专题03 角（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

专题03 角 （题型突破·举一反三） 题型01 角的概念 题型02 钟面角 题型03 方位角 题型04 度分秒的换算 题型05 角的大小比较 题型06 与角平分线的有关计算 题型07 与余角或补角有关的计算 题型08 同（等）角的余（补）角相等的应用 题型09 角 n 等分线的有关计算 题型10 三角板中的角度计算 ▌题型01 角的概念 1）角的符号应书写标准，“∠”不可与“＜”混淆； 2）当以某一点为顶点的角有两个或两个以上时，其中任何一个角都不能用一个顶点字母表示. 3）如无特殊说明，所说的角一般都指大于等于0°且小于180°的角. 【典例1】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 【变式1】（21-22七年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，从点O出发的5条射线，可以组成的锐角的个数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】（20-21七年级上·浙江杭州·期末）下图中标注的角可以用∠O来表示的是（   ） A．B．C． D． 【变式3】（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，下列说法中，不正确的是（     ） A．与是同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角：，， D．与是同一个角 ▌题型02 钟面角 1）时针转一圈12小时，则它1小时转过的角度为，1分钟转过的角度为 2）分针转一圈是1小时，分针每分钟转过的角度为 3）分针走一圈 360°，时针走了 30°，所以，时针和分针所走度数的比例关系为1:12. 【典例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，从早上到同一天早上，时钟的分针旋转了（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）四点钟后，从时针与分针第一次成到第二次成，共经过（    ） A．分钟 B．33分钟 C．分钟 D．28分钟 【变式2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）（1）时分时，时钟的时针与分针的夹角是多少度？时分时，时钟的时针与分针的夹角又是多少度？ （2）从时分到时分，时钟的分针与时针各转过了多少度？ （3）时钟的分针从时整的位置起，按顺时针方向旋转多少度时与时针第次重合？ 【变式3】（23-24七年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 时钟里的数学问题 素材1 时钟是我们日常生活中常用的生活用品。钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图．表盘中均匀分布，分针分钟转动一周是，时针分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转度，时针转速为每分钟转度． 素材2 当时钟显示时（如图）．时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑时，时针与分针所成角度为；从：到．分针转动的角度为．时针转动的角度为，．因此点分时，时针与分针所成角度是． 素材3 当时针和分针所成角度时，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”。如图．当时钟显示时，此时，时针和分针所成角度，因此就是一个美妙时刻． 解决问题 任务1 当时钟显示分时，求时针与分针所成角度． 任务2 时钟显示：时，时针与分针所成角度为，在：到：的分钟内，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出此时的时刻． 任务3 ：之后的下一个美妙时刻是______， 一天个小时内，共有______个美妙时刻． ▌题型03 方位角 先画出两条成直角的南北向直线和东西向直线，直角的顶点(即两直线的交点)是观测点，然后以观测点为角的顶点，以南北方向线为一边画出向东或向西偏成的角，进而可确定观测的方向. 【典例3】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）如图，已知，，是的平分线，，则（     ） A．射线的方向为北偏东 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为南偏西 D．射线的方向为南偏西 【变式1】（25-26七年级上·浙江温州·期末）如图，某一时刻货轮发现灯塔在它的北偏西的方向上，海岛在它的南偏东的方向上．下列结论正确的是（    ） A． B． C．和互余 D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江衢州·期末）“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为______． 【变式3】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，以点O为观测点，射线，，，分别表示正东、正南、正西、正北方向． (1)射线表示 方向 ； (2)画出表示下列方向的射线： ①射线，表示南偏东；   ②射线，表示南偏西； ③射线，表示西北方向； (3)图中 °； (4)图中的补角是 ． ▌题型04 度分秒的换算 熟记度、分、秒之间的换算关系，将“度、分、秒”化为“度”的一般公式为： 【典例4】（22-23七年级上·浙江杭州·期末）如图，点O在直线AB上，，，若，则(   ) A． B． C． D． 【变式1】（2026·浙江·模拟预测）______． 【变式2】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）已知，则的余角的度数为__________． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）计算（ 结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． ▌题型05 角的大小比较 【典例5】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式1】（22-23七年级上·浙江宁波·期末）若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点，，，，是网格线交点，则_____．（填“”，“”或“”） 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在的正方形网格中，记，则（   ） A． B． C． D． ▌题型06 与角平分线的有关计算 【典例6】（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，是直线上一点，射线在直线的上方，且射线平分，射线平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，以直线上一点O为端点分别作射线，，，，平分，则下列结论：①一定是的角平分线；②当时，的度数是．其中正确的结论是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）同一平面内，直线，相交于点，是的角平分线，，于点，则的度数是_______． 【变式3】（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，点O在直线上，射线平分，． (1)求的度数； (2)是内的一条射线，且，求的度数． 【变式4】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方，射线在直线的下方，且平分， ． (1)请写出的一个余角． (2)若，求的度数． (3)若，求的度数． ▌题型07 与余角或补角有关的计算 互余、互补是表示两个角之间的数量关系的概念，与这两个角的位置无关.解决与互余、互补有关的计算问题时，一般是先将一个角的余角或补角用关于这个角的代数式表示出来，再利用题目中已知的数量关系列方程求解. 【典例7】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）一个角的余角比它本身大，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，家用衣架支杆、交于，若、分别平分，，则下列结论不正确的是（   ） A．与互余 B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）如果和互补，且，那么下列式子中一定表示的余角的有（        ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（25-26七年级上·浙江台州·期末）是的补角，是的余角，若，则的度数为______． 【变式4】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，射线，射线在内部，． (1)若，求的度数． (2)若与互补，求的度数． ▌题型08 同（等）角的余（补）角相等的应用 【典例8】（25-26七年级上·浙江金华·期末）一副三角板按如图的四个位置摆放，其中和一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图，点在直线上，，则图中除了直角外，一定相等的角有（    ）． A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 【变式2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和不一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知是的补角．是的补角，若，则的度数为________． 【变式4】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． ▌题型09 角 n 等分线的有关计算 【典例9】（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式1】（22-23七年级上·浙江杭州·期末）如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为__________． 【变式3】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）元旦期间，吴兴区某校七年级同学在观看太湖古镇灯光秀表演后，以“灯光里的数学美”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出角的倍分角线的定义，在探究中感受数学之美． 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中是所分角中较小角的倍，那么我们称射线为的倍分角线．如图1，若，则射线为的3倍分角线． 【特例感知】 (1)若， ①射线为的2倍分角线，则________； ②射线为的3倍分角线，则________； 【类比探究】 (2)如图2，点，，在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若射线，分别为和的4倍分角线（，），当时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒，同时射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒．在旋转的过程中，当射线是的倍分角线时（），恰好射线也是的倍分角线（），请直接写出与的数量关系________． ▌题型10 三角板中的角度计算 【典例10】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 【变式1】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，将一副三角尺角和角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，在旋转过程中三角板的边始终在的内部，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，将两块三角板的直角与的顶点重合在一起，绕点转动三角板，使两块三角板仍有部分重叠，且，则的度数为_____． 【变式3】（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图1，一副三角板摆放在水平桌面上，．三角板绕点顺时针转动，每秒转动．设三角板转动的时间为秒， (1)如图2，若三角板静止不动，当恰好被平分时，求的值． (2)如图3，若三角板在三角板转动的同时，绕点逆时针转动，每秒转动，直至与桌面重合，两块三角板同时停止转动． ①当秒时，试说明：恰好平分． ②请直接写出与之间的数量关系． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03角 (题型突破举一反三) 题型01角的概念 E 典例精析 【典例1】A E举一反 【变式1】C 【变式2】D 【变式3】B 题型02钟面鱼 典例精析 【典例2】D 举一反三 【变式1】A 【变式2】 【答案】(1)1时20分时，时针与分针的夹角是80°，2时15分时，时针与分针的夹角是22.5°；(2)分 1440 针转过的角度是1200， 时针转过的角度是10：（3)分针按顺时针旋转 11 时与时针第一次重合 【变式3】 240 60 【答案】任务一： 85任务二：1：T:任务三：7 1122 题型03方位鱼 典例精析 【典例3】D 举一反三 1/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式1】D 【变式2】 【答案】8242'/82.7 【变式3】 【答案】(1)北偏东30 (2) 如图， A D 30% W E B (3)85 (4)∠AOS和∠BOW 题型04度分秒的换算 E 典例精析 【典例4】A 举一反目 【变式1】 【答案】50°5251 【变式2】 【答案】6825 【变式3】 【答案】(1)12620 (2)2223'24 (3)11115 (4)517 2/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型05角的大小比较 典例精析 【典例5】B 举一反三 【变式1】A 【变式2】 【答案】< 【变式3】B 题型06与角平分线的有送计算 典例精析 【典例6】A E 举一反三 【变式1】A 【变式2】 【答案】70°或110° 【变式3】 【答案】(1)36° (218° 【变式4】 【答案】(1)∠AOB(或∠COD) (2)70° (3)65° 题型07与余角或补角有关的计算 典例精析 【典例7】A 举一反 3/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式1】B 【变式2】C 【变式3】 【答案】60 【变式4】 【答案】(1)∠BOD=45° (2)∠C0D=45° 题型08同（等）的余（补）鱼相等的应里 典例精析 【典例8】B 举一反三 【变式1】B 【变式2】A 【变式3】 【答案】150°/150度 【变式4】 【答案】(1) 解：∠ACD=∠BCE.理由如下： .∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD=90°， ∴.∠ACD=∠BCE: (2)150° (3) 解：∠ACE+∠BCD=180°，理由如下： .∠ACB=∠DCE=90 .∠ACD+∠BCD+∠BCE+∠BCD=18O°， ∴.∠ACE+∠BCD=180° 题型09角n等分线的有关计算 4/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【典例9】A 三举一反王 【变式1】A 【变式2】 【答案】50°或10° 【变式3】 【答案】(1) 60° 40°或80° (2)120° (3)a=2b 题型10三角板中的角度计算 典例精析 【典例10】D 3 举一反三 【变式1】A 【变式2】 【答案】45°/45度 【变式3】 【答案】(1)t=22.5: (2) ①解：当t=9时，∠M0C=90°-3°×9=63°， ∠MOA=2°×9=18°. .∠A0C=∠MOC-∠M0A=63°-18°=45°， .∠BOC=∠A0B-∠A0C=90°-45°=45°， .∠AOC=∠BOC. .OC平分∠AOB: ②∠AOM+∠DON+∠AOC=90°或∠AOM+∠DON-∠AOC=90° 5/5 专题03 角 （题型突破·举一反三） 题型01 角的概念 题型02 钟面角 题型03 方位角 题型04 度分秒的换算 题型05 角的大小比较 题型06 与角平分线的有关计算 题型07 与余角或补角有关的计算 题型08 同（等）角的余（补）角相等的应用 题型09 角 n 等分线的有关计算 题型10 三角板中的角度计算 ▌题型01 角的概念 1）角的符号应书写标准，“∠”不可与“＜”混淆； 2）当以某一点为顶点的角有两个或两个以上时，其中任何一个角都不能用一个顶点字母表示. 3）如无特殊说明，所说的角一般都指大于等于0°且小于180°的角. 【典例1】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 【答案】A 【分析】本题考查了角的倍分关系及锐角、钝角定义，根据角的分类及倍分关系逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，若为锐角，则为锐角，正确，故本选项符合题意； B、当时，若为钝角，则为锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； C、当时，若为锐角，则为锐角或钝角，原说法错误，故本选项不符合题意； D、当时，若为锐角，则为钝角或锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（21-22七年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，从点O出发的5条射线，可以组成的锐角的个数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，如图所示，若从点O出发的n条射线，可以组成角的个数是 【详解】解：组成角的个数是 故选C． 【点睛】此题主要考查了角的概念以及应用，要熟练掌握．利用公式：从点O出发的n条射线，组成角的个数为，是解决问题的关键． 【变式2】（20-21七年级上·浙江杭州·期末）下图中标注的角可以用∠O来表示的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：A、标注的角须三个字母表示，故此选项不符合题意； B、标注的角须三个字母表示为∠AOB，故此选项不符合题意； C、标注的角须三个字母表示为∠COD，故此选项不符合题意； D、标注的角可以表示为∠O，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了角定义以及表示方法，正确表示角是解题关键． 【变式3】（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，下列说法中，不正确的是（     ） A．与是同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角：，， D．与是同一个角 【答案】B 【详解】解：∵与顶点相同，两条边也相同， ∴与是同一个角，故A项正确，不符合题意． ∵顶点处有三个角， ∴不可以用来表示，故项错误，符合题意． ∵图中角分别为，，，共3个，故C项正确，不符合题意． ∵与顶点相同，两条边也相同， ∴与是同一个角，故D项正确，不符合题意． ▌题型02 钟面角 1）时针转一圈12小时，则它1小时转过的角度为，1分钟转过的角度为 2）分针转一圈是1小时，分针每分钟转过的角度为 3）分针走一圈 360°，时针走了 30°，所以，时针和分针所走度数的比例关系为1:12. 【典例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，从早上到同一天早上，时钟的分针旋转了（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了时钟分钟转过的角度问题，解题的关键是求出时钟的分针一分钟走．由题意可得时钟一共走了分钟，然后乘以求解即可． 【详解】解：从上午到当天上午， 时钟一共走了100分钟， ， 时钟的分针一分钟走， ． 故选D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）四点钟后，从时针与分针第一次成到第二次成，共经过（    ） A．分钟 B．33分钟 C．分钟 D．28分钟 【答案】A 【分析】本题考查时钟追及问题，需先明确时针与分针的转速，再根据两次成时分针比时针多走的角度列方程求解． 【详解】解：∵分针每分钟转的角度为，时针每分钟转的角度为， 从第一次成到第二次成，分针比时针多转 设经过分钟，根据题意列方程： ， 解得， ∴共经过分钟． 故选：A 【变式2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）（1）时分时，时钟的时针与分针的夹角是多少度？时分时，时钟的时针与分针的夹角又是多少度？ （2）从时分到时分，时钟的分针与时针各转过了多少度？ （3）时钟的分针从时整的位置起，按顺时针方向旋转多少度时与时针第次重合？ 【答案】（）时分时，时针与分针的夹角是，时分时，时针与分针的夹角是；（）分针转过的角度是，时针转过的角度是；（）分针按顺时针旋转时与时针第一次重合． 【分析】（）根据分针每分钟走小格，时针每分钟走小格即可求解； （）根据钟表分针和时针每走一分钟度数即可求解； （）设经过分针可与时针第次重合（即追上时针），根据题意列出方程，然后解方程即可； 本题考查了钟表分针和时针所转过的角度计算，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）因为分针每分钟走小格，时针每分钟走小格， 所以时分时，时针与分针的夹角是， 时分时，时针与分针的夹角是． （）从时分到时分，，经过了， 所以分针转过的角度是， 时针转过的角度是； （）设经过分针可与时针第次重合（即追上时针）． 因为时整时针与分针的夹角是， 所以列方程得， 解得， 所以， 所以分针按顺时针旋转时与时针第一次重合． 【变式3】（23-24七年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 时钟里的数学问题 素材1 时钟是我们日常生活中常用的生活用品。钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图．表盘中均匀分布，分针分钟转动一周是，时针分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转度，时针转速为每分钟转度． 素材2 当时钟显示时（如图）．时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑时，时针与分针所成角度为；从：到．分针转动的角度为．时针转动的角度为，．因此点分时，时针与分针所成角度是． 素材3 当时针和分针所成角度时，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”。如图．当时钟显示时，此时，时针和分针所成角度，因此就是一个美妙时刻． 解决问题 任务1 当时钟显示分时，求时针与分针所成角度． 任务2 时钟显示：时，时针与分针所成角度为，在：到：的分钟内，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出此时的时刻． 任务3 ：之后的下一个美妙时刻是______， 一天个小时内，共有______个美妙时刻． 【答案】任务一：；任务二：；任务三：； 【分析】本题考查了时钟中分针与时针的角度问题，考查了角度的计算，一元一次方程的应用等知识，属于研究性学习内容，难度较大． 任务：按照题干素材，点整，时针与分针所成角度是；从而求得时针与分针的夹角； 任务：设点分时，时针与分针垂直，由题意，得，解方程即可得解； 任务：再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转，则时针每分钟少旋转，则可求得下一个美妙时刻所经过的时间为分，进而求得下一个美妙时刻，再利用一天的时间除以下一个美妙时刻所经过的时间即可求解． 【详解】解：任务： 当时钟显示：时，时针与分针所成角度为 任务：设点分时，时针与分针垂直， 由题意，得， 解得 答：所求的时间为（也可写成时分）． 任务：再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转， 则时针每分钟少旋转， 到达下一个美妙时刻需要的时间为分时分， ∴之后的下一个美妙时刻是 一天有分钟， ， 即一天有个美妙时刻， 故答案为：，． ▌题型03 方位角 先画出两条成直角的南北向直线和东西向直线，直角的顶点(即两直线的交点)是观测点，然后以观测点为角的顶点，以南北方向线为一边画出向东或向西偏成的角，进而可确定观测的方向. 【典例3】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）如图，已知，，是的平分线，，则（     ） A．射线的方向为北偏东 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为南偏西 D．射线的方向为南偏西 【答案】D 【分析】根据角之间的关系分别求出和的度数，即可求出射线和射线的方位角，根据求出的方位角判断正误即可． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ， 射线的方向为北偏东， 故A、B选项错误； ， ， ， ， ， ， 射线的方向为南偏西， 故C选项错误，D选项正确． 【变式1】（25-26七年级上·浙江温州·期末）如图，某一时刻货轮发现灯塔在它的北偏西的方向上，海岛在它的南偏东的方向上．下列结论正确的是（    ） A． B． C．和互余 D． 【答案】D 【分析】本题考查了方向角、余角的定义，由题意可得，，，再结合图形，逐项分析即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可得：，，， ∴，，故A错误； ∵，， ∴，故B错误； ∵， ∴和不互余，故C错误； ∴，故D正确； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江衢州·期末）“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了方位角的计算，角度的计算，如图，根据题意得，由即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意：， 则， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，以点O为观测点，射线，，，分别表示正东、正南、正西、正北方向． (1)射线表示 方向 ； (2)画出表示下列方向的射线： ①射线，表示南偏东；   ②射线，表示南偏西； ③射线，表示西北方向； (3)图中 °； (4)图中的补角是 ． 【答案】(1)北偏东 (2) 如图， (3) (4)和 【分析】本题主要考查方位角和补角的相关知识， 根据角度即可得知方位角； 根据方位角大小画出射线即可； 根据方位角求得和，即可求得； 根据角度得，由方位角得，则，结合补角的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴射线表示北偏东， 故答案为：北偏东； （2）略 （3）∵射线，表示南偏西， ∴， ∵射线，表示西北方向， ∴， 则， 故答案为：； （4）∵， ∴与互补； ∵射线，表示南偏东， ∴， ∴， 则与互补； 故答案为：和． ▌题型04 度分秒的换算 熟记度、分、秒之间的换算关系，将“度、分、秒”化为“度”的一般公式为： 【典例4】（22-23七年级上·浙江杭州·期末）如图，点O在直线AB上，，，若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同角或等角的余角相等，角度单位的换算，掌握余角的性质定理是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故选A． 【变式1】（2026·浙江·模拟预测）______． 【答案】 【详解】解： . 【变式2】（25-26七年级上·浙江·阶段检测）已知，则的余角的度数为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，度数之和为90度的两个角互余，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴余角的度数为． 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）计算（ 结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查度，分，秒的计算，解题的关键是掌握，进行计算，即可． （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可； （3）根据，，进行计算，即可； （4）根据，，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． ▌题型05 角的大小比较 【典例5】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和与差，由网格线可知，，可得：，又因为，可得． 【详解】解：如下图所示，由网格可知，， ， 即， ， ． 故选：B． 【变式1】（22-23七年级上·浙江宁波·期末）若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】先把化为，再与比较大小即可． 【详解】解：∵，而， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查的是角的单位换算，角的大小比较，熟记角的60进位制是解本题的关键． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点，，，，是网格线交点，则_____．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】题考查网格中角度的比较，掌握正方形网格的性质是解题的关键． 先连接小正方形对角线，根据小正方形的性质推出，直接比较即可求解． 【详解】解：如图，连接小正方形对角线， ∵、是小正方形的对角线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在的正方形网格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了角的比较． 根据网格线得出，进而判断出；再由网格线得出，，进而求出，最后由网格线得出，，进而判断出，即可得出结论． 【详解】解：由图知， ， ∴； 由图知，，， ∴， 由图知，，， ∴， ∴， 故选：B． ▌题型06 与角平分线的有关计算 【典例6】（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，是直线上一点，射线在直线的上方，且射线平分，射线平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是正确理清角度之间的数量关系． 由角平分线得到，，然后根据邻补角的定义得到，据此代入求解得到，然后根据，即可求解，即可求解． 【详解】解：∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，以直线上一点O为端点分别作射线，，，，平分，则下列结论：①一定是的角平分线；②当时，的度数是．其中正确的结论是（   ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角和补角以及角平分线的定义，余角和补角计算的运用．解题的关键是掌握余角和补角以及角平分线的定义，能够运用余角和补角进行计算． 利用角度的和差和等角的余角相等可判断①；通过角度的计算计算出的度数是可得判断②． 【详解】解：， ，， 平分， ， ，即是的角平分线，故①正确； ， 当时， 可得，， 平分， ， ，故②正确； 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）同一平面内，直线，相交于点，是的角平分线，，于点，则的度数是_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查相交线的相关知识，涉及垂直的定义，角平分线的性质，对顶角相等以及角的和差计算．弄清楚角之间的和差关系是解题关键．分在两侧两种情况，利用角平分线、垂直及平角性质求． 【详解】解：情况一：在内部， 设，则， ∵平分， ∴， 由， 得， 即， ∵， ∴， 则， 因此； 情况二：在内部， 同上，， ∴（对顶角相等）， ∵， ∴， 因此； ∴的度数有两种可能：或． 故答案为：或． 【变式3】（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，点O在直线上，射线平分，． (1)求的度数； (2)是内的一条射线，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线，几何图形中角的计算， （1）根据角平分线的定义可得，进而根据邻补角的定义，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，根据角度的和差可得，，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵射线平分，． ∴ ∴ （2）解：∵射线平分，． ∴， ∴ ∵， ∴ 解得： 【变式4】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方，射线在直线的下方，且平分， ． (1)请写出的一个余角． (2)若，求的度数． (3)若，求的度数． 【答案】(1)（或） (2) (3) 【分析】本题主要考查几何中角度的和差计算，角平分线的定义，互余的概念及计算． （1）根据余角的概念，结合图形求解即可； （2）根据同角的余角相等得到，再根据角平分线的定义即可求解； （3）根据题意得到，结合题意得到，根据平角等于列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的一个余角是（或）； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴． ▌题型07 与余角或补角有关的计算 互余、互补是表示两个角之间的数量关系的概念，与这两个角的位置无关.解决与互余、互补有关的计算问题时，一般是先将一个角的余角或补角用关于这个角的代数式表示出来，再利用题目中已知的数量关系列方程求解. 【典例7】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）一个角的余角比它本身大，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．通过设未知数建立方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 根据题意得：， 移项得：， 即， 解得， 故选A． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，家用衣架支杆、交于，若、分别平分，，则下列结论不正确的是（   ） A．与互余 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线定义，补角和余角，同角的余角相等，根据角平分线定义，补角和余角，同角的余角相等逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴与互余，该选项正确，不符合题意； 、无法得到，该选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，该选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴， ∵，， ∴，该选项正确，不符合题意； 故选：． 【变式2】．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）如果和互补，且，那么下列式子中一定表示的余角的有（        ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了补角和余角的定义．根据互补角定义，，余角定义为．逐一验证每个式子是否等于． 【详解】解：和互补， ， 的余角为． ①，直接是余角，正确． ②，是余角，正确． ③，不一定等于，错误． ④，是余角，正确． ∴正确的有3个． 故选：C． 【变式3】（25-26七年级上·浙江台州·期末）是的补角，是的余角，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了补角和余角的定义． 利用补角和余角的定义，建立方程求解的度数． 【详解】解：设的度数为x， 则，． 根据，得， 化简得， 移项得， 解得． 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，射线，射线在内部，． (1)若，求的度数． (2)若与互补，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差，补角的定义，解题的关键是： （1）设，结合已知求出，，，结合得出，即可求解； （2）由（1）得，，结合与互补得出，即可求解． 【详解】（1）解：设， ， 又， ， ， ， ； （2）解：由（1）得，． 因为， 所以， 解得， 所以． ▌题型08 同（等）角的余（补）角相等的应用 【典例8】（25-26七年级上·浙江金华·期末）一副三角板按如图的四个位置摆放，其中和一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中角度关系以及计算．根据图形中两个角的位置关系依次确定度数关系，从而可得答案． 【详解】解：A、，则与不一定相等，故该选项不符合题意； B、由同角的余角相等可得，故该选项符合题意； C、，则与不一定相等，故该选项不符合题意； D、，则与不一定相等，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图，点在直线上，，则图中除了直角外，一定相等的角有（    ）． A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 【答案】B 【分析】本题考查同角的余角相等，根据同角的余角相等，找到相等的角，即可． 【详解】解：由图可知：， ∴； 故选B． 【变式2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和不一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形分别判断 和的数量关系，找出不一定相等的选项即可． 【详解】解：A．由平角的定义可知，即 ，和互余，不一定相等，故本选项符合题意； B．由图可知和均为中间公共角的余角，根据同角的余角相等，可得 ，故本选项不合题意； C．由图可知 和均为 角（或相同锐角）的补角，根据等角的补角相等，可得 ，故本选项不合题意； D．由图可知 和为对顶角，根据对顶角相等，可得 ，故本选项不合题意． 【变式3】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知是的补角．是的补角，若，则的度数为________． 【答案】/150度 【分析】根据题意得和的度数相等，解出n的值，求出的度数，再根据互为补角的两个角的和为，即可求出的度数． 本题考查了余角和补角的计算，关键是知道一个角与另外两个角互为补角，则这两个角相等． 【详解】∵是的补角，是的补角， ∴， 解得， ， 。 故答案为： 【变式4】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：．理由如下： ， ， ； (2) (3) 解：，理由如下： ， ， ． 【分析】本题主要考查了几何图中角的计算，数形结合，熟练掌握余角的性质，是解题的关键． （1）根据余角的性质进行求解即可； （2）根据，求出结果即可； （3）根据与的数量关系，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ； （3）略 ▌题型09 角 n 等分线的有关计算 【典例9】（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 【变式1】（22-23七年级上·浙江杭州·期末）如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解． 【详解】∵四条射线五等分， ∴每个小角的度数为．如图， 图中所有锐角的和为 ， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了角三等分线的有关计算，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据角三等分线的定义及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时， 如图， ，为的三等分线， ， ， ； ②当时， 如图， ，为的三等分线， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【变式3】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）元旦期间，吴兴区某校七年级同学在观看太湖古镇灯光秀表演后，以“灯光里的数学美”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出角的倍分角线的定义，在探究中感受数学之美． 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中是所分角中较小角的倍，那么我们称射线为的倍分角线．如图1，若，则射线为的3倍分角线． 【特例感知】 (1)若， ①射线为的2倍分角线，则________； ②射线为的3倍分角线，则________； 【类比探究】 (2)如图2，点，，在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若射线，分别为和的4倍分角线（，），当时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒，同时射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒．在旋转的过程中，当射线是的倍分角线时（），恰好射线也是的倍分角线（），请直接写出与的数量关系________． 【答案】(1) 或 (2) (3) 【分析】（1）根据定义，计算即可求解； （2）设，则，根据“4倍分角线”，可求出和， 再根据，列出方程，求解即可； （3）设旋转时间为秒，则，，则根据“倍分角线”，可得，，从而，同理可得，进而得到，整理可得． 【详解】（1）解：①射线为的2倍分角线，， ，即； 故答案为：； ②射线为的3倍分角线，， 当，即； 当，即， ， 故答案为：或； （2）解：设， 点，，在同一条直线上， ，即， 射线，分别为和的4倍分角线（，）， ，， 则， ，， ，即，解得， ； （3）由（2）可知，，，，， 设旋转时间为秒，则，， 射线是的倍分角线时（）， ， ， ， 射线也是的倍分角线（）， ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查角的运算，角的倍分角线的定义，动角问题，正确掌握角的运算和角的倍分角线的定义是解题的关键． ▌题型10 三角板中的角度计算 【典例10】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 【答案】D 【分析】本题考查了三角板的角度计算；①依据，即可得到； ②画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：①， ， ，是定值；故①错误． ②设，则． 如图 ， ， ， ， ， ． 如图 由①可知，， ， 解得：， 即， 此时不垂直于故②错误． 故选：D． 【变式1】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，将一副三角尺角和角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，在旋转过程中三角板的边始终在的内部，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角板中角度的计算．根据题意可得，从而得到，，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴，， ∴． 故选：A 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，将两块三角板的直角与的顶点重合在一起，绕点转动三角板，使两块三角板仍有部分重叠，且，则的度数为_____． 【答案】/45度 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，由角的和差得，求得， 即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图1，一副三角板摆放在水平桌面上，．三角板绕点顺时针转动，每秒转动．设三角板转动的时间为秒， (1)如图2，若三角板静止不动，当恰好被平分时，求的值． (2)如图3，若三角板在三角板转动的同时，绕点逆时针转动，每秒转动，直至与桌面重合，两块三角板同时停止转动． ①当秒时，试说明：恰好平分． ②请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)； (2) ①解：当时，， ， ∴， ∴， ∴， ∴平分； ②或． 【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握角平分线定义． （1）根据角平分线定义得出，根据题意列出方程，解方程即可； （2）①先求出当时，，，再分别求出，，得出，即可得出答案； ②分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵当恰好被平分时，， ∴， 解得：； （2）解：①略 ②当在左侧时，如图所示： 根据旋转可得：，，， ∴， ∴； 当在右侧时，如图所示： 根据旋转可得：，，， ∴， ∴； 综上，或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $