第11章 平面直角坐标系 易错题练习 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦平面直角坐标系核心易错点，以20道原创题构建“概念辨析-方法应用-综合拓展”三阶训练体系，提炼割补/铅垂等实用方法，衔接函数学习，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |象限与点的坐标|2题|含参点位置分类、距离相等多解|从坐标表示到含参讨论，构建数形转化基础| |距离与对称|3题|对称坐标变换、含参范围分析|结合距离公式与对称性质，强化逆向推理| |平移|3题|逆向平移计算、图形内部点对应|通过点与图形平移规律，培养空间观念| |面积与动点|7题|割补/铅垂/补形法、动点分类讨论|以不规则图形面积为核心，衔接动态几何| |坐标规律|4题|周期归纳、路径特征分析|从循环移动到螺旋规律，发展抽象能力| |综合应用|1题|对称平移综合、面积多解处理|整合全章方法，提升复杂问题解决能力|

沪科版八年级数学上册 易 错 题 集 第 11 章　平面直角坐标系 答 案 解 析 册 错因分析 · 完整解析 · 避坑要点 · 配图精讲 与《练习册（学生版）》配套使用，完成作答后再对照批改 题目均为原创编写，配套上海科学技术出版社（沪科版）2024 新教材 1　使用说明 本册是《沪科版八年级数学上册·易错题集》第一册的解析部分，对应练习册全部 20 道题。 建议使用方法：先完成练习册，再逐题对照本册批改。每题包含【错因分析】（最常见的错误做法）、【正确解析】（完整过程）和【避坑要点】（一句话记住的方法）。 如果某题做错，先看【错因分析】确认错在哪里，再精读【正确解析】与【避坑要点】，把方法记在笔记本上。 2　本章知识地图 第11章是坐标系与函数的衔接章，第12章"一次函数"的图像与性质都建立在坐标方法之上。本章考题的"深度"集中体现在三处：① 用坐标与距离、对称的关系做含参讨论；② 用割补、铅垂、补形等方法求不规则图形面积；③ 从点的运动路径中归纳坐标规律。 知识模块 核心内容 高频考法 11.1 平面内点的坐标 点的坐标表示；象限划分；坐标轴上的点；点到坐标轴的距离；关于 x 轴、y 轴、原点对称 含参点所在象限/坐标轴；距离相等多解；对称与象限综合 11.2 图形在坐标系中的平移 点的平移与坐标变化；图形的平移；平移不改变形状与大小 逆向求原坐标；图形内部点的对应；平移前后面积不变 坐标方法的简单应用 用坐标描述位置；坐标系中图形的面积；动点路径与分类讨论 割补法、铅垂法、补形法求不规则图形面积；坐标规律探究 3　易错点总览 下表列出本章 6 大高频易错/难点及对应题目，方便你按薄弱点直接定位练习。 专题 高频易错点 对应题目 象限与点的坐标 含参点所在位置判断丢条件；距离相等漏多解 题1 ~ 题2 距离与对称 对称方向记反；距离与坐标混淆；含参范围漏解 题3 ~ 题5 平移 平移方向与坐标增减对应反；图形内部点对应错误 题6 ~ 题8 面积与动点 不规则图形不会割补/铅垂；动点分类讨论不完整 题9 ~ 题15 坐标规律 找不准周期；余数与位置对应错 题16 ~ 题19 综合应用 多变换顺序混乱；动点存在性漏解 题20 4　高频易错与拔高题精练解析 4.1　象限与点的坐标（题1~题2） 题1　含参点所在位置分类 在平面直角坐标系中，点 P(2m−4, m+1)。（1）当 m 为何值时，点 P 在 y 轴上？（2）当 m 为何值时，点 P 在第二象限？（3）当 m 为何值时，点 P 到 x 轴的距离等于 3？ 【错因分析】常见错误：第（1）问把 y 轴当"纵坐标为 0"；第（2）问只列一个不等式；第（3）问忘记距离要用绝对值、漏解。 【正确解析】（1）y 轴上的点横坐标为 0：2m−4=0，m=2。（2）第二象限横负纵正：2m−4<0 且 m+1>0，解得 −1<m<2。（3）到 x 轴距离 = |纵坐标|：|m+1|=3，m+1=±3，m=2 或 m=−4。注意 m=2 时 P(0,3) 恰在 y 轴上，属于特殊情况，仍满足距离条件。 【避坑要点】坐标轴特征：y 轴看横坐标为 0，x 轴看纵坐标为 0；"距离"一律加绝对值，两解勿漏。 题2　到两轴距离相等（多解） 若点 P(3a−6, a+2) 到 x 轴的距离与到 y 轴的距离相等，求 a 的值，并写出点 P 的坐标。 【错因分析】常见错误：直接列 a+2=3a−6，只求出一个 a；或忘记距离用绝对值后，正负两种情况都要讨论。 【正确解析】到 x 轴距离 = |a+2|，到 y 轴距离 = |3a−6|。由 |a+2|=|3a−6|：① a+2=3a−6，得 a=4，P(6,6)；② a+2=−(3a−6)，得 a=1，P(−3,3)。所以 a=4 时 P(6,6)，a=1 时 P(−3,3)，共两解。 【避坑要点】|A|=|B| 等价于 A=B 或 A=−B，两类都要解；解出的点分别落在不同象限，都要写全。 4.2　距离与对称（题3~题5） 题3　对称、距离与象限综合 点 M 关于 x 轴对称的点为 N，点 N 在第四象限，且点 N 到 x 轴的距离为 5、到 y 轴的距离为 3，求点 M 的坐标。 【错因分析】常见错误：把第四象限的符号定错（写成 N(−3,5) 或 N(3,5)），或求 M 时对称方向搞反。 【正确解析】N 在第四象限：横坐标为正、纵坐标为负。到 y 轴距离 3 → 横坐标 3；到 x 轴距离 5 → |纵坐标|=5 且为负 → 纵坐标 −5。所以 N(3,−5)。M 与 N 关于 x 轴对称：横不变、纵变号，M(3,5)。 【避坑要点】先由象限定符号，再代距离绝对值；由对称点求原点和由原点求对称点用同一条规则。 题4　含参对称点与象限范围 点 A(a+1, 2a−3) 关于 y 轴对称的点为 B，且点 B 在第三象限。（1）求 a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若 a 为整数，求点 A 的坐标。 【错因分析】常见错误：关于 y 轴对称时横坐标符号处理错（写成 B(a+1, 2a−3)），或第三象限的不等式方向列反。 【正确解析】关于 y 轴对称：横坐标变号、纵坐标不变，B(−a−1, 2a−3)。B 在第三象限：−a−1<0 且 2a−3<0，解得 a>−1 且 a<1.5，即 −1<a<1.5。a 为整数：a=0 或 1。a=0 时 A(1,−3)；a=1 时 A(2,−1)。 【避坑要点】先写对称点坐标，再列象限不等式组（横<0 且纵<0），最后在范围内取整数解。 题5　平行于 x 轴的线段长（含参多解） 已知点 A(2a−1, 3)、B(5, 3)，线段 AB 平行于 x 轴且 AB=8，求 a 的值。 【错因分析】常见错误：只列 2a−1−5=8 得 a=7，漏掉 a=−1；线段长必须用 |坐标差|。 【正确解析】AB 平行于 x 轴：纵坐标相同。AB=|(2a−1)−5|=|2a−6|=8，所以 2a−6=±8：2a−6=8 得 a=7；2a−6=−8 得 a=−1。A 分别为 (13,3)、(−3,3)，均满足 AB=8。 【避坑要点】平行于坐标轴的线段长 = |对应坐标差|；涉及绝对值必有正负两解。 4.3　图形的平移（题6~题8） 题6　逆向平移求原坐标 将点 P(a, b) 先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到点 P′(5, −1)，求 a、b 的值。 【错因分析】常见错误：直接 5−3、−1−2 顺序弄反，或把"向上"作用在横坐标上。 【正确解析】向右 3 个单位：横坐标加 3，a+3=5，a=2；向上 2 个单位：纵坐标加 2，b+2=−1，b=−3。所以 P(2, −3)。 【避坑要点】逆向求原坐标就"反着减"：右移还原就减，上移还原就减，方向与坐标对应别乱。 题7　图形平移与内部点对应 将 △ABC 平移，使点 A(−2, 1) 对应到点 A′(2, −1)。点 P(1, 3) 是 △ABC 内部一点，求平移后点 P 的对应点 P′ 的坐标。 【错因分析】常见错误：只平移点 A 的某个坐标，或忘记图形平移时内部所有点的平移量相同。 【正确解析】由 A 到 A′ 的平移：横坐标 +4（−2→2），纵坐标 −2（1→−1）。图形平移时每个点都作相同平移，所以 P′=(1+4, 3−2)=(5, 1)。 【避坑要点】图形平移 = 每点作相同平移；先由一对对应点求出平移量，再套到其他点。 题8　平移综合三问（含面积） 在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点为 A(−1, 2)、B(2, −1)、C(1, 3)。（1）将 △ABC 向右平移 4 个单位、再向下平移 3 个单位，求新三角形顶点 A′、B′、C′ 的坐标；（2）若 M(x, y) 是 △ABC 内任意一点，用含 x、y 的式子表示其对应点 M′ 的坐标；（3）求 △A′B′C′ 的面积。 【错因分析】常见错误：第（2）问写成 x−4、y+3 方向反；第（3）问平移后面积不会求（其实面积不变），或计算错误。 【正确解析】（1）向右 4：横坐标 +4；向下 3：纵坐标 −3。A′(3, −1)、B′(6, −4)、C′(5, 0)。（2）M′(x+4, y−3)。（3）平移不改变面积，求原三角形即可。用铅垂法：水平宽 = 左右顶点横坐标差 = 2−(−1)=3；过 C(1,3) 作 x 轴垂线交 AB 于 D，AB 所在直线过 (−1,2)、(2,−1)，斜率为 −1，其方程为 y=−x+1，x=1 时 y=0，故 D(1,0)，铅垂高 CD=3。S=½×3×3=4.5。 【避坑要点】平移前后面积不变，可直接求原图形；斜三角形面积用"½×水平宽×铅垂高"。 4.4　面积与动点（题9~题15） 题9　铅垂法求斜三角形面积 在平面直角坐标系中，A(1, 1)、B(7, 3)、C(4, 7)，求 △ABC 的面积。 图1 铅垂法示意图 【错因分析】常见错误：三边都不平行于坐标轴，直接套"底×高÷2"找不到底和高；或把坐标值直接相乘。 【正确解析】用铅垂法：过 C 作 x 轴垂线交 AB 于 D。水平宽 = 左右两顶点横坐标之差 = 7−1=6。AB 过 (1,1)、(7,3)，斜率为 (3−1)/(7−1)=1/3，方程为 y=1+(x−1)/3；当 x=4 时 y=2，即 D(4,2)，铅垂高 CD=7−2=5。S=½×6×5=15。 【避坑要点】三边都不平行于坐标轴的三角形：S=½×水平宽×铅垂高；铅垂高 = 中间顶点到对边所在直线的竖直距离。 题10　补形法求不规则四边形面积 在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的顶点为 A(1, 1)、B(5, 1)、C(4, 4)、D(1, 3)，求四边形 ABCD 的面积。 图2 补形法示意图 【错因分析】常见错误：把它当梯形或矩形硬套公式；补形时多减或少减了角上的三角形。 【正确解析】补形法：作外接矩形 [1,5]×[1,4]，面积 = 4×3=12。四边形外共两块直角三角形：右上角 △(1,3)(1,4)(4,4)，面积 ½×3×1=1.5；右下角 △(5,1)(5,4)(4,4)，面积 ½×1×3=1.5。S=12−1.5−1.5=9。 【避坑要点】补形口诀：外接矩形面积 − 四周直角三角形面积之和；先画外接矩形再数角上的三角形。 题11　由面积反求坐标（x 轴动点多解） 已知 A(0, 4)、B(−3, 0)，点 P 在 x 轴上，若 △ABP 的面积为 10，求点 P 的坐标。 图3 x 轴动点两解示意 【错因分析】常见错误：只写出一个解；或把底边误认为 AB 而不会计算。 【正确解析】设 P(x, 0)，则 P、B 都在 x 轴上，取 BP 为底：BP=|x−(−3)|=|x+3|，高 = A 到 x 轴距离 = 4。S=½×|x+3|×4=2|x+3|=10，|x+3|=5，x=2 或 x=−8。所以 P(2, 0) 或 P(−8, 0)。 【避坑要点】动点在 x 轴上时，取 x 轴上的两点连线作底，高 = 第三点纵坐标绝对值；两解都要写。 题12　面积的一半（y 轴动点多解） 已知 A(2, 0)、B(6, 0)、C(0, 6)，点 P 在 y 轴上，若 △PBC 的面积是 △ABC 面积的一半，求点 P 的坐标。 图4 y 轴动点两解示意 【错因分析】常见错误：认为 P 只在 C 点下方，漏掉 C 点上方的解；或求 △PBC 面积时底高取错。 【正确解析】S△ABC=½×AB×OC=½×4×6=12，一半为 6。设 P(0, t)，△PBC 以 PC 为底（在 y 轴上），PC=|t−6|，高 = B 到 y 轴距离 = 6。S△PBC=½×|t−6|×6=3|t−6|=6，|t−6|=2，t=4 或 t=8。所以 P(0, 4) 或 P(0, 8)。 【避坑要点】动点在 y 轴上时，取 y 轴上的两点连线作底，高 = 第三点横坐标绝对值；C 点上下各有一解。 题13　同高三角形面积比 在 △AOB 中，O(0, 0)、A(0, 4)、B(8, 0)，点 P 在 OB 上（不与 O、B 重合），若 △AOP 与 △POB 的面积之比为 1:3，求点 P 的坐标。 图5 同高面积比示意 【错因分析】常见错误：直接猜 P 坐标；不明白"同高三角形面积比 = 底边比"。 【正确解析】△AOP 与 △POB 的底分别在 x 轴上：△AOP 的底为 OP，△POB 的底为 PB，两个三角形的高相同（都是 A 到 x 轴的距离 4）。同高三角形面积比 = 底边比，所以 OP:PB=1:3。OB=8，OP=8×1/4=2，P(2, 0)。 【避坑要点】同（等）高的两个三角形，面积比等于底边比；用比例先求底边长，再写坐标。 题14　不规则四边形面积（竖切法） 在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的顶点为 A(0, 0)、B(6, 0)、C(4, 4)、D(1, 5)，求四边形 ABCD 的面积。 图6 竖切法示意图 【错因分析】常见错误：割补时分块错误；或直接用坐标值相乘。 【正确解析】竖切法：过 D(1,5)、C(4,4) 作 x 轴垂线，把图形分成三块。① x∈[0,1]：△AOD，面积 ½×1×5=2.5；② x∈[1,4]：梯形，上底 5、下底 4、高 3，面积 (5+4)×3÷2=13.5；③ x∈[4,6]：△，底 2、高 4，面积 ½×2×4=4。总面积 = 2.5+13.5+4=20。 【避坑要点】不规则四边形可"竖切"成若干个三角形、梯形，再求和；切点取在顶点处最方便。 题15　动点路径与分类讨论 如图，矩形 OABC 的顶点为 O(0, 0)、A(0, 4)、B(8, 4)、C(8, 0)。点 P 从 O 出发，沿 O→A→B→C→O 的路线匀速运动，速度为每秒 2 个单位长度。（1）求 t=7 时点 P 的坐标；（2）求点 P 到 x 轴的距离等于 2 时，t 的值。 图7 动点运动路径示意 【错因分析】常见错误：分类不完整，只考虑某一段；或每段的时间区间算错（总时间 12 秒，OA 段 2 秒、AB 段 4 秒、BC 段 4 秒、CO 段 2 秒）。 【正确解析】周长 = 4+8+8+4=24，总时间 12 秒。分段：OA 段 0≤t≤2，P(0,2t)；AB 段 2≤t≤6，P(2(t−2), 4)；BC 段 6≤t≤10，P(8, 16−2t)；CO 段 10≤t≤12，P(28−2t, 0)。（1）t=7 在 BC 段：P(8, 16−14)=(8, 2)。（2）到 x 轴距离 2：OA 段 2t=2 → t=1；BC 段 16−2t=2 → t=7。所以 t=1 或 t=7。 【避坑要点】动点分类题三步：先算总路程/总时间，再按每段写坐标表达式，最后按条件分段列方程，解完验证是否落在对应段。 4.5　坐标规律探究（题16~题19） 题16　循环移动规律 点 P 从原点出发，第 1 次向右移动 1 个单位，第 2 次向上移动 1 个单位，第 3 次向左移动 2 个单位，第 4 次向下移动 2 个单位，之后每 4 次按同样的方式循环（第 5 次右 1、第 6 次上 1、第 7 次左 2、第 8 次下 2……）。求第 2026 次移动后点 P 的坐标。 【错因分析】常见错误：找不到周期；或把余数对应的"第几步"与位置对应错。 【正确解析】每 4 次为一个周期，每组净位移为 (−1,−1)。第 4n 次后位置为 (−n,−n)。2026=4×506+2：第 2024 次（506 组结束）在 (−506,−506)；第 2025 次向右 1 → (−505,−506)；第 2026 次向上 1 → (−505,−505)。 【避坑要点】周期规律四步法：找周期（4）→ 定数量（2026）→ 算余数（506 组余 2）→ 找对应（组末位置+余下 2 步）。 题17　上下弹跳规律 点 P 从原点出发，第 1 次运动到 (1, 1)，第 2 次到 (2, 0)，第 3 次到 (3, 2)，第 4 次到 (4, 0)，第 5 次到 (5, 1)，第 6 次到 (6, 0)……按此规律，求第 2026 次运动后点 P 的坐标。 【错因分析】常见错误：纵坐标规律找错（误以为 1,0 循环）；或横坐标写成 2n。 【正确解析】横坐标 = 运动次数 n。纵坐标按 1, 0, 2, 0 循环（第 1、2、3、4 次分别为 1,0,2,0，之后重复）。2026=4×506+2，余 2 → 纵坐标取第 2 位 = 0。所以 P(2026, 0)。 【避坑要点】先分别看横、纵坐标各自的规律；纵坐标周期为 4，用 2026÷4 的余数定位。 题18　方形螺旋规律 点 P 从原点出发，第 1 次向右 1 个单位，第 2 次向上 1 个单位，第 3 次向左 2 个单位，第 4 次向下 2 个单位，第 5 次向右 3 个单位，第 6 次向上 3 个单位……每次方向按"右→上→左→下"循环，步长每两次增加 1。求第 2026 次移动后点 P 的坐标。 图8 方形螺旋规律示意 【错因分析】常见错误：把每 4 次当闭合循环，忽略每组净位移不断增大；或步长算错。 【正确解析】方向按 4 次一循环：第 4n 次后位置为 (−n, −n)。2026=4×506+2：第 2024 次后 (−506,−506)。第 2025 次方向为"右"，步长 = ⌈2025/2⌉=1013，到 (507,−506)；第 2026 次方向为"上"，步长 = ⌈2026/2⌉=1013，到 (507, 507)。 【避坑要点】先确定"第 4n 次"的规律落点，再用余数决定剩余步数的方向与步长；步长 = ⌈次数/2⌉。 题19　绕原点运动规律 点 P 从 P₁(1, 0) 出发，逆时针依次经过 P₂(0, 1)、P₃(−1, 0)、P₄(0, −1)、P₅(2, 0)、P₆(0, 2)、P₇(−2, 0)、P₈(0, −2)……（每绕一圈，半径增加 1）。求第 2026 个点的坐标。 图9 绕原点运动规律示意 【错因分析】常见错误：周期定位错（每 4 个点一圈，第 n 圈半径 = 圈数）；或圈内位置对应错。 【正确解析】每 4 个点为一圈，第 k 圈上 4 个点依次为 (k,0)、(0,k)、(−k,0)、(0,−k)。2026=4×506+2：位于第 507 圈（506 圈后余 2），圈内第 2 个点。第 507 圈第 1 个点为 (507,0)，第 2 个点为 (0,507)。所以第 2026 个点坐标是 (0, 507)。 【避坑要点】先由 n=4k+r 定圈数 k 与圈内位置 r，再套"第 k 圈第 r 个点"的坐标表达式。 4.6　综合应用（题20） 题20　对称、平移与动点面积综合 在平面直角坐标系中，A(0, 4)、B(6, 0)、C(0, 0)。（1）求 △ABC 关于 x 轴对称的三角形 A′B′C′ 的顶点坐标；（2）将 △ABC 向右平移 3 个单位、向上平移 2 个单位得到 △A₁B₁C₁，求点 A₁ 的坐标；（3）点 P 在 x 轴上，若 △PAB 的面积等于 △ABC 的面积，求点 P 的坐标；（4）点 Q 在 y 轴上，若 △QAB 的面积等于 △ABC 的面积，求点 Q 的坐标。 图10 综合应用示意图 【错因分析】常见错误：第（1）问忘记 B、C 在 x 轴上对称后不变；第（3）（4）问动点位置只写一个解；面积底高对应错。 【正确解析】S△ABC=½×6×4=12。（1）关于 x 轴对称：A′(0,−4)；B、C 在 x 轴上，B′(6,0)、C′(0,0)。（2）右 3 上 2：A₁=(0+3, 4+2)=(3, 6)。（3）设 P(t,0)，PB=|t−6| 为底、高为 4：S△PAB=½×|t−6|×4=2|t−6|=12，|t−6|=6，t=0 或 12，P(0,0) 或 P(12,0)。（4）设 Q(0,s)，QA=|s−4| 为底、高为 6：S△QAB=½×|s−4|×6=3|s−4|=12，|s−4|=4，s=0 或 8，Q(0,0) 或 Q(0,8)。 【避坑要点】综合题先求定值面积；动点面积一律用"底在轴上 + 绝对值"列方程，两解都要写；对称时先看点是否在轴上。 —— 本册完 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $沪科版八年级数学上册 易错题集 第11章平面直角坐标系 练习册（学生版） 20道高频易错与拔高题·独立作答·逐题书写 先独立完成全部题目，再打开《答案解析册》对照批改 题目均为原创编写，配套上海科学技术出版社（沪科版）2024新教材 1使用说明 本册是《沪科版八年级数学上册·易错题集》第一册的练习部分，聚焦第11章“平 面直角坐标系"，共20道题，按专题分为6组，难度从易错基础逐步过渡到压轴拔 高。 使用方法：①先看第2、3节"知识地图"与"易错点总览"；②独立完成每一题，把 过程写在题目下方横线上，不要提前翻看答案；③全部完成后，对照配套《答案解析 册》逐题批改；④标记错题，考前重做。本册不含任何解析，答案请使用配套《答案 解析册》。 2本章知识地图 第11章是坐标系与函数的衔接章，第12章"一次函数"的图像与性质都建立在坐标 方法之上。本章考题的"深度"集中体现在三处：①用坐标与距离、对称的关系做含参 讨论；②用割补、铅垂、补形等方法求不规则图形面积；③从点的运动路径中归纳坐 标规律。 知识模块 核心内容 高频考法 点的坐标表示；象限划分；坐 标轴上的点；点到坐标轴的距 含参点所在象限坐标轴；距离 11.1平面内点的坐标 离；关于x轴、y轴、原点对 相等多解；对称与象限综合 称 点的平移与坐标变化；图形的 逆向求原坐标；图形内部点的 11.2图形在坐标系中的平移 平移；平移不改变形状与大小 对应；平移前后面积不变 用坐标描述位置；坐标系中图 割补法、铅垂法、补形法求不 坐标方法的简单应用 形的面积；动点路径与分类讨 规则图形面积；坐标规律探究 论 3易错点总览 下表列出本章6大高频易错/难点及对应题目，方便你按薄弱点直接定位练习。 专题 高频易错点 对应题目 含参点所在位置判断丢条件； 象限与点的坐标 题1~题2 距离相等漏多解 对称方向记反；距离与坐标混 距离与对称 题3~题5 淆；含参范围漏解 平移方向与坐标增减对应反； 平移 题6~题8 图形内部点对应错误 不规则图形不会割补铅垂；动 面积与动点 题9~题15 点分类讨论不完整 找不准周期；余数与位置对应 坐标规律 错 题16~题19 多变换顺序混乱；动点存在性 综合应用 题20 漏解 4 高频易错与拔高题精练 4.1象限与点的坐标（题1~题2） 题1含参点所在位置分类 在平面直角坐标系中，点P(2m-4,m+1)。(1)当m为何值时，点P在y轴 上？(2)当m为何值时，点P在第二象限？(3)当m为何值时，点P到x轴的距 离等于3？ 我的解答： 题2到两轴距离相等（多解） 若点P(3a-6,a+2)到x轴的距离与到y轴的距离相等，求a的值，并写出点P的 坐标。 我的解答： 4.2距离与对称（题3~题5） 题3对称、距离与象限综合 点M关于x轴对称的点为N,点N在第四象限，且点N到x轴的距离为5、到y 轴的距离为3，求点M的坐标。 我的解答： 3 题4含参对称点与象限范围 点A(a+1,2a-3)关于y轴对称的点为B,且点B在第三象限。（1)求a的取值 范围；(2)在(1)的条件下，若a为整数，求点A的坐标。 我的解答： 题5平行于x轴的线段长（含参多解） 已知点A(2a-1,3)、B(5,3),线段AB平行于x轴且AB=8,求a的值。 我的解答： 4.3图形的平移（题6~题8） 题6逆向平移求原坐标 将点P(a,b)先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点P'5, -1),求a、b的值。 又 我的解答： 题7图形平移与内部点对应 将△ABC平移，使点A(-2,1)对应到点A'(2,-1)。点P(1,3)是△ABC内部一 点，求平移后点P的对应点P'的坐标。 我的解答： 题8平移综合三问（含面积） 在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A(-1,2)、B(2,-1)、C(1,3)。(1)将 △ABC向右平移4个单位、再向下平移3个单位，求新三角形顶点A'、B、C'的坐 标；(2)若MX,y)是△ABC内任意一点，用含X、y的式子表示其对应点M'的坐 标；(3)求△A'B'C'的面积。 我的解答： 4.4面积与动点（题9~题15） 题9铅垂法求斜三角形面积 在平面直角坐标系中，A(1,1)、B(7,3)、C(4,7),求△ABC的面积。 铅垂法求三角形面积（题9） c(4,70 5 1111 铅垂高h5 >4 B3 D4.21 水平富=6 0 1A(1,1)2 3 45 6 图1铅垂法示意图 我的解答： 6 题10补形法求不规则四边形面积 在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点为A(1,1)、B(5,1)、C(4,4)、D(1, 3),求四边形ABCD的面积。 补形法求四边形面积（题10） C(4,4) 4 D(1,3 3 A(1,1) B5. 图2补形法示意图 我的解答： 题11由面积反求坐标(x轴动点多解) 已知A(0,4)、B(-3,0),点P在X轴上，若△ABP的面积为10，求点P的坐 标。 7 由面积反求坐标（题11） A0,4) 4 3 B(-3,0) 8 7 -6 5 4 32 1 0 12 3 P(-8,0 P(2.0 图3x轴动点两解示意 我的解答： 题12面积的一半(y轴动点多解) 已知A(2,O)、B(6,O)、C(O,6),点P在y轴上，若△PBC的面积是△ABC面积 的一半，求点P的坐标。 6 面积的一半（题12） P0,8 8 c(0,6 4) 2 7 A(2,0) B(6,0) 图4y轴动点两解示意 我的解答： 题13同高三角形面积比 在△AOB中，O0,0)、A(0,4)、B(8,0),点P在OB上（不与O、B重合）， 若△AOP与△POB的面积之比为1：3，求点P的坐标。 0 面积比与底边比（题13） A(0,4) 3 S2 2 1 0(0,0) P(2,0) B(8,0 2 3 X 图5同高面积比示意 我的解答： 题14不规则四边形面积（竖切法） 在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点为A(0,0)、B(6,0)、C(4,4)、D(1, 5),求四边形ABCD的面积。 10 不规则四边形（题14） D(1,5) 梯形 C(4,4) 4 0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 A(0,0) B(6,0) 图6竖切法示意图 我的解答： 题15动点路径与分类讨论 如图，矩形OABC的顶点为O(0O)、A(0,4)、B(8,4)、C(8,0)。点P从O出 发，沿O→A一B一C-O的路线匀速运动，速度为每秒2个单位长度。(1)求t仁7时 点P的坐标；(2)求点P到x轴的距离等于2时，t的值。 11 动点运动路径（题15）》 5 A(0,4) B(8,4 3 t=7时P(8,2 2 1 1o0,00 56 78c8,0 图7动点运动路径示意 我的解答： 4.5坐标规律探究（题16~题19） 题16循环移动规律 点P从原点出发，第1次向右移动1个单位，第2次向上移动1个单位，第3次 向左移动2个单位，第4次向下移动2个单位，之后每4次按同样的方式循环（第5 次右1、第6次上1、第7次左2、第8次下2...)。求第2026次移动后点P的坐 标。 12 我的解答： 题17上下弹跳规律 点P从原点出发，第1次运动到(1,1)，第2次到(2,0)，第3次到(3,2)，第4 次到(4,0)，第5次到(5,1)，第6次到(6,0).按此规律，求第2026次运动后点P 的坐标。 我的解答： 题18方形螺旋规律 点P从原点出发，第1次向右1个单位，第2次向上1个单位，第3次向左2个 单位，第4次向下2个单位，第5次向右3个单位，第6次向上3个单位…每次方 向按”右→上→左→下"循环，步长每两次增加1。求第2026次移动后点P的坐标。 13 螺旋运动规律（题18） 4.5 3.5 251 P7 P6 1.5 P2 >0.5 0.5 P4 P5 -1.5 2.5 3.5 35 -2.5 -1.50.50.51.52.5 3.5 4.5 图8方形螺旋规律示意 我的解答： 题19绕原点运动规律 点P从P1(1,0)出发，逆时针依次经过P2(0,1)、P3(-1,0)、P4(0,-1)、P5(2, 0)、P6(0,2)、P7(-2,0)、P8(0-2)..（每绕一圈，半径增加1)。求第2026个点 的坐标。 14 绕原点运动规律（题19） 3.5 2.5 1.5 0.5 P5 -0.5 1.5 2.5 3.5 3.5 -2.5 -1.5 -0.50.51.5 2.5 3.5 图9绕原点运动规律示意 我的解答： 4.6综合应用（题20） 题20对称、平移与动点面积综合 在平面直角坐标系中，A(O,4)、B(6,0)、C0,0)。(1)求△ABC关于x轴对称 的三角形AB'C'的顶点坐标；(2)将△ABC向右平移3个单位、向上平移2个单位 得到△A1B1C1,求点A1的坐标；(3)点P在X轴上，若△PAB的面积等于△ABC 15 的面积，求点P的坐标；(4)点Q在y轴上，若△QAB的面积等于△ABC的面 积，求点Q的坐标。 综合应用（题20） 55 4.50,4) 3.5 2.5 1.5 0.5 P(12,01 0.5 1.5g000 1 345660891011121314 图10综合应用示意图 我的解答： 16沪科版八年级数学上册 易错题集 第11章平面直角坐标系 答案解析册 错因分析·完整解析·避坑要点·配图精讲 与《练习册（学生版）》配套使用，完成作答后再对照批改 题目均为原创编写，配套上海科学技术出版社（沪科版）2024新教材 1使用说明 本册是《沪科版八年级数学上册·易错题集》第一册的解析部分，对应练习册全部 20道题。 建议使用方法：先完成练习册，再逐题对照本册批改。每题包含【错因分析】 (最常见的错误做法)、【正确解析】（完整过程）和【避坑要点】（一句话记住的 方法)。 如果某题做错，先看【错因分析】确认错在哪里，再精读【正确解析】与【避坑 要点】，把方法记在笔记本上。 2本章知识地图 第11章是坐标系与函数的衔接章，第12章"一次函数"的图像与性质都建立在坐标 方法之上。本章考题的"深度"集中体现在三处：①用坐标与距离、对称的关系做含参 讨论；②用割补、铅垂、补形等方法求不规则图形面积；③从点的运动路径中归纳坐 标规律。 知识模块 核心内容 高频考法 点的坐标表示；象限划分；坐 标轴上的点；点到坐标轴的距 含参点所在象限坐标轴；距离 11.1平面内点的坐标 离；关于x轴、y轴、原点对 相等多解；对称与象限综合 称 点的平移与坐标变化；图形的 逆向求原坐标；图形内部点的 11.2图形在坐标系中的平移 平移；平移不改变形状与大小 对应；平移前后面积不变 用坐标描述位置；坐标系中图 割补法、铅垂法、补形法求不 坐标方法的简单应用 形的面积；动点路径与分类讨 规则图形面积；坐标规律探究 论 3易错点总览 下表列出本章6大高频易错/难点及对应题目，方便你按薄弱点直接定位练习。 专题 高频易错点 对应题目 含参点所在位置判断丢条件； 象限与点的坐标 题1~题2 距离相等漏多解 对称方向记反；距离与坐标混 距离与对称 题3~题5 淆；含参范围漏解 平移方向与坐标增减对应反； 平移 题6~题8 图形内部点对应错误 不规则图形不会割补铅垂；动 面积与动点 题9~题15 点分类讨论不完整 找不准周期；余数与位置对应 坐标规律 错 题16~题19 多变换顺序混乱；动点存在性 综合应用 题20 漏解 4 高频易错与拔高题精练解析 4.1象限与点的坐标（题1~题2） 题1含参点所在位置分类 在平面直角坐标系中，点P(2m-4,m+1)。(1)当m为何值时，点P在y轴 上？(2)当m为何值时，点P在第二象限？(3)当m为何值时，点P到x轴的距 离等于3？ 【错因分析】常见错误：第(1)问把y轴当"纵坐标为0"；第（2)问只列一个不 等式；第(3)问忘记距离要用绝对值、漏解。 2 【正确解析】(1)y轴上的点横坐标为0：2m-4=0,m=2。（2)第二象限横负 纵正：2m-4<0且m+1>0,解得-1<m<2。(3)到x轴距离=|纵坐标：m+1 =3,m+1=±3，m=2或m=-4。注意m=2时P(0,3)恰在y轴上，属于特殊情况，仍满 足距离条件。 【避坑要点】坐标轴特征：y轴看横坐标为0，X轴看纵坐标为0；“距离"一律加 绝对值，两解勿漏。 题2到两轴距离相等（多解） 若点P(3a-6,a+2)到x轴的距离与到y轴的距离相等，求a的值，并写出点P的 坐标。 【错因分析】常见错误：直接列a+2=3a-6,只求出一个a;或忘记距离用绝对值 后，正负两种情况都要讨论。 【正确解析】到x轴距离=|a+2,到y轴距离=3a-6l。由la+2=3a-6:① a+2=3a-6,得a=4,P(6,6);②a+2=-(3a-6),得a=1,P(-3,3)。所以a=4时 P(6,6),a=1时P(-3,3),共两解。 【避坑要点】IA=B!等价于A=B或A=-B,两类都要解；解出的点分别落在不同 象限，都要写全。 4.2距离与对称（题3~题5） 题3对称、距离与象限综合 点M关于x轴对称的点为N,点N在第四象限，且点N到x轴的距离为5、到y 轴的距离为3，求点M的坐标。 【错因分析】常见错误：把第四象限的符号定错（写成N(-3,5)或N(3,5),或 求M时对称方向搞反。 【正确解析】N在第四象限：横坐标为正、纵坐标为负。到y轴距离3→横坐标 3;到x轴距离5一纵坐标=5且为负→纵坐标-5。所以N(3,-5)。M与N关于x 轴对称：横不变、纵变号，M(3,5)。 【避坑要点】先由象限定符号，再代距离绝对值；由对称点求原点和由原点求对 称点用同一条规则。 题4含参对称点与象限范围 点A(a+1,2a-3)关于y轴对称的点为B,且点B在第三象限。(1)求a的取值 范围；(2)在(1)的条件下，若a为整数，求点A的坐标。 【错因分析】常见错误：关于y轴对称时横坐标符号处理错（写成B(a+1, 2a-3)，或第三象限的不等式方向列反。 【正确解析】关于y轴对称：横坐标变号、纵坐标不变，B(-a-1,2a-3)。B在第 三象限：-a-1<0且2a-3<0,解得a>-1且a<1.5,即-1<a<1.5。a为整数：a=0或 1。a=0时A(1,-3);a=1时A(2,-1) 【避坑要点】先写对称点坐标，再列象限不等式组（横<0且纵<0），最后在范围 内取整数解。 题5平行于x轴的线段长（含参多解） 已知点A(2a-1,3)、B(5,3),线段AB平行于x轴且AB=8,求a的值。 【错因分析】常见错误：只列2a-1-5=8得a=7,漏掉a=-1;线段长必须用|坐 标差。 【正确解析】AB平行于x轴：纵坐标相同。AB=|(2a-1)-5=2a-61=8,所以 2a-6=±8：2a-6=8得a=7;2a-6=-8得a=-1。A分别为(13,3)、(-3,3)，均满足 AB=8。 【避坑要点】平行于坐标轴的线段长=对应坐标差；涉及绝对值必有正负两解。 4.3图形的平移（题6~题8） 题6逆向平移求原坐标 将点P(a,b)先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点P'(5, -1),求a、b的值。 又 【错因分析】常见错误：直接5-3、-1-2顺序弄反，或把"向上"作用在横坐标 上。 【正确解析】向右3个单位：横坐标加3，a+3=5,a=2;向上2个单位：纵坐标 加2，b+2=-1,b=-3。所以P(2,-3) 【避坑要点】逆向求原坐标就“反着减“：右移还原就减，上移还原就减，方向与坐 标对应别乱。 题7图形平移与内部点对应 将△ABC平移，使点A(-2,1)对应到点A'(2,-1)。点P(1,3)是△ABC内部一 点，求平移后点P的对应点P'的坐标。 【错因分析】常见错误：只平移点A的某个坐标，或忘记图形平移时内部所有点 的平移量相同。 【正确解析】由A到A'的平移：横坐标+4(-2→2)，纵坐标-2(1→-1)。图 形平移时每个点都作相同平移，所以P'=(1+4,3-2)=(5,1)。 【避坑要点】图形平移=每点作相同平移；先由一对对应点求出平移量，再套到 其他点。 题8平移综合三问（含面积） 在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A(-1,2)、B(2,-1)、C(1,3)。(1)将 △ABC向右平移4个单位、再向下平移3个单位，求新三角形顶点A'、B'、C'的坐 标；(2)若Mx,y)是△ABC内任意一点，用含X、y的式子表示其对应点M'的坐 标；(3)求△A'B'C'的面积。 【错因分析】常见错误：第(2)问写成x-4、y+3方向反；第(3)问平移后面 积不会求（其实面积不变），或计算错误。 【正确解析】（1)向右4：横坐标+4；向下3：纵坐标-3。A'3,-1)、B(6, -4)、C'(5,0)。(2)M'(x+4,y-3)。(3)平移不改变面积，求原三角形即可。用铅垂 法：水平宽=左右J顶点横坐标差=2-(-1)=3；过C(1,3)作X轴垂线交AB于D,AB 所在直线过(-1,2)、(2，-1)，斜率为-1，其方程为y=-x+1,X=1时y=0,故D(1,0), 铅垂高CD=3。S=h×3×3=4.5。 【避坑要点】平移前后面积不变，可直接求原图形；斜三角形面积用"×水平宽× 铅垂高"。 4.4面积与动点（题9题15） 题9铅垂法求斜三角形面积 在平面直角坐标系中，A(1,1)、B(7,3)、C(4,7),求△ABC的面积。 铅垂法求三角形面积（题9） c(4,7) 6 铅垂高h=5 3) D(421 水平容=6 1A(1,1)2 4 5 6 X 图1铅垂法示意图 【错因分析】常见错误：三边都不平行于坐标轴，直接套“底×高÷2“找不到底和 高；或把坐标值直接相乘。 【正确解析】用铅垂法：过C作x轴垂线交AB于D。水平宽=左右两顶点横坐 标之差=7-1=6。AB过(1,1)、(7,3)，斜率为(3-1)/(7-1)=13，方程为y=1+ (X-1)/3;当X=4时y=2,即D(4,2),铅垂高CD=7-2=5。S=h×6×5=15。 【避坑要点】三边都不平行于坐标轴的三角形：S=×水平宽×铅垂高；铅垂高= 中间顶点到对边所在直线的竖直距离。 6 题10补形法求不规则四边形面积 在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点为A(1,1)、B(5,1)、C(4,4)、D(1, 3),求四边形ABCD的面积。 补形法求四边形面积（题10） 5 △ C(4,4) D(1,3 3 A(1,1) B(5 图2补形法示意图 【错因分析】常见错误：把它当梯形或矩形硬套公式；补形时多减或少减了角上 的三角形。 【正确解析】补形法：作外接矩形[1,5]×1,41，面积=4×3=12。四边形外共两块 直角三角形：右上角△(1,3)1,4)(4,4)，面积2×3×1=1.5；右下角△(5,1)5,4)(4,4)， 面积2×1×3=1.5。S=12-1.5-1.5=9。 【避坑要点】补形口诀：外接矩形面积-四周直角三角形面积之和；先画外接矩 形再数角上的三角形。 题11由面积反求坐标(x轴动点多解) 已知A(0,4)、B(-3,0),点P在X轴上，若△ABP的面积为10，求点P的坐 标。 7 由面积反求坐标（题11） A(0,4) B(-3,0) 9 8 7 65432 -1 3 P(-8,0) P(2,0 图3x轴动点两解示意 【错因分析】常见错误：只写出一个解；或把底边误认为AB而不会计算。 【正确解析】设PX,O),则P、B都在x轴上，取BP为底：BP=x-(-3 X+3引，高=A到x轴距离=4。S=2×X+3×4=2X+3=10,X+3=5,X=2或x=-8。所 以P(2,0)或P(-8,0) 【避坑要点】动点在x轴上时，取x轴上的两点连线作底，高=第三点纵坐标绝 对值；两解都要写。 题12面积的一半(y轴动点多解) 已知A(2,O)、B(6,O、C(O,6),点P在y轴上，若△PBC的面积是△ABC面积 的一半，求点P的坐标。 ⊙ 面积的一半（题12） P(0,8) 7 c0,6 4 6 7 A(2,0) B(6,0) 图4y轴动点两解示意 【错因分析】常见错误：认为P只在C点下方，漏掉C点上方的解；或求 △PBC面积时底高取错。 【正确解析】S△ABC=×AB×OC=×4×6=12,一半为6。设P(0,t),△PBC以 PC为底（在y轴上），PC=t-6l,高=B到y轴距离=6。S△PBC=xt-6×6=3引 t-6=6,t-6=2,t=4或t=8。所以P(0,4)或P(0,8)e 【避坑要点】动点在y轴上时，取y轴上的两点连线作底，高=第三点横坐标绝 对值；C点上下各有一解。 题13同高三角形面积比 在△AOB中，O0,0)、A(0,4)、B(8,0),点P在OB上（不与O、B重合）， 若△AOP与△POB的面积之比为1：3，求点P的坐标。 0 面积比与底边比（题13） A(0,4) S1 0(0,0 P(2.0) B(8,0 3 图5同高面积比示意 【错因分析】常见错误：直接猜P坐标；不明白"同高三角形面积比=底边比"。 【正确解析】△AOP与△POB的底分别在x轴上：△AOP的底为OP,△POB 的底为PB,两个三角形的高相同（都是A到x轴的距离4）。同高三角形面积比=底 边比，所以OP:PB=1:3。OB=8,OP=8×1/4=2,P(2,0)。 【避坑要点】同（等）高的两个三角形，面积比等于底边比；用比例先求底边 长，再写坐标。 题14不规则四边形面积（竖切法） 在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点为A(O,0)、B(6,0)、C(4,4)、D(1, 5),求四边形ABCD的面积。 10 不规则四边形（题14） D(1,5) 梯形 C(4,4) -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 A(0,0 B(6,0) 图6竖切法示意图 【错因分析】常见错误：割补时分块错误；或直接用坐标值相乘。 【正确解析】竖切法：过D(1,5)、C(4,4)作X轴垂线，把图形分成三块。① x∈[0,1]：△AOD,面积2×1×5=2.5；②x∈[1,4]：梯形，上底5、下底4、高3，面 积(5+4)×3÷2=13.5；③X∈[4,6]：△，底2、高4，面积2×2×4=4。总面积= 2.5+13.5+4=20。 【避坑要点】不规则四边形可竖切"成若干个三角形、梯形，再求和；切点取在顶 点处最方便。 题15动点路径与分类讨论 如图，矩形OABC的顶点为O(0,0)、A(0,4)、B(8,4)、C(8,0)。点P从O出 发，沿O→A→B,C→O的路线匀速运动，速度为每秒2个单位长度。(1)求=7时 点P的坐标；(2)求点P到x轴的距离等于2时，t的值。 11 动点运动路径（题15） 5 A(0,4) B(8,4) t=7时P(8,2 2 .1 00,0)0 1 4 8c8,09 图7动点运动路径示意 【错因分析】常见错误：分类不完整，只考虑某一段；或每段的时间区间算错 (总时间12秒，OA段2秒、AB段4秒、BC段4秒、CO段2秒)。 【正确解析】周长=4+8+8+4=24，总时间12秒。分段：OA段 0≤t≤2，P(0,2t);AB段2≤t6,P(2(t-2),4);BC段6≤ts10,P(8,16-2t);C0段 10≤t长12，P(28-2t,0)。(1)t=7在BC段：P(8,16-14)=(8,2)。（2)到X轴距离 2:OA段2t=2-t=1;BC段16-2t=2-t=7。所以t忙1或t=7。 【避坑要点】动点分类题三步：先算总路程/总时间，再按每段写坐标表达式，最 后按条件分段列方程，解完验证是否落在对应段。 4.5坐标规律探究（题16~题19） 题16循环移动规律 点P从原点出发，第1次向右移动1个单位，第2次向上移动1个单位，第3次 向左移动2个单位，第4次向下移动2个单位，之后每4次按同样的方式循环（第5 次右1、第6次上1、第7次左2、第8次下2..)。求第2026次移动后点P的坐 标。 【错因分析】常见错误：找不到周期；或把余数对应的"第几步"与位置对应错。 12 【正确解析】每4次为一个周期，每组净位移为(-1，-1)。第4n次后位置为(-n, -n)。2026=4×506+2:第2024次(506组结束)在（-506，-506)；第2025次向右1 (-505,-506);第2026次向上1→(-505，-505)。 【避坑要点】周期规律四步法：找周期(4)→定数量(2026)→算余数(506 组余2)→找对应（组末位置+余下2步）。 题17上下弹跳规律 点P从原点出发，第1次运动到(1,1)，第2次到(2,0)，第3次到(3,2)，第4 次到(4,0)，第5次到(5,1)，第6次到(6,0)...按此规律，求第2026次运动后点P 的坐标。 【错因分析】常见错误：纵坐标规律找错（误以为1,0循环)；或横坐标写成 2no 【正确解析】横坐标=运动次数n。纵坐标按1,0,2,0循环（第1、2、3、4次 分别为1,0,2,0，之后重复)。2026=4×506+2，余2一纵坐标取第2位=0。所以 P(2026,0)e 【避坑要点】先分别看横、纵坐标各自的规律；纵坐标周期为4，用2026÷4的余 数定位。 题18方形螺旋规律 点P从原点出发，第1次向右1个单位，第2次向上1个单位，第3次向左2个 单位，第4次向下2个单位，第5次向右3个单位，第6次向上3个单位…每次方 向按"右→上→左→下"循环，步长每两次增加1。求第2026次移动后点P的坐标。 13 螺旋运动规律（题18） 4.5 3.5 2.5 P7 P6 1.5 P3 P2 0.5 0.5 P4 1.5 -2.5 3.5 3.5 2.5 1.5 0.50.5 1.52.5 3.5 5 图8方形螺旋规律示意 【错因分析】常见错误：把每4次当闭合循环，忽略每组净位移不断增大；或步 长算错。 【正确解析】方向按4次一循环：第4n次后位置为(-n,-n)。2026=4×506+2: 第2024次后(-506，-506)。第2025次方向为"右"，步长=「2025/21=1013，到 (507,-506)；第2026次方向为"上"，步长=「2026/21=1013，到(507,507)。 【避坑要点】先确定“第4n次"的规律落点，再用余数决定剩余步数的方向与步 长；步长=「次数21。 题19绕原点运动规律 点P从P1(1,0)出发，逆时针依次经过P2(0,1)、P3(-1,0)、P4(0,-1)、P5(2, 0)、P6(0,2)、P(-2,0八、P(0,-2).…(每绕一圈，半径增加1)。求第2026个点 的坐标。 14 绕原点运动规律（题19） 3.5 2.5 P6 1.5 0.5 P1 P5 -0.5 1.5 -2.5 3.5 3.5 2.5 -1.5 0.50.5 1.5 2.5 图9绕原点运动规律示意 【错因分析】常见错误：周期定位错（每4个点一圈，第圈半径=圈数）；或 圈内位置对应错。 【正确解析】每4个点为一圈，第k圈上4个点依次为(k,0)、(0,k)、(-k,0)、 (0,-kK)。2026=4×506+2:位于第507圈(506圈后余2)，圈内第2个点。第507圈 第1个点为(507,0)，第2个点为(0,507)。所以第2026个点坐标是(0,507)。 【避坑要点】先由门=4k+r定圈数k与圈内位置r,再套"第k圈第r个点"的坐标 表达式。 4.6综合应用（题20) 题20对称、平移与动点面积综合 在平面直角坐标系中，A(O,4)、B(6,0)、C(0,0)。(1)求△ABC关于x轴对称 的三角形AB'C'的顶点坐标；(2)将△ABC向右平移3个单位、向上平移2个单位 得到△A1B1C1,求点A1的坐标；(3)点P在X轴上，若△PAB的面积等于△ABC 15 的面积，求点P的坐标；(4)点Q在y轴上，若△QAB的面积等于△ABC的面 积，求点Q的坐标。 综合应用（题20） 5.5 4.50,4) 35 2.5 1.5 0.5 P(12,0 1.5g000 456B0891011121314 X 图10综合应用示意图 【错因分析】常见错误：第(1)问忘记B、C在x轴上对称后不变；第(3) (4)问动点位置只写一个解；面积底高对应错。 【正确解析】S△ABC=×6×4=12。(1)关于X轴对称：A'(0,-4);B、C在x 轴上，B'(6,0)、C(0,0)。（2)右3上2：A1=(0+3,4+2)=(3,6)。（3)设 P(t,0),PB=t-6l为底、高为4：S△PAB=2×t-6×4=2It-6=12,t-6=6,t=0或 12,P(0,0)或P(12,0)。(4)设Q(0,s),QA=ls-4为底、高为6：S△QAB=2×s-4 ×6=31s-4=12,1s-4=4,s=0或8，Q(0,0)或Q(0,8)。 【避坑要点】综合题先求定值面积；动点面积一律用“底在轴上+绝对值"“列方 程，两解都要写；对称时先看点是否在轴上。 一本册完 16 沪科版八年级数学上册 易 错 题 集 第 11 章　平面直角坐标系 练 习 册（学生版） 20 道高频易错与拔高题 · 独立作答 · 逐题书写 先独立完成全部题目，再打开《答案解析册》对照批改 题目均为原创编写，配套上海科学技术出版社（沪科版）2024 新教材 1　使用说明 本册是《沪科版八年级数学上册·易错题集》第一册的练习部分，聚焦第11章"平面直角坐标系"，共 20 道题，按专题分为 6 组，难度从易错基础逐步过渡到压轴拔高。 使用方法：① 先看第2、3节"知识地图"与"易错点总览"；② 独立完成每一题，把过程写在题目下方横线上，不要提前翻看答案；③ 全部完成后，对照配套《答案解析册》逐题批改；④ 标记错题，考前重做。本册不含任何解析，答案请使用配套《答案解析册》。 2　本章知识地图 第11章是坐标系与函数的衔接章，第12章"一次函数"的图像与性质都建立在坐标方法之上。本章考题的"深度"集中体现在三处：① 用坐标与距离、对称的关系做含参讨论；② 用割补、铅垂、补形等方法求不规则图形面积；③ 从点的运动路径中归纳坐标规律。 知识模块 核心内容 高频考法 11.1 平面内点的坐标 点的坐标表示；象限划分；坐标轴上的点；点到坐标轴的距离；关于 x 轴、y 轴、原点对称 含参点所在象限/坐标轴；距离相等多解；对称与象限综合 11.2 图形在坐标系中的平移 点的平移与坐标变化；图形的平移；平移不改变形状与大小 逆向求原坐标；图形内部点的对应；平移前后面积不变 坐标方法的简单应用 用坐标描述位置；坐标系中图形的面积；动点路径与分类讨论 割补法、铅垂法、补形法求不规则图形面积；坐标规律探究 3　易错点总览 下表列出本章 6 大高频易错/难点及对应题目，方便你按薄弱点直接定位练习。 专题 高频易错点 对应题目 象限与点的坐标 含参点所在位置判断丢条件；距离相等漏多解 题1 ~ 题2 距离与对称 对称方向记反；距离与坐标混淆；含参范围漏解 题3 ~ 题5 平移 平移方向与坐标增减对应反；图形内部点对应错误 题6 ~ 题8 面积与动点 不规则图形不会割补/铅垂；动点分类讨论不完整 题9 ~ 题15 坐标规律 找不准周期；余数与位置对应错 题16 ~ 题19 综合应用 多变换顺序混乱；动点存在性漏解 题20 4　高频易错与拔高题精练 4.1　象限与点的坐标（题1~题2） 题1　含参点所在位置分类 在平面直角坐标系中，点 P(2m−4, m+1)。（1）当 m 为何值时，点 P 在 y 轴上？（2）当 m 为何值时，点 P 在第二象限？（3）当 m 为何值时，点 P 到 x 轴的距离等于 3？ 我的解答： 题2　到两轴距离相等（多解） 若点 P(3a−6, a+2) 到 x 轴的距离与到 y 轴的距离相等，求 a 的值，并写出点 P 的坐标。 我的解答： 4.2　距离与对称（题3~题5） 题3　对称、距离与象限综合 点 M 关于 x 轴对称的点为 N，点 N 在第四象限，且点 N 到 x 轴的距离为 5、到 y 轴的距离为 3，求点 M 的坐标。 我的解答： 题4　含参对称点与象限范围 点 A(a+1, 2a−3) 关于 y 轴对称的点为 B，且点 B 在第三象限。（1）求 a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若 a 为整数，求点 A 的坐标。 我的解答： 题5　平行于 x 轴的线段长（含参多解） 已知点 A(2a−1, 3)、B(5, 3)，线段 AB 平行于 x 轴且 AB=8，求 a 的值。 我的解答： 4.3　图形的平移（题6~题8） 题6　逆向平移求原坐标 将点 P(a, b) 先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到点 P′(5, −1)，求 a、b 的值。 我的解答： 题7　图形平移与内部点对应 将 △ABC 平移，使点 A(−2, 1) 对应到点 A′(2, −1)。点 P(1, 3) 是 △ABC 内部一点，求平移后点 P 的对应点 P′ 的坐标。 我的解答： 题8　平移综合三问（含面积） 在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点为 A(−1, 2)、B(2, −1)、C(1, 3)。（1）将 △ABC 向右平移 4 个单位、再向下平移 3 个单位，求新三角形顶点 A′、B′、C′ 的坐标；（2）若 M(x, y) 是 △ABC 内任意一点，用含 x、y 的式子表示其对应点 M′ 的坐标；（3）求 △A′B′C′ 的面积。 我的解答： 4.4　面积与动点（题9~题15） 题9　铅垂法求斜三角形面积 在平面直角坐标系中，A(1, 1)、B(7, 3)、C(4, 7)，求 △ABC 的面积。 图1 铅垂法示意图 我的解答： 题10　补形法求不规则四边形面积 在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的顶点为 A(1, 1)、B(5, 1)、C(4, 4)、D(1, 3)，求四边形 ABCD 的面积。 图2 补形法示意图 我的解答： 题11　由面积反求坐标（x 轴动点多解） 已知 A(0, 4)、B(−3, 0)，点 P 在 x 轴上，若 △ABP 的面积为 10，求点 P 的坐标。 图3 x 轴动点两解示意 我的解答： 题12　面积的一半（y 轴动点多解） 已知 A(2, 0)、B(6, 0)、C(0, 6)，点 P 在 y 轴上，若 △PBC 的面积是 △ABC 面积的一半，求点 P 的坐标。 图4 y 轴动点两解示意 我的解答： 题13　同高三角形面积比 在 △AOB 中，O(0, 0)、A(0, 4)、B(8, 0)，点 P 在 OB 上（不与 O、B 重合），若 △AOP 与 △POB 的面积之比为 1:3，求点 P 的坐标。 图5 同高面积比示意 我的解答： 题14　不规则四边形面积（竖切法） 在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的顶点为 A(0, 0)、B(6, 0)、C(4, 4)、D(1, 5)，求四边形 ABCD 的面积。 图6 竖切法示意图 我的解答： 题15　动点路径与分类讨论 如图，矩形 OABC 的顶点为 O(0, 0)、A(0, 4)、B(8, 4)、C(8, 0)。点 P 从 O 出发，沿 O→A→B→C→O 的路线匀速运动，速度为每秒 2 个单位长度。（1）求 t=7 时点 P 的坐标；（2）求点 P 到 x 轴的距离等于 2 时，t 的值。 图7 动点运动路径示意 我的解答： 4.5　坐标规律探究（题16~题19） 题16　循环移动规律 点 P 从原点出发，第 1 次向右移动 1 个单位，第 2 次向上移动 1 个单位，第 3 次向左移动 2 个单位，第 4 次向下移动 2 个单位，之后每 4 次按同样的方式循环（第 5 次右 1、第 6 次上 1、第 7 次左 2、第 8 次下 2……）。求第 2026 次移动后点 P 的坐标。 我的解答： 题17　上下弹跳规律 点 P 从原点出发，第 1 次运动到 (1, 1)，第 2 次到 (2, 0)，第 3 次到 (3, 2)，第 4 次到 (4, 0)，第 5 次到 (5, 1)，第 6 次到 (6, 0)……按此规律，求第 2026 次运动后点 P 的坐标。 我的解答： 题18　方形螺旋规律 点 P 从原点出发，第 1 次向右 1 个单位，第 2 次向上 1 个单位，第 3 次向左 2 个单位，第 4 次向下 2 个单位，第 5 次向右 3 个单位，第 6 次向上 3 个单位……每次方向按"右→上→左→下"循环，步长每两次增加 1。求第 2026 次移动后点 P 的坐标。 图8 方形螺旋规律示意 我的解答： 题19　绕原点运动规律 点 P 从 P₁(1, 0) 出发，逆时针依次经过 P₂(0, 1)、P₃(−1, 0)、P₄(0, −1)、P₅(2, 0)、P₆(0, 2)、P₇(−2, 0)、P₈(0, −2)……（每绕一圈，半径增加 1）。求第 2026 个点的坐标。 图9 绕原点运动规律示意 我的解答： 4.6　综合应用（题20） 题20　对称、平移与动点面积综合 在平面直角坐标系中，A(0, 4)、B(6, 0)、C(0, 0)。（1）求 △ABC 关于 x 轴对称的三角形 A′B′C′ 的顶点坐标；（2）将 △ABC 向右平移 3 个单位、向上平移 2 个单位得到 △A₁B₁C₁，求点 A₁ 的坐标；（3）点 P 在 x 轴上，若 △PAB 的面积等于 △ABC 的面积，求点 P 的坐标；（4）点 Q 在 y 轴上，若 △QAB 的面积等于 △ABC 的面积，求点 Q 的坐标。 图10 综合应用示意图 我的解答： 1 学科网（北京）股份有限公司 $