陕西西安市多校2026-2027学年高三上学期8月测试数学试卷

高三数学参考答案 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 D A D A C B C B ABD AC BCD ；7 15．【解析】本题考查导数的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养． 解：（1）的定义域为， 1分 ． 2分 当时，，单调递减； 4分 当时，，单调递增． 6分 故的单调递减区间为，单调递增区间为． 8分 （2）由（1）知，． 10分 因为恒成立，所以， 11分 解得， 12分 所以的最大值为2． 13分 16．【解析】本题考查立体几何与空间向量，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养． （1）证明：因为，，所以，则． 1分 又，，所以平面． 2分 因为平面，所以平面平面． 3分 （2）证明：因为，，， 所以平面． 4分 又平面，所以． 5分 由（1）知．又，所以直线，，两两垂直． 6分 （3）解：以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 7分 则，，， 9分 所以，． 10分 设平面的法向量为，则， 即， 11分 令，得． 12分 易知平面的一个法向量为． 13分 由， 14分 得平面与平面所成角的正弦值为． 15分 17．【解析】本题考查数列的新定义与等比数列，考查数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养． （1）证明：因为，所以． 2分 又，所以， 3分 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 4分 所以，则． 6分 （2）解：由（1）知． 7分 若，则．又，所以， 8分 则为偶数，从而为奇数． 9分 由，得，则， 10分 从而， 12分 所以． 15分 18．【解析】本题考查相互独立事件的概率、条件概率及随机变量的分布列，考查逻辑推理与数学运算的核心素养及应用意识． 解：设事件“甲选择参加A工厂面试”，“甲选择参加B工厂面试”，则，， 设事件“乙选择参加A工厂面试”，“乙选择参加B工厂面试”，则，． （1）甲和乙都选择参加A工厂面试的概率． 3分 （2）的所有可能取值为0，1，2． 4分 ， 5分 ， 7分 ． 8分 故的分布列为 0 1 2 9分 （3）设事件“甲只选择参加A或B其中1个工厂面试”，“乙只选择参加A或B其中1个工厂面试”， 则， 10分 ． 11分 设事件“只选择参加A或B其中1个工厂面试且面试通过”， 则， 12分 ， 13分 所以， 14分 ． 15分 若，则，解得． 16分 又，所以的取值范围是． 17分 19．【解析】本题考查直线与双曲线，考查逻辑推理、数学运算及直观想象的核心素养． （1）解：因为， 1分 所以点的轨迹是以，为焦点且实轴长为的双曲线的上支． 2分 由，，得，， 3分 故的方程为（）． 4分 （2）（i）证明：设（，），则，即， 5分 则，同理可得． 6分 因为，所以， 7分 所以．又，所以， 则，故直线与的斜率之和为定值． 8分 （ii）解：依题意可得直线的斜率必然存在，设：，代入， 得，则恒成立． 9分 设，，，，则，， 则． 10分 因为，所以的面积． 11分 由（i）知，则，同理得的面积． 12分 不妨设，，则与的面积之和为 13分 ． 14分 令，， 则． 15分 因为，所以，则在上单调递增， 16分 所以， 从而与的面积之和的最小值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，则 A． B． C． D． 2．椭圆的离心率为 A． B． C． D． 3．若曲线（）关于原点对称，则的最小值为 A． B． C． D． 4．若是周期为2的函数，且当时，，则 A．4 B．5 C．6 D． 5．若一组样本数据1，，3，6，，3，4的中位数为，则这组样本数据的极差的取值范围是 A． B． C． D． 6．若复数，，在复平面内对应的三个点构成一个正三角形，则 A． B． C． D．5 7．若向量与的夹角为，，为随机变量，且（），设，则的数学期望为 A． B． C． D． 8．已知点在正方形的外部，平面，，，则当取得最大值时，正方形的边长为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线：，：的焦点分别为，，则 A． B．与有两个交点 C．的准线方程为 D．点到的准线的距离为4 10．在三棱台中，底面，，，，且，与底面所成的角分别为，，则 A． B． C．三棱台的体积为 D．以为球心，为半径的球与棱无公共点 11．若函数的图象在点处的切线斜率为，则 A． B．的零点之和为10 C． D．是大于1800的偶数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，则 ▲ ， ▲ ． 13．《虞美人·春花秋月何时了》是“千古词帝”李煜的代表作，此词在后世收获极高评价，其内容如下： 春花秋月何时了？ 往事知多少． 小楼昨夜又东风， 故国不堪回首月明中． 雕栏玉砌应犹在， 只是朱颜改． 问君能有几多愁？ 恰似一江春水向东流． 此词共有8行，若从这8行中任意选取3行，则至少有1行出现“春”字或“月”字的概率为 ▲ ． 14．直线：绕着点旋转一周所不能经过的点构成的平面区域的面积为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求的最大值． 16．（15分） 如图，在三棱锥中，，，，，． （1）证明：平面平面． （2）证明：直线，，两两垂直． （3）若，，求平面与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 已知数列满足，且． （1）证明为等比数列，并求的通项公式； （2）设集合且，记中元素的个数为，求数列的前项和． 18．（17分） 已知甲选择参加A，B工厂面试的概率分别为，，乙选择参加A，B工厂面试的概率分别为，．设甲选择参加A或B工厂面试相互独立，乙选择参加A或B工厂面试相互独立，且甲的选择与乙的选择互不影响． （1）求甲和乙都选择参加A工厂面试的概率； （2）设甲、乙两人中至少参加A，B工厂中的一个工厂面试的人数为，求的分布列； （3）已知，甲和乙通过A工厂面试的概率分别为，，甲和乙通过B工厂面试的概率分别为，，且两人面试通过与否相互独立，在甲选择参加面试的工厂只有A或B其中1个的前提下，甲通过面试的概率为，在乙选择参加面试的工厂只有A或B其中1个的前提下，乙通过面试的概率为，若，求的取值范围． 19．（17分） 在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为． （1）求的方程． （2）设点，，过点的直线与交于，两点，点，均在轴上，且与，均不重合，，直线，，，的斜率之积为． （i）证明：直线与的斜率之和为定值． （ii）求与的面积之和的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $