专题14 锐角三角函数（5年汇编）（吉林专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦锐角三角函数5大核心考点，整合吉林2022-2026年中考真题及模拟题，以实际应用情境和几何综合问题为主，突出本土特色与能力梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约15题/3-4分|正弦、余弦、正切定义及网格计算|结合“长春净月一号”卫星发射、起重机等本土科技情境| |解答题|约25题/6-8分|解直角三角形（5年5考）、应用（仰角/俯角/坡度）|动态几何综合（如动点+旋转）、跨知识整合（圆/四边形构造直角三角形）|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题14锐角三角函数 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 考点01正弦 1.A 2.D 考点02余弦 3.D 考点03正切 4.(1) 证明：.：AD=DC,DE=DF, ∴四边形AECF是平行四边形， .DE⊥AC, ∴.四边形AECF是菱形： (2)RV15 a 考点04解直角三角形 5.(①)42 (2)RV2 (3)证明：·旋转， .DE=EF,∠=45°， 如图，∠g+∠BEF=∠DEB=∠A+∠ADE,∠竺=∠A=45°， ∴.∠BEF=∠ADE, 1/8 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D .∠A=∠B=45°，DE=FE, .△ADE≌△BEF: 国AE的长为42-4或47-音 6.①②③ 7.(1)等腰三角形，AQ=t e®u- s=83,0<1≤号 4 85=-7+63-号5,1<2 4 2 s-3-1,2s1<4 2 8.(1)只13 3) 解：如图所示，过点P作PH⊥BC于点H, AP D ! O 23 BH ⊙ C 图② .∠PEQ=90°，∠PHE=∠ECQ=90°， ∴.∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， 则四边形ABHP是矩形， .'PH=AB =3 218 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又，EC=BC-BE=5-2=3 ..PH=EC, .∴·△PHE≌ECQ .PE=QE ∴，△PQE是等腰直角三角形： ④0<t≤9-35或t=7或t=7 6 9.(1)3 2)当0s1时，DP=V13-/13t:当1<2时，PD=V13t-V13: a号 10.(1)2x (2)1 23x2 0≤x≤1 .3 )y= -73X2+183x-9931<x≤2 3x2-6V3x+9V3 ≤x3 2 考点05解直角三角形的应用 11.55m 12.B 13.该城市规划展览馆AB的高度为77m;3D打印模型的高度约为19cm 14.218.3m 15.40°，CD=9.9m l6.点A到CD的距离AE的长度约为88cm. 一年模拟练测 1.A 2.B 318 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.D 4.A 5.D 6.A 7.C 8.C 9.B 10.3 11.3π-2/3/-2/3+3π 12.①③ 13.①②④ 14.150m 15.档案盒的厚度为5cm 16.拍摄区域的宽度DE约为21.7cm 17.约为27110km 18.8.4m 19.10.7cm 20.大牌楼AB的高度约为16m 21.无人机D处到大楼BC的水平距离为12米 22.这座风电塔筒AB的高度约为140m. 23.1)证明：，D、E分别是半径OA、OB的中点， 0D=20A,0E=0B ,同圆中半径相等，即OA=OB, ..OD=OE, 又CD=CE,OC=OC, .△OCD≌△OCE SSS). , 24.1)66.7cm (2)70.6cm 418 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5as号 ②y=6X-6x+1210≤x≤1 -6x2+30x1<x≤2 26.1)50 (2)点P距离地面的高度约为151cm 27.(1)平行四边形 (2)18 28.1)2,2/3 (2)x=1 233×0≤x≤1到 3)y= 2832x-11<x≤3 3 223×-8x+1013<x≤4 20.a00-2 Qt=32 2 (3)S= 2 32+32t- 32<t≤32 22 30.1)PM=2t ②当0t<3时，MN-155,554,当315时.MN-5-15E 2 2 1532-153+22530<t<3 3)S= 8 4 8 583+453:-2533<t<5 42 4 31.(1)15 (2)5 518 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6)AM=18或AM= 5 5 4)AM=33 或AM=135 或AM=11 17 32.1)10 @t 090,5=-16+24:号ts2t,S9r+8t-24:32t时， 3 s=42四号s35=f,4 3 3 3 33.(1)③ (2)tan∠ADE=2-V3 3)AE=1或7-2V10 ④AE=3/5-6或1或3 69 (2)证明：，点B和D关于点P对称，点C和E关于点P对称， ∴.PC=PE,PB=PD: 四边形BCDE是平行四边形. 6)BP=V2或3 闭32-6或382+96 4 4 35.1)25 (2)证明：根据旋转可得：BP=DP, 设∠BPD=∠A=, 则0P=/Pnn-m-a=90-知， .AB=AC, 2ABc=∠ACB=2180-a=90°-2， 618 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ABC=∠PBD, .∠ABC-∠PBC=∠PBD-∠PBC, 即∠ABP=∠CBD, .△PBD一△ABC, PB-DB AB BC 跟胎 ,∠ABP=∠CBD △APB~△CDB: 3)25 6 36.(1)3 225或3 6 48 37.(1)8 (2)S= 25 482+72t-24, 2 5 <t5 ®荒8 16 38.21.8cm 39.(1)①证明：由旋转可知BD=BD, ,AD‖BC,AD⊥BD, ∴.∠CBD=∠ADB=90°， .∠C=30°， 718 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠CDB=60, ∴，△BDD是等边三角形， ∴.∠DBD=∠CDB=60° ∴.∠CBD=30, ,∠BDC=∠CDB=60°， ∴.∠BDF+∠FBD=90°， .∠BFD=90°， ∴.DC⊥BC. ②3 20g+V33或g-V33 40.(1)3;5 a2或号 6)25或38 7 S 4④1s和9、 818函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题14锐角三角函数 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 吉林考情(2022-2026) 命题规律 5年3考；选择、 定义：对边比斜边；常考特殊角三角函数值；常 考点01正弦 填空、解答，分值2-4 在直角三角形、网格三角形中求sin值；多和解直角 分。 三角形综合，极少单独命题。 5年3考；选择、 定义：邻边比斜边：网格中求余弦值为高频小 考点02余弦 填空、解答，分值24 题；注意区分正弦、余弦的边；常与勾股定理配套使 分。 用。 5年4考；选择、 定义：对边比邻边：吉林考查频率高于正弦、余 考点03正切 填空、解答，分值24 弦；网格求tan值是经典题型；在几何综合、实际应 分。 用题大量使用。 考点04解直角三 5年5考；必考， 核心考点；己知边、角求其余边和角；解题工 填空、解答，分值3-6 具：勾股定理+锐角三角函数：常出现在圆、四边形 角形 分。 大题其中一小问，需要构造直角三角形。 考点05解直角三 5年4考：解答应 中考中档大题；考查仰角、俯角、坡度；一般需 角形的应用 用题，分值6-8分。 要作垂线分割成两个直角三角形：最后结果注意按题 目要求取近似值。 五年真题分类园 考点01正弦 1.(2024吉林长春.中考真题)2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火 箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰 角为6，则此时火箭距海平面的高度AL为() 1/25 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 R A.asin0千米 B. C.acos日千米 oms0T米 D.a 2.(2022吉林长春，中考真题)如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该 起重机的变幅索顶端记为点A,变幅索的底端记为点B,AD垂直地面，垂足为点D,BC⊥AD,垂足为 点C.设∠ABC=a(,下列关系式正确的是() 变幅索 B C AB BC B.sina= AC A.sina= C.sina= AB Ac D.sina= BC AB AB 考点02余弦 3.(2023·吉林长春中考真题)学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一 条彩旗绳AB到地面，如图所示.已彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC=25°）、彩旗绳固定在地面的 位置与图书馆相距32米（即AC=32米），则彩旗绳AB的长度为() B 图书馆 C 250 32米 2/25 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.32cos25°米 器水 606250米 32 A.32sin25°米 C. D. 考点03正切 4. (2022吉林长春.中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB<BC.点D是AC的中点， 过点D作DE⊥AC交BC于点E.延长ED至点F,使得DF=DE,连接AE、AF、CF. D E I)求证：四边形AECF是菱形： (2) BE 1 EC 则tan∠BCF的值为 考点04解直角三角形 5. (2025吉林长春中考真题)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4,点D为边AC的中点， 点E为边AB上一动点，连接DE.将线段DE绕点E顺时针旋转45°得到线段EF, D F B (I)线段AB的长为_： 2)当EF‖AC时，求AE的长： 3)当点F在边BC上时，求证：△ADE≌△BEF: (4)当点E到BC的距离是点F到BC距离的2倍时，直接写出AE的长， 6.(2024吉林长春.中考真题)如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于 点E,交AC于点F,DB交AC于点G,连结AD.给出下面四个结论： ①∠ABD=∠DAC: ②AF=FG: 3/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ③当DG=2,GB=3时，FG=1 ④当BD=2AD,AB=6时，△DFG的面积是3. 上述结论中，正确结论的序号有 C G 7.(2024吉林.中考真题)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm,AD是△ABC的 角平分线.动点P从点A出发，以V3cm/s的速度沿折线AD-DB向终点B运动.过点P作PQ‖AB, 交AC于点Q,以PQ为边作等边三角形PQE,且点C,E在PQ同侧，设点P的运动时间为tst>O, △PQE与△ABC重合部分图形的面积为Sam D (I)当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数式 表示)· (2)当点E与点C重合时，求t的值， 3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围. 8.(2023吉林长春.中考真题)如图①.在矩形ABCD.AB=3,AD=5,点E在边BC上，且BE=2. 动点P从点E出发，沿折线EB-BA-AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边 AD或边DC于点Q,连续PQ.当点Q与点C重合时，点P停止运动.设点P的运动时间为t秒.(t>0) A D AP BP E C B E 图① 图② 4/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为 (2)当点Q和点D重合时，求tan∠PQE; 3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形.如图②.请说明理由： (4)作点E关于直线PQ的对称点F,连接PF、QF,当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称 四边形时，直接写出t的取值范围. 9.(2022吉林长春中考真题)如图，在口ABCD中，AB=4,AD=BD=V13,点M为边AB的中点， 动点P从点A出发，沿折线AD-DB以每秒13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM.作点A关于 直线PM的对称点A',连结A'P、A'M.设点P的运动时间为t秒. 力 M B (1)点D到边AB的距离为 (2)用含t的代数式表示线段DP的长： (3)连结A'D,当线段A'D最短时，求△DPA'的面积； (4)当M、A'、C三点共线时，直接写出t的值. 10.(2022吉林中考真题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6cm.动点P从点 A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动.以PA为一边作∠APQ=120°，另一边PQ与折线 AC-CB相交于点Q,以PQ为边作菱形PQMN,点N在线段PB上.设点P的运动时间为x(s),菱形 PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y(cm2) M A N B (备用图) 1)当点Q在边AC上时，PQ的长为_cm;(用含x的代数式表示) (2)当点M落在边BC上时，求x的值； 5/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. 考点05解直角三角形的应用 11.(2026吉林.中考真题)如图，为了测量某条河的宽度，小明站在A点，到河岸的距离AB为10m,刚 好正对河对岸的一棵大树P,此时点A,B,P在一条直线上.小明沿着与河岸平行的直路向右走了93m, 到达C点，此时测得∠ACP=35°.求这条河的宽度PB(结果保留整数).（参考数据：sin35°=0.57， cos35°=0.82，tan35°=0.70) 河岸 B 10m -河岸 357 93m C 12.（2025·吉林长春.中考真题)如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的 点A处.测得山峰顶端B的仰角为Q.则A、B两点之间的距离为() B m n E 海平面 A.m-nsina米 B. m-n米 sin a C.m-ncos a米 D.m-n米 coS a 13,(2025·吉林.中考真题)综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展 览馆.树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并 计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据. 6/25 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 项目报告表时间：2025年5月29日 项 活动目 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度 目 标 分 测量工 测角仪、皮尺 析 具 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图. 1. 测出测角仪的高CD=1.4m 2.利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE=61°. 3. 测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的距离DB=42m 任务一 A 测量数 项 据 目 实 施 E----- 1.4m B 42m D 任务二 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度，（结果精确到 计算实 1m) (参考数据：sin61°=0.875，cos61°=0.485，tan61°=1.804 际高度 ) 任务三 将该城市规划展览馆AB的高度按1：400等比例缩小，得到其3D打印模 7/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 换算模 型的高度约为 cm. (结果精确到1cm) 型高度 项目结果 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三. 14.(2024·吉林.中考真题)图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”，某直升飞机于空中A处探测到 吉塔，此时飞行高度AB=873m,如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC=37°，看塔底D的俯 角∠EAD=45°，求吉塔的高度CD(结果精确到0.1m).(参考数据：sin37°=0.60，cos37°=0.80， tan37°=0.75) E B 图① 图② 15. (2023·吉林.中考真题)某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进 行此项实践活动，记录如下： 填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日 活动任务：测量古树高度 活动过程 C 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图 ①的测量草图，确定需测的 几何量. B D 图① 8/25 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固 定在半圆形量角器的圆心 处，细线的另一端系一个小 重物，制成一个简单的测角 仪，利用它可以测量仰角或 图② 俯角，如图②所示准备皮 尺 【步骤三】实地测量并记录 数据如图③，王朵同学站在 离古树一定距离的地方，将 这个仪器用手托起，拿到眼 前，使视线沿着仪器的直径 Cs 读数为50 刚好到达古树的最高点. 图③ 图④ 如图④，利用测角仪，测量 后计算得出仰角c 测出眼睛到地面的距离AB AB=1.54m BD=10m. 测出所站地方到古树底部的 距离BD 【步骤四】计算古树高度CD.(结果精确到0.1m) (参考数据：sin40°=0.643，cos40°=0.766，tan40°=0.839) 请结合图①、图④和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】· 16.(2022·吉林.中考真题)动感单车是一种新型的运动器械.图1是一辆动感单车的实物图，图2是其 侧面示意图.△BCD为主车架，AB为调节管，点A,B,C在同一直线上.己知BC长为7Ocm,∠BCD的 度数为58°.当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm),(参考数据： sim58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60) 9/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 图1 图2 一年模拟练测园 一、单选题 1.(2026吉林长春·模拟预测)如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习 滑雪，从点A滑行到点B.若AB=300米，则小旺下降的高度为() B 300 A.300sina米 B.300cosa米 C.300tana米 D. 米 tan a 2 (2026吉林长春·二模)如图，某滑雪运动员沿坡度为1：3的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为 A.10米 B.15米 C.103米 D.30V3米 3.(2026吉林长春·模拟预测)快递员往卡车上装载较重的货物时，常常会在车尾斜搭一块木板，将货物 沿着木板往上推，这样比直接向上抬起货物省力很多.如图所示，木板AC与水平面AB夹角∠CAB=c, 车尾距地面高BC=m米，则木板AC长为() 10125 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.m tan a米 B. m一米 C.msina米 tana D.m米 sina 4.(2026吉林长春·模拟预测)白塔是中国现存最早木塔之一.小明想测量白塔AB的高度，在离白塔底 端B正前方8米的C处，用高为1.5米的测角仪CD测得白塔顶部A处的仰角为C,则白塔AB的高度为() 米 D 图1 图2 A.8tana+1.5 B.1.5tana+8 C.8cosa+1.5 D.8sina+1.5 5.(2026吉林·模拟预测)图1为武术动作机器人，图2为其示意图.机器人上半身CD垂直于地面水平 线AB,手臂DE‖AB.已知∠CAB=a,AC=m,CD=n,则该机器人拳头(E点)到地面AB的高度 为() a 图1 图2 A.n+m cosa B.n+mtan a C.msina D.n+msina 6.（2026·吉林长春·模拟预测)长春广播电视塔（吉塔）是长春标志性建筑之一，小明想测量吉塔的高度. 在离吉塔底端B正前方12米的C处，用高为1.6米的测角仪CD测得吉塔顶部A处的仰角为a,则吉塔AB 的高度为() 11/25 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A -%D BL A.12tana+1.6米 B.(1.6tana+12米 C.12cosa+1.6米 D.12sina+1.6米 ∠DEB=∠AED=∠B=∠C=90° h..D B C. ∴四边形BCDE是矩形， ∴.DE=BC=12米，CD=BE=1.6米， 在Rt△AED中，tan∠ADE=AE DE AE ∴.tana= 12, ∴.AE=12tana, 7.（2026吉林长春·一模)五一假期，长春西湖公园迎来了一批露营爱好者.某爱好者搭建一种“天幕” (如图①)，其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开 的遮阳面AC和AD的长均为3.8米.若∠CAD的度数为@，则此“天幕”的宽度CD是() A ----刀 B ① ② A.3.8sina米 B.3.8cosa米 c.76sin学米 D.76cms号米 8.(2026吉林长春.一模)如图是三角形玻璃ABC损坏后剩余的部分，依据图中数据，则AC的长为 () 12125 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 42 110° =C 4 A.4c0s65° B.4sin65° C.4 c0s650 D. sin65 9.(2026吉林长春·模拟预测)如图，小春荡秋千，秋千的链子长度为Q米，当秋千向两边摆动时，摆过 的角度∠BOD=20,且两边摆动的角度相同，则它摆至最高位置时与摆至最低位置时的高度之差为 (). A.a-asinθ米 B.a-acos0米 c.a-asin20米 D.a-acos20米 二、填空题 10.（2026·吉林·模拟预测) 1-4 +-3-2cos30°-m-6.8°= 11.(2026吉林白山·二模)在如图所示的扇形AOB中，C为AB上一点，连接OC交AB于点P, OC⊥OB,若OP=2,∠AOB=120°，则阴影部分的面积为 (结果保留根号和π)· 12.(2026·吉林长春.模拟预测)如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为对角线AC上与A,C不重合的 一个动点，过点E作EF⊥AB于点F,EG⊥BC于点G,连接DE,FG,给出下面四个结论：① DE=FG;②矩形BGEF的周长为4：③∠BFG=∠ADE;④FG的最小值为3.上述结论中，正确结论 的序号有 13125 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E B 13.(2026吉林长春·模拟预测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3,在AC上取一点D, 连结BD,使∠DBC=30°.点P是BD上一动点，连结CP,将△BCP绕着点C顺时针旋转90°得到 △ACQ,连结PQ交AC于点E.给出下面四个结论： ①AD=3-3 ②当BP=BC时，△ABD一△PCE: ③AB=V3PQ: @在点P的运动过程中，CQ的最小值是 上述结论中，正确结论的序号是 D D 三、解答题 14.(2026·吉林长春·模拟预测)图1是一座风力发电机，图2是使用无人机测量该风力发电机塔筒高度 (轮毂中心高度)的示意图.已知无人机在距塔简AB水平距离120m的地面点C处竖直升至点D处悬停， 点D距离地面的高度为6Om,在点D处测得塔筒顶端A的仰角∠ADE为37°.求这座风电塔筒AB的高度 (结果取整数).（参考数据：sin37°≈0.602，cos37°≈0.799，tan37°≈0.750） 42]>D 图1 图2 15.(2026·吉林四平.模拟预测)小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案 盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒CD与竖直放置的档案盒的夹 14125 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 角∠DCB=37°，DF=71cm,档案盒长CD=35cm.帮助小宇同学用学过的数学知识计算出档案盒的 厚度（参考数据：sin37°≈0.6，cos37≈0.8，tan37°≈0.75）. 16.(2026吉林松原·模拟预测)实物展示台是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，一台普通的实物展 示台包括三个部分：摄像头、光源和台面.图①是一个实物展示台，图②是其侧面抽象示意图.立柱 AB=35cm,且立柱AB垂直水平桌面，C为摄像头，BC可绕点B旋转，当CB与水平桌面AD平行时， 投影线CE=CD,摄像头的广角∠DCE=34°，求拍摄区域的宽度DE(参考数据：sin17°≈0.29， cos17°≈0.96，tan17°≈0.31). D E A 图① 图② 17.(2026吉林松原·模拟预测)数学小组研究如下问题：吉林油田第十二中学的纬度约为北纬45°750”， 求北纬45°750纬线的长度？为完成任务，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息： 信 在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行 息 的圆圈叫纬线。 B 如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km.弦 信 BCOA,过点O作OK⊥BC于点K,连接OB.若 息 ∠AOB=45°7'50，则以B为半径的圆的周长是北纬45°7'50纬 线的长度 15/25 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 信 参考数据：π取3，sin45°7'50≈0.709，cos45°7'50≈0.706， 息 tan45°7'50≈1.004 三 根据以上信息，求北纬45°7'50的纬线的长度？（结果保留整数） 18.（2026·吉林·模拟预测)如图，小刚准备运用锐角三角函数的相关知识测量电线杆AB的高度，他将测 角仪放在与电线杆的水平距离为9m的C处.若测角仪CD的高度为1.8m,在D处测得电线杆顶端A的仰 角为36°，求电线杆AB的高度约为多少m.(计算结果精确到0.1m,参考数据：sin36°≈0.59， cos36°≈0.81，tan36°≈0.73). D 19.(2026吉林·模拟预测)某些中国古代文献中记载了一种传统作画工具一一界尺，它在界画绘制时用 以作出平行线.图1为界尺的实物图，从机械原理看，界尺实际上是一个平面连杆机构.受此启发，越越 同学制作了如图2的简易作平行线工具(AB,BC,CD,DA的宽度忽略不计)，已知连杆AB‖CD, AB=CD=16cm,在某次绘制时，测得∠DCB=42°.求这次绘制的两条平行线AD与BC间的距离. (结果精确到0.1cm)(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74) D B 图1 图2 20(2026吉林松原·三模)综合与实践：下面是求知小组的研学报告，请认真阅读，并完成任务. 研学目的 测量某大牌楼AB的高度 B 测量示意图 3F20°D E 方案说明 大牌楼底部A与点E,C依次在同一条水平直线上， 16125 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD⊥AC,EF⊥AC,且CD=EF=1.6m.在D处测得大牌 楼顶部B的仰角为20°，在F处测得大牌楼顶部B的仰角为 31°，CE=12m 根据研学方案计算大牌楼AB的高度（结果取整米数），参考数据：tan20°≈0.4，tan31°≈0.6 21.(2026吉林通化·模拟预测)随着AI技术的不断发展，无人机在生活中的应用日渐普及.在某次消防 演习中，消防员用无人机探测到楼顶C点有被困人员，此时无人机离地面的高度DE=6O米，测得A点俯 角为25°，C点的俯角为45°，地面A、B两点间的距离为140米.求无人机D处到大楼BC的水平距离（结 果保留整数，参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47)， 45o K55 C B 777777777元 22.(2026·吉林·二模)图1是一座风力发电机.图2是某团队使用无人机测量该风力发电机塔筒高度 (轮毂中心高度)的示意图.已知无人机在距塔筒AB水平距离100m的地面点C处竖直升至点D处悬停， 点D距离地面的高度为50m,在点D处测得塔筒顶端A的仰角∠ADE为42°.求这座风电塔筒AB的高度 (结果取整数).（参考数据：sin42°≈0.669，cos42°≈0.743，tan42°≈0.900） 42D B 图1 图2 A F 42 D DF⊥ABAB⊥BCDC⊥BC C 图2 ∴.根据题意可知， .四边形DFBC是矩形， 23.(2026·吉林·模拟预测)如图，在⊙O中，点D,E分别是半径OA和OB的中点，点C在AB上，连接 CD,CE,OC,且CD=CE 17125 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 I)求证：△OCD≌△OCE (②)若CD⊥OA,且OC=2,则劣弧AB的长为 （结果保留π) 24.(2026吉林松原·三模)2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是： 当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为20°（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹 角)，小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”B为100°（参考数据：sin20°≈0.34， tan20°≈0.36，sin80°0.98，tan80°≈5.67，结果精确到0.1cm). B 图① 图② 1)如图①，当水平视线AB与屏幕BC垂直，“视线角”Q为20°，BC=24Cm时，求眼睛A与屏幕BC的 距离： (2)如图②，肩膀到水平地面的距离DG=100cm,大臂DE=30cm,小臂水平放在桌面EF上，为保持正 确坐姿，求桌面EF到地面的距离FH 25.(2026吉林模拟预测)如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且AC=6cm, BD=8Cm,动点P,Q分别从点B,D同时出发，P运动速度为5cms,点P沿B→C→D运动，到点D 停止，点Q沿D→O→B运动，运动速度为4Cm/s,到B停止，连接AP,AQ,PQ.设△APQ的面积为 y(cm)(这里规定：线段是面积0的几何图形)，点P的运动时间为x(s)· B C (备用图) 18125 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)填空：AB= cm,菱形ABCD高为 cm; (2)求y与x之间的函数解析式. 26.(2026·吉林松原·模拟预测)2026年马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武B0T》展示了单腿连续 后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作.如图，图1是某型号的机器 人在展示时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿AB直立于地面MN,小腿部CD刚好 与地面MN平行，上身AP垂直于大腿AC,即AB⊥MN于点B,CD‖MN,AP⊥AC于点A.CE 是机器人小腿CD上踢后与大腿AC在同一直线的瞬间.（这里的小腿CD,CE都包括脚面部分，上身AP 包括头部部分).已知AB=100cm,AP=80cm,∠CAB=140°，求： D A B 77777777777777777777177 图1 图2 )∠DCE= (2)点P距离地面的高度.（结果精确到1cm,参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766， tan40°≈0.839，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192.) 27.(2026·吉林长春·模拟预测)如图，将两块完全相同的含有30°角的直角三角尺ABC、( △ACB≌△DFE,∠CAB=∠EDF=30)在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、B、B、D在同 一直线上，连接AF、CD B (1)直接判断四边形ACDF是哪种特殊四边形： ；(不需要证明) (②)已知BC=6,若四边形ACDF是菱形，求AD的长。 28.(2026吉林白山·二模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于点D, AD=4cm,过点D作DE‖AC,交AB于点E,DF‖AB,交AC于点F.动点P从点A出发以1cms的 19/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 速度向终点D运动，过点P作MN‖BC,交AB于点M,交AC于点N.设点P的运动时间为xs, △AMN与四边形AEDF重叠部分的面积为ycm2补 A M个入 D B D D 备用图 (0)AE= cm'AF= cm; (2)当点M与点E重合时，求x的值： (3)求y关于x的函数解析式，并写出X的取值范围。 29.(2026吉林松原·模拟预测)如图，将一个等腰直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点 O0,0,点A3,0,点B在第一象限，∠OAB=90°，OA=AB.点P从点O出发，在线段OB上以每秒 1个单位长度的速度向终点B运动，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P,并垂直于x轴的正半轴，垂 足为Q,点O的对应点为O,设折叠后△OPQ与△OAB重叠部分图形的面积为S,点P的运动的时间为 t(t>0). (1)用含t的代数式表示OQ的长： (2)当点O与点A重合时，求t的值： (3)用含t的代数式表示S,并写出自变量t的取值范围. 30.(2026吉林松原.三模)如图，在等边三角形ABC中，AB=15,动点P从点A出发，以每秒2个单位 长度的速度向终点B运动，过点P作BC的平行线交AC于点M.动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度 的速度向终点A运动，当点Q不与A,B重合时，过点Q作QN‖BC,过点M作MN⊥QN,得到四边形 PQNM.点P,Q同时出发，设点Q运动的时间为t秒，设四边形PQNM和△ABC重合部分图形的面积为 S 20125 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)用含t的代数式表示PM的长； (②)求MN的长（用含t的代数式表示）： 3)求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围. 31.(2026吉林长春.模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9,BC=12,点P在边 BC上，PC=4,点M在边AB上，过点M作AB的垂线交射线AC于点N,连接PM、PN. D C AM B (1)求边AB的长 (2)当PM⊥BC时，求AM的长： 3)当点N在边AC上，且△PCN和△ABC相似时，求AN的长； 4)当△PMN被边BC分成两部分，且这两部分重新拼接后能拼成一个新三角形时，直接写出AM的长。 32.(2026·吉林松原·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,D为AC的中点， 点Q从点C出发，沿CA方向以每秒号个单位长度的速度向终点D运动，点P从点A出发，以每秒5个单位长 3 度的速度沿折线AB-BC向终点C运动，Q、P两点同时出发，当点Q停止运动时，点P也随之停止运动， 设点Q的运动时间为t秒. 21125 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()AB= (2)当PQ⊥AC时，求t的值： 3)过点P作PE⊥AC于点E,以PE、EQ为邻边作矩形PEQF,设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形 的面积为S,当重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式 33.(2026吉林长春·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AD=3,AB=6.点E在边AB上，点A关于直 线DE的对称点为点F,连接DF、EF,延长EF交射线DC于点G, A E B (1)下列线段中，始终与线段DG相等的是」 氵 ①BE②DE③GE (②)当点G与点C重合时，求tan∠ADE的值： 3)当CG=1时，求AE的长： 4)连接BG,当BG=DE时，直接写出线段AE的长. 34.(2026吉林长春·二模)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3,AC=3,BH⊥AC于点H, 点P为射线BH上一动点，作点B关于点P的对称点D,作点C关于点P的对称点E,连结CD、DE、BE D 备用图 ①)AB= COS∠HBC= (2)求证：四边形BCDE是平行四边形： 3)当四边形BCDE为轴对称图形时，求BP的值： (4)当∠AEB=90时，直接写出BP的值， 22125 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 35.(2025吉林长春·模拟预测)如图1，在△ABC中，AC=AB=5,sinA=号点P是边AC上一点， 连接BP,将线段BP绕点P逆时针旋转得到线段DP,且∠BPD=∠A,分别连接CD、BD, 图1 图2 ()BC= (2)证明△APB~△CDB: 3)如图2，连接AD,当AD⊥BC时，求AP的长： (4)当点P、点D其中一点到BC的距离等于另一点到BC的距离的2倍时，直接写出AP的长。 B6,(2026吉林长春模拟预测)在ΛABC中，BC=1、AB=5、an∠ABC生子，D为AB中点，P为 BC边上一点，连结DP、以AD、DP为邻边构造平行四边形ADPF. D C (I)若AP⊥BC时，求BP的长： (②)若平行四边形ADPF为轴对称图形，求BP的长： 3)当CF最小时，BP=,此时，CF= (4)当点P到直线AC的距离是点F到直线AC距离的3倍，直接写出BP的长. 3.《2026古林四平三模)如图，在△ABC中，AC=BC=5,c0sB号动点P从点A出发，沿折线 AC-CB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与△ABC的项点重合时，过点P作 PD⊥AB于点D,以PD、PC为邻边作平行四边形PDEC.设平行四边形PDEC的面积为S,点P运动 的时间为t秒(t>0). 23125 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0)AB的长为 (2)求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围： 3)当四边形PDEC是轴对称图形时，直接写出t的值 38.(2026·吉林·模拟预测)实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是某同学安装的化学实验装 置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管AB=30Cm BE=3AB,试管倾斜角a为10，经测得：DE=21,:7cm,MN=8cm,∠ABM=145.实验时，当 导气管紧贴水槽MN,延长BM交CN的延长线于点F,且MN⊥CF(点C,D,N,F在同一条直线上)， 求线段DN的长度.（结果精确到0.1，参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18） 高锰酸钾1 蓬松的棉花团 E 39.（2026·吉林松原·模拟预测)【问题情境】 如图①，在四边形ABCD中，AD‖BC,AD=BC=6,∠A=∠C=30°，AD⊥BD将△DBC绕点B 按顺时针方向旋转得到△DBC,点D、C的对应点分别是点D、C,DC与BC交于点F. B 图① 图② 【操作探究】 (I)如图②，当D在直线DC上时. ①小明发现此时DC⊥BC,请你证明这一结论： ②求DF的长： 24125 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)小磊将△DBC从图②的位置开始沿射线CB向左平移，当以点A、D、D为顶点的三角形是以DD为 底的等腰三角形时，请直接写出平移的距离. 40.(2026·吉林·二模)如图，△ABC中，∠B=45°，BC=7,AD⊥BC于点D,AD=4,点E为AB 的中点，动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿DA-AC的路线向终点C运动.连结PE,将 PE绕点P逆时针旋转90°得到PF,连结EF,设点P的运动时间为ts. B I)填空：CD= AC= ②)当EP‖BC时，求EP的长. 3)当点F落在边BC上时，求t的值 (4)当点P在线段DA上，PF的中点落在△ABC的边上时，直接写出所有满足条件的t值. 25/25 专题14 锐角三角函数 5年真题1年模拟 考点分类 吉林考情（2022-2026） 命题规律 考点01正弦 5 年 3 考；选择、填空、解答，分值 24 分。 定义：对边比斜边；常考特殊角三角函数值；常在直角三角形、网格三角形中求 sin 值；多和解直角三角形综合，极少单独命题。 考点02 余弦 5 年 3 考；选择、填空、解答，分值 24 分。 定义：邻边比斜边；网格中求余弦值为高频小题；注意区分正弦、余弦的边；常与勾股定理配套使用。 考点03 正切 5 年 4 考；选择、填空、解答，分值 24 分。 定义：对边比邻边；吉林考查频率高于正弦、余弦；网格求 tan 值是经典题型；在几何综合、实际应用题大量使用。 考点04 解直角三角形 5 年 5 考；必考，填空、解答，分值 36 分。 核心考点；已知边、角求其余边和角；解题工具：勾股定理 + 锐角三角函数；常出现在圆、四边形大题其中一小问，需要构造直角三角形。 考点05 解直角三角形的应用 5 年 4 考；解答应用题，分值 68 分。 中考中档大题；考查仰角、俯角、坡度；一般需要作垂线分割成两个直角三角形；最后结果注意按题目要求取近似值。 考点01 正弦 1．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）      A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解 【详解】解：由题意得： ∴千米 故选：A 2．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可． 【详解】∵BC⊥AC， ∴△ABC是直角三角形， ∵∠ABC=α， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键． 考点02 余弦 3．（2023·吉林长春·中考真题）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案. 【详解】解： 表示的是地面，表示是图书馆， ， 为直角三角形， （米）. 故选：D. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的概念. 考点03 正切 4．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在Rt中，，．点D是的中点，过点D作交于点E.延长至点F，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则的值为_______． 【答案】(1) 证明： ，， ∴四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证； （2）设，则，根据菱形的性质可得，，勾股定理求得，根据， ，即可求解． 【详解】（1） （2）解： ， 设，则， 四边形是菱形； ，， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键． 考点04 解直角三角形 5．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)线段的长为 ； (2)当时，求的长； (3)当点在边上时，求证：； (4)当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)证明：∵旋转， ∴， 如图，∵，， ∴， ∵，， ∴； (4)的长为或. 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）如图，求解，，证明，结合，可得，再进一步求解即可； （3）证明，结合，，从而可得结论； （4）如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，过作于，过作于，可得，结合（1）可得：，证明，可得，再进一步解得即可；如图，当在的右边时，过作于，过作于，同法可得答案. 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； （2）解：如图，在中，，，点为边的中点， ∴，， ∵， ∴，而， ∴， ∴； （3）略 （4）解：如图，当在的左边时，结合题意可得：，，， 过作于，过作于， ∴四边形为矩形， ∴， 结合（1）可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的右边时，过作于，过作于， 同理：， 四边形四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：，， ∴； 综上：的长为或. 6．（2024·吉林长春·中考真题）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②③ 【分析】如图：连接，由圆周角定理可判定①；先说明、可得、，即可判定②；先证明可得,即,代入数据可得，然后运用勾股定理可得，再结合即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O，连接，易得，从而证明是等边三角形，即是菱形，然后得到，再解直角三角形可得，根据三角形面积公式可得，最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④． 【详解】解：如图：连接， ∵是的中点， ∴, ∴，即①正确； ∵是直径， ∴， ∴， ∵ ∴, ∵， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴,即②正确； 在和, ， ∴， ∴,即, ∴，即, ∴, ∵， ∴，即③正确； 如图：假设半圆的圆心为O，连接， ∵，，是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，即是菱形， ∴， ∵， ∴，即，解得：, ∴， ∵ ∴，即④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 7．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．    (1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当点E与点C重合时，求t的值． (3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)等腰三角形， (2) (3) 【分析】（1）过点Q作于点H，根据“平行线+角平分线”即可得到，由，得到，解得到； （2）由为等边三角形得到，而，则，故，解得； （3）当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，，则，此时；当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，此时，因此，故可得，此时；当点P在上，重合部分为， 此时，，解直角三角形得，故，此时，再综上即可求解． 【详解】（1）解：过点Q作于点H，由题意得：    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴在中，； （2）解：如图，    ∵为等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 即， ∴； （3）解：当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，    ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 由（2）知当点E与点C重合时，， ∴； 当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，如图，    ∵是等边三角形， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， 当点P与点D重合时，在中，， ∴， ∴； 当点P在上，重合部分为，如图，    ∵ ， 由上知， ∴， ∴此时， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点P与点B重合时，， 解得：， ∴， 综上所述：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 8．（2023·吉林长春·中考真题）如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）    (1)当点和点重合时，线段的长为__________； (2)当点和点重合时，求； (3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由； (4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 解：如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴， 则四边形是矩形， ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形； (4)或或 【分析】（1）证明四边形是矩形，进而在中，勾股定理即可求解． （2）证明，得出； （3）过点作于点，证明得出，即可得出结论 （4）分三种情况讨论，①如图所示，当点在上时，②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接，      ∵四边形是矩形 ∴ ∵， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ∴， 在中，， 故答案为：． （2）如图所示，    ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）略 （4）①如图所示，当点在上时，    ∵， 在中，， 则， ∵，则，， 在中，， ∴ 解得： 当时，点在矩形内部，符合题意， ∴符合题意， ②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，    则， ， 在中， ， 解得：， ③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，此时    综上所述，或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键． 9．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒． (1)点D到边的距离为__________； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)连结，当线段最短时，求的面积； (4)当M、、C三点共线时，直接写出t的值． 【答案】(1)3 (2)当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，； (3) (4)或 【分析】（1）连接DM，根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解； （2）分两种情况讨论：当0≤t≤1时，点P在AD边上；当1＜t≤2时，点P在BD边上，即可求解； （3）过点P作PE⊥DM于点E，根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可得到当点D、A′、M三点共线时，线段最短，此时点P在AD上，再证明△PDE∽△ADM，可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，即可求解； （4）分两种情况讨论：当点位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点（）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接DM， ∵AB=4，，点M为边的中点， ∴AM=BM=2，DM⊥AB， ∴， 即点D到边的距离为3； 故答案为：3 （2）解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上， ； 当1＜t≤2时，点P在BD边上，； 综上所述，当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，； （3）解：如图，过点P作PE⊥DM于点E， ∵作点A关于直线的对称点， ∴A′M=AM=2， ∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆， ∴当点D、A′、M三点共线时，线段最短，此时点P在AD上， ∴， 根据题意得：，， 由（1）得：DM⊥AB， ∵PE⊥DM， ∴PE∥AB， ∴△PDE∽△ADM， ∴， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴； （4）解：如图， 当点M、、C三点共线时，且点位于M、C之间时，此时点P在AD上， 连接A A′， A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则A A′⊥PM， ∵AB为直径， ∴∠A =90°，即A A′⊥A′B， ∴PM∥A′B， ∴∠PMF=∠AB A′， 过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N， 在中，AB∥DC， ∵DM⊥AB， ∴DM∥CN， ∴四边形CDMN为平行四边形， ∴CN=DM=3，MN=CD=4， ∴CM=5， ∴， ∵ M=2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即PF=3FM， ∵，， ∴， ∴，即AF=2FM， ∵AM=2， ∴， ∴，解得：； 如图，当点（）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上，， 过点作于点G′，则，取的中点H，则点M、P、H三点共线，过点H作HK⊥AB 于点K，过点P作PT⊥AB于点T， 同理：， ∵HK⊥AB，， ∴HK∥A′′G′， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即MT=3PT， ∵，， ∴， ∴， ∵MT+BT=BM=2， ∴， ∴，解得：； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意得到点的运动轨迹是解题的关键，是中考的压轴题． 10．（2022·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动．以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为，菱形与重叠部分图形的面积为． (1)当点在边上时，的长为 ；（用含的代数式表示） (2)当点落在边上时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)2x (2)1 (3) 【分析】（1）先证明∠A=∠AQP=30°，即AP=PQ，根据题意有AP=2x，即PQ=2x； （2）当M点在BC上，Q点在AC上，在（1）中已求得AP=PQ=2x，再证明△MNB是等边三角形，即有BN=MN，根据AB=6x=6cm，即有x=1（s）； （3）分类讨论：当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部，此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积，过Q点作QG⊥AB于G点，求出菱形的面积即可；当x＞1，且Q点在线段AC上时，过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，先证明△ENB是等边三角形、△MEF是等边三角形，重叠部分是菱形PQMN的面积减去等边△MEF的面积，求出菱形PQMN的面积和等边△MEF的面积即可，此时需要求出当Q点在C点时的临界条件；当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，重叠部分的面积就是△PBQ的面积，求出等边△PBQ的面积即可． 【详解】（1）当Q点在AC上时， ∵∠A=30°，∠APQ=120°， ∴∠AQP=30°， ∴∠A=∠AQP， ∴AP=PQ， ∵运动速度为每秒2cm，运动时间为x秒， ∴AP=2x， ∴PQ=2x； （2）当M点在BC上，Q点在AC上，如图， 在（1）中已求得AP=PQ=2x， ∵四边形QPMN是菱形， ∴PQ=PN=MN=2x，， ∵∠APQ=120°， ∴∠QPB=60°， ∵， ∴∠MNB=∠QPB=60°， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°， ∴△MNB是等边三角形， ∴BN=MN， ∴AB=AP+PN+BN=2x×3=6x=6cm， ∴x=1（s）； （3）当P点运动到B点时，用时6÷2=3（s）， 即x的取值范围为：， 当M点刚好在BC上时， 在（2）中已求得此时x=1， 分情况讨论， 即当时，此时菱形PQMN在△ABC的内部， ∴此时菱形PQMN与△ABC重叠的面积即是菱形PQMN的面积， 过Q点作QG⊥AB于G点，如图， ∵∠APQ=120°， ∴∠QPN=60°，即菱形PQMN的内角∠QPN=∠QMN=60°， ∴QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=， ∴重叠的面积等于菱形PQMN的面积为，即为：； 当x＞1，且Q点在线段AC上时， 过Q点作QG⊥AB于G点，设QM交BC于F点，MN交BC于E点，过M点作NH⊥EF于H点，如图， ∵， ∴∠MNB=∠QPN=60， ∵∠B=60°， ∴△ENB是等边三角形， 同理可证明△MEF是等边三角形 ∴BN=NE，∠MEF=60°，ME=EF， ∵AP=PQ=PN=MN=2x，AB=6， ∴BN=6-AN=6-4x， ∴ME=MN-NE=2x-BN=6x-6， ∵MH⊥EF， ∴MH=ME×sin∠MEH=(6x-6)×sin60°=， ∴△MEF的面积为：， QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=， ∵菱形PQMN的面积为， ∴重叠部分的面积为， 当Q点与C点重合时，可知此时N点与B点重合，如图， ∵∠CPB=∠CBA=60°， ∴△PBC是等边三角形， ∴PC=PB， ∵AP=PQ=2x， ∴AP=PB=2x， ∴AB=AP+PB=4x=6， 则x=， 即此时重合部分的面积为：，； 当时，此时Q点在线段BC上，此时N点始终与B点重合，过Q点作QG⊥AB于G点，如图， ∵AP=2x， ∴PB=AB-AP=6-2x， ∵∠QPB=∠ABC=60°， ∴△PQB是等边三角形， ∴PQ=PB，同时印证菱形PQMN的顶点N始终与B点重合， ∴QG=PQ×sin∠QPN=(6-2x)×sin60°=， ∴， ∴此时重叠部分的面积， 综上所述：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中Q点的位置以及菱形PQMN的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想． 考点05 解直角三角形的应用 11．（2026·吉林·中考真题）如图，为了测量某条河的宽度，小明站在点，到河岸的距离为，刚好正对河对岸的一棵大树，此时点，，在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了，到达点，此时测得．求这条河的宽度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】先根据三角函数求出的长度，减去的长度，即可求出的长度． 【详解】解：由题意知，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：这条河的宽度为． 12．（2025·吉林长春·中考真题）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键． 由题意得四边形是矩形，则，那么，再解即可． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 故选：B． 13．（2025·吉林·中考真题）综合与实践：确定建筑物的打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展览馆．树人中学的打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作打印模型提供数据． 项目报告表    时间：2025年5月29日 项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其打印模型的高度 测量工具 测角仪、皮尺 项目实施 任务一测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 1．测出测角仪的高． 2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角． 3．测出测角仪底端D处到展览馆底端B处之间的距离． 任务二计算实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆的高度．（结果精确到1m）（参考数据：，，） 任务三换算模型高度 将该城市规划展览馆的高度按等比例缩小，得到其打印模型的高度约为________．（结果精确到） 项目结果 为社团制作城市规划展览馆的打印模型提供数据 请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三． 【答案】该城市规划展览馆的高度为；打印模型的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，比例的基本性质，正确理解题意是解题的关键． 任务二：先由矩形得到，，然后解即可； 任务三：由比例尺等于图上距离比上实际距离求解即可． 【详解】解：任务二：由题意得为矩形， ∴，， ∵在中， ∴， ∴， 答：该城市规划展览馆的高度为； 任务三：设打印模型的高度约为， 则由题意得：， 解得：， 答：打印模型的高度约为． 14．（2024·吉林·中考真题）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键． 先解得到，再解，，即可求解． 【详解】解：延长交于点G，由题意得， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：吉塔的高度约为． 15．（2023·吉林·中考真题）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下： 填写人：王朵              综合实践活动报告            时间：2023年4月20日 活动任务：测量古树高度 活动过程 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．      【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．      【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点． 如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角． 测出眼睛到地面的距离． 测出所站地方到古树底部的距离．   ________． ． ． 【步骤四】计算古树高度．（结果精确到） （参考数据：） 请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】． 【答案】， 【分析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得的度数，证明四边形是矩形得到，再解直角三角形求得的度数，即可求解． 【详解】解：测角仪显示的度数为， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形，，      在中，， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键． 16．（2022·吉林·中考真题）动感单车是一种新型的运动器械．图1是一辆动感单车的实物图，图2是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60） 【答案】点A到CD的距离AE的长度约为88cm． 【分析】根据正弦的概念即可求解． 【详解】解：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)， ∵sin∠ACE=，即sin58°=， ∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)， ∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 一、单选题 1．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据正弦定义可知，两边同时乘以可得米，所以小旺下降的高度为米． 【详解】解：如下图所示， 在中，，，米， ， ， 米， 小旺下降的高度为米． 2．（2026·吉林长春·二模）如图，某滑雪运动员沿坡度为的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为（     ） A．10米 B．15米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】由斜坡的坡比为，可知斜坡坡角为，然后运用正弦函数解答即可． 【详解】解：如图， 因为坡度比为，即， ∴ ， 由题意可知，运动员沿斜坡滑下米， 则其下降的高度米． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）快递员往卡车上装载较重的货物时，常常会在车尾斜搭一块木板，将货物沿着木板往上推，这样比直接向上抬起货物省力很多．如图所示，木板与水平面夹角，车尾距地面高米，则木板长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】首先判断为直角三角形，为直角，这是解题的突破口．根据正弦函数公式，变形即可得到的表达式． 【详解】由题意可知，是直角三角形，， ， 米． 4．（2026·吉林长春·模拟预测）白塔是中国现存最早木塔之一．小明想测量白塔的高度，在离白塔底端正前方米的处，用高为米的测角仪测得白塔顶部处的仰角为，则白塔的高度为（   ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于点，根据题意得，然后证明四边形是矩形，所以米，米，在中，，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴白塔的高度为米． 5．（2026·吉林·模拟预测）图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，，，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图：过C作于G，解直角三角形可得，再根据线段的和差以及点到直线的距离求解即可． 【详解】解：如图：过C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵机器人上半身垂直于地面水平线，手臂， ∴该机器人拳头（点）到地面的高度为． 6．（2026·吉林长春·模拟预测）长春广播电视塔（吉塔）是长春标志性建筑之一，小明想测量吉塔的高度．在离吉塔底端B正前方12米的C处，用高为1.6米的测角仪测得吉塔顶部A处的仰角为α，则吉塔的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】过作于点，根据题意得，然后证明四边形是矩形，所以米，米，在中，，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，， ∴， ∴， ∴米， ∴吉塔的高度为米． 7．（2026·吉林长春·一模）五一假期，长春西湖公园迎来了一批露营爱好者．某爱好者搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为米．若的度数为，则此“天幕”的宽度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】令和相交于点，根据题意得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：令和交于， ，， ，， ， ， ． 8．（2026·吉林长春·一模）如图是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值求解； 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴． 9．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，小春荡秋千，秋千的链子长度为米，当秋千向两边摆动时，摆过的角度，且两边摆动的角度相同，则它摆至最高位置时与摆至最低位置时的高度之差为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】过点作，过点作，先根据题意，推出，并判断最高点和最低点，再根据等腰三角形求出，运用解直角三角形求出，进一步求出，最后证明四边形为矩形，求出，即可求解． 【详解】过点作，过点作， ∵秋千的链子长度为米， ∴， ∵摆过的角度， ∴点、点为最高处， ∵当时，与交于点， ∴点为最低处， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴秋千摆至最高位置时与摆至最低位置时的高度之差为． 二、填空题 10．（2026·吉林·模拟预测） __________． 【答案】 【分析】先分别化简负整数指数幂、绝对值、特殊三角函数值、零指数幂，再四则运算即可． 【详解】解： ． 11．（2026·吉林白山·二模）在如图所示的扇形中，C为上一点，连接交于点P，，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留根号和）． 【答案】/ 【分析】首先求出，然后解直角三角形求出，然后利用阴影部分的面积求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 12．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，给出下面四个结论：①；②矩形的周长为4；③；④的最小值为3．上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①③ 【分析】连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得矩形的周长等于，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④． 【详解】如图，连接，交于点， ∵四边形是正方形，， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴，即结论①正确； ∵， ∴， ∴，即结论③正确； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴矩形的周长，故结论②错误； 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时在中，， 又∵， ∴的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误； 综上，正确的结论为①③. 13．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，在上取一点，连结，使．点是上一动点，连结，将绕着点顺时针旋转得到，连结交于点．给出下面四个结论： ①； ②当时，； ③； ④在点的运动过程中，的最小值是． 上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【分析】根据正切函数的定义求出的长，进而求出的长即可判断①；当时，利用旋转的性质和等腰三角形的性质求出相关角的度数，利用两角对应相等证明三角形相似即可判断②；根据旋转的性质和勾股定理表示出和，结合点的运动状态判断③；根据垂线段最短求出的最小值，进而得到的最小值即可判断④． 【详解】解：①在中， ，故①正确； ②当时，为等腰三角形 由旋转的性质可知 为等腰直角三角形 在中， ，故②正确； ③由旋转的性质可知 在中， 是上一动点，的长度不确定 不一定成立，故③错误； ④由旋转的性质可知当时，最短，即最短在中， 的最小值是， 故正确故答案为①②④ 三、解答题 14．（2026·吉林长春·模拟预测）图1是一座风力发电机，图2是使用无人机测量该风力发电机塔筒高度（轮毂中心高度）的示意图．已知无人机在距塔筒水平距离的地面点处竖直升至点处悬停，点距离地面的高度为，在点处测得塔筒顶端的仰角为．求这座风电塔筒的高度（结果取整数）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】先判断四边形是矩形，可得，，然后在中，求出，即可求解的高度． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ∴四边形是矩形， ∴,， 在中， ， ∴， 答：这座风电塔筒的高度为． 15．（2026·吉林四平·模拟预测）小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．帮助小宇同学用学过的数学知识计算出档案盒的厚度（参考数据：，，）． 【答案】档案盒的厚度为5 【分析】因为已知长度和的度数，所以可以利用三角函数求出直角三角形中的边长．明确的长度构成，等于的长加上10个档案盒的总厚度，所以可求出10个档案盒的厚度，进而得到单个档案盒的厚度． 【详解】解：由题意，在中，，，， ， ， ∴档案盒的厚度为． 16．（2026·吉林松原·模拟预测）实物展示台是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，一台普通的实物展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图①是一个实物展示台，图②是其侧面抽象示意图．立柱，且立柱垂直水平桌面，C为摄像头，可绕点B旋转，当与水平桌面平行时，投影线，摄像头的广角，求拍摄区域的宽度（参考数据：，，）． 【答案】拍摄区域的宽度约为 【分析】作于点F，由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可得，，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：作于点F， ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ． 答：拍摄区域的宽度约为． 17．（2026·吉林松原·模拟预测）数学小组研究如下问题：吉林油田第十二中学的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度？为完成任务，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息： 信息一 在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线．    信息二 如图，是经过南、北极的圆，地球半径约为．弦，过点O作于点K，连接．若，则以KB为半径的圆的周长是北纬纬线的长度． 信息三 参考数据：取3，，， 根据以上信息，求北纬的纬线的长度？（结果保留整数） 【答案】约为 【分析】由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解： ， ． ∵ ∴在中，，， ∴北纬纬线的半径： ∴ 答：纬线长度约为． 18．（2026·吉林·模拟预测）如图，小刚准备运用锐角三角函数的相关知识测量电线杆的高度，他将测角仪放在与电线杆的水平距离为的处．若测角仪的高度为，在处测得电线杆顶端的仰角为，求电线杆的高度约为多少．（计算结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】推出四边形是矩形，得到，，，继而得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：由图及题意，可得四边形是矩形， ，，， ， ， ， ． 19．（2026·吉林·模拟预测）某些中国古代文献中记载了一种传统作画工具——界尺，它在界画绘制时用以作出平行线．图1为界尺的实物图，从机械原理看，界尺实际上是一个平面连杆机构．受此启发，越越同学制作了如图2的简易作平行线工具（，，，的宽度忽略不计），已知连杆，，在某次绘制时，测得．求这次绘制的两条平行线与间的距离．（结果精确到）（参考数据：，） 【答案】 【分析】通过 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判定是平行四边形，确定，将平行线间的距离转化为到的垂线段长；再在直角三角形中，利用正弦函数计算出该垂线段长度，即可得解． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴与间的距离为， 在中， ∵，， ∴ ∴与间的距离约为． 20．（2026·吉林松原·三模）综合与实践：下面是求知小组的研学报告，请认真阅读，并完成任务． 研学目的 测量某大牌楼的高度 测量示意图 方案说明 大牌楼底部与点依次在同一条水平直线上，，且．在处测得大牌楼顶部的仰角为，在处测得大牌楼顶部的仰角为． 根据研学方案计算大牌楼的高度（结果取整米数）．参考数据：． 【答案】大牌楼的高度约为 【分析】延长交于点，首先，证得四边形，四边形均是矩形，得 ，，设，则 ．在中，，得，再由，得 ，进而得 ，最后，在中， ，解得，即可得出的高度. 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴ ， ∵， ∴四边形是矩形. ∴， ． ∴四边形是平行四边形. 又∵， ∴四边形是矩形. ， 设，则 ． 在中，， ． ， ． ． 在中， ， 解得． ∴． 大牌楼的高度约为． 21．（2026·吉林通化·模拟预测）随着技术的不断发展，无人机在生活中的应用日渐普及．在某次消防演习中，消防员用无人机探测到楼顶点有被困人员，此时无人机离地面的高度米，测得点俯角为，点的俯角为，地面、两点间的距离为米．求无人机处到大楼的水平距离（结果保留整数，参考数据：，，）． 【答案】无人机处到大楼的水平距离为米 【分析】过点作于点，在中，利用三角函数求，则即可求解. 【详解】解：过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意知， ∵在中，米， 米． 米， （米）． 答：无人机处到大楼的水平距离为米． 22．（2026·吉林·二模）图1是一座风力发电机．图2是某团队使用无人机测量该风力发电机塔筒高度（轮毂中心高度）的示意图．已知无人机在距塔筒水平距离的地面点处竖直升至点处悬停，点距离地面的高度为，在点处测得塔筒顶端的仰角为．求这座风电塔筒的高度（结果取整数）．（参考数据：，，） 【答案】这座风电塔筒的高度约为． 【分析】由图可知四边形是矩形，因此可得 是直角三角形，在中，已知，根据正切定义 ，可求得的长度，进而，即得到塔筒高度． 【详解】解：延长，交于点， ∴根据题意可知，，，， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∴在中，， ∴ ， ∴， ∴ ， 答：这座风电塔筒的高度约为． 23．（2026·吉林·模拟预测）如图，在中，点分别是半径和的中点，点在上，连接，且． (1)求证：． (2)若，且，则劣弧的长为________．（结果保留） 【答案】(1)证明：∵分别是半径、的中点， ∴， ∵同圆中半径相等，即， ∴， 又∵，， ∴． (2) 【分析】（）利用同圆半径相等及中点定义得，结合已知与公共边，用证明两三角形全等； （）先利用垂直和中点条件，在直角三角形中求出圆心角的一半为，再结合全等三角形性质得到整个圆心角，最后代入弧长公式算出劣弧的长度． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵由是中点，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴圆心角， ∴根据弧长公式，代入， 得劣弧长：． 24．（2026·吉林松原·三模）2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为（参考数据：，，，，结果精确到）． (1)如图①，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图②，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合，进一步求解即可； （2）延长交于点M，则，，求解，在中，，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 故眼睛A与屏幕的距离约为． （2）解：延长交于点M，则，， ， ， 在中，，， ， ． 故桌面到地面的距离约为． 25．（2026·吉林·模拟预测）如图，菱形中，对角线，相交于点，且，，动点，分别从点，同时出发，运动速度为，点沿运动，到点停止，点沿运动，运动速度为，到停止，连接，，．设的面积为（）（这里规定：线段是面积的几何图形），点的运动时间为（）． (1)填空：　　　　　，菱形高为　　　　　　； (2)求与之间的函数解析式． 【答案】(1)5， (2) 【分析】（1）根据勾股定理即可求得，根据菱形面积公式求得菱形的高； （2）首先求出，，过点作于点，然后分两种情况讨论，解直角三角形表示出，分别根据和求解． 【详解】（1）解：菱形中，，， ，，， ， 设菱形的高为， ， ， 菱形高为； （2）解：∵，，， ∴，， 如图，过点作于点，当时，点P在上，点Q在上， 根据题意得，，，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵菱形高为 ∴， ∴ 当时，点P在上，点Q在上，如图， 根据题意得，，，则 ∵四边形是菱形 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵菱形高为 ∴ ∴ ∴ 综上所述，与之间的函数解析式为． 26．（2026·吉林松原·模拟预测）2026年马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．如图，图1是某型号的机器人在展示时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点 ， ，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知，，，求： (1)______； (2)点距离地面的高度．（结果精确到 ，参考数据：，，，，，．） 【答案】(1) (2)点距离地面的高度约为 【分析】（1）过点作，可得，再利用平行线的性质解答即可求解； （2）过点作交 的延长线于，可得，解直角三角形可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ， ， ， ∵， ； （2）解：如图，过点作交 的延长线于， ， ， ， ， ， 答：点P距离地面的高度约为． 27．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺（，）在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接． (1)直接判断四边形是哪种特殊四边形：______；（不需要证明） (2)已知，若四边形是菱形，求的长． 【答案】(1)平行四边形 (2)18 【分析】（1）根据题意，得到，，即可得到四边形是平行四边形； （2）解直角三角形，求出的长，再解直角三角形，求出的长，即可得出结果. 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接交于O， ∵，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 28．（2026·吉林白山·二模）如图，在中，，，于点，，过点作，交于点，，交于点．动点从点出发以的速度向终点运动，过点作，交于点，交于点．设点的运动时间为，与四边形重叠部分的面积为． (1) ______， ______； (2)当点与点重合时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，根据三角函数可求出，，证明四边形是矩形，得到，即可求解； （2）当点与点重合时，，由，，得到，求出，即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，则可得，，由图知题目分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：，； （2）解：由（1）知，， 当点与点重合时，， ，， ，， ， ； （3）解：过点作于点，过点作于点，如图1， ，，， ，， ，， ，，， 当时，如图1， 则， ， ， ， ， ； 当时，如图2， 则， ， ， ； 当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； 综上，． 29．（2026·吉林松原·模拟预测）如图，将一个等腰直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B在第一象限，，．点P从点O出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并垂直于x轴的正半轴，垂足为Q，点O的对应点为．设折叠后与重叠部分图形的面积为S，点P的运动的时间为t（）． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点与点A重合时，求t的值； (3)用含t的代数式表示S，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点P的运动情况得到，根据是等腰直角三角形，得到，从而，由折叠可得； （2）当点与点A重合时，，据此列出方程，求解即可； （3）当点在线段上，即时，与重叠部分图形为，根据三角形的面积公式即可求解；当点在线段的延长线上，且点Q到达点A或之前，即时，与重叠部分图形为梯形，根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵点P在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，运动的时间为t（）， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴在中，， 由折叠可得． （2）解：∵， ∴， 当点与点A重合时，， ∴， ∴． （3）解：∵，，轴， ∴在中，． 当点在线段上，即时，与重叠部分图形为， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴点P运动到点B的时间为， 当点在线段的延长线上，且点Q到达点A或之前，即时， 与重叠部分图形为四边形， ∵， ∴， ∴四边形是梯形． ∵， ∴ ， 由折叠可得， ∴． ∴， ∴． 综上所述，． 30．（2026·吉林松原·三模）如图，在等边三角形中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，过点作的平行线交于点．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，当点不与，重合时，过点作，过点作，得到四边形．点，同时出发，设点运动的时间为秒，设四边形和重合部分图形的面积为． (1)用含的代数式表示的长； (2)求的长（用含的代数式表示）； (3)求S与之间的函数关系式，并写出的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，当时，表示出，再根据矩形的判定与性质以及三角函数的知识即可求解； （3）当时，过点作于点，根据四边形是矩形，进而求得的长，根据梯形面积公式进行计算即可求解；当时，设与相交于点，求得的长，进而根据梯形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，运动的时间为秒 ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴． （2）解：当点与点重合时，， 当点到达终点时，， ∴点运动的时间满足； 当时，过点作于点， 则， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， 在中，， ∴； 当时，过点作于点， 同理可得：四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， 在中，， ∴； ∴综上，当时，；当时，； （3）解：当时，过点作于点， ∵，， ∴， 由（2）得，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ； 当时，设与相交于点， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ； 综上，． 31．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，点在边上，，点在边上，过点作的垂线交射线于点，连接、． (1)求边的长 (2)当时，求的长； (3)当点在边上，且和相似时，求的长； (4)当被边分成两部分，且这两部分重新拼接后能拼成一个新三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)15 (2)5 (3)或 (4)或或 【分析】（1）勾股定理进行求解即可； （2）根据，求出的长，进而求出的长即可； （3）分和两种情况进行讨论求解即可； （4）分，和，三种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：当时，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：当和相似时，分两种情况， ①时，则， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，则， ∴， ∴， 同理：； （4）解：当被边分成两部分，且这两部分重新拼接后能拼成一个新三角形时，设交于点，分三种情况： ①，如图，拼接时，重合，即可得到一个新的三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②，如图，拼接时，重合，即可得到一个新的三角形， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，解得， ∴； ③，如图，拼接时，重合，即可得到一个新的三角形， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或或. 32．（2026·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，，，为的中点，点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，、两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)______； (2)当时，求的值； (3)过点作 于点，以、为邻边作矩形，设矩形与 重叠部分图形的面积为，当重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时，；当时， 【分析】（1）根据勾股定理算出， （2）根据点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度运动，得出，又因为，故，则，即可作答． （3）要结合题意，进行逐个情况作图，运用数形结合思想以及面积计算方式进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴； （2）解：∵点Q从点C出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动，点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度， ∴， ， 当时， 则 ∴ ， ∴， ， ∴ （3）解：由（2）得，当时，， ∴①当时，如图1，重叠部分是四边形 ． ∵在中，，，， ∴， 则， ∴， 则． ∵点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度，沿折线向终点C运动，Q，P两点同时出发，当点Q 停止运动时，点P也随之停止．设点Q运动的时间为t秒． ∴， ②当时，如图2， ， 则 ∴ ； 当时， 则， 则； ③当时，如图3，重叠部分是五边形． 则 ， 则 ∴ ∴ 则 ∴ ∵点D为的中点，点Q从点C出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动， ∴ ④当时，如图4， 则 33．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，，．点在边上，点关于直线的对称点为点，连接，延长交射线于点． (1)下列线段中，始终与线段相等的是_____； ①    ②    ③ (2)当点与点重合时，求的值； (3)当时，求的长； (4)连接，当时，直接写出线段的长． 【答案】(1)③ (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）由矩形的性质和轴对称的性质可得，因此； （2）由矩形的性质和（1）的结论可得，，使用勾股定理计算出，从而得到，最后根据正切函数的定义进行计算即可； （3）分为点在点的左侧和点在点的右侧两类讨论，根据题干条件求出与，使用勾股定理计算出，从而求出，根据轴对称的性质求出即可； （4）设，分为点在点的左侧和点在点的右侧两类讨论，当点在点的右侧时，容易证明，则，进而得到，利用勾股定理求出，进一步求出；当点在点的左侧时，同理，作于点，容易证明四边形是矩形，则，，在中，利用勾股定理构造方程，求解出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， 而在点的运动过程中，线段、线段与线段不一定相等， ∴始终与线段相等的是线段； （2）解：如图， 由（1）可知，， ∵点与点重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，； （3）解：①当点在点的左侧时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得，，，， ∴， 在中，， 由（1）可知，， ∴； ②当点在点的右侧时，如图， 同理可得，， 在中，， ∴； 综上所述，或； （4）解：设， ①当点在点的右侧时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理（3）可得，，，， ∴， 在中，， ∴； ②当点在点的左侧时，如图，作于点， 同理①可得，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 整理，得， 解得或； 当时，点和点重合且是的中点，点是的中点，满足，符合题意， 综上所述，的长为或或． 34．（2026·吉林长春·二模）如图，在中，，，，于点，点为射线上一动点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连结、、． (1)_________；_________； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)当四边形为轴对称图形时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)证明：点和关于点对称，点C和E关于点P对称， ，； 四边形是平行四边形． (3)或 (4)或 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据已知得出，进而根据余弦的定义，即可求解； （2）根据对称的性质可得，，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （3）分情况讨论：①当四边形为矩形时，②当四边形是菱形时，分别画出图形，解直角三角形，即可求解； （4）当在的左侧时，如图，过点作于点，交于点，过点作交于点，则四边形是矩形，得，即点到的距离，根据对称性可得到的距离相等，则，证明，得出，得出，证明得出，进而根据，即可求解；当在的右侧时，同理可得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴ ∵ ∴ ∴； （2）略 （3）解：分两种情况讨论， ①当四边形为矩形时，则 ∴在上， 如图，过点作 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ②当四边形是菱形时，则， ∴重合， ∵ ∴ 综上所述，四边形为轴对称图形时，或 （4）解：当在的左侧时，如图，过点作于点，交于点，过点作交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即点到的距离， ∵关于点对称，点在射线上， ∴到的距离相等， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴，即点是的中点，， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ 当在的右侧时，如图 同理可得 综上所述，的长为：或 35．（2026·吉林长春·模拟预测）如图1，在中，，．点是边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且，分别连接、．    (1)________； (2)证明； (3)如图2，连接，当时，求的长； (4)当点、点其中一点到的距离等于另一点到的距离的2倍时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)证明：根据旋转可得：， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) (4)或 【分析】（1）过点C作于点F，解直角三角形得出，根据勾股定理先求出，再求出； （2）先证明，得出，从而得出，根据两边对应成比例且夹角相等即可证明； （3）设与交于点H，根据等腰三角形的性质得出，根据，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据相似三角形的性质得出，求出结果即可； （4）分两种情况：当点到的距离等于点D到的距离的2倍时，当点D到的距离等于点P到的距离的2倍时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点C作于点F，如图所示： 则， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：设与交于点H，如图所示： ∵，， ∴，， 根据解析（2）可得：， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （4）解：当点到的距离等于点D到的距离的2倍时，过点D作于点H，过点P作于点Q，过点A作于点F，如图所示： 则，， 根据解析（2）可得：， ∴， ∴， 在中，， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； 当点D到的距离等于点P到的距离的2倍时，过点D作于点H，过点P作于点Q，过点A作于点F，如图所示： 则，， 根据解析（2）可得：， ∴， ∴， 在中，， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； 综上，或． 36．（2026·吉林长春·模拟预测）在中，、、、为中点，为边上一点，连结、以、为邻边构造平行四边形． (1)若时，求的长； (2)若平行四边形为轴对称图形，求的长； (3)当最小时，______，此时，______． (4)当点到直线的距离是点到直线距离的倍，直接写出的长． 【答案】(1)3 (2)或 (3)，2 (4)或 【分析】（1）解即可； （2）当平行四边形为轴对称图形时，则平行四边形为矩形或菱形，即可根据矩形和菱形的性质分类讨论，再结合矩形的内角为直角以及菱形的邻边相等求解即可； （3）连接交于点，先根据三角形中位线定理确定点的轨迹，然后根据垂线段最短可得取得最小值的位置，再根据平行四边形和解直角三角形进行求解即可； （4）连接，过点分别作的垂线，垂足为点，然后分两种情况要来，根据面积法求解即可． 【详解】（1）解：当时，如图： 在中， ∴设， 则 ∴ ∴； （2）解：∵平行四边形为轴对称图形 ∴平行四边形为矩形或菱形， ①当平行四边形为矩形时，则， ∵，为中点， ∴ 过点作于点，则由 （1）可得 ∴， ∴ ∴； 当平行四边形为菱形时， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴同上可得 综上：当平行四边形为轴对称图形，的长为或； （3）解：连接交于点， ∵四边形为平行四边形 ∴ ∵ ∴，即 ∴当时，最短，如图，过点作于点，则 由上知， ∴， ∵平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （4）解：当点在同侧时，如图： 连接，过点分别作的垂线，垂足为点 同上可得，， ∴ ∴ ∵ 设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形，且点是中点， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴； 当点在异侧时，如图： 连接，过点分别作的垂线，垂足为点 同上可得，， ∴ ∴ ∵ 设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形，且点是中点， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴； 综上：当点到直线的距离是点到直线距离的倍，的长为或． 37．（2026·吉林四平·三模）如图，在中，，，动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动，当点不与的顶点重合时，过点作于点，以、为邻边作平行四边形．设平行四边形的面积为，点运动的时间为秒（）． (1)的长为________； (2)求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 【答案】(1)8 (2) (3)或 【分析】（1）延长交于点N，证明，根据三线合一性质，余弦函数的定义求解即可； （2）利用三角形相似，三角函数，平行四边形的面积，分类思想解答即可； （3）当四边形是轴对称图形时，此时四边形是菱形，分类求解即可． 【详解】（1）解：延长交于点N， 因为四边形是平行四边形， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 故； （2）解：因为，动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动， 所以动点P在上运动时，此时，且， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，， 所以， 因为四边形是平行四边形， 所以； 所以动点P在上运动时，此时，且，， 因为，， 所以， 所以，， 所以， 因为四边形是平行四边形， 所以； 综上所述，； （3）解：当时，四边形是菱形时是轴对称图形， 此时只需满足， 故， 解得， 符合要求； 当时，四边形是菱形时是轴对称图形， 此时只需满足， 故， 解得， 符合要求； 综上所述，四边形是轴对称图形时，或； 38．（2026·吉林·模拟预测）实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是某同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为，经测得：，，．实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在同一条直线上），求线段的长度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【分析】过点作于点，于点，利用三角函数可解得的值，即可求得的值；过点作于点，再证明为等腰三角形，并解得，然后由求解即可． 【详解】解：过点作于点，于点，如图： 由题可得： 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 过点作于点，则四边形为矩形， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．（2026·吉林松原·模拟预测）【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，点D、C的对应点分别是点、，与交于点F． 【操作探究】 (1)如图②，当在直线上时． ①小明发现此时，请你证明这一结论； ②求的长； (2)小磊将从图②的位置开始沿射线向左平移，当以点A、、D为顶点的三角形是以为底的等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 【答案】(1)①证明：由旋转可知， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ∴， ， ． ② (2)或 【分析】（1）①根据旋转的性质推理出是等边三角形，得到，再由，得到，即可证明； ②在中，，，求出即可； （2）由题意可分：当时，过点A作交延长线于点H，连接交于点G，当'时，连接，交于点N，过点A作交于M，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：①略 ②由旋转的性质可知：， ∴， 在中，， ∴； （2）解：当时，过点A作交延长线于点H，连接交于点G， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴由平移的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，连接，交于点N，过点A作交于M， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：平移的距离为或． 40．（2026·吉林·二模）如图，中，，，于点，，点为的中点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路线向终点运动．连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，设点的运动时间为． (1)填空：____________，____________． (2)当时，求的长． (3)当点落在边上时，求的值． (4)当点在线段上，的中点落在的边上时，直接写出所有满足条件的值． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 (4)和 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余及等角对等边得，再计算即可，最后根据勾股定理得； （2）分两种情况：①当点在上时；②当点在上时，分别画图求解即可； （3）分两种情况：①当点在上时；②当点在上时，分别画图求解即可； （4）设点为的中点，①当的中点在上时；②当的中点在上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，； （2）解：∵，， 又∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿的路线向终点运动， ∴点从点到点所需时间：； 点从点到点所需时间：； 点从点到点所需时间：， ①当点在上时，如图， ∵，点为的中点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ②当点在上时，如图， ∵，点为的中点，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ①当点在上时，且时，如图， ∴， ∴点在所在的直线上， 由（2）①知：，且， ∴， ∴点为的中点， 此时点与点重合，即点在上， ∴； ②当点在上时，过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图， ∴，，，， 在中，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或； （4）解：设点为的中点， ①当的中点在上时，过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图， ∴， ∵，点为的中点，， ∴，， 由（2）①知：， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 此时； ②当的中点在上时，过点作于点，过点作于点，设，以点为原点，以所在的直线水平向右为轴，以所在的直线竖直向上为轴建立如图所示的直角坐标系，设， ∴， ∵，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，点为的中点，， ∴， 由（2）①知：， ∴，， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴点的坐标为，即， 又∵的中点在（直线的解析式为）上， ∴， 解得：， ∴， 此时； 综上所述，满足条件的值有和． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $