E.连接DE,交AC于点F. M (①)试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论 (②)线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论 17.已知：如图，在矩形ABCD中，M,N分别是边AD,BC的中点，E,F分别是线段BM,CM的中点， 连接EN、FN (1)求证：△ABM≌△DCM: (2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论： (3)当AD:AB=一一时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明） 第3页，共5页 18.如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于 点E,OC1交BC于点F (1)求证：△A0E≌△B0F; (2)如果两个正方形的边长都为a,那么正方形A1B1C10绕点O转动，两个正方形重叠部分的面积等于多 少？为什么？ 19.在Rt△ABC中，LACB=90°.点D是边AB上的一点，连接CD.作AE/DC,CE/AB,连接ED. (1如图1，当CD1AB时，求证：AC=ED: (2)如图2，当D是边AB的中点时，若AB=10,ED=8,求四边形ADCE的面积. 图1 图2 20.如图1，分别以点A,C为圆心，以大于号AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B,D,依次连接 A,B,C,D,四边形ABCD看上去是菱形. 定理：四边相等的四边形是菱形 (1)【定理证明】请你结合上述材料，完成这个定理的证明. (2)【实际应用】应用上述定理解决实际问题：周末，小辰和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如 图2所示，四边形ABCD是一个菱形内框架，四边形AECF是其外部框架，且点E,B,D,F在同一直线 上，BE=DF. ①求证：四边形AECF是菱形； ②若外框AECF的周长为80cI,EF=32cm,BE=7cm,求出AB的长. 图1 图2 第4页，共5页 21.如图①，正方形ABCD的边长为4，MN分别是边AB,BC上的点，且BM=CN=1,连接CM, DN,CM与DN相交于点O. ① ③ (1)探索线段DN与CM的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图②，若E,F分别是DN与CM的中点，连接EF,计算EF的长 22.问题解决：如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，DE=AF,且DE与AF相交于 点G. B B F 图1 图2 (1)DE与AF的位置关系为 (2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状，并说明理由.类比迁移： (3)如图2，在菱形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，DE与AF相交于点G,DE=AF,∠AED= 60°，AE=7,BF=2,求DE的长 23.如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，点P从点A出发，沿射线AB运动，连接PD,过点D作 DE L PD,交直线BC于点E. B 图1 图2 (1)探究发现：当点P在线段AB上时（如图1），BP+CE=BD. (2)数学思考：当点P在线段AB的延长线上时（如图2），猜想线段BP,CE,BD之间满足的关系式，并加 以证明 3)拓展应用：若直线PE分别交直线BD,CD于点M,N,PM=√2，EN=V6,直接写出PD的长. 第5页，共5页 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键． 【解答】 解：矩形和菱形的内角和都为，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分， 矩形具有而菱形不一定具有的性质为对角线相等， 故选 2.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出是解此题的关键． 根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可． 【解答】 解：四边形ABCD是菱形， ，，， ，， ，，， 由勾股定理得：， ， ， ， 故选 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了正方形的判定，矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键． 根据正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】 解：A、根据平行四边形的性质得到，，该结论正确，此选项不符合题意； B、当时，四边形ABCD还是平行四边形，原来的结论错误，此选项符合题意； C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断原来的结论正确，此选项不符合题意； D、当且时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD 是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确，此选项不符合题意； 故选 4.【答案】B  【解析】略 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查正方形的性质、等边三角形的性质.根据正方形的性质及等腰三角形的性质求出，，再求 【解答】 解：四边形ABCD是正方形， ， 又是等边三角形， ，， ， ，， 又， 故选 6.【答案】C  【解析】解：①连接BE，交FG于点O，如图， 于F，于G， ， ， 四边形EFBG为矩形， ，， 四边形ABCD为正方形， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H， ≌， ， 由①知：， ， ， ， ， ， 即， ， ②正确； ③由②知， 即， ③正确； ④点E为AC上一动点， 根据垂线段最短，当时，DE最小， ，， ， ， 由①知， 的最小值为， ④错误， 综上所述，正确的结论为①②③． 故选 本题是四边形综合题，考查正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法. ①连接BE，易知四边形EFBG为矩形，可得由≌可得，所以 ②由矩形EFBG可得，则由，则由四边形ABCD为正方形可得，即，所以，即，可得 ③由②中的结论可得 ④由于点E为AC上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为，由①知，所以FG的最小值为 7.【答案】A  【解析】略 8.【答案】B  【解析】略 9.【答案】A  【解析】解：点E为BC的中点， ， 又， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，即，故①正确； 在平行四边形ABCD中，，，， ， 在和中，， ≌， ， 四边形AECF是平行四边形， ， 平行四边形AECF是菱形，故③正确； ，在中，， ， ，故②正确； 在平行四边形ABCD中，， 又点E为BC的中点， ，故④正确； 正确的结论有4个， 故选： 通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含角的直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握菱形的判定是解题关键． 10.【答案】C  【解析】正方形ABCD，，， 如图，过点F作交BC的延长线于点G，连接CF，则 由线段AE绕点E顺时针旋转得到线段FE可知，， ， 在和中， ， ，，则， ， ，， 为等腰直角三角形， ，即点F在的平分线上.当时，DF的值最小，此时，，即，解得负值已舍去，故选 思路分析根据条件推出，，，从而证得≌，进而得到，推出点F在的平分线上，当时，DF的值最小，由勾股定理求解即可. 11.【答案】10  【解析】【解答】 解：易证≌， ， 设，则， 在中，，解得：， ， 故答案为 【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理的正确运用，本题中设，根据直角三角形中运用勾股定理求x是解题的关键. 因为BC为AF边上的高，要求的面积，求得AF即可，易证≌，得，设，则在中，根据勾股定理求x，所以 12.【答案】15  【解析】略 13.【答案】27  【解析】略 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键． 根据正方形的四条边都相等可得，每一个角都是直角可得，然后利用“边角边”证明≌得，进一步得，从而知，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案． 【解答】 解：四边形ABCD为正方形， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 点H为BF的中点， ， 、， ， ， 故答案为： 15.【答案】  【解析】解：在BC下方作，过点P作于点E，则当A，P，E三点共线时，取最小值，此时，设， 则，，，， ，， ， 的最小值为 16.【答案】【小题1】 解：四边形ABDE是平行四边形. 证明：平分，AN平分， ， 在中， ，AD平分， 又， 四边形ADCE是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 ，， 又是的平分线，， 是等腰三角形ABC底边上的中线， ， 四边形ABDE是平行四边形有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【小题2】 ，证明如下： 四边形ADCE是矩形， 又四边形ABDE是平行四边形， ，， ，   【解析】 略  略 17.【答案】解：证明：四边形ABCD是矩形， ，， 又是AD的中点， 在和中， ， ≌； 解：四边形MENF是菱形． 证明如下： ，F，N分别是BM，CM，CB的中点， ， 四边形MENF是平行四边形． 由，得， 四边形MENF是菱形； ：1  【解析】此题主要考查了矩形的性质，以及菱形的判定和正方形的判定，关键是掌握菱形和正方形的判定方法． 根据矩形的性质可得，，再根据M是AD的中点，可得，然后再利用SAS证明≌； 四边形MENF是菱形．首先根据中位线的性质可证明，，可得四边形MENF是平行四边形，再根据≌可得进而得，从而得到四边形MENF是菱形； 当AD：：1时，四边形MENF是正方形，证明根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论． 【解答】 见答案； 见答案； 解：当AD：：1时，四边形MENF是正方形．理由： 为AD中点， ， ：：1， ， ， 同理， 四边形MENF是菱形， 菱形MENF是正方形． 故答案为2： 18.【答案】【小题1】 解：证明：四边形ABCD是正方形，，，，四边形是正方形，，，  在和中，≌ 【小题2】 两个正方形重叠部分的面积等于  理由如下：由知≌，，   【解析】 略  略 19.【答案】证明：，， 四边形AECD是平行四边形， ， ， 四边形AECD是矩形， ； 解：是边AB的中点，，， ， ，， 四边形AECD是平行四边形， 四边形AECD是菱形， ， 四边形ADCE的面积是， 即四边形ADCE的面积是  【解析】本题考查勾股定理、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据，，可以得到四边形AECD是平行四边形，再根据，即可得到结论成立； 根据题意，先判断四边形AECD是菱形，然后求出AC的长，再计算四边形ADCE的面积即可． 20.【答案】【小题1】 证明：由题意可知，，四边形ABCD是平行四边形．，四边形ABCD是菱形． 【小题2】 ①证明：四边形ABCD是菱形，，  又，≌  同理可得，，，四边形AECF是菱形．  ②解：如图2，连接AC交EF于点四边形AECF是菱形，周长为80 cm，，，，，，，   【解析】 略  略 21.【答案】【小题1】 解：，且 理由：四边形ABCD是正方形， ， 在和中， ，，， ≌， ， ， ， ， 【小题2】 如图，连接CE并延长交AD于点G，连接 四边形ABCD是正方形， ，，， 为DN的中点， 在和中，，，， ≌， ， 又为CM的中点， 正方形ABCD的边长为4，， 在中，由勾股定理，得，即，，   【解析】 略  略 22.【答案】【小题1】 【小题2】 是等腰三角形.理由如下： 四边形ABCD是正方形，， 在和中， ， ， 是线段HF的垂直平分线， 是等腰三角形. 【小题3】 延长CB到点K，使，连接 四边形ABCD是菱形，， 在和中， ≌， ，，， 是等边三角形 ，，   【解析】 略  略  略 23.【答案】【小题1】 【小题2】 证明：四边形ABCD是正方形， ， ， 在和中， ≌ 【小题3】 PD的长为或   【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $