第11章平面直角坐标系之坐标点规律探究 同步练习 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦平面直角坐标系坐标点规律探究，通过基础识别、周期推理、综合应用三层设计，构建从具体到抽象的知识巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一方向运动规律|选择1-5题结合图形直观，识别横纵坐标变化规律| |提升|循环周期与多步推理|填空12-14题融入反射、对称情境，强化周期归纳| |综合|运动路径与代数表达|解答17-20题关联方程与图形变换，构建规律模型|

沪科版数学八年级上册第11章平面直角坐标系之坐标点规律探究 一、选择题 1．（2026七下·中山期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2025七下·苍溪期中）如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点(1，0)，然后按照图中箭头所示方向移动，即(0，0)→(1，0)→(1，1)→)(0，1)→(0，2)→……，且每秒移动一个单位，那么第2018秒时，点所在位置的坐标是(　　). A．(6，44) B．(38，44) C．(44，38) D．(44，6) 3．（2025七下·惠州期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，那么点为自然数的坐标为用n表示． A． B． C． D． 4．（2025八下·射洪期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位长度，依次得到点，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 5．（2024八上·南湖月考）如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点出发，依次运动到点，，，，，…像这样的运动规律，点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 6．（2024七下·昆明期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第31次运动后动点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 7．（2024七下·五华期中）动点在平面直角坐标系中第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，…，按这样的运动规律，经过第2024次运动后，点的坐标是（　　） A． B． C． D． 8．（2024七下·德城期中）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，组成一条平滑的曲线．若点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则经过秒时，点的坐标是(　　) A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，5），B（1，2），C（4，2），D（4，4），E（2，4），F（2，5），若点P（m，2m-1）在六边形ABCDEF内部（含边界），则m的取值范围是　 　。 10．（2025七下·青秀期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，沿着的路线运动，按此规律，则点运动到时坐标为　 　． 11．（2025七上·绥阳期末）将正整数按如图所示的规律排列，若有序数对表示第n排，从左到右第m个数，如表示的数为9，则表示的数为201的有序数对是　 　． 12．（2026八下·桑植期中）如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2025次碰到长方形的边时，点P的坐标为　 　． 13．（2026八下·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为　 　． 14．（2026·岳池模拟）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使按此规律进行下去，则点的坐标为　 　． 15．（2026七下·长沙期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)→(2，0)→(2，1)→(1，1)→(1，2)→(2，2)→，…，根据这个规律，第2 025个点的坐标为　 　. 16．（2026七下·利州期中）如图，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，若在x轴上方时，每运动一次需要1秒，在x轴下方时，每运动一次需要2秒，按这样的运动规律，动点P第2026秒时运动到点　 　． 三、解答题 17．在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，速度为每秒1个单位长度，且点P只能向上或向右运动，请回答下列问题： （1）将表格填写完整： 点P出发时间 可得到整数点的坐标 可得到整数点的个数 1秒 ， 2 2秒 ，， 3 3秒 　 　 4 （2）当点P从点O出发11秒时，可得到的整数点的个数是　 　． （3）当点P从点O出发　 　秒时，可得到整数点． 18．如图，在平面直角坐标系中，OA2＝A2A4＝A4A6＝A6A8＝A8A10＝A10A12＝…＝2，△OA1A2，△A4A5A6，△A8A9A10，…都是等边三角形；△A2A3A4，△A6A7A8，△A10A11A12，△A14A15A16，…都是等腰直角三角形． （1）直接写出点A19，A20，A2 027，A2 028的坐标； （2）n是正整数，用含n的式子表示下列坐标： An的横坐标为　 　；A4n＋3的坐标为　 　． 19．（2026七下·路北期中）如图，点从原点出发，每次向上移动1个单位长度或向右移动2个单位长度． （1）直接写出点从点出发移动2次后可能到达的所有点的坐标； （2）设点从点出发移动次后到达第一象限的角平分线上点处． ①若点，求的值及点移动的路径长； ②若，求点的坐标． 20．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成 （1）观察每次变换前后三角形的变化规律，按此变化规律，将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是　 　，B4的坐标是　 　. （2）按第(1)题找到的规律，将△OAB进行n次变换，得到△OAₙBₙ. ①推测A。的坐标是 ，B。的坐标是 . ②求△OAₙBₙ的面积S. 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得：P1（-1，-1），P2（1，1），P3（-2，-2），P4（2，2），P5（-3，-3），P6（3，3），P7（-4，-4），P8（4，4），…， ∴奇数点在第三象限，偶数点在第一象限， ∴奇数点规律：P1（-1，-1），P3（-2，-2），P5（-3，-3），P7（-4，-4），…P2n-1（-n，-n）， ∴P2023（-1012，-1012） 故答案为：A. 【分析】根据图象可知，前8个点的坐标，发现奇数点在第三象限，由题意得P2n-1（-n，-n），即可解决问题. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意可得：点运动到点（1，1）用了2秒，到点（2，2）处用了6秒，到点（3，3）处用了12秒， 所以运动到点（n，n）用了n(n+1)秒， 所以在第1980秒时移动到点（44，44）； 因为坐标为奇数时逆时针，偶数时顺时针， 所以可得1980秒时是顺时钟， 而2018-1980=38， 所以44-38=6， 所以可得2018秒时，移动到点(44，6)， 故答案为：D. 【分析】观察“对角线点”的时间规律发现：到点(n，n)时，总时间为n(n+1)秒；从而确定最接近2018秒的“对角线点”，即找到n(n+1)≤2018时n的最大值，通过尝试发现最接近2018秒的“对角线点”为(44，44)，对应时间为1980秒；由于坐标为奇数时逆时针，偶数时顺时针，故当n=44时，即1980秒时的运动方向为顺时针，进而计算出从1980秒到2018秒还需要的时间为38秒，故纵坐标为44-38=6，从而即可得出答案. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：由图可知，时，，点， 时，，点， 时，，点， …… 所以，点， 故答案为：C． 【分析】先结合图形求出前几个点A的坐标，再找出规律，即可得到点. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：，， ， 由图中点的坐标规律可得， ，， ， ，即， ，即． 故答案为：B． 【分析】 本题主要考查平面直角坐标系中的规律探索，根据图形找到点的规律是解题的关键．通过观察点的坐标变化，找出下标与坐标之间的对应规律，进而利用规律求解特定点的坐标，根据，，可得：，再结合图中点坐标规律可得：，，，由，即可得到，由此可得出答案． 5．【答案】C 【解析】【解答】解：∵动点第一次从原点出发，依次运动到点，，，，，…像这样的运动规律， ∴横坐标的变化规律是依次、、、， ∴从到共增加了次， ， 共增加了个循环，第次循环的第一次， 的横坐标需要加个，个， 的横坐标为：， 故答案为：C． 【分析】点到点的运动规律，可知横坐标的变化规律是依次、、、，从而得到共增加了次，的横坐标需要加个，个，进而根据该变化规律计算出的横坐标． 6．【答案】A 【解析】【解答】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次运动到点， 第5次接着运动到点， …， ∴ 由题意得动点的横坐标为n，为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮， ∵， 则经过第31次运动后，动点P的横坐标为31，纵坐标为2，即经过第31次运动后，动点P的坐标是：， 故答案为：A． 【分析】由题意题根据已知 点的横坐标为n ，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，，为第三个循环节，进而求出即可． 7．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得，坐标点的横坐标与次数一致，纵坐标：1，1，0，，，0每6次运动组成一个循环； ∴， ∴经过第2024次运动后，点的横坐标是2024，纵坐标是第二个循环节1． 故答案为：A． 【分析】观察图象，分析运动点的坐标特点，分别得出点运动的横坐标为n和纵坐标是循环数字，循环节为6，所以得到余数是2。即纵坐标是第二个循环节1． 8．【答案】D 【解析】【解答】解：半径为个单位长度的半圆的周长为：， 点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， 点每秒走个半圆， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标：， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标：， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标：， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标：， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标：， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标：， ， 点的横坐标和运动的秒数相同，纵坐标以、、、为一个周期依次循环， ， 的坐标是； 故答案为：D． 【分析】根据点的规律变化以及点P 的运动路程，分别求出点P在1秒，2秒，3秒，4秒，5秒，6秒等点的坐标，在发现点P的移动规律：移动次纵坐标完成一个循环，从而可得出点的坐标． 9．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】 解：∵点P（m，2m-1）在六边形ABCDEF内部（含边界） ∴ 解得 ∴m的取值范围是 故答案为： 【分析】根据点P（m，2m-1）在六边形ABCDEF内部（含边界）列出横坐标，纵坐标分别满足得范围为，解不等式组得到符合条件的m的取值范围，解答即可. 10．【答案】 【解析】【解答】解：点、、、横坐标分别是、、、， 点、、、横坐标分别是、、、， 点、、、横坐标分别是、、、， ， 点、、、横坐标分别是、、、， ，且， 的横坐标是， 点、、、纵坐标分别是、、、， 点、、、纵坐标分别是、、、， 点、、、纵坐标分别是、、、， ， 点、、、纵坐标分别是、、、， ，且， 的纵坐标是， 点时坐标为． 故答案为：． 【分析】先求出点A的坐标可得规律：点、、、横坐标分别是、、、，点、、、纵坐标分别是、、、，再求出点时坐标为即可． 11．【答案】 【解析】【解答】解：由图可得，第一排有1个数， 第二排有2个数，从大到小排列， 第三排有3个数，从小到大排列， 第四排有4个数，从大到小排列， …， 则前排的数字共有个数，奇数排从小到大排列，偶数排从大到小排列， ∵当时，，当时，， ∴在第二十排， ∵， ∴表示的数为201的有序数对是， 故答案为：． 【分析】观察数列的排列可得第一排有1个数，第三排有3个数，从小到大排列；第二排有2个数，从大到小排列，第四排有4个数，从大到小排列；因而可得前排的数字共有个数，奇数排从小到大排列，偶数排从大到小排列，计算当时，，当时，，推测出在第二十排，序列为，于是得到表示的数为201有序数对是即可得解． 12．【答案】 【解析】【解答】解：如下图所示，动点每经过6次反弹后就会回到出发点， 可得， 因此点P第2025次碰到矩形的边时，刚好是第338个循环周期的第3次反弹， 对应点P的坐标为， 故答案为． 【分析】根据反射角等于入射角的规律画出图形找规律，发现动点每6次反弹会完成一次循环，回到初始位置。因此用总次数2025除以循环周期6，根据得到的商和余数，就能判断第2025次反弹对应循环中的位置，进而得到对应点的坐标。 13．【答案】 【解析】【解答】解：P点坐标为，将P点关于A对称得到， ， 将关于O点对称得到， ， 将关于C点对称得到， ， 将关于B点对称得到， ， 将关于A点对称得到 ， 按照顺序以此类推，坐标按照，，，四个为一个循环， ， 则的坐标为； 故答案为：． 【分析】根据题意坐标的变化规律，发现点的坐标会以、、、这四个为一个周期循环出现，根据这个循环规律计算就能得到结果. 14．【答案】 【解析】【解答】解：如图：过作轴， ∵的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴的坐标为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的坐标为， 同理可得：的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为， … 由上可知，A点的方位是每6个循环， 与第一点方位相同的点在x轴正半轴上，其横坐标为，其纵坐标为0， 与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为，纵坐标为， 与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为，纵坐标为， 与第四点方位相同的点在x轴负半轴上，其横坐标为，纵坐标为0， 与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为，纵坐标为， 与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为，纵坐标为， ∵， ∴点的方位与点的方位相同，在x轴上，其横坐标为，纵坐标为0， ∴点的坐标是． 故答案为： 【分析】 借助解直角三角形的相关知识，依次算出…各点坐标，再观察坐标变化规律，A点的方位是每6个循环，推导出最终结论 ． 15．【答案】(45，0) 【解析】【解答】解：根据图形 以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方 例如：右下角的点的横坐标为1时，共有1=12个点 右下角的点的横坐标为2时，共有4=22个点， 右下角的点的横坐标为3时，共有9=32个点， 右下角的点的横坐标为4时，共有16=42个点 右下角的点的横坐标为n时，共有n2个点 ∵2025=452 ∴第2025个点的坐标是(45，0)， 故答案为：(45，0). 【分析】根据题意，得到点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，由于2025=452，所以第2025个点的坐标可得. 16．【答案】(1350，-2) 【解析】【解答】解：通过观察图形可以得到，动点P的运动以6秒为一个完整循环周期，在每一个循环中，动点P完成四次运动后，整体会向右平移4个单位， ∵， ∴2026秒包含337个完整循环，还剩余4秒的运动， 337个完整循环一共向右平移的单位数为， 经过337个完整循环，也就是2022秒时，动点P的横坐标为，纵坐标为0，即此时点P的坐标为(1347，0)； 之后动点P开始新循环的运动，先向x轴上方方向运动，经过2秒后，也就是到2024秒时，点P的坐标变为 (1349，0)； 接下来动点P向x轴下方方向运动，再经过2秒后，也就是到2026秒时，点P的坐标变为 (1350，-2)； 因此，动点P运动2026秒后所在点的坐标为(1350，-2). 故答案为： (1350，-2). 【分析】 本题通过观察图形总结规律可得，动点P的运动每6秒为一个循环周期，每个周期整体向右移动4个单位，只需要用总时间2026除以6，根据得到的商和余数判断动点所在的位置，即可计算得到对应点的坐标. 17．【答案】（1）(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0) （2）12 （3）36 【解析】【解答】解：(1)由题意可得，当点P从点O出发n秒，可得到的整数点为(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)， 故答案为：(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0). (2)根据题意归纳出当点P从点O出发n秒，可得到的整数点的个数是n+1. 当n=11时，n+1=11+1=12， 当点P从点O出发11秒，可得到的整数点的个数是12. 故答案为：12. (3)由题意可得当点P从点O出发n秒，可得到的整数点都在直线y=-x+n上， 则得-28+n=8. 解得n=36， ∴当点P从点O出发36秒时，可得到整数点(28，8)， 故答案为：36. 【分析】(1)根据点P的运动规律确定此题结果； (2)根据题意归纳出当点P从点O出发n秒，可得到的整数点的个数是n+1可确定此题的结果； (3)由题意可得当点P从点O出发n秒，可得到的整数点都在直线y=-x+n上，将整数点(28，8)代入计算即可. 18．【答案】（1）解：∵OA2＝A2A4＝A4A6＝A6A8＝A8A10＝A10A12＝…＝2， ∴A2n＝（2n，0)，n是正整数， ∴A20（20，0)，A2 028（2 028，0)． ∵△A2A3A4，△A6A7A8，△A10A11A12，△A14A15A16，…都是等腰直角三角形， ∴A3，A7，A11，A15，…的纵坐标均为－1. ∴A4n＋3（4n＋3，－1)，n是自然数． ∵19＝4×4＋3，2 027＝4×506＋3， ∴A19（19，－1)，A2 027＝（2 027，－1)． （2）n；（4n＋3，－1) 【解析】【解答】(2)解： 由 (1) 中. n是自然数； ，n是自然数； 当n是正整数时， ； 故答案为：n，(4n+3，-1). 【分析】(1)由平面直角坐标系及所给的图形可找到规律. =(2n，0)，n是正整数； n是自然数； ，n是自然数；代值求解即可得到答案； (2)由(1)中所得规律，结合题中要求即可得到答案. 19．【答案】（1）或或 （2）解：①∵点从点出发移动次后到达第一象限的角平分线上点处 ∴点需要向右平移2次，向上平移4次， ∴共移动了6次，即； ∴点移动的路径长； ②设向右平移m次，则向上平移次， ∴． ∵点Q在第一象限的角平分线上， ∴， 解得：， ∴， ∴ 【解析】【解答】（1）解：点向上移动1个单位长度，再向上移动1个单位长度后到达的点的坐标为； 点向上移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度后到达的点的坐标为； 点向右移动2个单位长度，再向上移动1个单位长度后到达的点的坐标为； 点向右移动2个单位长度，再向右移动2个单位长度后到达的点的坐标为； 综上所述，点从点出发移动2次后可能到达的所有点的坐标为或或； 故答案为：或或. 【分析】（1）根据平移的不同方式进行分类讨论，就可以求出对应结果； （2）①结合点的坐标和题目给出的平移规则，就可以计算得到对应结论； ②设平移过程中，向右平移的次数为m，那么向上平移的次数就是，由此可以得到点Q的坐标为，再根据第一象限角平分线上点横纵坐标相等的性质列出方程，即可求解. 20．【答案】（1）（16，3）；（32，0） （2）解：（2″，3）；（2″+1，0）； 【解析】【解答】解：（1）由题意可得： 每次变换后，点A，A1，A2，A3的纵坐标不变为3，同时横坐标都和2有关，为1，2，4，8，可表示为2"， 则A4的坐标为（16，3） 点B，B1，B2，B3的纵坐标不变，为0，同时横坐标都和2有关，为2n+¹， 则B3的坐标为（32，0）． 故答案为：（16，3），（32，0） （2）①由上题所得规律可知，An的纵坐标总为3，横坐标为2"，B。的纵坐标总为0，横坐标为 所以Aₙ的坐标是（2″，3），Bₙ的坐标是（2″+1，0） 故答案为：（2″，3）；（2″+1，0） 【分析】（1）根据点坐标的变化规律即可求出答案. （2）①根据（1）中点的变化规律即可求出答案. ②根据三角形面积即可求出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $