重难点专题 图形的初步知识—角（专项训练）数学浙教版2024七年级上册

重难点专题 图形的初步知识——角 6.5角与角的度量 重难点一 角的单位与角度制 一、理解角度制的概念 1. 核心定义 角度制是度量角的常用单位制，规定将一个周角平均分成360等份，每一份为1度（记为1°）。进一步细分：1度等于60分（1°=60′），1分等于60秒（1′=60″），即采用六十进制（区别于十进制）。 例：周角=360°，平角=180°，直角=90°。 2. 单位换算逻辑 大单位化小单位：乘进率（度→分×60，分→秒×60）。 ▶ 例：2.5°=2°+0.5°=2°+0.5×60′=2°30′；1.25°=1°15′（0.25×60=15）。 小单位化大单位：除以进率（秒→分÷60，分→度÷60），不满1的部分保留原单位或用小数表示。 ▶ 例：3600″=3600÷60′=60′=60÷60°=1°；48′=48÷60°=0.8°；75′=1°15′（75=60+15）。 二、单位换算的步骤与技巧 1. 换算三步法 分解：将复合单位（如度分秒）拆分为单一单位分别换算； 计算：按进率乘除，注意小数点位置； 整合：合并结果，确保分、秒数值小于60（若超过则进位）。 ▶ 例：3°45′30″换算为度： 30″=30÷60′=0.5′，45′+0.5′=45.5′，45.5′=45.5÷60°≈0.758°，总度数≈3.758°。 2. 易错点警示 避免十进制惯性：如误认为1.5°=1°50′（错误），正确应为1°30′； 连续换算分步算：先秒化分，再分化度，避免跳步出错。 三、角度制的实际应用 1. 测量与读数 使用量角器时，直接读取度分（精确到1°或0.5°），高精度场景需估读到分或秒。 例：量角器显示125°30′，即125.5°。 2. 计算中的单位统一 加减运算：度、分、秒分别对齐，满60进1，不够减则借1当60。 例：100°15′-35°40′=99°75′-35°40′=64°35′（100°借1°化为60′，15′+60′=75′）。 乘除运算：先统一为度（小数形式）计算，结果再转换回度分秒（若需）。 ▶例：25.2°×3=75.6°=75°36′（0.6×60=36′）。 1．将用度、分、秒表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．将化成度、分、秒的形式为 ． 3．计算： (1)把化为度、分、秒的形式． (2)把化成度的形式． 重难点二 度、分、秒之间的计算 一、度、分、秒的单位换算关系 度、分、秒是角的度量单位，它们之间采用60进制，即： 1度（°）= 60分（′），1分（′）= 60秒（″），1度（°）= 3600秒（″）。 二、度、分、秒的加法计算 步骤： 1. 秒与秒相加：若结果≥60秒，将多余的秒数转换为分（除以60，商为分，余数为秒）。 2. 分与分相加：加上步骤1中转换后的分，若结果≥60分，将多余的分数转换为度（除以60，商为度，余数为分）。 3. 度与度相加：加上步骤2中转换后的度，得到最终结果。 示例：计算 (36°25′42″ + 18°46′35″) 秒相加：(42″ + 35″ = 77″)，(77″ = 1′17″)（余17″，向分进1）。 分相加：(25′ + 46′ + 1′ = 72′)，(72′ = 1°12′)（余12′，向度进1）。 度相加：。 结果：(55°12′17″)。 三、度、分、秒的减法计算 步骤： 1. 秒与秒相减：若被减数的秒数＜减数的秒数，需从被减数的分中借1分（即60秒），与原秒数相加后再减。 2. 分与分相减：若被减数的分数＜减数的分数（或因借位导致分数减少），需从被减数的度中借1度（即60分），与原分数相加后再减。 3. 度与度相减：被减数的度减去减数的度，得到最终结果。 示例：计算 (100° - 36°25′42″) 将100°转换为便于计算的形式：(99°59′60″)（借1°为60分，再借1分为60秒）。 秒相减：(60″ - 42″ = 18″)。 分相减：(59′ - 25′ = 34′)。 度相减：。 结果：(63°34′18″)。 四、度、分、秒的乘法计算（以乘以整数为例） 步骤： 1. 秒乘以整数：结果≥60秒时，转换为分（除以60，商为分，余数为秒）。 2. 分乘以整数：加上步骤1中转换后的分，结果≥60分时，转换为度（除以60，商为度，余数为分）。 3. 度乘以整数：加上步骤2中转换后的度，得到最终结果。 示例：计算 (36°25′42″ × 2) 秒相乘：(42″ × 2 = 84″ = 1′24″)（余24″，向分进1）。 分相乘：(25′ × 2 + 1′ = 51′)（51′＜60′，无需进位）。 度相乘：(36° × 2 = 72°)。 结果：(72°51′24″)。 五、度、分、秒的除法计算（以除以整数为例） 步骤： 1. 度除以整数：得到的商为度的整数部分，余数转换为分（余数×60）。 2. 分除以整数：用上一步的余数分加上新的分（若有），得到的商为分的整数部分，余数转换为秒（余数×60）。 3. 秒除以整数：得到的商为秒的部分（通常保留整数或按要求四舍五入）。 示例：计算 (100°30′ ÷ 4) 度除以4：(100° ÷ 4 = 25°)（余数0°，无需转换）。 分除以4：(30′ ÷ 4 = 7′)（商7′，余数2′，转换为120″）。 秒除以4：(120″ ÷ 4 = 30″)。 结果：(25°7′30″)。 1．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（1） ′ ″． （2）计算： ． 3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 重难点三 时钟问题 一、时钟基本知识 1. 钟面结构：钟面为圆形，共360°，被12个数字等分为12大格，每大格=360°÷12=30°；每大格又分为5小格，每小格=30°÷5=6°。 2. 指针速度： 时针：12小时转360°，每小时转30°（360°÷12），每分钟转0.5°（30°÷60）。 分针：60分钟转360°，每分钟转6°（360°÷60）。 速度差：分针每分钟比时针多转5.5°（6°-0.5°），此为追及问题的核心量。 二、核心题型与解题步骤 题型1：已知时间，求时针与分针的夹角 方法： 1. 确定时针位置： 整点时，时针指向对应数字，例如3点整时针在3（3×30°=90°）。 非整点时，时针从整点位置额外移动：时针角度=整点数字×30°+分钟数×0.5°。 例：3点20分，时针角度=3×30°+20×0.5°=90°+10°=100°。 2. 确定分针位置： 分针角度=分钟数×6°（因每分钟转6°）。 例：3点20分，分针角度=20×6°=120°。 3. 计算夹角： 两针夹角=|时针角度-分针角度|，若结果＞180°，则用360°减去该值（因夹角取较小角）。 例：3点20分，夹角=|100°-120°|=20°（＜180°，直接取20°）。 题型2：已知夹角，求时间（追及/相遇问题） 方法：转化为“路程差”或“路程和”的追及问题，设未知时间为t分钟，列方程求解。 1. 追及问题（分针追时针成特定夹角）： 初始夹角：例如2点整，时针领先分针2×30°=60°。 等量关系：分针转过角度-时针转过角度=初始夹角±目标夹角（或360°±目标夹角，根据方向判断）。 例：2点后何时分针与时针首次成直角？ 解：初始夹角60°，目标夹角90°（分针需多转60°+90°=150°）。 设t分钟后成直角，方程：6t - 0.5t = 150° → 5.5t=150 → t=150/5.5≈27.27分钟（即2点27分16秒）。 2. 相遇问题（分针与时针重合）： 等量关系：分针转过角度=时针转过角度+初始夹角（整点时的夹角）。 例：3点后何时分针与时针重合？ 解：初始夹角90°，方程：6t = 0.5t + 90° → 5.5t=90 → t=90/5.5≈16.36分钟（即3点16分22秒）。 1．如图所示，钟表上显示的时刻是点分，再过分钟，时针与分针所成的角是（   ） A． B． C． D． 2．小明早上7：00去上学，上学时时针和分针的夹角（小于平角的角）是 ． 3．知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），　　h后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，与成直角． （1）时，时针与分针所成的角度 ； （2）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？ 6.6角的大小比较 重难点一 比较两角的大小 叠合法是把两个角的顶点和一条边分别重合，通过观察另一条边的位置关系来比较大小。具体操作时，先将角∠AOB的顶点O与角∠COD的顶点O重合，再将∠AOB的一条边OA与∠COD的一条边OC重合，并且使两个角的另一条边OB和OD都位于重合边OA（或OC）的同侧。此时，如果边OB与边OD也重合，那么这两个角相等，记作∠AOB=∠COD；如果边OB落在∠COD的内部，那么∠AOB小于∠COD，记作∠AOB<∠COD；如果边OB落在∠COD的外部，那么∠AOB大于∠COD，记作∠AOB>∠COD。这种方法能够直观地通过图形的重叠来判断角的大小关系，是几何中比较角大小的基本方法之一。 度量法是利用量角器测量出角的度数，然后根据度数的大小来比较角的大小。首先，将量角器的中心与角的顶点重合，量角器的零刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对应的量角器上的刻度就是这个角的度数。例如，测量得到∠1的度数是35°，∠2的度数是50°，因为35°<50°，所以∠1<∠2。度数大的角就大，度数小的角就小，当两个角的度数相等时，这两个角就相等。度量法通过具体的数值来比较角的大小，更加精确和量化，适用于需要准确知道角的大小关系的情况。 在实际应用中，叠合法常用于直观感知和几何推理，而度量法则在需要精确数据时使用。这两种方法相互补充，帮助我们准确比较角的大小。 1．在内部任取一点，作射线，则一定存在（   ） A． B． C． D． 2．比较图中、的大小： ．（填“>”“<”或“=”） 3．如图，点是射线外一点．按下列语句画图并回答问题： (1)画射线； (2)在射线上截取； (3)连接； (4)根据图形可得： （用“”，“”或“”填空）； (5)与的大小关系是： （用“”，“”或“”填空） 重难点二 网格中的角的比较 一、直接观察法（初步判断） 1. 原理：若两个角的开口方向相近，可通过观察角的两边张开程度直接比较。 2. 操作：在网格中，角的顶点与两边均与格点重合时，开口越大的角度数越大。 二、构造直角或特殊角比较法 借助直角（90°）作为中间量： 若一个角明显大于直角，另一个小于直角，则直接判断大小（如120°＞80°）。 若两角均为锐角或均为钝角，可构造与直角的差值比较。 1．如图所示，正方形网格中有和，如果每个小正方形的边长都为，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法估测 2．如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则 ．（填“”，“”或“”） 3．如图，点在正方形网格格点上，所有小正方形的边长都相等， 利用画图工具画图： (1)画出线段、直线、射线； (2)延长线段到点，使；根据画图可以发现：____________；利用画图工具比较大小（填“”“ ”或“”）：线段____________线段；____________． 6.7角的和差 重难点一 三角板中的角度计算 在数学学习中，我们常用的一副三角板有两个，它们各自的角度是固定的。一个三角板的三个角分别是30°、60°、90°；另一个三角板的三个角分别是45°、45°、90°。利用这两个三角板中角的和与差，可以计算出一些特定的角度。以下是具体的方法： 一、直接使用三角板中的已知角 三角板本身就有30°、45°、60°、90°这几个角度，所以这些角度可以直接得到。例如，要画一个30°的角，直接使用有30°角的那个三角板即可。 二、通过角的相加计算角度 将两个三角板的不同角拼合在一起，使它们的一条边重合，另两条边形成的角就是这两个角的和。 1. 30°+45°=75°：把30°角三角板的一条直角边与45°角三角板的一条直角边重合，30°角的另一条边和45°角的另一条边所形成的角就是75°。 2. 30°+90°=120°：将30°角的一条边与90°角的一条边重合（可以是同一个三角板的90°角，也可以是另一个三角板的90°角，结果相同），另两条边形成的角就是120°。 3. 45°+60°=105°：让45°角三角板的一条边与60°角三角板的一条边重合，剩下的两条边组成的角就是105°。 4. 45°+90°=135°：把45°角的一条边和90°角的一条边重合，另两条边形成135°角。 5. 60°+90°=150°：将60°角的一条边与90°角的一条边重合，得到150°角。 6. 30°+45°+90°=165°：这种情况相对复杂些，可先将30°和45°角按上述方法拼出75°角，再将这个75°角与90°角拼合，即75°+90°=165°。或者用其他组合方式，只要能使三个角的和为165°即可，但实际操作中前一种分步拼合更简便。 三、通过角的相减计算角度 将两个三角板叠合，使它们的一个角的顶点和一条边重合，其中一个角在另一个角的内部，那么另一条边所形成的角就是这两个角的差。 1. 45°-30°=15°：把两个三角板的一条直角边重合，且使45°角的顶点与30°角的顶点也重合，45°角的另一条边在30°角的外部，此时45°角的另一条边与30°角的另一条边之间的夹角就是15°。 2. 90°-30°=60°：将90°角和30°角的顶点及一条边重合，90°角的另一条边在30°角外部，两角另一条边的夹角为60°（不过60°角本身三角板就有，此方法主要用于理解角的差的计算）。 3. 90°-45°=45°：同样，90°角与45°角按上述方式叠合，可得到45°角（本身存在，主要用于方法演示）。 4. 90°-60°=30°：90°角和60°角叠合，得到30°角（本身存在，用于方法演示）。 1．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 2．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，则 ． 3．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，______． (2)将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，则______； (3)将上述直角三角板按图3的位置放置，使得在的内部，求的度数． 重难点二 角平分线的计算 一、角平分线的定义 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。若OC是∠AOB的角平分线，则∠AOC=∠COB=∠AOB/2，且∠AOB=2∠AOC=2∠COB。 二、基本计算类型及方法 1. 已知角的度数和角平分线，求分角的度数 方法：直接利用角平分线定义，用已知角的度数除以2即可得到每个分角的度数。 示例：若∠AOB=80°，OC是∠AOB的角平分线，则∠AOC=∠COB=80°÷2=40°。 2. 已知分角的度数和角平分线，求原角的度数 方法：根据角平分线定义，原角的度数等于分角的度数乘以2。 示例：若OC是∠AOB的角平分线，∠AOC=35°，则∠AOB=2∠AOC=2×35°=70°。 3. 含多个角平分线的复合计算 方法：先确定各个角平分线所分的角，逐步运用角平分线定义，从已知角推向未知角，或从未知角倒推需要的已知角，注意角之间的和差关系。 示例：已知∠AOB=120°，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，则∠AOD的度数为： ① OC平分∠AOB，所以∠AOC=∠AOB/2=120°÷2=60°； ② OD平分∠AOC，所以∠AOD=∠AOC/2=60°÷2=30°。 4. 结合角的和差关系的计算 方法：先根据图形确定所求角与已知角之间的和差关系，再结合角平分线的性质列出等式，求解未知角的度数。 示例：已知∠AOB=90°，OC是∠AOB外部的一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数： ① 设∠BOC=x，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+x； ② OD平分∠AOC，所以∠DOC=∠AOC/2=/2=45°+x/2； ③ OE平分∠BOC，所以∠EOC=∠BOC/2=x/2； ④ ∠DOE=∠DOC - ∠EOC= - x/2=45°。 1．如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，已知，．平分，平分．则 ． 3．【问题提出】 （1）如图1，、是内的两条射线，平分，，．求的度数； 【问题探究】 （2）如图2，已知是（）内的三条射线，平分，，且在的左侧，现要在内画一条射线，使得，求的度数； 【拓展提升】 （3）如图3，张老师在黑板上画出，并在内部画出（射线在的左侧）和射线、，其中平分，平分，若，，，，请你猜想、和之间的数量关系，并说明理由． 重难点三 角n等分线的计算 一、核心概念 1. 角n等分线定义 从一个角的顶点出发，将这个角平均分成n个相等的小角的射线，叫做这个角的n等分线。例如： 2等分线（角平分线）将角分成2个相等的角； 3等分线将角分成3个相等的角； n等分线将角分成n个相等的角，每个小角的度数为原角的。 二、基本公式 若已知一个角的度数为，其n等分线将分成n个相等的角，则每个小角的度数为： 1．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 2．如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 3．综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．若，则线段_____； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出______°．（用含的式子表示） 综合提升： （4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出______°． 6.8余角和补角 重难点一 求一个角的余角 一、明确余角的定义 若两个角的度数之和为90°，则这两个角互为余角。其中一个角是另一个角的余角。 几何语言：若∠α + ∠β = 90°，则∠α是∠β的余角，∠β也是∠α的余角。 二、求一个角的余角的步骤 1. 确定已知角的度数 明确题目中给出的角的度数，记为∠A，单位为“度”（°）。 2. 判断已知角是否存在余角 根据余角定义，两个角的和必须为90°，因此已知角的度数必须满足： 0° < ∠A < 90°（若∠A = 0°或90°，则不存在余角；若∠A > 90°，也不存在余角）。 3. 计算余角的度数 若∠A存在余角，设其余角为∠B，则根据定义可得： ∠B = 90° - ∠A 1．如图，，则图中互余的角共有（    ） A．2对 B．4对 C．3对 D．5对 2．一个角是，则它的余角的度数是 ． 3．已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，若，，平分，求α． (3)如图3，若与互余，也与互余，请直接写出的度数．（用含α的式子表示） 重难点二 求一个角的补角 一、明确补角的定义 若两个角的度数之和为180°，则这两个角互为补角。其中一个角是另一个角的补角。例如，若∠A + ∠B = 180°，则∠A是∠B的补角，∠B也是∠A的补角。 二、计算步骤 1. 确定已知角的度数 设已知角的度数为 ( x )（单位：度，通常用“°”表示），需明确 ( x ) 的具体数值或表达式（如 ( 30° )、 等）。 2. 根据定义列算式 因为补角之和为180°，所以所求补角的度数 = ( 180° - x )。 3. 计算结果 将已知角的度数代入算式，进行减法运算，得到补角的度数。 1．若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的余角与补角的和为 ． 3．如图，直线与相交于点是的平分线． (1)请写出图中的所有的补角； (2)如果．求的度数． (3)在(2)的条件下，经过点O在内部作射线，使得，求的度数． 重难点三 同(等)角的余(补)角相等 一、核心概念理解 1. 余角定义：若两个角的和等于90°（直角），则这两个角互为余角。数学表达式：若∠α+∠β=90°，则∠α是∠β的余角，∠β也是∠α的余角。 2. 补角定义：若两个角的和等于180°（平角），则这两个角互为补角。数学表达式：若∠α+∠γ=180°，则∠α是∠γ的补角，∠γ也是∠α的补角。 3. 同角与等角："同角"指同一个角；"等角"指度数相等的两个角（∠α=∠β）。 二、定理推导与数学表达 （一）同角的余角相等 已知：∠AOB=90°，射线OC在∠AOB内部，∠AOC=∠1，∠COB=∠2 推导： ∵ ∠1+∠2=∠AOB=90°（角的和差定义） ∴ ∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1 结论：同一个角（∠1或∠2）的余角相等 数学语言：若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3（同角的余角相等） （二）等角的余角相等 已知：∠1=∠3，且∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90° 推导： ∵ ∠2=90°-∠1，∠4=90°-∠3（等式性质） 又∵ ∠1=∠3（已知） ∴ ∠2=∠4（等量代换） 数学语言：若∠1=∠3，∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，则∠2=∠4（等角的余角相等） （三）同角的补角相等 已知：直线AB，点O在AB上，∠AOC=∠1，∠COB=∠2 推导： ∵ ∠1+∠2=∠AOB=180°（平角定义） ∴ ∠1的补角是∠2，∠2的补角是∠1 结论：同一个角（∠1或∠2）的补角相等 数学语言：若∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，则∠2=∠3（同角的补角相等） （四）等角的补角相等 已知：∠1=∠3，且∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180° 推导： ∵ ∠2=180°-∠1，∠4=180°-∠3（等式性质） 又∵ ∠1=∠3（已知） ∴ ∠2=∠4（等量代换） 数学语言：若∠1=∠3，∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，则∠2=∠4（等角的补角相等） 1．如图所示的是光的反射定律示意图，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角；法线是过入射点垂直于镜面的虚线）．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，若，于点，，，则 ． 3．如图． (1)请写出与的数量关系，并说明理由； (2)写出的补角和余角； (3)如果，平分，求度数． 16 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 图形的初步知识——角 6.5角与角的度量 重难点一 角的单位与角度制 一、理解角度制的概念 1. 核心定义 角度制是度量角的常用单位制，规定将一个周角平均分成360等份，每一份为1度（记为1°）。进一步细分：1度等于60分（1°=60′），1分等于60秒（1′=60″），即采用六十进制（区别于十进制）。 例：周角=360°，平角=180°，直角=90°。 2. 单位换算逻辑 大单位化小单位：乘进率（度→分×60，分→秒×60）。 ▶ 例：2.5°=2°+0.5°=2°+0.5×60′=2°30′；1.25°=1°15′（0.25×60=15）。 小单位化大单位：除以进率（秒→分÷60，分→度÷60），不满1的部分保留原单位或用小数表示。 ▶ 例：3600″=3600÷60′=60′=60÷60°=1°；48′=48÷60°=0.8°；75′=1°15′（75=60+15）。 二、单位换算的步骤与技巧 1. 换算三步法 分解：将复合单位（如度分秒）拆分为单一单位分别换算； 计算：按进率乘除，注意小数点位置； 整合：合并结果，确保分、秒数值小于60（若超过则进位）。 ▶ 例：3°45′30″换算为度： 30″=30÷60′=0.5′，45′+0.5′=45.5′，45.5′=45.5÷60°≈0.758°，总度数≈3.758°。 2. 易错点警示 避免十进制惯性：如误认为1.5°=1°50′（错误），正确应为1°30′； 连续换算分步算：先秒化分，再分化度，避免跳步出错。 三、角度制的实际应用 1. 测量与读数 使用量角器时，直接读取度分（精确到1°或0.5°），高精度场景需估读到分或秒。 例：量角器显示125°30′，即125.5°。 2. 计算中的单位统一 加减运算：度、分、秒分别对齐，满60进1，不够减则借1当60。 例：100°15′-35°40′=99°75′-35°40′=64°35′（100°借1°化为60′，15′+60′=75′）。 乘除运算：先统一为度（小数形式）计算，结果再转换回度分秒（若需）。 ▶例：25.2°×3=75.6°=75°36′（0.6×60=36′）。 1．将用度、分、秒表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查度、分、秒的互化，相对比较简单，注意以60为进制． 先求出，再求出，进而可得出答案． 【详解】解：，， 故把用度、分、秒表示为， 故选：B． 2．将化成度、分、秒的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．计算： (1)把化为度、分、秒的形式． (2)把化成度的形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度的换算，回忆度、分、秒之间的换算关系，解题时要熟练掌握它们之间的换算关系并灵活运用． （1）根据度、分、秒之间的换算关系换算即可； （2）根据度、分、秒之间的换算关系换算即可． 【详解】（1）解：根据得：， 根据得：， 所以； （2）因为，， 所以． 重难点二 度、分、秒之间的计算 一、度、分、秒的单位换算关系 度、分、秒是角的度量单位，它们之间采用60进制，即： 1度（°）= 60分（′），1分（′）= 60秒（″），1度（°）= 3600秒（″）。 二、度、分、秒的加法计算 步骤： 1. 秒与秒相加：若结果≥60秒，将多余的秒数转换为分（除以60，商为分，余数为秒）。 2. 分与分相加：加上步骤1中转换后的分，若结果≥60分，将多余的分数转换为度（除以60，商为度，余数为分）。 3. 度与度相加：加上步骤2中转换后的度，得到最终结果。 示例：计算 (36°25′42″ + 18°46′35″) 秒相加：(42″ + 35″ = 77″)，(77″ = 1′17″)（余17″，向分进1）。 分相加：(25′ + 46′ + 1′ = 72′)，(72′ = 1°12′)（余12′，向度进1）。 度相加：。 结果：(55°12′17″)。 三、度、分、秒的减法计算 步骤： 1. 秒与秒相减：若被减数的秒数＜减数的秒数，需从被减数的分中借1分（即60秒），与原秒数相加后再减。 2. 分与分相减：若被减数的分数＜减数的分数（或因借位导致分数减少），需从被减数的度中借1度（即60分），与原分数相加后再减。 3. 度与度相减：被减数的度减去减数的度，得到最终结果。 示例：计算 (100° - 36°25′42″) 将100°转换为便于计算的形式：(99°59′60″)（借1°为60分，再借1分为60秒）。 秒相减：(60″ - 42″ = 18″)。 分相减：(59′ - 25′ = 34′)。 度相减：。 结果：(63°34′18″)。 四、度、分、秒的乘法计算（以乘以整数为例） 步骤： 1. 秒乘以整数：结果≥60秒时，转换为分（除以60，商为分，余数为秒）。 2. 分乘以整数：加上步骤1中转换后的分，结果≥60分时，转换为度（除以60，商为度，余数为分）。 3. 度乘以整数：加上步骤2中转换后的度，得到最终结果。 示例：计算 (36°25′42″ × 2) 秒相乘：(42″ × 2 = 84″ = 1′24″)（余24″，向分进1）。 分相乘：(25′ × 2 + 1′ = 51′)（51′＜60′，无需进位）。 度相乘：(36° × 2 = 72°)。 结果：(72°51′24″)。 五、度、分、秒的除法计算（以除以整数为例） 步骤： 1. 度除以整数：得到的商为度的整数部分，余数转换为分（余数×60）。 2. 分除以整数：用上一步的余数分加上新的分（若有），得到的商为分的整数部分，余数转换为秒（余数×60）。 3. 秒除以整数：得到的商为秒的部分（通常保留整数或按要求四舍五入）。 示例：计算 (100°30′ ÷ 4) 度除以4：(100° ÷ 4 = 25°)（余数0°，无需转换）。 分除以4：(30′ ÷ 4 = 7′)（商7′，余数2′，转换为120″）。 秒除以4：(120″ ÷ 4 = 30″)。 结果：(25°7′30″)。 1．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据度分秒的换算，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴，选项说法错误，不符合题意； B、，，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（1） ′ ″． （2）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查角度的计算，度分秒的单位互化，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先进行加法运算，然后将小数位乘以换算成“分”，再将“分”的小数乘以化为“秒”； （2）将先化为，再进行减法运算． 【详解】（1）解：， ， ， ∴． 故答案为：； （2）解： ． 故答案为：． 3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可； （3）根据角的四则运算法则求解即可； （4）根据角的四则运算法则求解即可； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 重难点三 时钟问题 一、时钟基本知识 1. 钟面结构：钟面为圆形，共360°，被12个数字等分为12大格，每大格=360°÷12=30°；每大格又分为5小格，每小格=30°÷5=6°。 2. 指针速度： 时针：12小时转360°，每小时转30°（360°÷12），每分钟转0.5°（30°÷60）。 分针：60分钟转360°，每分钟转6°（360°÷60）。 速度差：分针每分钟比时针多转5.5°（6°-0.5°），此为追及问题的核心量。 二、核心题型与解题步骤 题型1：已知时间，求时针与分针的夹角 方法： 1. 确定时针位置： 整点时，时针指向对应数字，例如3点整时针在3（3×30°=90°）。 非整点时，时针从整点位置额外移动：时针角度=整点数字×30°+分钟数×0.5°。 例：3点20分，时针角度=3×30°+20×0.5°=90°+10°=100°。 2. 确定分针位置： 分针角度=分钟数×6°（因每分钟转6°）。 例：3点20分，分针角度=20×6°=120°。 3. 计算夹角： 两针夹角=|时针角度-分针角度|，若结果＞180°，则用360°减去该值（因夹角取较小角）。 例：3点20分，夹角=|100°-120°|=20°（＜180°，直接取20°）。 题型2：已知夹角，求时间（追及/相遇问题） 方法：转化为“路程差”或“路程和”的追及问题，设未知时间为t分钟，列方程求解。 1. 追及问题（分针追时针成特定夹角）： 初始夹角：例如2点整，时针领先分针2×30°=60°。 等量关系：分针转过角度-时针转过角度=初始夹角±目标夹角（或360°±目标夹角，根据方向判断）。 例：2点后何时分针与时针首次成直角？ 解：初始夹角60°，目标夹角90°（分针需多转60°+90°=150°）。 设t分钟后成直角，方程：6t - 0.5t = 150° → 5.5t=150 → t=150/5.5≈27.27分钟（即2点27分16秒）。 2. 相遇问题（分针与时针重合）： 等量关系：分针转过角度=时针转过角度+初始夹角（整点时的夹角）。 例：3点后何时分针与时针重合？ 解：初始夹角90°，方程：6t = 0.5t + 90° → 5.5t=90 → t=90/5.5≈16.36分钟（即3点16分22秒）。 1．如图所示，钟表上显示的时刻是点分，再过分钟，时针与分针所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的知识，熟练掌握角的运算是解题的关键． 根据题意计算点分时针与分针所成的角，即可求解； 【详解】解：点分，再过分钟，就是点分， ， 故选：C 2．小明早上7：00去上学，上学时时针和分针的夹角（小于平角的角）是 ． 【答案】/度 【分析】钟表在7点时，分针正好指着数字“12”，时针指在数字“7”，此时时针和分针所形成的较小的角占5个大格，根据钟表每个大格的度数计算即可得． 题目主要考查钟面角度的计算，理解题意，熟练掌握运用钟面角度的特性是解题关键． 【详解】解：钟表7：00分时，分针正好指着数字“12”，时针指在数字“7”，此时时针和分针所形成的较小的角占5个大格； ∵钟面上有12个大格， ∴每个大格的度数为：， ∴， 故答案为：． 3．知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），　　h后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，与成直角． （1）时，时针与分针所成的角度 ； （2）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？ 【答案】问题一：5或25 问题二：（1）；（2），；（3）或分钟 【分析】本题考主要考查了一元一次方程的应用，钟面角问题： 问题一：分两种情况解答：①乙车在前甲车在后，②甲车在前乙车在后；列出方程求解即可； 问题二：（1）根据钟面的特点，平均分成12份，可得每份，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． （2）钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，分针每分钟转过的角是分，即；时钟的时针每小时转过的角是一份，即，即可得结果； （3）分①当分针在时针上方时②当分针在时针下方时两种情况列出方程解答即可． 【详解】解：问题一：设x小时后两车相距， 若相遇前，则， 解得， 若相遇后，则， 解得． 故两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），5小时或25小时后两车相距； 故答案为：5或25； 问题二： （1）． 故时，时针与分针所成的角度； 故答案为：； （2）分针每分钟转过的角度为，时针每分钟转过的角度为； 故答案为：，； （3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：， 解得：； ②当分针在时针下方时， 由题意得： 解得：． 答：在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过或分钟，时针与分针成 角． 6.6角的大小比较 重难点一 比较两角的大小 叠合法是把两个角的顶点和一条边分别重合，通过观察另一条边的位置关系来比较大小。具体操作时，先将角∠AOB的顶点O与角∠COD的顶点O重合，再将∠AOB的一条边OA与∠COD的一条边OC重合，并且使两个角的另一条边OB和OD都位于重合边OA（或OC）的同侧。此时，如果边OB与边OD也重合，那么这两个角相等，记作∠AOB=∠COD；如果边OB落在∠COD的内部，那么∠AOB小于∠COD，记作∠AOB<∠COD；如果边OB落在∠COD的外部，那么∠AOB大于∠COD，记作∠AOB>∠COD。这种方法能够直观地通过图形的重叠来判断角的大小关系，是几何中比较角大小的基本方法之一。 度量法是利用量角器测量出角的度数，然后根据度数的大小来比较角的大小。首先，将量角器的中心与角的顶点重合，量角器的零刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对应的量角器上的刻度就是这个角的度数。例如，测量得到∠1的度数是35°，∠2的度数是50°，因为35°<50°，所以∠1<∠2。度数大的角就大，度数小的角就小，当两个角的度数相等时，这两个角就相等。度量法通过具体的数值来比较角的大小，更加精确和量化，适用于需要准确知道角的大小关系的情况。 在实际应用中，叠合法常用于直观感知和几何推理，而度量法则在需要精确数据时使用。这两种方法相互补充，帮助我们准确比较角的大小。 1．在内部任取一点，作射线，则一定存在（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查两个角的大小的比较，根据射线在的内部，可知在的内部，且有一条公共边，进而即可判断求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵射线在的内部， ∴在的内部，且有一条公共边， ∴， 故选：． 2．比较图中、的大小： ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【分析】本题考查了角的大小比较．根据两角不重合的边的位置，判断得结论． 【详解】解：∵和是公共边，在的内部， ∴． 故答案为：<． 3．如图，点是射线外一点．按下列语句画图并回答问题： (1)画射线； (2)在射线上截取； (3)连接； (4)根据图形可得： （用“”，“”或“”填空）； (5)与的大小关系是： （用“”，“”或“”填空） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4) (5) 【分析】本题考查作图—复杂作图，直线，射线，线段，角的大小比较， （1）根据射线的定义画出图形； （2）根据线段的定义画出图形； （3）根据线段的定义画出图形； （4）根据两点之间线段最短判断即可； （5）利用度量法判断即可； 解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． 【详解】（1）解：如图，射线即为所作； （2）如图，线段即为所作； （3）如图，线段即为所作； （4）， 故答案为：； （5）如图，， 故答案为：． 重难点二 网格中的角的比较 一、直接观察法（初步判断） 1. 原理：若两个角的开口方向相近，可通过观察角的两边张开程度直接比较。 2. 操作：在网格中，角的顶点与两边均与格点重合时，开口越大的角度数越大。 二、构造直角或特殊角比较法 借助直角（90°）作为中间量： 若一个角明显大于直角，另一个小于直角，则直接判断大小（如120°＞80°）。 若两角均为锐角或均为钝角，可构造与直角的差值比较。 1．如图所示，正方形网格中有和，如果每个小正方形的边长都为，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法估测 【答案】A 【分析】本题考查了角的大小比较，数形结合是解题的关键．作，由图可知，即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， 故选：A． 2．如图所示的正方形网格中，点、、是格点，则 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，熟练掌握网格特点和角的大小比较是解题关键．如图（见解析），根据网格特点可得，，，由此即可得． 【详解】解：如图，由网格可知，，，， 则， 故答案为：． 3．如图，点在正方形网格格点上，所有小正方形的边长都相等， 利用画图工具画图： (1)画出线段、直线、射线； (2)延长线段到点，使；根据画图可以发现：____________；利用画图工具比较大小（填“”“ ”或“”）：线段____________线段；____________． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】本题主要考查了作图−复杂作图，比较线段的长短和角的大小．作两点之间的线段，连接两点即可，由两点作直线，连接两点并向两个方向延长即可得这两点确定的直线．作射线时以一个点为原点，并向另一个方向无限延长． （1）根据题意画出线段、直线、射线即可； （2）根据题意找到D点，进行大小比较即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为线段、直线、射线． （2）解：作图如下，由图象可知，， 线段与线段的大小关系为：，， 故答案为：，．． 6.7角的和差 重难点一 三角板中的角度计算 在数学学习中，我们常用的一副三角板有两个，它们各自的角度是固定的。一个三角板的三个角分别是30°、60°、90°；另一个三角板的三个角分别是45°、45°、90°。利用这两个三角板中角的和与差，可以计算出一些特定的角度。以下是具体的方法： 一、直接使用三角板中的已知角 三角板本身就有30°、45°、60°、90°这几个角度，所以这些角度可以直接得到。例如，要画一个30°的角，直接使用有30°角的那个三角板即可。 二、通过角的相加计算角度 将两个三角板的不同角拼合在一起，使它们的一条边重合，另两条边形成的角就是这两个角的和。 1. 30°+45°=75°：把30°角三角板的一条直角边与45°角三角板的一条直角边重合，30°角的另一条边和45°角的另一条边所形成的角就是75°。 2. 30°+90°=120°：将30°角的一条边与90°角的一条边重合（可以是同一个三角板的90°角，也可以是另一个三角板的90°角，结果相同），另两条边形成的角就是120°。 3. 45°+60°=105°：让45°角三角板的一条边与60°角三角板的一条边重合，剩下的两条边组成的角就是105°。 4. 45°+90°=135°：把45°角的一条边和90°角的一条边重合，另两条边形成135°角。 5. 60°+90°=150°：将60°角的一条边与90°角的一条边重合，得到150°角。 6. 30°+45°+90°=165°：这种情况相对复杂些，可先将30°和45°角按上述方法拼出75°角，再将这个75°角与90°角拼合，即75°+90°=165°。或者用其他组合方式，只要能使三个角的和为165°即可，但实际操作中前一种分步拼合更简便。 三、通过角的相减计算角度 将两个三角板叠合，使它们的一个角的顶点和一条边重合，其中一个角在另一个角的内部，那么另一条边所形成的角就是这两个角的差。 1. 45°-30°=15°：把两个三角板的一条直角边重合，且使45°角的顶点与30°角的顶点也重合，45°角的另一条边在30°角的外部，此时45°角的另一条边与30°角的另一条边之间的夹角就是15°。 2. 90°-30°=60°：将90°角和30°角的顶点及一条边重合，90°角的另一条边在30°角外部，两角另一条边的夹角为60°（不过60°角本身三角板就有，此方法主要用于理解角的差的计算）。 3. 90°-45°=45°：同样，90°角与45°角按上述方式叠合，可得到45°角（本身存在，主要用于方法演示）。 4. 90°-60°=30°：90°角和60°角叠合，得到30°角（本身存在，用于方法演示）。 1．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，由题意得：，即可求解； 【详解】解：如图所示： 由题意得：， ∴； 故选：A 2．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角的和差运算，根据，进一步利用角的和差即可作答． 【详解】解：∵， ∴. 故答案为：． 3．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，______． (2)将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，则______； (3)将上述直角三角板按图3的位置放置，使得在的内部，求的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)的度数为 【分析】本题考查角的计算，找出各个角之间的关系，与已知条件建立关系，然后求出所求角的度数是解题的关键． （1）根据平角的定义可知，结合已知条件，即可求出和的度数； （2）根据的度数和的度数可以得到的度数； （3）根据角的和差关系，分别用含有的式子表示出和，然后两者相减即可得到的度数． 【详解】（1）解：，， ,， 故答案为：，； （2）由（1）得，， ， ， 故答案为：； （3）由（1）得，， ， ， ， ， 即的度数为． 重难点二 角平分线的计算 一、角平分线的定义 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。若OC是∠AOB的角平分线，则∠AOC=∠COB=∠AOB/2，且∠AOB=2∠AOC=2∠COB。 二、基本计算类型及方法 1. 已知角的度数和角平分线，求分角的度数 方法：直接利用角平分线定义，用已知角的度数除以2即可得到每个分角的度数。 示例：若∠AOB=80°，OC是∠AOB的角平分线，则∠AOC=∠COB=80°÷2=40°。 2. 已知分角的度数和角平分线，求原角的度数 方法：根据角平分线定义，原角的度数等于分角的度数乘以2。 示例：若OC是∠AOB的角平分线，∠AOC=35°，则∠AOB=2∠AOC=2×35°=70°。 3. 含多个角平分线的复合计算 方法：先确定各个角平分线所分的角，逐步运用角平分线定义，从已知角推向未知角，或从未知角倒推需要的已知角，注意角之间的和差关系。 示例：已知∠AOB=120°，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，则∠AOD的度数为： ① OC平分∠AOB，所以∠AOC=∠AOB/2=120°÷2=60°； ② OD平分∠AOC，所以∠AOD=∠AOC/2=60°÷2=30°。 4. 结合角的和差关系的计算 方法：先根据图形确定所求角与已知角之间的和差关系，再结合角平分线的性质列出等式，求解未知角的度数。 示例：已知∠AOB=90°，OC是∠AOB外部的一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数： ① 设∠BOC=x，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+x； ② OD平分∠AOC，所以∠DOC=∠AOC/2=/2=45°+x/2； ③ OE平分∠BOC，所以∠EOC=∠BOC/2=x/2； ④ ∠DOE=∠DOC - ∠EOC= - x/2=45°。 1．如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义求出的度数，然后根据平角等于列式计算即可得解． 【详解】解：，射线平分， ， ． 故选：C． 2．如图所示，已知，．平分，平分．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的运算． 根据角平分线的定义得到，，进而得到，则，即可求出的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 3．【问题提出】 （1）如图1，、是内的两条射线，平分，，．求的度数； 【问题探究】 （2）如图2，已知是（）内的三条射线，平分，，且在的左侧，现要在内画一条射线，使得，求的度数； 【拓展提升】 （3）如图3，张老师在黑板上画出，并在内部画出（射线在的左侧）和射线、，其中平分，平分，若，，，，请你猜想、和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）或（3），理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义和角的关系，解题的关键是正确找出角度关系． （1）根据角平分线的定义，结合已知角的关系，得出的度数； （2）先根据已知条件求出、的度数，再分情况讨论射线的位置，进而求出的度数； （3）可根据角平分线的定义，结合已知角的关系，推导出、和之间的数量关系． 【详解】解：（1）， ． ， ． 平分， ． ． （2）， ． 平分， ． ，． ． 当在D的左侧时， ， ，即． 在内． ． 当在D的右侧时， （3），理由如下 平分，平分， ，． ． ， ． ，即 重难点三 角n等分线的计算 一、核心概念 1. 角n等分线定义 从一个角的顶点出发，将这个角平均分成n个相等的小角的射线，叫做这个角的n等分线。例如： 2等分线（角平分线）将角分成2个相等的角； 3等分线将角分成3个相等的角； n等分线将角分成n个相等的角，每个小角的度数为原角的。 二、基本公式 若已知一个角的度数为，其n等分线将分成n个相等的角，则每个小角的度数为： 1．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 2．如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角度间的关系，数形结合．设，结合已知可求，，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：设，则， ， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 3．综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．若，则线段_____； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出______°．（用含的式子表示） 综合提升： （4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出______°． 【答案】（1）7；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了两点间的距离，代数式，角的计算，关键是掌握线段中点、角平分线的定义． （1）已知，，可得的长，因为点，分别是和的中点，可得、的长，因为，可得的长； （2）因为是内部的一条射线，射线平分，射线平分，所以，，已知，可得的度数； （3）已知，，可得的度数，因为，，可得的度数，因为，可得的度数； （4）设，可得，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：（1），， ， 点，分别是和的中点， ，， ， 故答案为：7； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ，， ， ； （3），， ， ，， ， ． 故答案为：； （4）设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：80． 6.8余角和补角 重难点一 求一个角的余角 一、明确余角的定义 若两个角的度数之和为90°，则这两个角互为余角。其中一个角是另一个角的余角。 几何语言：若∠α + ∠β = 90°，则∠α是∠β的余角，∠β也是∠α的余角。 二、求一个角的余角的步骤 1. 确定已知角的度数 明确题目中给出的角的度数，记为∠A，单位为“度”（°）。 2. 判断已知角是否存在余角 根据余角定义，两个角的和必须为90°，因此已知角的度数必须满足： 0° < ∠A < 90°（若∠A = 0°或90°，则不存在余角；若∠A > 90°，也不存在余角）。 3. 计算余角的度数 若∠A存在余角，设其余角为∠B，则根据定义可得： ∠B = 90° - ∠A 1．如图，，则图中互余的角共有（    ） A．2对 B．4对 C．3对 D．5对 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角，解题的关键是掌握余角的定义． 根据余角的定义进行求解即可． 【详解】解：互余的角有：，，，， 共有4对， 故选：B． 2．一个角是，则它的余角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角，解题关键是熟练掌握互余的定义．根据两个角的和是，那么这两个角是互余，列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵一个角是， ∴这个角的余角度数为， 故答案为：． 3．已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，若，，平分，求α． (3)如图3，若与互余，也与互余，请直接写出的度数．（用含α的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)图见解析，的度数为：或 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，余角的定义，解题的关键是数形结合，理解余角的定义，注意进行分类讨论． （1）根据余角与补角的定义进行运算即可； （2）由已知条件可求得，再由角平分线的定义可求得，从而可求的大小； （3）分两种情况进行讨论：①在的上方；②在的下方，结合图形进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：①当在的上方时，如图， ∵与互余，也与互余， ∴，， ∴； ②当在的下方时，如图， ∵与互余，也与互余， ∴，， ∴， 综上所述，的度数为：或． 重难点二 求一个角的补角 一、明确补角的定义 若两个角的度数之和为180°，则这两个角互为补角。其中一个角是另一个角的补角。例如，若∠A + ∠B = 180°，则∠A是∠B的补角，∠B也是∠A的补角。 二、计算步骤 1. 确定已知角的度数 设已知角的度数为 ( x )（单位：度，通常用“°”表示），需明确 ( x ) 的具体数值或表达式（如 ( 30° )、 等）。 2. 根据定义列算式 因为补角之和为180°，所以所求补角的度数 = ( 180° - x )。 3. 计算结果 将已知角的度数代入算式，进行减法运算，得到补角的度数。 1．若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查补角、余角的概念、一元一次方程的应用等知识点，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 设这个角为，根据补角和余角的定义列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个角为， 由题意可得：， ， ， ． 故选B． 2．已知，则的余角与补角的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角的概念，角度做减法时借位法则是解题的关键． 用分别减去，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的余角为，补角为， ∴的余角与补角的和为． 故答案为： 3．如图，直线与相交于点是的平分线． (1)请写出图中的所有的补角； (2)如果．求的度数． (3)在(2)的条件下，经过点O在内部作射线，使得，求的度数． 【答案】(1)都是的补角 (2) (3)或 【分析】此题主要考查了补角、垂直、以及角的计算，关键是理清图中角之间的和差关系． （1）首先根据垂直定义可得，然后再证明，根据补角定义可得都是的补角； （2）根据角平分线定义可得，再根据条件，可得的度数，然后即可算出的度数； （3）设的度数为x，则，分两种情况：①当在的上方时，如图1，②当在的下方时，如图2，根据和的关系列方程可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴都是的补角； （2）∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）设的度数为x，则， 分两种情况： ①当在的上方时，如图1， ∵， ∴， ， ∴， ②当在的下方时，如图2， ， ∴， ， ∴， 综上，的度数为或． 重难点三 同(等)角的余(补)角相等 一、核心概念理解 1. 余角定义：若两个角的和等于90°（直角），则这两个角互为余角。数学表达式：若∠α+∠β=90°，则∠α是∠β的余角，∠β也是∠α的余角。 2. 补角定义：若两个角的和等于180°（平角），则这两个角互为补角。数学表达式：若∠α+∠γ=180°，则∠α是∠γ的补角，∠γ也是∠α的补角。 3. 同角与等角："同角"指同一个角；"等角"指度数相等的两个角（∠α=∠β）。 二、定理推导与数学表达 （一）同角的余角相等 已知：∠AOB=90°，射线OC在∠AOB内部，∠AOC=∠1，∠COB=∠2 推导： ∵ ∠1+∠2=∠AOB=90°（角的和差定义） ∴ ∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1 结论：同一个角（∠1或∠2）的余角相等 数学语言：若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3（同角的余角相等） （二）等角的余角相等 已知：∠1=∠3，且∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90° 推导： ∵ ∠2=90°-∠1，∠4=90°-∠3（等式性质） 又∵ ∠1=∠3（已知） ∴ ∠2=∠4（等量代换） 数学语言：若∠1=∠3，∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，则∠2=∠4（等角的余角相等） （三）同角的补角相等 已知：直线AB，点O在AB上，∠AOC=∠1，∠COB=∠2 推导： ∵ ∠1+∠2=∠AOB=180°（平角定义） ∴ ∠1的补角是∠2，∠2的补角是∠1 结论：同一个角（∠1或∠2）的补角相等 数学语言：若∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，则∠2=∠3（同角的补角相等） （四）等角的补角相等 已知：∠1=∠3，且∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180° 推导： ∵ ∠2=180°-∠1，∠4=180°-∠3（等式性质） 又∵ ∠1=∠3（已知） ∴ ∠2=∠4（等量代换） 数学语言：若∠1=∠3，∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，则∠2=∠4（等角的补角相等） 1．如图所示的是光的反射定律示意图，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角；法线是过入射点垂直于镜面的虚线）．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的和差运算，互余关系及互余的性质；由及，得，再由互余关系即可求解． 【详解】解：由题意知：， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵，， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，若，于点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同角的余角相等，一元一次方程． 根据，得到，，根据同角的余角相等列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 3．如图． (1)请写出与的数量关系，并说明理由； (2)写出的补角和余角； (3)如果，平分，求度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的补角是，的余角是 (3) 【分析】本题考查余角、补角的定义，角平分线的定义． （1）根据同角的余角相等即可得出结论； （2）根据余角和补角的定义，结合图形即可解答； （3）由（2）知，求出，再根据平分，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的补角是，的余角是； （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 2 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $