考点06 成比例的线段（6考点+6题型+能力强化）（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以“概念-性质-模型-应用”为逻辑链，构建成比例线段全体系训练，提炼“设k法”“模型口诀”等实用技巧，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点|6个核心考点|比例性质“万能变形”、黄金分割“公式速算”、平行线模型“比例式固定列法”|从线段比定义到比例性质推导，再到平行线分线段定理及A字型/8字型模型应用，形成完整知识链| |题型|6类典型题型|成比例判定“三步骤”、综合题“辅助线构造法”、证明题“平行-模型-比例”标准化步骤|基础计算→模型应用→综合证明，难度梯度递进，典例覆盖上海中考高频易错点|

考点06 成比例的线段 考点一：线段的比与成比例线段 1. 线段的比：同一长度单位下，两条线段长度的比值，记作，比值为正数，无单位。 2. 成比例线段定义：四条线段 ，若满足 （即 ），则称这四条线段为成比例线段。其中 为外项， 为内项， 为 的第四比例项。 3. 比例中项：若 ，则 ，线段 为 的比例中项。注意：线段长度为正，仅取正根。 4. 四条线段成比例判定步骤：① 统一所有线段单位；② 将线段长度从小到大排序；③ 验证前两条线段的比值与后两条线段的比值是否相等。 考点二：比例三大核心性质（计算高频考点） 设 （） 1. 基本性质：（比例计算万能变形，正向化简、逆向构造比例式通用），逆用可推导8种不同比例式。 2. 合比性质：，常用于整体比值求解。 3. 等比性质：若 ，且 ，则 。 考点三：比例尺应用（基础填空常考） 核心公式：比例尺 = 图上距离: 实际距离，解题关键为统一长度单位，根据比例式列方程求解实际距离或图上距离。 考点四：黄金分割（沪教必考考点） 1. 黄金分割定义：若点 把线段 分成两条线段 （），满足 ，则称线段 被点 黄金分割，点 为线段 的黄金分割点。 2. 黄金比（核心必考数值） 黄金比： 短线段与长线段比、长线段与总长比均为黄金比，是本章唯一固定无理数比值考点。 3. 两段线段快速公式（直接背、直接代） 设线段总长为 ： 较长线段： 较短线段： 4. 重要性质结论 ① 一条线段有两个黄金分割点，左右对称； ② 黄金矩形：宽与长的比值为黄金比 ； ③ 黄金分割满足比例中项关系：（高频证明结论）。 考点五：三角形一边平行线性质定理（两大核心模型） 定理内容：平行于三角形一边的直线，截三角形其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 模型1：A字型（三角形内部平行） 在中，，直线分别交于点，可得三组比例式： 模型2：8字型（X型，延长线平行） 直线，交的延长线于，上述三组比例式依然成立，比例关系不变。 拓展核心结论： 平行于三角形一边的直线截三角形两边，截得的小三角形的三边与原三角形三边对应成比例： 考点六：平行线分线段成比例基本定理 定理内容：三条及三条以上平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么． 推论（平行线等分线段）：若平行线截得的一段线段相等，则对应截得的线段全部相等，常用于网格、填空题快速解题。 题型一：成比例线段判定与比例性质计算（基础选择填空） ① 线段判比例：统一单位→从小到大排序→验证首尾比=中间比，杜绝乱搭配； ② 比值求值：无脑用设k法，看到 ，直接设 ，代入消元，零分式错误； ③ 和差求值：优先用合比性质，无需单独算线段长度，一步出结果。 避坑要点：比例中项只取正数；等比性质必须验证分母和不为0。 【典例1-1】（23-24九年级上·上海·阶段检测）下列各组线段中，成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【典例1-2】（23-24九年级上·上海·阶段检测）已知线段a，b，c，作线段x，使，那么正确的作法是（   ） A．B．C． D． 【典例1-3】（24-25九年级上·上海·期中）在中，点D、E、F分别在边上，联结DE、DF，如果，，且，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【典例1-4】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知，那么的值是______． 【典例1-5】（25-26九年级上·上海奉贤·期末）小华在某游乐园的地图上看到，某游玩项目排队区域的图上长度约2.5厘米，已知该地图的比例尺是，那么排队区域的实际长度约_______米． 【典例1-6】（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知线段，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长为__________． 【变式1-1】（23-24九年级上·上海·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）已知线段、、，求作第四比例线段，则以下正确的作图是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-4】（25-26九年级上·上海闵行·期中）如果，那么代数式的值是______． 【变式1-5】（2026·上海金山·一模）小海周末到漕泾镇沙积村游览，发现村内的高宅基冈身遗址，藏有兰蛤、毛蚶等近二十种6400年前的远古贝类化石，他想了解一个毛蚶化石的长度，在化石旁放了一支笔拍下照片．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，那么该化石的实际长度为____． 【变式1-6】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知线段厘米，厘米，c是线段a、b的比例中项．那么______厘米． 题型二：黄金分割计算与判定（填空高频压轴小题） 题干出现黄金分割、，直接套固定根式公式，计算题不写0.618近似值，小题估算可直接用0.618快速检验。 避坑要点：比例中项只取正数；等比性质必须验证分母和不为0；黄金分割长短线段公式严禁记反。 【典例2-1】（25-26九年级上·上海·期中）大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点（），如果的长度为8cm，那么的长度为_______cm． 【典例2-2】（2026·上海金山·一模）数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为_____米．（结果保留根号的形式） 【典例2-3】（2025·上海杨浦·一模）已知点是线段的黄金分割点，那么__________． 【变式2-1】（23-24九年级上·上海浦东新·期中）已知线段，是线段的黄金分割点，且，那么线段的长度等于________． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么_____厘米． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形为黄金矩形，点分别在边上，四边形为正方形，已知，那么_______________． 【变式2-4】（25-26九年级上·上海青浦·期中）已知线段长度为，点P在线段上，且点P是线段的黄金分割点，则线段的长为_____． 题型三：平行线分线段成比例基础计算（三线平行模型） ① 找准两条被截直线，区分“上段、下段、整段”； ② 严格按照 列式； ③ 交叉相乘变整式方程，直接求解。 秒杀细节：题目给出等分线段，直接用平行线等分推论，线段全部相等，无需列比例。 【典例3-1】（25-26九年级上·上海崇明·期末）如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，则的长是__________． 【典例3-2】（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，，，那么__________． 【典例3-3】（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，已知，，，________． 【变式3-1】（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，，则________． 【变式3-3】如图，，则__________． 题型四：A字型线段长度计算（必考基础大题） ① 已知分段：（局部对局部）； ② 已知总长：（整体对整体）。 应试技巧：题干给分段长度，优先用局部比例；给整体长度，优先用整体比例，减少计算量。 【典例4-1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在中，点D、E分别在边上，，如果，AD：：3，那么的长为________． 【典例4-2】（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，点和分别在直线和上，且，如果，，那么的长等于______． 【典例4-3】（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知，且．求：线段的长． 【变式4-1】（25-26九年级上·上海·期中）如图，点、分别在的边、上，，且，，则______________． 【变式4-2】（25-26八年级下·上海·期中）如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点，过点作于点，则为___________． 【变式4-3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，点D在边上，，．求证：． 题型五： 8字型（X型）比例计算 专属解题口诀：平行交叉成八字，对顶线段比例同 万能固定列式： 解题关键：找准交叉中心点O，只取被分割的对应线段，切勿混用整段线段；已知任意三段，可直接求第四段。 【典例5】（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·上海黄浦·期中）已知点、分别在的边和的反向延长线上，．当时，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，点分别在边延长线上，，如果，，那么的长是__________．    【变式5-3】（25-26九年级上·上海金山·阶段检测）已知点D、E分别在的边、的延长线上，，，，则_______． 题型六：综合证明与辅助线构造（期中压轴） ① 证平行：只需证明三角形两边截得的线段对应成比例，直接逆用判定定理，无需额外推导； ② 无模型求线段：缺平行线就过关键点作平行辅助线，强行构造A字型/8字型，转化已知比例； ③ 多层比例：逐层设k、逐层列式，利用公共线段串联比例，禁止跨层套用比值。 证明题万能逻辑：找平行→定模型→列比例→推结论，步骤标准化，不丢步骤分。 【典例6】平行四边形中，，过对角线交点作，垂足为，，，则__________． 【变式6-1】（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则_____． 【变式6-2】（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）已知是的重心，过点作交边于点，作交边于点，如果四边形的面积为3，那么的面积是_____． 【变式6-3】（24-25九年级上·上海·自主招生）如图，为边上一点，，则_____________． 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）如图所示，已知直线，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C．， D．， 3．（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如果，那么 （    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·上海普陀·二模）如图1，在矩形中，，．正方形的顶点E在的延长线上，，点G在边上，O为正方形的中心，如果过点O的一条直线平分这个组合图形的面积，且这条直线分别交、于点M、N，那么线段的长为（   ） A． B． C． D．13 二、填空题 7．（2026·上海长宁·一模）如图，两条直线被三条平行线、、所截，分别相交于点、、、、、，若，那么当时，的长为___________． 8．（24-25九年级下·上海·阶段检测）黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是______． 9．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段检测）已知线段，，那么线段、的比例中项等于______． 10．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，甲、乙两地的实际距离是100千米，则在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离约为______厘米． 11．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么线段的长是______．    12．（25-26八年级下·上海·阶段检测）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此、若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则其身高是______厘米（结果保留到整数）． 13．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．如图，点P是线段MN的中外比点，，，则______． 14．（2026·上海徐汇·一模）我们将宽和长之比为（约为）的矩形称为“黄金矩形”，它可以通过折纸获得．如图1所示，将长方形纸片第一次沿折叠，使点和点重合，展开后再将纸片沿对折叠，使点和点重合；如图2所示，展开后连接，再将纸片第三次沿折叠，使得落在长方形纸片的边上且点落在点处，再次展开，过点作的垂线，垂足为点．请在阅读理解的基础上写出图中的“黄金矩形”：_________． 三、解答题 15．（24-25九年级上·上海·期中）已知a、b、c满足．求的值． 16．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知：． (1)如果，，，求c、d的值； (2)求证：． 17．（2026·上海松江·一模）的三边分别是、、，且， (1)如果的周长为60，求的值； (2)如果的面积为 60，求的值． 18．汉字书法是中华民族的文化瑰宝．毛笔书法考试从中级开始，书法纸都是不带格子的空白宣纸．现在我们需要根据书法内容的篇幅大小将书法纸折出等距的三列． 学生将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图1：再将图1沿着对角线对折一次，得到图2，对角线分别与折痕、、的交点K、L、M即为对角线的四等分点． (1)求证：K为对角线的四等分点； (2)请在图2中画出的三等分点，简单说明画法，并证明； 19．（2026·上海松江·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图像上． (1)当点与原点的距离为时，求的值； (2)如图，点也在反比例函数图像上，射线与轴交于点．过点、向轴作垂线，垂足分别是点、，如果，试用表示四边形的面积． 20．（2026·上海静安·三模）比，是两数相除的简约表达，揭示部分间的量级关系．比的妙用在于化繁为简． (1)已知某地图的比例尺为，其中80000用科学记数法表示为____________，该地图上代表实际距离____________m． (2)“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为5，四个黄金分割点组成的正方形的边长为_________． (3)若正数，满足：，试将按照从小到大的顺序排列． 21．（2025·上海嘉定·一模）如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并 回答问题： 怎样用尺规把线段黄金分割呢？下面给出一种方法． 作法：如图 1．过点作，使． 2．连接，在线段上截取． 3．在线段上截取． 则． (1)请写出图中的值是___________； (2)我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段为底边的黄金三角形（不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）． 22．（25-26九年级上·上海虹口·期中）某学习小组对梯形的分割与图形的组合展开研究． 现有一张直角梯形纸片（如图1），，．    (1)有一张直角梯形纸片（如图2），，，．将这张纸片沿对角线剪开，并将剪出的通过图形的运动，使点M、Q分别与点A、D重合，从而拼成一个（如图3），请完成填空：的值是 ；的值是 ； (2)有一张直角梯形纸片（如图4），，．请设计一种方法，用一条直线l将梯形纸片分割成两个部分，使得其中一个部分（记为图形S）通过图形的运动能与梯形纸片（图1）拼成一个无重叠的直角三角形． 要求：①在答题纸图4的梯形EFGH纸片上画出直线l； ②写出直线l的与梯形的边的交点位置； （简述语言示例：点Q是梯形的顶点，点P是边的一个四等分点） ③直接写出图形S与梯形的面积比． 23．（25-26九年级上·上海普陀·期末）【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且，___________，如果四边形是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与的交流中，给出了一种解决问题的思考路径： 【解决问题】 (1)根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“___________”）； (2)根据小普同学与的对话，设，，用含a、b的代数式表示k； (3)在图中，画出符合要求的菱形，写出确定点E的作图步骤，并保留确定点E的作图痕迹． 24．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）综合与实践：折黄金矩形 【问题提出】 我们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．黄金矩形以协调、匀称的美感，常见于艺术、建筑、自然界中，那么，如何用不同形状的纸片折出黄金矩形，并证明这个矩形是黄金矩形呢？ 【操作探究】 (1)小创小组将一张矩形纸片（如图1）按照图2至图5的方式操作，那么图5中哪些矩形是黄金矩形？请直接写出结论． (2)小智小组将一张正方形纸片（如图6）按照图7至图10的方式操作，得到矩形，你能证明矩形是黄金矩形吗？请写出证明过程． 【学以致用】 (3)将一张矩形纸片（如图11），先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题． ①沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点E处，折痕交边于点G； ②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段CE上的点H处，折痕交边于点F； ③沿过点E的直线折出矩形，折痕交线段于点M，连接． 如果，请说明点G是线段的黄金分割点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点06 成比例的线段 考点一：线段的比与成比例线段 1. 线段的比：同一长度单位下，两条线段长度的比值，记作，比值为正数，无单位。 2. 成比例线段定义：四条线段 ，若满足 （即 ），则称这四条线段为成比例线段。其中 为外项， 为内项， 为 的第四比例项。 3. 比例中项：若 ，则 ，线段 为 的比例中项。注意：线段长度为正，仅取正根。 4. 四条线段成比例判定步骤：① 统一所有线段单位；② 将线段长度从小到大排序；③ 验证前两条线段的比值与后两条线段的比值是否相等。 考点二：比例三大核心性质（计算高频考点） 设 （） 1. 基本性质：（比例计算万能变形，正向化简、逆向构造比例式通用），逆用可推导8种不同比例式。 2. 合比性质：，常用于整体比值求解。 3. 等比性质：若 ，且 ，则 。 考点三：比例尺应用（基础填空常考） 核心公式：比例尺 = 图上距离: 实际距离，解题关键为统一长度单位，根据比例式列方程求解实际距离或图上距离。 考点四：黄金分割（沪教必考考点） 1. 黄金分割定义：若点 把线段 分成两条线段 （），满足 ，则称线段 被点 黄金分割，点 为线段 的黄金分割点。 2. 黄金比（核心必考数值） 黄金比： 短线段与长线段比、长线段与总长比均为黄金比，是本章唯一固定无理数比值考点。 3. 两段线段快速公式（直接背、直接代） 设线段总长为 ： 较长线段： 较短线段： 4. 重要性质结论 ① 一条线段有两个黄金分割点，左右对称； ② 黄金矩形：宽与长的比值为黄金比 ； ③ 黄金分割满足比例中项关系：（高频证明结论）。 考点五：三角形一边平行线性质定理（两大核心模型） 定理内容：平行于三角形一边的直线，截三角形其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 模型1：A字型（三角形内部平行） 在中，，直线分别交于点，可得三组比例式： 模型2：8字型（X型，延长线平行） 直线，交的延长线于，上述三组比例式依然成立，比例关系不变。 拓展核心结论： 平行于三角形一边的直线截三角形两边，截得的小三角形的三边与原三角形三边对应成比例： 考点六：平行线分线段成比例基本定理 定理内容：三条及三条以上平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么． 推论（平行线等分线段）：若平行线截得的一段线段相等，则对应截得的线段全部相等，常用于网格、填空题快速解题。 题型一：成比例线段判定与比例性质计算（基础选择填空） ① 线段判比例：统一单位→从小到大排序→验证首尾比=中间比，杜绝乱搭配； ② 比值求值：无脑用设k法，看到 ，直接设 ，代入消元，零分式错误； ③ 和差求值：优先用合比性质，无需单独算线段长度，一步出结果。 避坑要点：比例中项只取正数；等比性质必须验证分母和不为0。 【典例1-1】（23-24九年级上·上海·阶段检测）下列各组线段中，成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【详解】解：A、，即，故四条线段不成比例； B、，即，故四条线段不成比例； C、，即，故四条线段不成比例； D、，即，故四条线段成比例； 故选：D． 【典例1-2】（23-24九年级上·上海·阶段检测）已知线段a，b，c，作线段x，使，那么正确的作法是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由平行线分线段成比例可得，故A选项错误； B、由平行线分线段成比例可得，即，故B选项正确； C、由平行线分线段成比例可得，故C选项错误； D、由平行线分线段成比例可得，故D选项错误； 故选：B． 【典例1-3】（24-25九年级上·上海·期中）在中，点D、E、F分别在边上，联结DE、DF，如果，，且，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， 则， ∵， ∴， 故选：C． 【典例1-4】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知，那么的值是______． 【答案】 【详解】解：∵ 设， ∴ 故答案为：. 【典例1-5】（25-26九年级上·上海奉贤·期末）小华在某游乐园的地图上看到，某游玩项目排队区域的图上长度约2.5厘米，已知该地图的比例尺是，那么排队区域的实际长度约_______米． 【答案】25 【详解】解：设实际长度为厘米， ∴， ∴， 故实际长度为， 故答案为：． 【典例1-6】（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知线段，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长为__________． 【答案】 【详解】解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， 解得或（舍去）． 故答案为：． 【变式1-1】（23-24九年级上·上海·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 【答案】B 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）已知线段、、，求作第四比例线段，则以下正确的作图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵线段x为线段a、b、c的第四比例线段， ∴， A、根据作图可知，故本选项错误； B、根据作图可知，故本选项错误； C、根据作图可知，故本选项错误； D、根据作图可知，故本选项正确． 故选：D． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设在地图上图距是的两地，实际距离是， 根据题意得，解得， 故选：C． 【变式1-4】（25-26九年级上·上海闵行·期中）如果，那么代数式的值是______． 【答案】 【详解】解：由 ，得 ． 所以 ． 故答案为 ． 【变式1-5】（2026·上海金山·一模）小海周末到漕泾镇沙积村游览，发现村内的高宅基冈身遗址，藏有兰蛤、毛蚶等近二十种6400年前的远古贝类化石，他想了解一个毛蚶化石的长度，在化石旁放了一支笔拍下照片．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，那么该化石的实际长度为____． 【答案】4 【详解】解：设化石的实际长度为cm， 由题意得：， 解得：． 故答案为：4． 【变式1-6】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知线段厘米，厘米，c是线段a、b的比例中项．那么______厘米． 【答案】9 【详解】解：∵是线段、的比例中项， ∴， ∵线段厘米，厘米， ∴， ∴（厘米）， 故答案为：9． 题型二：黄金分割计算与判定（填空高频压轴小题） 题干出现黄金分割、，直接套固定根式公式，计算题不写0.618近似值，小题估算可直接用0.618快速检验。 避坑要点：比例中项只取正数；等比性质必须验证分母和不为0；黄金分割长短线段公式严禁记反。 【典例2-1】（25-26九年级上·上海·期中）大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点（），如果的长度为8cm，那么的长度为_______cm． 【答案】 【详解】解：∵点P为的黄金分割点（）， 的长度为8cm， ， ． 故答案为：． 【典例2-2】（2026·上海金山·一模）数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为_____米．（结果保留根号的形式） 【答案】 【详解】解：∵点是线段上的一个黄金分割点，且米，， ∴（米）． 故答案为：． 【典例2-3】（2025·上海杨浦·一模）已知点是线段的黄金分割点，那么__________． 【答案】 或 【详解】解：根据黄金分割的定义，黄金比为． 当为较长部分时，； 当为较短部分时，，则， ∴， ∴． 故答案为： 或 【变式2-1】（23-24九年级上·上海浦东新·期中）已知线段，是线段的黄金分割点，且，那么线段的长度等于________． 【答案】 【详解】解：根据黄金分割的定义，得 ， ， 解得（负值舍去）， 故答案为． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么_____厘米． 【答案】2 【详解】解：五角星是正五角星， 厘米， 是线段的黄金分割点， ，即， 解得厘米． 故答案为：2． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形为黄金矩形，点分别在边上，四边形为正方形，已知，那么_______________． 【答案】2 【详解】解：假设， ∵四边形为正方形， ∴， ∵矩形为黄金矩形， ∴， 解得， 故答案为：2． 【变式2-4】（25-26九年级上·上海青浦·期中）已知线段长度为，点P在线段上，且点P是线段的黄金分割点，则线段的长为_____． 【答案】或 【详解】解：∵线段长度为，点是线段的黄金分割点， ∴ 或 ， 把代入得， 或 ， 解得 或 . 题型三：平行线分线段成比例基础计算（三线平行模型） ① 找准两条被截直线，区分“上段、下段、整段”； ② 严格按照 列式； ③ 交叉相乘变整式方程，直接求解。 秒杀细节：题目给出等分线段，直接用平行线等分推论，线段全部相等，无需列比例。 【典例3-1】（25-26九年级上·上海崇明·期末）如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，则的长是__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【典例3-2】（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，，，那么__________． 【答案】9 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：9． 【典例3-3】（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，已知，，，________． 【答案】4 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：4． 【变式3-1】（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故A、C、D正确，不符合题意； 而B选项结论不能证明，故错误，符合题意， 故选：B． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，，则________． 【答案】6 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则 ∴ 故答案为：6 【变式3-3】如图，，则__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 题型四：A字型线段长度计算（必考基础大题） ① 已知分段：（局部对局部）； ② 已知总长：（整体对整体）。 应试技巧：题干给分段长度，优先用局部比例；给整体长度，优先用整体比例，减少计算量。 【典例4-1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在中，点D、E分别在边上，，如果，AD：：3，那么的长为________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴设，则， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【典例4-2】（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，点和分别在直线和上，且，如果，，那么的长等于______． 【答案】15或35 【详解】解：当在边和上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在边和的延长线上时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15或35． 【典例4-3】（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知，且．求：线段的长． 【答案】 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴，即， ∴． 【变式4-1】（25-26九年级上·上海·期中）如图，点、分别在的边、上，，且，，则______________． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，又，， ∴， ∴解方程并检验得：，（舍）， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级下·上海·期中）如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点，过点作于点，则为___________． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 【变式4-3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，点D在边上，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 题型五： 8字型（X型）比例计算 专属解题口诀：平行交叉成八字，对顶线段比例同 万能固定列式： 解题关键：找准交叉中心点O，只取被分割的对应线段，切勿混用整段线段；已知任意三段，可直接求第四段。 【典例5】（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，故C正确，A、D错误； 对于B，由已知条件，无法判断与的关系，故B错误． 【变式5-1】（25-26九年级上·上海黄浦·期中）已知点、分别在的边和的反向延长线上，．当时，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， 当时， 则， ∴， ∴， 故选：A． 【变式5-2】（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，点分别在边延长线上，，如果，，那么的长是__________．    【答案】4 【详解】解：， ， ； 故答案为：4． 【变式5-3】（25-26九年级上·上海金山·阶段检测）已知点D、E分别在的边、的延长线上，，，，则_______． 【答案】10 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故答案为：10． 题型六：综合证明与辅助线构造（期中压轴） ① 证平行：只需证明三角形两边截得的线段对应成比例，直接逆用判定定理，无需额外推导； ② 无模型求线段：缺平行线就过关键点作平行辅助线，强行构造A字型/8字型，转化已知比例； ③ 多层比例：逐层设k、逐层列式，利用公共线段串联比例，禁止跨层套用比值。 证明题万能逻辑：找平行→定模型→列比例→推结论，步骤标准化，不丢步骤分。 【典例6】平行四边形中，，过对角线交点作，垂足为，，，则__________． 【答案】 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， ， 在平行四边形中，， ∴， ， ， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， ． 【变式6-1】（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则_____． 【答案】 【详解】解：如图，取的中点F，连接， ∵D为边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-2】（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）已知是的重心，过点作交边于点，作交边于点，如果四边形的面积为3，那么的面积是_____． 【答案】13.5 【详解】解：延长交于F点，连接，如图， ∵ ， ∴ 四边形为平行四边形， ∴ ， ∵ G是的重心， ∴ 为边上的中线， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 为边上的中线， ∴ ． 故答案为：13.5 【变式6-3】（24-25九年级上·上海·自主招生）如图，为边上一点，，则_____________． 【答案】 【详解】解：作的中垂线交于点F，交于点E， 故， ， 又， ， ， ， 由， ， ， 设， 则 根据勾股定理，得， 解得 故 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海虹口·阶段检测）如图所示，已知直线，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ，故A选项不正确，不符合题意； ，故B选项不正确，不符合题意； ，故C选项不正确，不符合题意； ，故D选项正确，不符合题意； 故选：D． 2．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【详解】解：A．，则，故此选项正确，符合题意； B．，则，故此选项错误，不符合题意； C．，，则，故此选项错误，不符合题意； D．∵， ∴有无数组解，，只是其中一组解，故此选项错误，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如果，那么 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∴， 故选C． 4．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.∵，， ∴， 该选项正确； B. ∵，， ∴， ∴； 该选项正确； C. ∵，， ∴， ∴， 该选项正确； D.根据给出条件无法得出， 该选项不一定正确； 故选：D． 5．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．（2026·上海普陀·二模）如图1，在矩形中，，．正方形的顶点E在的延长线上，，点G在边上，O为正方形的中心，如果过点O的一条直线平分这个组合图形的面积，且这条直线分别交、于点M、N，那么线段的长为（   ） A． B． C． D．13 【答案】B 【详解】解：如图，连接，交于点，过点和点的直线平分该组合图形的面积，交于，取中点，取中点，连接，，过点作于， 四边形是矩形， ， 是中点， ，，， 四边形是正方形，， ， 同理可求，，， ，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 二、填空题 7．（2026·上海长宁·一模）如图，两条直线被三条平行线、、所截，分别相交于点、、、、、，若，那么当时，的长为___________． 【答案】 【详解】， ， 又， ， ， ，解得． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·上海·阶段检测）黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是______． 【答案】 【详解】解：如图：设米， 由题意知 米，米， 由黄金分割可得：， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段检测）已知线段，，那么线段、的比例中项等于______． 【答案】3 【详解】解：线段，， 线段、的比例中项． 故答案为：3． 10．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，甲、乙两地的实际距离是100千米，则在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离约为______厘米． 【答案】2 【详解】解：100千米厘米， 厘米， 故答案为：2． 11．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，那么线段的长是______．    【答案】16 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 故答案为：16． 12．（25-26八年级下·上海·阶段检测）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此、若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则其身高是______厘米（结果保留到整数）． 【答案】162 【详解】解：设此人头顶至肚脐的长度为， 由题意得，黄金分割比约为，满足， 解得，则身高为． 13．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段检测）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．如图，点P是线段MN的中外比点，，，则______． 【答案】 【详解】解：由题意，得， 又， ∴， 解得（不合题意，舍去），或， 故答案为： ． 14．（2026·上海徐汇·一模）我们将宽和长之比为（约为）的矩形称为“黄金矩形”，它可以通过折纸获得．如图1所示，将长方形纸片第一次沿折叠，使点和点重合，展开后再将纸片沿对折叠，使点和点重合；如图2所示，展开后连接，再将纸片第三次沿折叠，使得落在长方形纸片的边上且点落在点处，再次展开，过点作的垂线，垂足为点．请在阅读理解的基础上写出图中的“黄金矩形”：_________． 【答案】矩形，矩形 【详解】解：由第一次沿折叠可知四边形为正方形， 则， 再将纸片沿对折，则可知， 设，则， 连接，则， 再将纸片第三次沿折叠，落在长方形纸片的边上且点落在点处， ， ， ，， 即图中的“黄金矩形”为矩形，矩形． 故答案为：矩形，矩形． 三、解答题 15．（24-25九年级上·上海·期中）已知a、b、c满足．求的值． 【答案】1 【知识点】比例的性质、分式化简求值 【分析】设，可得，，，再将其代入式子求解即可． 【详解】解：设， 则，，， 则． 16．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知：． (1)如果，，，求c、d的值； (2)求证：． 【详解】（1）解：，且，， ， ， ， ， 解得， ， 、d的值分别为3、； （2）证明：设，则，， ， ， ， ， ， ． 17．（2026·上海松江·一模）的三边分别是、、，且， (1)如果的周长为60，求的值； (2)如果的面积为 60，求的值． 【详解】（1）解：设， 则， ∵的周长为60， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设， 则， ∵，， ∴， 即是直角三角形，， ∵的面积为60， ∴， 即， 解得：（负值舍去）， ∴． 18．汉字书法是中华民族的文化瑰宝．毛笔书法考试从中级开始，书法纸都是不带格子的空白宣纸．现在我们需要根据书法内容的篇幅大小将书法纸折出等距的三列． 学生将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图1：再将图1沿着对角线对折一次，得到图2，对角线分别与折痕、、的交点K、L、M即为对角线的四等分点． (1)求证：K为对角线的四等分点； (2)请在图2中画出的三等分点，简单说明画法，并证明； 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ， 由折叠得，， ， ， ∴为对角线的四等分点； (2)如图，点即为所作： 证明：同（1）可证明， 连接， 根据作图可得， ∴， ∴， 即点为线段的三等分点． 19．（2026·上海松江·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图像上． (1)当点与原点的距离为时，求的值； (2)如图，点也在反比例函数图像上，射线与轴交于点．过点、向轴作垂线，垂足分别是点、，如果，试用表示四边形的面积． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得（负值已舍去）， ， ． （2）解：轴，轴， 轴， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 20．（2026·上海静安·三模）比，是两数相除的简约表达，揭示部分间的量级关系．比的妙用在于化繁为简． (1)已知某地图的比例尺为，其中80000用科学记数法表示为____________，该地图上代表实际距离____________m． (2)“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为5，四个黄金分割点组成的正方形的边长为_________． (3)若正数，满足：，试将按照从小到大的顺序排列． 【详解】（1）解：； 比例尺表示图上代表实际距离． （2）解：如图，，是线段的两个黄金分割点， ∵正方形“黄金格”的边长为， ∴， ∴，即， ∴四个黄金分割点组成的正方形的边长为． （3）解：∵是正数， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 综上所述，． 21．（2025·上海嘉定·一模）如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并 回答问题： 怎样用尺规把线段黄金分割呢？下面给出一种方法． 作法：如图 1．过点作，使． 2．连接，在线段上截取． 3．在线段上截取． 则． (1)请写出图中的值是___________； (2)我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段为底边的黄金三角形（不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）． 【答案】(1) (2) 如图，即为所求， 【详解】（1）解：设， 由作图知，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：理由： 设， 由作图知：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴是黄金三角形． 22．（25-26九年级上·上海虹口·期中）某学习小组对梯形的分割与图形的组合展开研究． 现有一张直角梯形纸片（如图1），，．    (1)有一张直角梯形纸片（如图2），，，．将这张纸片沿对角线剪开，并将剪出的通过图形的运动，使点M、Q分别与点A、D重合，从而拼成一个（如图3），请完成填空：的值是 ；的值是 ； (2)有一张直角梯形纸片（如图4），，．请设计一种方法，用一条直线l将梯形纸片分割成两个部分，使得其中一个部分（记为图形S）通过图形的运动能与梯形纸片（图1）拼成一个无重叠的直角三角形． 要求：①在答题纸图4的梯形EFGH纸片上画出直线l； ②写出直线l的与梯形的边的交点位置； （简述语言示例：点Q是梯形的顶点，点P是边的一个四等分点） ③直接写出图形S与梯形的面积比． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 过点Q作于点E，如图    ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ 由图3，图2，可得 ， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）如图，在上截取，作直线，即直线，    ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴符合题意， 如下图，过点O作交于点P，过点H作于点M交于点N，    由（1），同理可得，， ∵，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理可得四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即O点是的一个三等分点， ∴． 23．（25-26九年级上·上海普陀·期末）【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且，___________，如果四边形是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与的交流中，给出了一种解决问题的思考路径： 【解决问题】 (1)根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“___________”）； (2)根据小普同学与的对话，设，，用含a、b的代数式表示k； (3)在图中，画出符合要求的菱形，写出确定点E的作图步骤，并保留确定点E的作图痕迹． 【答案】(1) (2) (3)如图 【详解】（1）解：根据题意可知是平行四边形，则需添加； （2）解：∵，，， ∴， ∴，； ∵，，， ∴，； ∴ ∴， （3）解：如图所示即为所求： 延长，利用圆规在延长线上截取，连接； 作，交边于点E即可． 24．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）综合与实践：折黄金矩形 【问题提出】 我们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．黄金矩形以协调、匀称的美感，常见于艺术、建筑、自然界中，那么，如何用不同形状的纸片折出黄金矩形，并证明这个矩形是黄金矩形呢？ 【操作探究】 (1)小创小组将一张矩形纸片（如图1）按照图2至图5的方式操作，那么图5中哪些矩形是黄金矩形？请直接写出结论． (2)小智小组将一张正方形纸片（如图6）按照图7至图10的方式操作，得到矩形，你能证明矩形是黄金矩形吗？请写出证明过程． 【学以致用】 (3)将一张矩形纸片（如图11），先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题． ①沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点E处，折痕交边于点G； ②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段CE上的点H处，折痕交边于点F； ③沿过点E的直线折出矩形，折痕交线段于点M，连接． 如果，请说明点G是线段的黄金分割点． 【详解】（1）解：设，则 由题知，， ∴， 由折叠可知，， ∴，， ∴，， ∴矩形是黄金矩形；矩形是黄金矩形； (2)证明：如图所示，将折到上的对应点为点，连接，， 设，则，， 由题知，， ∴， 设，则， ∵将折到上，对应点为点， ∴，，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴矩形是黄金矩形． (3) 如图所示示意图即为所求， 设，， ∵四边形、为矩形， ∴，，， 如图，延长、交于点T， 由折叠可知，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G是线段的黄金分割点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $