2025年长春市中考真题-【中考123·中考必备】2026年吉林地区专用数学试题精编

7.将直角三角形纸片ABC(∠C=90)按如图方式折 ZHONGKAO BIBEI 叠两次再展开，下列结论错误的是 6.2025年长春市 A XUESHENG 折叠 再折叠 展开D O试卷研究报告O… 试题难度 适中 难度系数 0.59 易错题14、23、24 较难题23、24 7题图 A.MN∥DE∥PQ B.BC =2DE =4MN (满分：120分时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在 c.AN-mQ-jN0 D.MN=DE_PO DE PO BC 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 8.在功W(J)一定的条件下，功率P(W)与做功时间 求的。 t(s)成反比例，P(W)与t(s)之间的函数关系如图所 ↑P/W 1.中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的 示.当25≤t≤40时，P的值可以为 国家.如果水位下降2m记作-2m,那么水位上升 A.24 3m记作 B.27 20H A.-3m B.+3mC.-5m D.+5m C.45 0 60 s 2.下面几何体中为圆锥的是 D.50 8题图 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.8的立方根是 10.写出ab的一个同类项： A B D 11.已知x2+2x=4,则代数式7-x2-2x的值 3.下列计算一定正确的是 为 A.a+2a=3a B.a·a2=a2 12.若扇形的面积是它所在圆的面积的子，则这个扇形 C.a+a=a2 D.(2a)2=2a2 的圆心角的大小是 度 4.下列不等式组无解的是 13.图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边 A>2, 「x>2, 形，图②是其表面展开图，则∠为 度 B. x>-1 x<-1 c/c2, D.<2, lx<-1 lx>-1 5.如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到 13题图① 13题图② 达海拔高度为n米的点A处，测得山峰顶端B的仰 14.如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、 角为，则A、B两点之间的距离为 BD相交于点O.点E在线段OA上，连结BE,作CF⊥ BE于点F,交OB于点P.给出下面四个结论： ①LOCP=LOBE; D ②0E=OP; D E 海平面 ③当CE=CB时，BP=EF; 5题图 ④点A与点F之间的距离的最小值 A.(m-n)sina米 B.m-P米 为2√5-2. 14题图 sin o 上述结论中，正确结论的序号有 C.(m-n)cosa米 D.m-n米 三、解答题：本题共10小题，共78分。 coS a 15.(6分)先化简，再求值：(1+x)2-2x,其中x=√3. 6.已知点A(-3,y1)、B(3,y2)在同一正比例函数y= x(k<0)的图象上，则下列结论正确的是（) A.y1=-y2 B.y1=y2 C.y2>0 D.y1<0 16.(6分)长春市人民广场是中心景观类环岛型交通 a.20名男生的臂展与身高数据如下表： 广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而 编号 1 2345678910 驰名.甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶人人民 身高/cm 166169169171172173173173174174 广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一 个出口驶出.用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙 臂展/cm161162164166164165169169169170 两辆车从同一出口驶出的概率 编号 1112 1314151617181920 身高/cm175176177177178179180180181183 臂展/cm169167173176174170177174176185 b.20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众 数如下表： 人民大街 平均数 中位数 16题图 众数 身高/cm 175 m 173 17.(6分)如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点 臂展/cm 170 169 n 0,AB=5,0A=4,OB=3.求证：□ABCD是菱形. D c.20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂 展数据分成5组：160≤a<165,165≤a<170, 170≤a<175,175≤a<180,180≤a≤185) ↑频数 B 17题图 160165170175180185展臂/cm 18.(7分)小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉 20题图① 的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少 t展臂/cm 190 用40秒到达终点.求小林跑步的平均速度. 185 180 175 170 165 160 15 19.(7分)图①、图②、图③均是4×3的网格，其中每 55160165170175180185190身高/cm 20题图② 个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格 d.20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小 点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下 组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长 列要求作△ABC,使△ABC的顶点均在格点上. 带形区域内.他们利用计算机和简单统计软件得 (1)在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形； 到了描述臂展y(cm)与身高x(cm)之间关联关 (2)在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形； 系的直线l. (3)在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三 根据以上信息，回答下列问题： 角形 (1)写出表中m、n的值：m= ,n (2)该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于 或等于170cm的男生人数； 19题图① 19题图② 19题图③ (3)图②中直线l近似的函数关系式为y=1.2x- 20.(7分)某校综合实践活动中，数学活动小组要研究 40,根据直线l反映的趋势，估计身高为185cm 九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之 男生的臂展长度 间的距离)与身高的关系.小组成员在本校九年级 男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身 高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析，下面 给出了部分信息： 21.（8分)随着我国人工智能科技的快速发展，智能机 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 器人已经走进我们的生活.某快递公司使用甲、乙 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转 两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它 化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题.这样就可 们工作时各自的速度均保持不变.已知某天它们同 以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆， 时开始工作，甲机器人工作一段时间后，停工保养， 再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直 保养结束后又和乙机器人一起继续工作.甲、乙两 角三角形的最小覆盖圆。 台机器人分拣快递的总数量y(件)与乙机器人工 如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.⊙O是以AB 作时间x(分钟)之间的函数关系如图所示. 为直径的圆. (1)甲机器人停工保养的时间为 分钟，m 请你判断点C与⊙0的位置关系，并说明理由， 又由【探究一】可知，⊙O是Rt△ABC最长边AB的 ◆ (2)求AB所在直线对应的函数表达式； 最小覆盖圆， (3)若该快递公司当天分拣快递的总数量为5450件， 所以，⊙O是Rt△ABC的最小覆盖圆. 则乙机器人工作时间为 分钟. 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 y/件↑ 如图③，在矩形ABCD中，AB=1cm,BC=2cm. m (1)用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形ABCD 2700 2200 的最小覆盖圆（不写作法，保留作图痕迹，作图 确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑)； (2)该矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为 0 406080x/分钟 cm; 21题图 (3)若用两个等圆完全覆盖矩形ABCD,则这样的 两个等圆的最小直径为 cm 22题图① 22题图② 22题图③ 22.(9分)数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该 平面图形上所有的点均在圆内或圆上)为该平面图 形的覆盖圆.其中，能完全覆盖平面图形的最小的 圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆. 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段AB的覆盖圆有无数个，其中，以AB为直径的 圆是其最小覆盖圆 理由如下：易知线段AB的最小覆盖圆一定经过点 A、点B.如图①，以AB为直径作⊙O,再过A、B两 点作⊙0'(0'与0不重合)，连结0'A、0'B. 在△O'AB中，有O'A+OB>AB(▲). .·O'A=O'B, .2O'A>AB,即⊙0'的直径大于⊙0的直径， ∴.⊙O是线段AB的最小覆盖圆. “▲”处应填写的推理依据为 23.(10分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4,24.(12分)在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛 点D为边AC的中点，点E为边AB上一动点，连结 物线y=x2+bx经过点(3,3)，点A、B是该抛物线 DE,将线段DE绕点E顺时针旋转45°得到线 上的两点，横坐标分别为m、m+1,已知点M(1, 段EF. ◆ 1),作点A关于点M的对称点C,作点B关于点M (1)线段AB的长为 ； 的对称点D,构造四边形ABCD. (2)当EF∥AC时，求AE的长； (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (3)当点F在边BC上时，求证：△ADE≌△BEF; (2)当A、B两点关于该抛物线的对称轴对称时，求 (4)当点E到BC的距离是点F到BC距离的2倍 点C的坐标； 时，直接写出AE的长 (3)设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两 2 点)为图象G,当0<m<1时，若图象G的最高 点与最低点的纵坐标之差为7，求m的值； (4)连结OA、0OB,当∠AOB=∠OAD+∠OBC时，直 23题图 接写出m的取值范围（这里∠AOB、∠OAD ∠OBC均是大于0°且小于180°的角) y 24题图得6=20， ∫3 解得 Γ8 160k+b=80, 1b=20, 3 故乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y=8x+20. (3)65 24.解：(1)2BC·h,Saac=2BC·h', S△ABC=h (2)DF ”△DFM AE DE 3号 25.解：(1)2x (2)当点M落在BC上时，如答图① 0 A P 25题答图① 由(1)知PQ=AP=2x. 四边形PQMN是菱形， ∴.MW=PN=PQ=2x,PQ∥MW, .∠MNB=∠QPB=180°-120°=60° 又∠B=60°， .△MNB是等边三角形， ∴.BN=MN=2x, .AB=AP+PN+BN =6x=6, .x=1. (3)当点P从点A运动到点B时，用时6÷2=3(s),即x的取 值范围为0≤x≤3. 当x=0或3时，y=0. 由(2)知，当点M落在BC上时，x=1. ①当点Q在线段AC上，且点M在△ABC内部（包含边界）时， 0<x≤1，此时y=S菱形oMw,如答图②，过点Q作QG⊥AB于 点G. 0 25题答图② .∠APQ=120°， .∠QPN=60°， ∴.QG=PQ·sin∠QPW=2x·sin60°=√3x, y=S菱形ww=PN·QG=2x·V5x=23x2; ②当点Q在线段AC上，且点M在△ABC外部时，1<x≤2， 3 如答图③，设QM交BC于点F,MW交BC于点E. 25题答图③ .'∠MFE=∠B=∠ENB=∠FME=60°， .'.△EWB和△MEF均是等边三角形， ∴.BN=NE. PN =PO=AP=2x, .'NE =BN =AB-AN =6-4x, ∴.ME=MN-NE=2x-(6-4x)=6x-6, Sw-县.MB-9x(6-62=98-185x+98 4 易知S菱形P0MN=2V5x2, y=S菱形P0ww-SAMER=25x2-(93x2-185x+95) =-75x2+183x-95; ③当点Q在线段BC(不含点B,C)上时，子<<3，此时点N 与点B重合，如答图④，易知此时△BPQ是等边三角形，且PB =6-2x, M B(N) 25题答图④ 此时y=86m=(6-2a)2=2-65x+9,g 综上所述， 25x2(0≤x≤1)， y= -752+185-951<≤2） -6,x+9(3<≤3 26.解：(1)将A(1,0),B(0,3)分别代入y=x2+bx+c, 得1+6+c=0 c=3, 解得6=4， c=3, 故此抛物线的解析式为y=x2-4x+3. (2)m<1或m>3. (3)①易知抛物线y=x2-4x+3的对称轴为直线x=2,顶点 坐标为(2，-1)，P(m,m2-4m+3). 分以下2种情况讨论. i.当m<2时，最低点的纵坐标为m2-4m+3, 令m2-4m+3=2-m, 舞得3≥卢m3(不合题意合去 2 ⅱ.当m≥2时，最低点的纵坐标为-1， 令2-m=-1, 解得m=3. 综上所述，m的值为3,5或3. 18.解：设港珠澳大桥的桥梁长度为xkm,隧道长度为ykm, 2 ②点Q的坐标为(2,1)，(2，-1)或(2，W5) 根据题意，得+y=55 解得x=49.1, x=9y-4, y=5.9. 5.2021年吉林省 答：港珠澳大桥的桥梁长度为49.1km,隧道长度为5.9km. 1.C2.B3.B4.A5.D6.C 19.解：(1)画等腰三角形如答图①.（答案不唯一) 7.28.m(m-2) 910 11.>12.(7,4)13.2.7 14-万[解折]连接CE,过点E作BF1BC于点P,如答图， ∠A=30°，.∠CBA=90°-∠A=60°.CE=CB,△CBE 19题答图① 为等边三角形，LECB=60°，BE=BC=2,EF=V5,S扇形C (2)画面积为3的平行四边形如答图②.（答案不唯一） 20▣-弓：Ss=之BC:EF=5阴影部分的面 360 积为号m-.故答案为号m-5 2 19题答图② 20.解：(1)833.6(2)28.0%(3)② 21.解：(1)把x=m,y=2代入y=亭-2，得号m-2=2, 解得m=3, 所以点B的坐标为(3,2) 14题答图 15.解：原式=x2-4-x2+x=x-4. 把x=3y=2代人y=兰，得2=台， 当x=乃时，原式=74=子 解得k=6, 16.解：[解法一]根据题意，画树状图如下： 所以反比例函数的解析式为y=6 第一盒 白 黑 (2)当x=0时，y=-2, 所以点A的坐标为(0，-2)，即OA=2 因为BC⊥y轴于点C,B(3,2), 第二盒 白 黑黑 白 黑 所以OC=2,BC=3, 16题答图 由树状图可以看出，所有等可能出现的结果共有6种，且取出 所以AC=4, 的2个球都是白球的结果有1种，所以P(取出的2个球都是 1 所以S6Bc=2×4×3=6, 白球)=。 22.解：两直线平行，内错角相等cosB0.7227648 [解法二]根据题意，列表如下： 23.解：(1)乙地每天接种的人数为0.5万人，a=40. 结果 、第一盒 (2)设当甲地接种速度放缓后，y关于x的函数解析式为 少 黑 y=kx+b(k≠0). 第二盒 因为y=x+b(k≠0)的图象经过(40,25)与(100,40)， 白 (白，白 (白，黑) 黑 (黑，白 (黑，黑) 所以40k+6=25 黑 (黑，白) (黑，黑) 100k+b=40. 1 由表可以看出，所有等可能出现的结果共有6种，且取出的2 k=4' 个球都是白球的结果有1种，所以P(取出的2个球都是白 解得 lb=15 球)=合 所以当甲地接种速度放缓后，y关于x的函数解析式为 17.证明：在△ACD和△ABE中， y=+15(40≤x≤10). ∠A=∠A, (3)由图象，得当x=80时，乙地完成接种任务. AC=AB, ∠C=∠B, 把x=80代入y=子+15，得 △ACD≌△ABE(ASA), 1 .AD =AE. y=4×80+15=35. 40-35=5. 所以当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为5 万人 24解：(1)号 (2)四边形ADFC为菱形.理由如下： ·CD是斜边AB上的中线， .AD-BD-AB. 由折叠性质，得BD=DF】 ∴.AD=DF .∠ACB=90°，∠A=60°， ∠B=30AC=74B,AC=DR .DF⊥BC,∠ACB=90° .∠ACB=∠DGB=90°， ∴.AC∥DF, .四边形ADFC为平行四边形. 又AD=DF, .四边形ADFC为菱形 (3)45°或135°. 25.解：(1)DQ=1cm. (2)BP=(W3x-33)cm (3)当0≤x≤2时，如答图①所示. 0 25题答图① .DQ=x+1, .FQ=D0Q·cos60°=x+1 2 DF=D0·sin600=5(x+1) yFQ.DF 2 2(x+1) 8 即++号 当2<x≤3时，如答图②所示， A 25题答图② .CO=x-2, ∴.CG=CQ·tan60°=√3(x-2), :.y=SADFO-SAcce (++-2》5-2 =352+95153 8 8, 即=3+点5 8 8 当3<x<4时，如答图③所示. D 0 25题答图③ .…PC=-3x+45 xCDxcP =7×3x(-月x+4 -、3 2x+63, 即y=-3 2*+63 综上所述，y关于x的函数解析式为 停+ +3O三x≤2) Y= 39950e到. 3 2x+65(3<x<4). =-4’ 7 cb=1, 26.解：(1)根据题意，得 解得 7 1+b+c= 4 c=-4, 所以此二次函数的解析式为y=t+x-4 (2y=#*x- 12 4=(x+2)-2. 由二次函数的增减性质，得 当x=-之时，y取最小值为-2 当x=-2时，y取最大值为好 (3)①当点P在点Q右侧时，m>-2m+1,解得m>3 PQ=m-（-2m+1)=3m-1. 当m>了时，线段PQ的长度随m的增大而增大（舍去）： 当点P在点Q左侧时，m<-2m+1,解得m<行 PQ=(-2m+1)-m=-3m+1. 当m<子时，线段PQ的长度随m的增大而减小 ②当-2≤m≤-号或-≤m<兮时，交点为1个： 当-号<m<-时，交点为2个 6.2025年长春市 18.解：设小林跑步的平均速度为x米/秒，则小吉的平均速度为 1.B2.C3.A4.B5.B6.A7.D 1.25x米/秒. 8.C[解析]设功率P(W)与做功时间t(s)的函数表达式为P= 由题意，得800-800=40， x1.25x 一(k0),起1=60，P=20代入表达式，得20=奇解得么= 解得x=4, 1200,.功率P(W)与做功的时间t(s)的函数表达式为P= 经检验，x=4是原分式方程的解，且符合题意 120:反比例函数的图象在第一象限内，P随t的增大而减 答：小林跑步的平均速度为4米/秒 19.解：(1)如答图①，△ABC即为所求.（答案不唯一） 小，当1≥25时，P≤1200=48：当1≤40时，P≥1200=30， 25 40 .30≤t≤48.故选C. 9.210.2ab(答案不唯一）11.312.24013.36 B 14①②④[解析]：四边形ABCD为正方形，.AB=BC=CD= CC B AD,∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC⊥BD,OA=OB 19题答图① 19题答图② 19题答图③ =OC=OD.CF⊥BE,.∠COP=90°=∠BFP.∠CPO= (2)如答图②，△ABC即为所求.（答案不唯一） (3)如答图③，△ABC即为所求.（答案不唯一） LBPF,.∠OCP=∠OBE,故①符合题意；∠COP=90°= 20.獬：(1)174.5169 ∠BOE,OC=OB,.△COP≌△B0E,OP=OE,故②符合题 (2)该校九年级有男生240人，估计臂展大于或等于170cm的 意；当CE=CB时，CF⊥BE,∴.EF=BF,∠BFP=90°，∴.BP> BF=EF,故③不符合题意；如答图，取BC的中点R,连结AF、 男生人数为240×易=108（人）. RF.∠CFB=90°，.F在以R为圆心，BC为直径的圆上，当 (3).y=1.2x-40, A、F、R共线时，AF最小.，AB=BC=4,∴.RF=RB=2,∴.AR= 当x=185时，y=1.2×185-40=182， √42+22=25，.AF=25-2,.点A与点F之间的距离的 .身高为185cm男生的臂展长度约为182cm. 最小值为2√5-2，故④符合题意.故答案为①②④. 21.解：(1)203800 (2)设AB所在直线对应的函数表达式为y=kx+b(k≠0)， 代入A(60,2700),B(80,3800) E 得2700=60k+6 解得55， 13800=80k+b,1b=-600, B ∴.AB所在直线对应的函数表达式为y=55x-600. 14题答图 (3)110 15.解：原式=1+2x+x2-2x=x2+1. 22.解：【探究一】三角形的任意两边之和大于第三边. 当x=3时，原式=(3)2+1=4. 【探究二】点C在⊙O上.理由如下： 16.解：列表如下： ∠ACB=90°，0为AB的中点， ∴.OC=OA=OB, A 2 乙 .点C在⊙0上. A (A,A) (A,B) (A,C) 【拓展应用】(1)如答图①，⊙0即为矩形ABCD的最小覆 B (B,A) (B,B) (B,C) 盖圆。 (C,A) (C,B) (C,C) 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的 结果数有3种， 。甲，乙两辆车从同一出口驶出的概率为号=号 17.证明：.AB=5,0A=4,0B=3, 22题答图① .AB2=25=9+16=0B2+0A2, (2)W5 ,∠A0B=90°， (3)2 .AC⊥BD. [解析]如答图②，作AD的垂直平分线J,交AD于点L,交BC .四边形ABCD是平行四边形， 于点J,.四边形ABJL、DCJL是两个全等的矩形，AL=DL= 四边形ABCD是菱形. 1cm=BJ=CJ.'用两个等圆完全覆盖矩形ABCD,∴.两圆一