专题16 锐角三角函数（3年汇编）（山东专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 汇编山东2024-2026中考三角函数真题及模拟题，按7大考点系统分类，融合生活实践与跨学科情境，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|约10题（3分/题）|三角函数定义、综合计算|结合网格、科学计算器操作，基础与中档题结合| |填空题|约5题（3分/题）|反比例函数背景、动点轨迹|跨知识点融合，如相似转化求三角函数值| |解答题|约20题（8-12分/题）|解直角三角形应用（俯仰角/坡度/方位角）、与四边形/圆综合|情境真实，如无人机测量、古代矩盘、渔船导航；动态建模与开放探究，如方案设计、运动过程分析|

专题16 三角函数 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01三角函数的定义 2026 德州卷、2025 威海 / 济南卷、2024 淄博 / 济南 / 泰安卷 覆盖选择、填空、实数运算解答题，分值 3-6 分。早年以特殊角三角函数值的混合运算、基础定义下的边长计算为主，题型常规。2025 年新增反比例函数坐标背景，需通过相似转化边长求三角函数值；2026 年结合等腰三角形三线合一考查，从纯计算转向跨知识点融合，基础运算仍是核心，中档综合占比稳步上升。 考点02解直角三角形的实际应用——俯仰角 2026 烟台卷、2025 滨州 / 德州 / 淄博 / 青岛 / 威海卷 以解答题为核心载体，分值 8-10 分，属高频必考考点。早期以双楼测量、缆车登山等单一直角三角形模型为主，设问直白。2025 年增多无人机升空、双观测点错位测量题型，需设元建立方程求解；2026 年结合矩形广告牌、综合实践情境融入运动过程，从静态测量转向动态建模，阅读量与计算量同步提升。 考点03解直角三角形的实际应用——坡度、坡角 2025 德州卷 以解答题形式考查，分值 8 分左右。2025 年德州卷以登山情境独立命题，结合坡角与缆车夹角双直角三角形模型，需通过矩形转化垂直高度。该考点常与俯仰角融合命题，独立考查频次较低，核心考查坡度概念与三角函数对应应用，陷阱集中在水平距离与垂直高度的混淆，整体难度中等。 考点04解直角三角形的实际应用——方位角 2025 烟台卷 以解答题形式考查，分值 8-10 分。2025 年烟台卷以灯塔导航、渔船航行为载体，结合行程时间计算最短距离与到达时间，融合方位角识别、直角三角形构造与行程问题。该考点独立命题频次不高，常结合本地海洋港口情境，近年新增天气预警、时间预判设问，对信息提取与跨学科建模要求逐步提升。 考点05解直角三角形的实际应用——其他 2026 山东统考卷、2025 东营卷、2024 济南 / 威海 / 烟台 / 山东统考卷 覆盖选择、解答两类题型，分值 3-10 分。情境覆盖古代数学工具、采光测算、轻轨勘测、太阳能安装等多元领域，早期侧重单一模型计算。2024 年出现方案设计、工具选择的开放型设问；2025 年融入生活决策场景；2026 统考以古代矩盘为载体，结合新定义阅读，转向 “阅读理解 + 建模应用 + 方案探究” 的综合考查，创新度逐年增强。 考点06三角函数与四边形的综合 2025 东营 / 济南 / 德州 / 淄博 / 青岛 / 烟台卷 覆盖选择、填空压轴、解答压轴，分值 3-12 分。早期以菱形、矩形背景下的基础角度与边长计算为主，侧重性质直接应用。2025 年全面升级，多选压轴融合菱形、等边三角形、相似多结论判断；填空压轴结合动点轨迹、折叠最值；解答压轴以正方形折叠为载体分层探究，从单一计算转向几何综合探究，区分度大幅提升。 考点07三角函数与圆的综合 2026 德州 / 山东统考卷、2025 淄博 / 滨州 / 潍坊 / 威海 / 烟台 / 山东统考卷、2024 日照卷 覆盖选择、填空、解答三类题型，分值 3-12 分。早期以切线性质结合基础边长计算为主，题型固定。2025 年拓展至摩天轮弧长、双切线测量、航天器部件检测等创新情境；2026 统考固定为 “切线证明 + 解直角三角形求半径 / 面积” 的解答题结构，选择压轴结合圆锥展开图综合比较，综合性与区分度逐年增强。 考点01 三角函数的定义 一、单选题 1．（2026·山东德州·中考真题）如图，在中，，，则的值为（） A． B． C． D． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长为．又在点处测得该楼的顶端的仰角是．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   二、填空题 3．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 三、解答题 4．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 5．（2024·山东济南·中考真题）计算：． 6．（2024·山东泰安·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 考点02 解直角三角形的实际应用——俯仰角 一、解答题 1．（2026·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 活动主题 测算矩形广告牌的面积 测量工具 皮尺、无人机、计时器、计算器等 活动过程 测量过程 如图，矩形广告牌的边为米，与水平地面垂直，支柱长米，且垂直于地面．无人机从点起飞，以米秒的速度竖直向上飞行秒到达点，此时测得点的俯角为．点的俯角为（图中各点均在同一平面内）． 模型建构 参考数据 ，，， ，，． 问题解决 求矩形广告牌的面积（结果精确到1平方米）． 2．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 3．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 4．（2025·山东淄博·中考真题）如图，某学校教学楼和市创业大厦之间矗立着一座小山．为了测得大厦的高度，小伟首先登至小山的最高处，测得，处的俯角分别为，；然后操控无人机铅直起飞至比处高的处．再次测得这两处的俯角分别为，．已知点，，，，，均在同一平面内，为水平地面，．请求出大厦的高度（结果精确到，参考数据见下表）． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.94 2.87 0.37 2.54 0.66 0.53 5．（2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 6．（2025·山东威海·中考真题）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 考点03 解直角三角形的实际应用——坡度、坡角 一、解答题 1．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 考点04 解直角三角形的实际应用——方位角 一、解答题 1．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 考点05 解直角三角形的实际应用——其他 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（    ）米． A． B． C． D． 二、解答题 2．（2026·山东·中考真题）我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动． 【模型制作】 综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形为正方形，为悬挂重物的铅垂线，为左矩，为右矩，标有均匀刻度的和组成矩尺盘，以点为圆心，为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘． 【操作发现】 使用矩盘测量时，需要将左矩或右矩与视线重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数． (1)如图2，左矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为6（），可知仰角，．如图3，右矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为（），则仰角________，________（结果精确到）． 【应用探究】 (2)综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端到地面的距离（的长度）．如图5，某同学站在城门楼一侧处，用矩盘的左矩与视线重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线前进，穿过城门到达城门楼另一侧处，在处将矩盘右矩与视线重合，角度盘读数为．已知，该同学眼睛到地面的高度是，求城门楼的顶端到地面的距离（结果精确到）． 3．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    4．（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： (1)求点到地面的距离； (2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 5．（2024·山东威海·中考真题）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整） 课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 竹竿，米尺 测量示意图 说明：是一根笔直的竹竿．点是竹竿上一点．线段的长度是点到地面的距离．是要测量的倾斜角． 测量数据 …… …… (1)设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏． (2)根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程． (3)假设，，，根据（）中的推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________． 6．（2024·山东烟台·中考真题）根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 7．（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图 【问题解决】（1）计算，两点间的距离． （参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形    ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 考点06 三角函数与四边形的综合 一、单选题 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 2．（2025·山东济南·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·山东德州·中考真题）如图，中，，，，分别以为直角边，以B为直角顶点向外作和，且，M，N分别是的中点，连接．若，则的长度为_______． 4．（2025·山东淄博·中考真题）已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为_______． 5．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．正确的是________（填写序号）． 6．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为_________． 三、解答题 7．（2025·山东淄博·中考真题）【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】 如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】 小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】 如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． 考点07 三角函数与圆的综合 一、单选题 1．（2026·山东德州·中考真题）如图，在圆心角为 ，半径为 的扇形纸片 中，点到 的距离记为 ，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为 ，下列关于 和 的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 二、填空题 3．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 4．（24-25九年级下·湖南·阶段检测）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为______． 三、解答题 5．（2026·山东德州·中考真题）如图，在中，点为上一点，点是的中点，是的直径．过点作的切线交的延长线于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 6．（2026·山东·中考真题）如图，是的直径，，是上的两点，，连接，，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 7．（2025·山东潍坊·中考真题）图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示． (1)当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离； (2)已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） 8．（2025·山东威海·中考真题）如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线交于点C，连接，点D在上，过点D作，，交于点F，作，垂足为点E．． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 9．（2025·山东·中考真题）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度． 【问题解决】 已知，的长度要求是． （1）求的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 10．（2025·山东烟台·中考真题）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长及的半径． 11．（2024·山东日照·中考真题）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接． 【特例感知】 （1）若．则_______． （2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形； 【深入探究】 若在点C运动过程中，始终有，连接． （3）如图2，当与相切时，求的长度； （4）求长度的取值范围． 一、单选题 1．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为（     ）. A． B． C． D． 2．（2026·山东临沂·二模）如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东淄博·二模）如图，中，，斜边，则的长度是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·山东德州·模拟预测）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ）． A． B． C． D． 5．（2026·山东日照·三模）如图，在菱形ABCD中，过点A作，垂足E在CD的延长线上，过点E作，垂足为F．若，，则菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东泰安·三模）如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B． C． D．3 7．（2026·山东东营·三模）如图，在菱形中，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于的同样的长为半径作弧，两弧交于，两点；作直线，交于点，连接．若直线恰好经过点，以下说法： ①；②；③若，则；④，正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．（2026·山东日照·三模）如图，在中，．某同学按如下步骤进行尺规作图： ①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于，两点； ③连接并延长，交于点，连接． 若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·山东日照·三模）如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（2026·山东淄博·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数且）上有一点．过点作直线轴与直线交于点，则________． 11．（25-26九年级上·河南南阳·期末）定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”．如图，在中，，，若为的“妙分线”，则的长为________． 三、解答题 12．（2026·山东枣庄·二模）计算：． 13．（2026·山东济南·二模）计算：． 14．（2026·山东东营·二模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量学校综合楼及宣传牌的高度 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动 过程 模型抽象 综合楼，宣传牌，为山坡 测绘过程与数据信息 ①在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为， ②测得，，斜坡的坡角为． ③用计算器计算得：，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 15．（2026·山东日照·三模）日照的“太阳鸟”标志（即太阳鸟雕塑）取材于远古太阳崇拜与凤凰涅槃传说，象征光明、祥和、开拓进取与永恒生命，标志位于日照市东港区北京路中段，具体在日照车辆段以东的绿化带内．该雕塑是日照市的重要城市地标，具有深厚的文化寓意和象征意义．某数学兴趣小组计划在假期前往太阳鸟雕塑，并测量雕塑高度，测量方案如下： 测量目的 太阳鸟雕塑高度 测量工具 平面镜、测角仪、米尺 测量过程 如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，先在点E处放置平面镜，小明从点E处沿方向移动到点B处，视线刚好在平面镜内看到雕塑顶端，再在点处安装测倾器，测得雕塑顶端的仰角为． 测量数据 眼睛离地面高度米，米，米，米，，，． 参考数据 ，， 16．（2026·山东青岛·二模）团岛灯塔（游内山灯塔）是青岛历史最悠久的百年灯塔，被誉为胶州湾的“门柱”和“守望者”，是老青岛人记忆中每逢雾天“哞哞”作响的雾号“海牛”．它在2025年底刚迎来了发光125周年，其独特的文化象征和仍在运转的百年文物，让它格外有分量．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组借助百年灯塔开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔P北偏东方向 时，渔船航行至灯塔P南偏东方向的B处 时，渔船航行至灯塔P东南方向的C处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，，，，，）    (1)求渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离； (2)若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A． 17．（2026·山东菏泽·二模）【问题情境】 为打造安全、人性化的校园地下停车空间，某校基建处启动地下车库升级改造工程．在设计入库坡道时，校数学兴趣小组的同学们主动承担了方案优化任务——他们结合《车库建筑设计规范》的安全标准，运用所学解直角三角形的知识，对坡道坡度、净高、缓坡过渡等关键指标进行了严谨测算与优化，既保障了行车安全，也兼顾了空间利用效率，为学校基建工程提供了科学的数学依据． 【方案设计】 入库坡道示意图如下： 【数据收集】 ①直线主坡道的水平距离为，坡度为； ②左，右两段缓坡道为，，水平距离均为； ③和车库地面均与水平方向平行． 【问题提出】 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． （参考数据：当时，，） 18．（2026·山东潍坊·二模）如图①，一种阅读书架放置在水平桌面上，其侧面示意图如图②所示．测得底座高为，，支架为，面板纵截面的长为，为，面板可绕支点上下转动（厚度忽略不计）． (1)求支点离桌面的高度； (2)小亮通过阅读产品说明书得知：面板绕点转动时，面板与支架的夹角满足，求面板绕点由转动到时，上端离桌面的高度增加了多少？ 19．（2026·山东济南·二模）图1是我们在野餐、露营等户外活动中常用的装备——天幕帐篷．图2为某款天幕帐篷搭建完成后的侧面示意图，支撑杆与地面垂直，右侧幕布与支撑杆的夹角为，右侧风绳与幕布在同一直线上，太阳光线与地面的夹角为，幕布与遮挡太阳光线形成影子．已知，． (1)求右侧幕布边缘点到支撑杆的距离； (2)求支撑杆右侧的影子的长度．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 20．（2026·山东德州·二模）如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若书架内侧长为，，档案盒长度．（参考数据：，，） (1)求点C到书架底部距离的长度； (2)求出该书架中最多能放几个这样的档案盒． 21．（2026·山东烟台·二模）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成．A，B，C三点在同一直线上．图2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空：__________，__________； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时理疗灯灯帽D的高度及伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 22．（2026·山东潍坊·三模）如图1，某超市在天花板上的点处安装了一个智能监控摄像头（将摄像头视为一个点），为测试监控盲区做了如下实验：小亮站立在摄像头正前方的位置（将小亮视为线段），摄像头的视角上限恰好经过小亮的头顶点，摄像头的视角下限交地面所在直线于点，若摄像头离地面距离米（垂直于地面所在直线），其视角，摄像头的视角下限与形成的夹角，小亮身高米． (1)小亮向摄像头的方向走_______米后，将完全进入摄像头的视野盲区（参考数据：） (2)如图2，为解决摄像头盲区问题，超市打算在平行于直线的天花板上的点处加装一个同款摄像头，使得新摄像头的视角完全覆盖（1）中的视野盲区，则点到点的距离至少多少米？（图中所有的点均在同一平面内，参考数据：） 23．（2026·山东·一模）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备、某种消防车云梯侧面示意图如图2所示，点在同一直线上，可绕着点旋转，其中可伸缩，套管的长度不变，为云梯的液压杆，点，，在同一水平线上，在某种工作状态下测得液压杆，， ．（参考数据：，，，， (1)求的长； (2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现云梯末端点的铅直高度升高了，求云梯旋转的度数． 24．（2026·山东淄博·一模）小强同学在学习了特殊平行四边形后，对菱形进行了深入探究．如图1，在菱形和等腰三角形中，，，连接，取的中点，连接，． 【初步探究】 (1)小强发现：如图2，当时，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不变的数量关系和位置关系； 【再次探究】 (2)小强又发现：如图3，当时，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系，请写出这个不变的数量关系和位置关系，并帮助小强给予证明； 【深入探究】 (3)小强进一步发现：在图1中，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不变的数量关系和位置关系．（其中的数量关系用含的式子表示） 25．（2026·山东枣庄·三模）如图，中，，平分，是上一点，经过点、点的分别交，于点、点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 26．（2026·山东聊城·二模）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 27．（2026·山东临沂·二模）如图，，均为的直径，作弦于点，连接．过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 28．（2026·山东济宁·三模）如图，为的直径，为上一点，直线l经过点C，，垂足为D，且平分． (1)求证：直线l为的切线； (2)连接，若，求． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 三角函数 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01三角函数的定义 2026 德州卷、2025 威海 / 济南卷、2024 淄博 / 济南 / 泰安卷 覆盖选择、填空、实数运算解答题，分值 3-6 分。早年以特殊角三角函数值的混合运算、基础定义下的边长计算为主，题型常规。2025 年新增反比例函数坐标背景，需通过相似转化边长求三角函数值；2026 年结合等腰三角形三线合一考查，从纯计算转向跨知识点融合，基础运算仍是核心，中档综合占比稳步上升。 考点02解直角三角形的实际应用——俯仰角 2026 烟台卷、2025 滨州 / 德州 / 淄博 / 青岛 / 威海卷 以解答题为核心载体，分值 8-10 分，属高频必考考点。早期以双楼测量、缆车登山等单一直角三角形模型为主，设问直白。2025 年增多无人机升空、双观测点错位测量题型，需设元建立方程求解；2026 年结合矩形广告牌、综合实践情境融入运动过程，从静态测量转向动态建模，阅读量与计算量同步提升。 考点03解直角三角形的实际应用——坡度、坡角 2025 德州卷 以解答题形式考查，分值 8 分左右。2025 年德州卷以登山情境独立命题，结合坡角与缆车夹角双直角三角形模型，需通过矩形转化垂直高度。该考点常与俯仰角融合命题，独立考查频次较低，核心考查坡度概念与三角函数对应应用，陷阱集中在水平距离与垂直高度的混淆，整体难度中等。 考点04解直角三角形的实际应用——方位角 2025 烟台卷 以解答题形式考查，分值 8-10 分。2025 年烟台卷以灯塔导航、渔船航行为载体，结合行程时间计算最短距离与到达时间，融合方位角识别、直角三角形构造与行程问题。该考点独立命题频次不高，常结合本地海洋港口情境，近年新增天气预警、时间预判设问，对信息提取与跨学科建模要求逐步提升。 考点05解直角三角形的实际应用——其他 2026 山东统考卷、2025 东营卷、2024 济南 / 威海 / 烟台 / 山东统考卷 覆盖选择、解答两类题型，分值 3-10 分。情境覆盖古代数学工具、采光测算、轻轨勘测、太阳能安装等多元领域，早期侧重单一模型计算。2024 年出现方案设计、工具选择的开放型设问；2025 年融入生活决策场景；2026 统考以古代矩盘为载体，结合新定义阅读，转向 “阅读理解 + 建模应用 + 方案探究” 的综合考查，创新度逐年增强。 考点06三角函数与四边形的综合 2025 东营 / 济南 / 德州 / 淄博 / 青岛 / 烟台卷 覆盖选择、填空压轴、解答压轴，分值 3-12 分。早期以菱形、矩形背景下的基础角度与边长计算为主，侧重性质直接应用。2025 年全面升级，多选压轴融合菱形、等边三角形、相似多结论判断；填空压轴结合动点轨迹、折叠最值；解答压轴以正方形折叠为载体分层探究，从单一计算转向几何综合探究，区分度大幅提升。 考点07三角函数与圆的综合 2026 德州 / 山东统考卷、2025 淄博 / 滨州 / 潍坊 / 威海 / 烟台 / 山东统考卷、2024 日照卷 覆盖选择、填空、解答三类题型，分值 3-12 分。早期以切线性质结合基础边长计算为主，题型固定。2025 年拓展至摩天轮弧长、双切线测量、航天器部件检测等创新情境；2026 统考固定为 “切线证明 + 解直角三角形求半径 / 面积” 的解答题结构，选择压轴结合圆锥展开图综合比较，综合性与区分度逐年增强。 考点01 三角函数的定义 一、单选题 1．（2026·山东德州·中考真题）如图，在中，，，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，用等腰三角形三线合一的性质求出的长，再根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ， ， 在中， ． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长为．又在点处测得该楼的顶端的仰角是．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，用计算器计算三角函数值，根据题意，得到，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：在中，，， ∴； 计算器的按键为  ； 故选A． 二、填空题 3．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 4．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 5．（2024·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键． 根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可 【详解】解：原式． 6．（2024·山东泰安·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）7；（2） 【分析】本题考查了实数的运算和分式的化简，实数运算涉及特殊角的三角函数，负指数幂，二次根式和绝对值，熟练掌握相关的法则是解题的关键． （1）利用特殊角的三角函数，负指数幂，二次根式和绝对值进行实数的运算； （2）利用分式的运算法则化简即可． 【详解】解：（1）； ； （2） ． 考点02 解直角三角形的实际应用——俯仰角 一、解答题 1．（2026·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 活动主题 测算矩形广告牌的面积 测量工具 皮尺、无人机、计时器、计算器等 活动过程 测量过程 如图，矩形广告牌的边为米，与水平地面垂直，支柱长米，且垂直于地面．无人机从点起飞，以米秒的速度竖直向上飞行秒到达点，此时测得点的俯角为．点的俯角为（图中各点均在同一平面内）． 模型建构 参考数据 ，，， ，，． 问题解决 求矩形广告牌的面积（结果精确到1平方米）． 【答案】矩形广告牌的面积约为平方米 【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，则四边形，是矩形，依题意，，，，，，分别在中求得，根据，建立方程，求得进而求得的长，再求得矩形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，则四边形，是矩形， 依题意，，，，， ∴ 设，则 ∴ 解得： ∴ ∴ ∴的面积 答：矩形广告牌的面积约为平方米 2．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2) 解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）略 3．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 4．（2025·山东淄博·中考真题）如图，某学校教学楼和市创业大厦之间矗立着一座小山．为了测得大厦的高度，小伟首先登至小山的最高处，测得，处的俯角分别为，；然后操控无人机铅直起飞至比处高的处．再次测得这两处的俯角分别为，．已知点，，，，，均在同一平面内，为水平地面，．请求出大厦的高度（结果精确到，参考数据见下表）． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.94 2.87 0.37 2.54 0.66 0.53 【答案】 【分析】考查解直角三角形的应用，延长交地面于点G，过点B作于点M，过点D作于点N，根据在和中利用三角形的正切得到，求出的值，同理求出的值，然后根据计算解答即可． 【详解】解：如图，延长交地面于点G，过点B作于点M，过点D作于点N， 则四边形，是矩形， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 同理：，即， 解得：， ∴． 5．（2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形是矩形，解中，得到，设，则，，解，得到，求解，再代入即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 6．（2025·山东威海·中考真题）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 【答案】大楼的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，过作于，过作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：大楼的高度约为． 考点03 解直角三角形的实际应用——坡度、坡角 一、解答题 1．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 考点04 解直角三角形的实际应用——方位角 一、解答题 1．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设， 依题意，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 小时分钟， 从14：30，经过分钟是，在之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 考点05 解直角三角形的实际应用——其他 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（    ）米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，得到地毯的长度为的长，利用正切定义求得即可求解． 【详解】解：在中，，米， ∴（米）， ∴地毯的长度为米． 故选：B． 二、解答题 2．（2026·山东·中考真题）我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动． 【模型制作】 综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形为正方形，为悬挂重物的铅垂线，为左矩，为右矩，标有均匀刻度的和组成矩尺盘，以点为圆心，为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘． 【操作发现】 使用矩盘测量时，需要将左矩或右矩与视线重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数． (1)如图2，左矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为6（），可知仰角，．如图3，右矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为（），则仰角________，________（结果精确到）． 【应用探究】 (2)综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端到地面的距离（的长度）．如图5，某同学站在城门楼一侧处，用矩盘的左矩与视线重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线前进，穿过城门到达城门楼另一侧处，在处将矩盘右矩与视线重合，角度盘读数为．已知，该同学眼睛到地面的高度是，求城门楼的顶端到地面的距离（结果精确到）． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余得出，根据，结合正切定义，求出结果即可； （2）设，则，则中，根据，得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：，， ∵， ∴， ∵在正方形中， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意得：，，，，，，， ∴， ∴中，， 即， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴中，， 即， 解得：， ∴， 答：城门楼的顶端到地面的距离约为． 3．（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    【答案】（1）； （2），不会影响一楼的采光 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1） 根据正切的定义求出； （2）延长交延长线于点F，先根据正切的定义和的长求出，进一步求出，再使用一次正切的定义求出，根据结果进行判断即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， 在Rt中，，，， ∵， ∴， ∴楼房的高度为； （2）如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴ 在Rt中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在Rt中， ∵一楼窗户下端距离地面的高度为， ∴不会影响一楼的采光． 4．（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： (1)求点到地面的距离； (2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)点到地面的距离为； (2)顶部线段的长为． 【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由得，在中解直角三角形即可得解； （2）过点作，垂足为由平行线的性质得，进而得，根据平行线间的距离处处相等得，从而得，最后在中，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， 在中 答：点到地面的距离为 （2）解：如图，过点作，垂足为 ， ， 平行线间的距离处处相等 ， ∵， 在中 答：顶部线段的长为 5．（2024·山东威海·中考真题）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整） 课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 竹竿，米尺 测量示意图 说明：是一根笔直的竹竿．点是竹竿上一点．线段的长度是点到地面的距离．是要测量的倾斜角． 测量数据 …… …… (1)设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏． (2)根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程． (3)假设，，，根据（）中的推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________． 【答案】(1)，，，； (2) ， 推导过程： 过点作于点，则， ∵， ∴， ∴ ∴， 即 ∴， ∴； (3)． 【分析】（）根据题意选择需要的数据即可； （）过点作于点，可得，得到，即得，得到，再根据正弦的定义即可求解； （）根据（）的结果即可求解； 本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：需要的数据为：，，，； （2）略 （3）解：∵， ∴按键顺序为， 故答案为：． 6．（2024·山东烟台·中考真题）根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 【答案】任务一：冬至，；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键． 任务一：根据题意直接求解即可； 任务二：过E作于F，利用正切定义求得 【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需为冬至日时的最小角度，即， 故答案为：冬至，； 任务二：过E作于F，则，米，， 在中，， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， （层）， 答：乙楼中7层（含2层）以下不能安装该品牌太阳能热水器． 7．（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图 【问题解决】（1）计算，两点间的距离． （参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形    ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 【答案】（1），两点间的距离为米；（2）② 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，解直角三角形的应用，灵活应用知识点是解本题的关键； （1）如图，过作于，先求解，，再求解及即可； （2）由全等三角形的判定方法可得，可得，从而可得答案. 【详解】解：如图，过作于， ∵米，，，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）； 即，两点间的距离为米； （2）∵，，当，，在同一条直线上时， ∴， ∴， ∴， ∴只需测量即可得到长度； ∴乙小组的方案用到了②； 考点06 三角函数与四边形的综合 一、单选题 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由菱形的性质得出，，进而可求出，由含30度直角三角形的性质得出，结合已知条件即可判定①．根据相似三角形的判定和性质即可判定②．证明是等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由相似三角形的性质进而可判定③，过点H作与点Q，通过解直角三角形求出，，再求出，最后再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如下图，过点H作与点Q， 设菱形的边长为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故④正确， 故选D 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些知识是解题的关键． 2．（2025·山东济南·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求角的正切值，根据网格可知，，即可知，即可得出，由即可推出． 【详解】解：由网格可知：，， ， ∴， ∵， ∴ ∴， 故选C 二、填空题 3．（2025·山东德州·中考真题）如图，中，，，，分别以为直角边，以B为直角顶点向外作和，且，M，N分别是的中点，连接．若，则的长度为_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线定理及勾股定理的应用，得到是解题的关键． 由勾股定理先计算，易得，继而得到，再根据和得到，接着解直角三角形，最后利用勾股定理求即可． 【详解】连接，过作交的延长线于， 根据题意，， ， ， ，即，解得， 和，M，N分别是的中点， ， , ， ， , ， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（2025·山东淄博·中考真题）已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质；过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H，即可得到为平行四边形，进而得到，然后根据正切的定义得到，，利用勾股定理求出，然后根据求出的长解答即可． 【详解】解：过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H， 则，， ∵是矩形， ∴，，，， ∴为平行四边形， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．正确的是________（填写序号）． 【答案】①④ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．证明，推出，再由直角三角形斜边中线的性质求得，推出，可得到，故①正确；证明，由正切函数的定义可判断②错误；由平行线的性质求得，即可求得，故③错误；证明，推出，再等量代换即可证明故④正确． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵正方形， ∴，即， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， 设正方形的边长为， ∴，， ∴，故③错误； ∵正方形， ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①④． 6．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为_________． 【答案】 【分析】如图，连接交于．求解，，，，设运动时间为，则，，证明，可得，作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，，证明在上，且在弧上，再利用弧长公式计算即可. 【详解】解：如图，∵在菱形中，，对角线，连接交于． ∴，，，， ∵设运动时间为，则，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，， ∴，，， ∴， ∴在上，且在弧上， ∴在此过程中，点P的运动路径长为； 故答案为： 【点睛】本题考查的是菱形的性质，圆周角定理的应用，圆的确定，三角函数的应用，弧长的计算，证明在上，且在弧上是解本题的关键. 三、解答题 7．（2025·山东淄博·中考真题）【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】 如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】 小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】 如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． 【答案】（1）（2）或（3） 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，推出为等腰直角三角形，进而求出的长即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可； （3）连接，，作，易得四边形为矩形，根据折叠性质得到，证明，得到，进而得到，作点关于的对称点，连接，连接交于点，则，，得到，得到当点在上时，即点与点重合时，，值最小，证明，得到，进而得到为的中点，设，则：，在中，由勾股定理，得：，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形，边长为4， ∴， ∴， ∵翻折， ∴，， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； （2）当时，如图，作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵折叠， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图：作于点，延长交于点，作于点，则：，四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴； 综上：或； （3）连接，，交于点，作，则：四边形为矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，连接交于点，则：，， ∴， ∴当点在上时，即点与点重合时，，值最小； 如图： ∵，，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，利用轴对称解决线段和最短问题等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点位置，是解题的关键． 考点07 三角函数与圆的综合 一、单选题 1．（2026·山东德州·中考真题）如图，在圆心角为 ，半径为 的扇形纸片 中，点到 的距离记为 ，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为 ，下列关于 和 的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】分别根据等边三角形的性质求出，根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长求出圆锥底面半径，再利用勾股定理求出 ，最后比较大小即可． 【详解】解： 扇形圆心角为 ，半径为 是等边三角形， ∴， 过点作于点， 设圆锥底面半径为 扇形弧长等于圆锥底面周长 ， 圆锥如图，取底面圆的中点，连接， ∵， ∴， ∴由勾股定理得： ． 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理建立方程得到圆的半径． 根据题意可得，设半径为，利用勾股定理求出半径，再根据求解即可． 【详解】解：设中点圆心为，半径为，连接， 因为圆与相切于点，所以， 则，即， 解得，， 又， 所以． 故选：B． 二、填空题 3．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（24-25九年级下·湖南·阶段检测）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作交于，交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题． 【详解】解：如图，作交于，交圆弧于， 由题意：， 设，由， ∴， ∵，为半径， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 5．（2026·山东德州·中考真题）如图，在中，点为上一点，点是的中点，是的直径．过点作的切线交的延长线于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， 是直径，点在上， 是的中点， ， 在和中，， ， ， ， 是的半径， 与相切． (2) 【分析】（1）连接，通过 证 ，再结合点在上，即可得证； （2）阴影部分的面积为，通过线段转化即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， ， ， ， 阴影部分的面积为 ． 6．（2026·山东·中考真题）如图，是的直径，，是上的两点，，连接，，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的直径， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等可得，进而判断，由即可得出，由此判定是的切线． （2）连接，过点作，垂足为，构造矩形和直角三角形，利用求出，在中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点作，垂足为， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，解得：，（负值不合题意已经舍去）， ∴， 设的半径为，即，则， ∵在中，， ∴，解得：， 答：的半径为， 【点睛】已知半径证垂直是解（1）的关键，小问（2）求圆的半径，最经典的套路就是“构造直角三角形，用勾股定理列方程”． 7．（2025·山东潍坊·中考真题）图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示． (1)当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离； (2)已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） 【答案】(1)米； (2)10分钟；米． 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，弧长公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，，作，垂足为，根据勾股定理得（米），又，所以，因为与相切，所以，可得，所以，（米），从而可得，所以（米）； （）过点作，交于点．延长，交于点，连接，不妨设米，又因为，所以，则（米），然后通过，可得，则，故有最佳观赏风景的时间为（分钟），最后通过弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接，，作，垂足为， 根据题意可知，（米）， 在中，米，， 所以（米）， 因为， 所以， 因为与相切， 所以， 所以， 因为米， 所以， 所以，（米）， 所以， 在中，（米）， 所以，点处的座舱到地面的距离约为米； （2）解：过点作，交于点．延长，交于点，连接，不妨设米， 因为， 所以， 所以（米）， 因为米， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以最佳观赏风景的时间为（分钟）， 所以的长（米）， ∴座舱经过的的长约为米． 8．（2025·山东威海·中考真题）如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线交于点C，连接，点D在上，过点D作，，交于点F，作，垂足为点E．． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：连接， ∵是的切线， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 即， ∴是的切线； (2) 【分析】本题考查了圆的综合题，涉及圆的切线的性质与判定，切线长定理，解直角三角形，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，证明，则，而，则，由于是的切线，则，再由等式的性质即可证明； （2）可得，设，则，，由切线长定理得到，则，求出，即可求解半径． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 设， ∴，， ∵是的切线，是的切线， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴半径为． 9．（2025·山东·中考真题）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度． 【问题解决】 已知，的长度要求是． （1）求的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 【答案】（1）； （2）该部件的长度符合要求； （3）能，将圆柱换成正方体．如图， 设正方体的棱长为，用游标卡尺测量出的长度． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了切线长定理，解直角三角形的应用． （1）根据切线长定理求解即可； （2）解直角三角形求得，推出，据此求解即可； （3）能，将圆柱换成正方体． 【详解】解：（1）∵分别与，相切于点，， ∴，； （2）∵钢柱的底面圆半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴该部件的长度符合要求； （3）略 10．（2025·山东烟台·中考真题）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长及的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接并延长交于点，连接， ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是直径 ∴ ∴即 ∴是的切线； (2)；的半径为 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长交于点，连接，根据已知得出，根据圆周角定理得出，进而等量代换可得即，即可得证； （2）证明，即可得出，过点作于点，得出，进而求得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 又∵， ∴ 解得： 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴的半径为 11．（2024·山东日照·中考真题）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接． 【特例感知】 （1）若．则_______． （2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形； 【深入探究】 若在点C运动过程中，始终有，连接． （3）如图2，当与相切时，求的长度； （4）求长度的取值范围． 【答案】（1）    （2）证明：∵为的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形． （3）   （4） 【分析】（1）根据直径性质得到，,根据，，运用勾股定理可得； （2）根据．，得到．得到，结合， 得到，得到，得到四边形是平行四边形； （3）连接．根据，得到，，根据切线性质得到，．得到，．得到，得到，运用勾股定理得； （4）过点A作射线，使，连接．得到，，根据．，可得，根据，得到，得，得到．根据，得到，即得． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴, ∵，， ∴ 故答案为：； （2）略 （3）解：如图，连接． ∵在中，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． 又∵， ∴ ∴． ∴， 在中，， ∴在中，； （4）解：如图，过点A作，使，连接． 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理推论，圆切线性质，平行四边形的判定，含30°的直角三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数解直角 三角形，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 一、单选题 1．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据网格图得出，利用勾股定理求出的长，再根据同角的余角相等证明，最后利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 2．（2026·山东临沂·二模）如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形的长为，宽为，则小正方形的边长为，根据大正方形的边长相等列出方程求出与的关系，利用勾股定理求出矩形对角线长，根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：设矩形的长为，宽为，则小正方形的边长为， 由图可知，大正方形的边长，边长， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴， ∴矩形的对角线长为， ∵是矩形对角线与长边的夹角， ∴． 3．（2026·山东淄博·二模）如图，中，，斜边，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数的定义，在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，在，，根据余弦函数的定义即可求得． 【详解】解：三角形为直角三角形， ， ， ． 4．（2026·山东德州·模拟预测）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据“直径所对的圆周角是直角”得，再根据圆周角定理得，最后利用网格求直角三角形正切值． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵ 为直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在中， ∵ ， ∴ ． 5．（2026·山东日照·三模）如图，在菱形ABCD中，过点A作，垂足E在CD的延长线上，过点E作，垂足为F．若，，则菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质证明，列式得，然后根据勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， （负值舍去）， ． 6．（2026·山东泰安·三模）如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴． 7．（2026·山东东营·三模）如图，在菱形中，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于的同样的长为半径作弧，两弧交于，两点；作直线，交于点，连接．若直线恰好经过点，以下说法： ①；②；③若，则；④，正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】①利用垂直平分线性质得，结合菱形四边相等推出为等边三角形，再由菱形对角相等得到；②先由垂直平分线得是中点，则，再根据两三角形同高，底的倍数关系推出面积的倍数关系；③利用勾股定理和菱形的性质先算出，再利用勾股定理计算；④过作延长线，利用菱形性质和三角函数求出、，再算出，然后代入正切定义求出结果． 【详解】解：如图，连接， 据题意可知，由作法得：为的垂直平分线， ， 四边形为菱形， ，， ， 为等边三角形， ，①正确； 为的垂直平分线， ，， ，， ，②正确； ，，， ， ，③错误； 如图，过点作的延长线，则， ， ， ， ， ，， ， ，④正确． 综上，正确的说法有①②④． 8．（2026·山东日照·三模）如图，在中，．某同学按如下步骤进行尺规作图： ①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于，两点； ③连接并延长，交于点，连接． 若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，过点作于，设交于，根据作图可知是的垂直平分线，，进而得出、、、在同一条直线上，根据平行四边形的性质，结合三角函数求出，根据平行线的性质及等角对等边得出，即可证明四边形是菱形，进而可证明四边形是平行四边形，利用平行四边形面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】解：如图，连接，，过点作于，设交于， 由作图可知，是的垂直平分线，， ∴，点在的垂直平分线上， ∴、、、在同一条直线上， ∵在中，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 9．（2026·山东日照·三模）如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，由折叠性质可知垂直平分，且，结合为中点可得，进而证得，即可得，从而得；在中利用勾股定理求，最后根据余弦定义求解即可． 【详解】解：连接交于点，如图： ∵是由沿折叠得到的， ∴，，， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴. 【点睛】 二、填空题 10．（2026·山东淄博·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数且）上有一点．过点作直线轴与直线交于点，则________． 【答案】 【分析】先明确点的纵坐标，再代入一次直线方程求得点的坐标，构造直角三角形后利用勾股定理得到相关边长，最后根据锐角正弦的定义计算结果； 【详解】解： 轴，点纵坐标为， 点纵坐标为， 将代入， 得 ， 解得， 即； 设直线与轴交于点，则，， 故，； 在中，由勾股定理得： ． 由正弦的定义得： ． 11．（25-26九年级上·河南南阳·期末）定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”．如图，在中，，，若为的“妙分线”，则的长为________． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，充分理解题意是解题关键，注意分类讨论．过点A作于点H，先求出，再分和两种情况进行讨论． 【详解】解：如图1，过点A作于点H， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 分两种情况进行讨论： ①如图2，当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴； ②如图3，当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴； 综上，或． 故答案为：或 三、解答题 12．（2026·山东枣庄·二模）计算：． 【答案】 【详解】 解：原式 ． 13．（2026·山东济南·二模）计算：． 【答案】 【详解】解： 14．（2026·山东东营·二模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量学校综合楼及宣传牌的高度 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动 过程 模型抽象 综合楼，宣传牌，为山坡 测绘过程与数据信息 ①在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为， ②测得，，斜坡的坡角为． ③用计算器计算得：，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 【答案】(1)综合楼的高度为 (2)宣传牌的高度为 【分析】（1）直接解直角三角形，求出的长即可； （2）过B作，，解直角三角形求出的长，再根据线段的和差关系即可得出结果. 【详解】（1）解：∵仰角为，， （m）． 答：综合楼的高度为． （2）解：如图，过B作，，则四边形为矩形， 的坡角为，， （m）， （m）， B处测得宣传牌顶部C的仰角为， （m）， （m）． 答：宣传牌的高度为． 15．（2026·山东日照·三模）日照的“太阳鸟”标志（即太阳鸟雕塑）取材于远古太阳崇拜与凤凰涅槃传说，象征光明、祥和、开拓进取与永恒生命，标志位于日照市东港区北京路中段，具体在日照车辆段以东的绿化带内．该雕塑是日照市的重要城市地标，具有深厚的文化寓意和象征意义．某数学兴趣小组计划在假期前往太阳鸟雕塑，并测量雕塑高度，测量方案如下： 测量目的 太阳鸟雕塑高度 测量工具 平面镜、测角仪、米尺 测量过程 如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，先在点E处放置平面镜，小明从点E处沿方向移动到点B处，视线刚好在平面镜内看到雕塑顶端，再在点处安装测倾器，测得雕塑顶端的仰角为． 测量数据 眼睛离地面高度米，米，米，米，，，． 参考数据 ，， 【答案】米 【分析】过点作，交于点，设米，根据三角函数求出长，证明，得到，求出x的值，进而可知的值． 【详解】解：过点作，交于点， 由题意得：米，， 设米， 米， 米， 在中，， （米）， 米， ， ， 由光的反射可知， ， ， ， 解得：， 经检验：是原方程的根， （米）， ∴太阳鸟雕塑的高度约为12米． 16．（2026·山东青岛·二模）团岛灯塔（游内山灯塔）是青岛历史最悠久的百年灯塔，被誉为胶州湾的“门柱”和“守望者”，是老青岛人记忆中每逢雾天“哞哞”作响的雾号“海牛”．它在2025年底刚迎来了发光125周年，其独特的文化象征和仍在运转的百年文物，让它格外有分量．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组借助百年灯塔开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔P北偏东方向 时，渔船航行至灯塔P南偏东方向的B处 时，渔船航行至灯塔P东南方向的C处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题（参考数据：，，，，，）    (1)求渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离； (2)若不改变航线与速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离为15海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A 【分析】（1）根据速度及时间求出海里，设海里，根据方向角及三角函数列方程求出x的值即可； （2）先求出，利用三角函数求出海里，即可求出海里，得出从B到达码头A所用时间为2.375小时，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵渔船自南向北以每小时10海里的速度向码头A航行，从B处到C处的航行时间为小时， ∴（海里）， 如图，由题意得，，，，，， ∴，， ∴， 设海里，则海里， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔P的最短距离为15海里． （2）解：∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴从B到达码头A所用时间为（小时）， ∵到是3小时，而， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A． 17．（2026·山东菏泽·二模）【问题情境】 为打造安全、人性化的校园地下停车空间，某校基建处启动地下车库升级改造工程．在设计入库坡道时，校数学兴趣小组的同学们主动承担了方案优化任务——他们结合《车库建筑设计规范》的安全标准，运用所学解直角三角形的知识，对坡道坡度、净高、缓坡过渡等关键指标进行了严谨测算与优化，既保障了行车安全，也兼顾了空间利用效率，为学校基建工程提供了科学的数学依据． 【方案设计】 入库坡道示意图如下： 【数据收集】 ①直线主坡道的水平距离为，坡度为； ②左，右两段缓坡道为，，水平距离均为； ③和车库地面均与水平方向平行． 【问题提出】 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． （参考数据：当时，，） 【答案】(1) (2)①；②符合，理由：如图， 过点作铅垂线交于点，过点作水平线交于点，过点作于点， 则四边形和四边形均为矩形， ∵， ∴， ∵主坡道的坡度为，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在 中，， 在 中，， ∴， 在中，由可得， ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 【分析】（1）在中，根据坡度定义得，代入已知的长度，即可直接计算得出主坡道的铅直高度； （2）①先根据缓坡道坡度为主坡道坡度的算出缓坡道的坡度，再在中利用坡度定义，代入水平距离的长度算出铅直高度，结合右段缓坡道铅直高度与相等，将三段坡道的铅直高度相加，即可得到车库总高度； ②过点作铅垂线交于点，过点作水平线交于点，过点作于点，证明四边形和四边形均为矩形，先计算出的长度，再求出的长度，利用主坡道的坡度在中算出，进而求出和的长度，再通过角的关系证明，在中利用余弦函数算出的长度，最后将与比较，即可判断该坡道的最小净高是否符合设计规范． 【详解】（1）∵主坡道的坡度为， ∴在中，， ∵， ∴； 答：主坡道的铅直高度为； （2）①∵缓坡道坡度为主坡道坡度的， ∴缓坡道的坡度为， ∴在中，， ∵， ∴， 由题意可知：右段缓坡道的铅直高度也等于，车库总高度等于各段坡道铅直高度之和， ∴； 答：车库高度为； ②略 18．（2026·山东潍坊·二模）如图①，一种阅读书架放置在水平桌面上，其侧面示意图如图②所示．测得底座高为，，支架为，面板纵截面的长为，为，面板可绕支点上下转动（厚度忽略不计）． (1)求支点离桌面的高度； (2)小亮通过阅读产品说明书得知：面板绕点转动时，面板与支架的夹角满足，求面板绕点由转动到时，上端离桌面的高度增加了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作的延长线于点，过作于点，求出的度数，再利用三角函数的比值关系求出的长，即可由得出结果； （2）当时，过点作于点，过作于点，求出的度数，从而求出的长，即可得到的高度；当时，设此时的点为，过作于点，交于点，求出的度数，从而求出的长，即可得到的高度；然后作差比较即可． 【详解】（1）解：过点作的延长线于点，过作于点如图所示： ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴支点离桌面的高度为； （2）解：当时，过点作于点，过作于点，如图所示： ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 由（1）可得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴； 当时，设此时的点为，过作于点，交于点，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； ∴， ∴上端离桌面的高度增加了． 19．（2026·山东济南·二模）图1是我们在野餐、露营等户外活动中常用的装备——天幕帐篷．图2为某款天幕帐篷搭建完成后的侧面示意图，支撑杆与地面垂直，右侧幕布与支撑杆的夹角为，右侧风绳与幕布在同一直线上，太阳光线与地面的夹角为，幕布与遮挡太阳光线形成影子．已知，． (1)求右侧幕布边缘点到支撑杆的距离； (2)求支撑杆右侧的影子的长度．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，过点N作于点E，在中解直角三角形求解即可； （2）如图，过点N作于点F，解直角三角形求出，证明四边形是矩形，得到，，然后解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点N作于点E， ∵，， ∴在中，， ∴右侧幕布边缘点到支撑杆的距离为； （2）解：如图，过点N作于点F， ∵，， ∴在中，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴． 20．（2026·山东德州·二模）如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若书架内侧长为，，档案盒长度．（参考数据：，，） (1)求点C到书架底部距离的长度； (2)求出该书架中最多能放几个这样的档案盒． 【答案】(1) (2)个 【分析】（1）在中，通过解直角三角形求解即可； （2）根据同角的余角相等得到，设每个档案盒厚度为，通过解直角三角形在中，得到，在中得到，根据列出方程，求出每个档案盒厚度为，进而即可求解． 【详解】（1）解：，， 在中，． （2）解：如图， ， ， ， 设每个档案盒厚度为， 则在中，， 在中，． ∵， ∴ 解得， ∴每个档案盒厚度为， 该书架中最多能放这样的档案盒数量为（个）． 21．（2026·山东烟台·二模）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成．A，B，C三点在同一直线上．图2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空：__________，__________； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时理疗灯灯帽D的高度及伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】(1)，； (2)此时理疗灯灯帽D的高度约为，伸缩杆的长度约为 【分析】（1）延长交l于点，延长交l于点，由，利用三角形的外角的性质，可求得的度数，利用平角的定义，可得到的度数； （2）延长交l于点，延长交l于点，在中，解直角三角形得，再解即可． 【详解】（1）解：如图，延长交l于点，延长交l于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，延长交于点，延长交于点，      ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，. 在中，， ∴， 答：此时理疗灯灯帽D的高度约为，伸缩杆的长度约为．. 22．（2026·山东潍坊·三模）如图1，某超市在天花板上的点处安装了一个智能监控摄像头（将摄像头视为一个点），为测试监控盲区做了如下实验：小亮站立在摄像头正前方的位置（将小亮视为线段），摄像头的视角上限恰好经过小亮的头顶点，摄像头的视角下限交地面所在直线于点，若摄像头离地面距离米（垂直于地面所在直线），其视角，摄像头的视角下限与形成的夹角，小亮身高米． (1)小亮向摄像头的方向走_______米后，将完全进入摄像头的视野盲区（参考数据：） (2)如图2，为解决摄像头盲区问题，超市打算在平行于直线的天花板上的点处加装一个同款摄像头，使得新摄像头的视角完全覆盖（1）中的视野盲区，则点到点的距离至少多少米？（图中所有的点均在同一平面内，参考数据：） 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）先利用直角三角形边角关系算出，长度，两者作差得到小亮需要向前走的距离； （2）由得内错角，在用内角和求角，再结合解最小值． 【详解】（1）解：已知：，，， ， ， ， ， 在Rt中：， ， ， ， ． （2）解：过作于， ， ， ， ， 又, 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 至少米． 23．（2026·山东·一模）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备、某种消防车云梯侧面示意图如图2所示，点在同一直线上，可绕着点旋转，其中可伸缩，套管的长度不变，为云梯的液压杆，点，，在同一水平线上，在某种工作状态下测得液压杆，， ．（参考数据：，，，， (1)求的长； (2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现云梯末端点的铅直高度升高了，求云梯旋转的度数． 【答案】(1) (2)云梯大约旋转了 【分析】掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． （1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小，进而求出答案． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴； （2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作 于点G，过点D作 于点H， 在中，，， ∴， ∴， 在 中，，， ∴， ∴， ∴， 即云梯大约旋转了． 24．（2026·山东淄博·一模）小强同学在学习了特殊平行四边形后，对菱形进行了深入探究．如图1，在菱形和等腰三角形中，，，连接，取的中点，连接，． 【初步探究】 (1)小强发现：如图2，当时，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不变的数量关系和位置关系； 【再次探究】 (2)小强又发现：如图3，当时，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系，请写出这个不变的数量关系和位置关系，并帮助小强给予证明； 【深入探究】 (3)小强进一步发现：在图1中，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不变的数量关系和位置关系．（其中的数量关系用含的式子表示） 【答案】(1)数量关系，位置关系 (2)，，证明见解析 (3)数量关系是，位置关系是 【分析】（）延长至，使，连接并延长交直线于点，连接、，先证明得到，，由菱形及得到再证，得到，，再证明为等腰直角三角形，即可求证； （）同理（）证得，即可求得，再由即可求出结果； （）延长至，使，连接并延长交直线于点，连接、，同理（）可证，，即可求得，再由即可求出结果． 【详解】（1）解：数量关系，位置关系； 证明如下：延长至，使，连接并延长交直线于点，连接、， ∵为的中点， ∴ 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，； （2）解：，， 证明：延长至，使，连接并延长交直线于点，连接、， 同理（）可证， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴，， 即， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，，； （3）解：数量关系是，位置关系是， 证明如下：延长至，使，连接并延长交直线于点，连接、， 同理（）可证， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴是顶角为的等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，特殊角的三角函数，熟练运用相关知识点是解决问题的关键． 25．（2026·山东枣庄·三模）如图，中，，平分，是上一点，经过点、点的分别交，于点、点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图1，连接，则， ∴， ∵是的平分线， ， ， ， ， ， ∴半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）证明：连接，根据和是的平分线， 得到，得到，则，即可得到是的切线； （2）连接，，在中，，设，则，根据，解得：，得到，再证明，最后根据求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，连接，， 由（1）知，在中，， 设，则， ∵， ， 解得：， ，， 为圆的直径， ， ， ， ， ， ， ． 26．（2026·山东聊城·二模）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）由题意易得，然后可得，则有，进而根据平行线的性质及切线的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则根据三角函数可得，然后根据扇形面积及割补法可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 27．（2026·山东临沂·二模）如图，，均为的直径，作弦于点，连接．过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由垂径定理可得，由圆周角定理可知，等量代换可证结论成立； （2）根据直径所对的圆周角是直角，可知，根据余弦定义可知，可以求出，由垂径定理可知，利用的余弦求出，利用勾股定理求出，从而可得，，可以求出，利用三角函数求出，根据勾股定理列式计算，求出结果即可． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 弦直径， ， ， ， ； （2）解：是的直径， ， ，， ， 在中，， ，解得， ，， 弦直径， ，， 在中，， ，， ，， 在中，， 为切线，是半径， ， ， 在中，， ， ， 则． 28．（2026·山东济宁·三模）如图，为的直径，为上一点，直线l经过点C，，垂足为D，且平分． (1)求证：直线l为的切线； (2)连接，若，求． 【答案】(1)证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 点C在上，为的半径， 直线l为的切线． (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线及等腰三角形的性质可证明，结合，即可证明结论； （2）设直线l交的延长线于点P，过点B作于点H，连接，设，根据直角三角形的性质及解直角三角形的知识，可逐步求得，，，，即可根据正切函数的定义求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设直线l交的延长线于点P，过点B作于点H，连接， ， 又为的直径， ， ， ， ， 在中，设， 则， ， 在中，， ， 在中，， ， 在中，． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $