第一章 勾股定理 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（北师大版·新教材）山西专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级上3B 湘 1.第一章学情调研 蝴 (时间：120分钟满分：120分) 图出 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.(期中·24-25晋中)我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提 出了“勾三、股四、弦五”这一结论，被记载于我国古代一部著名的数学著作里，这部著作是() 子算经 岛算经 章算术 算经 A B D 苹 2.下列给出的四组数中，是勾股数的一组是( A.1,2,3 B.0.3,0.4,0.5 C.5,10,12 D.7,24,25 3.将直角三角形的三条边长同时扩大3倍，得到的三角形是() A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 4.在Rt△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，∠C=90°，若a:b=3：4,c=10,则 a=( 品 h A.5 B.6 C.7 D.8 5.（月考·24-25山大附中)以直角三角形的三边为边作正方形，三个正方形的面积如图示，则正方 形A的面积是( A.164 B.36 C.8 D.6 第5题图 第7题图 6.数学文化《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？意 警加 H唰 思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 题 3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为() A.x2-3=(10-x)2 B.x2-32=(10-x)2 C.x2+3=(10-x)2 D.x2+32=(10-x)2 7.（月考·22-23山西省实验)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC,交AC于点D,且 AB=4,BD=5,则点D到BC的距离是() A.3 B.4 C.5 D.6 8.(月考·24-25太原师院附中)将一根长24cm的筷子，置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水 杯中，如图所示.设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是() A5<h≤16 B.7≤h≤16 C.h≤17 D.h≥16 2-- M 第8题图 第9题图 第10题图 9.数学建模几何（月考·24-25太原志达中学）如图，ABCD是长方形地面，长AB=10m,宽AD= 5m,中间刚好有一堵墙，高MN=1m,一只蜗牛从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它 至少要走( A.10m B.12m C.13m D.14m 10.（月考·24-25山大附中改编)如图，用4个全等的直角三角形与1个正方形拼成正方形图案，已 知大正方形面积为100，小正方形面积为9.若用x,y表示直角三角形的两条直角边(x>y),下列 说法正确的有( ①+y=10:@x-y-3:®(xy2=191:@xy A.①② B.②③ C.①②③ D.①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题◆共0分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.(月考·24-25太原三十八中)已知△ABC的三边长分别为5,12,13，则△ABC的面积为 12.在如图所示的正方形网格中，∠PAB十∠PBA=即 °.（点A,B,P是网格的交点） B 第12题图 第14题图 第15题图 13.（月考·23-24太原三十七中)已知三条线段的长度分别为8cm,xcm,17cm,如果这三条线段恰 好能组成一个直角三角形，那么以xcm为边长的正方形的面积是 cm2. 14.(月考·23-24太原师院附中)如图，两个滑块A,B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑 道上滑动.开始时，滑块A距O点16cm,滑块B距O点12cm.问：当滑块A向下滑到O点时，滑 块B滑动了 cm. 15.(期中·24-25运城实验中学)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB,过点D作CD 的垂线，与AC交于点E,与CB的延长线交于点P.若DPF=号，DB=2,则CE的长为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(6分)在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边. (1)如果a=16,b=12,求c的长. (2)如果c=13,b=12,求a的长. 17.（月考·24-25太原师院附中改编)(8分)如图，已知一块四边形的草地ABCD,其中∠B=90°， AB=20m,BC=15m,CD=7m,DA=24m,求这块草地的面积. 精品图 D 金星教育 第17题图 18.开放性试题(8分)如图是单位长度为1的正方形网格. (1)在图①中画出一条长度的平方为10的线段AB. (2)在图②中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形 ① ② 第18题图 19.（月考·24-25太原新希望双语学校改编)(8分)如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC= 6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且点C与点E重合，求 BD的长 D. B E 盗印必究 第19题图 关爱学子 拒绝盗印 20.情境题秋干(9分)如图是一个秋千架，从正面看，如图①，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面 0.5(踏板厚度忽略不计).从侧面看，如图②，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面的垂 狗 直高度BC为1m,离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m(不考虑支柱的直径)，求秋千支柱 AD的高. 斯 A 图 E B 1.5m 0.5m ① ① 第20题图 % 真题圈 精品图书 金星教育 留 试 3 21.(12分)数学课上，同学们就勾股定理的验证方法展开了热烈的讨论，下面是创新小组验证过程的 一部分，请你认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整. 如图是两张三角形纸片拼成的图形，其中△ABC≌△EAD,∠ACB=∠EDA= 90°，BC=AD=a,AC=ED=b(b>a),AB=EA=c,点D在线段AC上，点B,E 在边AC异侧，∠BAE=90°.试说明：a2十b2=c2. DP 解：连接CE,BE,如图 B 因为点D在线段AC上，所以DC=AC-AD=b-a. 第21题图 因为S四边形ABCE=S△ABc十SAADE十S△aDE=· 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印 22.数学归纳数式规律(11分)法国数学家费马早在17世纪就研究过形如x2+y=之2的方程，显然， 这个方程有无数组解.我们把满足该方程的正整数解(x,y,z)叫作勾股数，如(3,4,5)就是一组勾 股数 (1)在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n,y=n2 1,x=n2十1，那么以x,y,之为三边长的三角形为直角三角形（即(x,y,x)为勾股数）.请你加以 证明， (2)探索规律：观察数组(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(9,40,41)，…，写出第6个数组. 真题圈 金星数意精品图书 23.(月考·23-24太原三十六中)(13分)如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD,BC=AD=4,AB= CD=10,∠DCB=90°，E为CD边上的一点，DE=7,动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的 速度沿着边AB向终点B运动，连接PE,BE,设点P运动的时间为ts. (1)求BE的长 (2)若△BPE为直角三角形，求t的值. 第23题图 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印答案与解析 同步调研卷 1.第一章学情调研 题号12345678910 答案DDC B BDABC D 1.D2.D3.C 4.B【解析】设a=3x,则b=4x. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得(3x)2+(4x)2=102, 解得x=2,则a=6. 故选B. 64 5.B【解析】如图，由题知CD=100,BC=64, 在Rt△BCD中，∠CBD=90°，根据勾股定理 100 得BD=CD-BC=36,所以正方形A的面 积为36.故选B. 第5题答图 6.D 7.A【解析】过点D作DE⊥BC于点E,如图， 因为∠A=90°，AB=4,BD=5, 所以AD=BD3一AB2=52一42=9，则 AD=3. 因为BD平分∠ABC,∠A=90°， 所以DE=AD=3, 所以点D到BC的距离为3. 第7题答图 故选A. 8.B【解析】如图①所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子 外面的长度最长，所以最大=24一8=16；如图②所示，当筷子的 底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD 中，AD=15cm,BD=8cm,根据勾股定理得AB2=AD+BD =172,所以AB=17cm,此时h最小=24-17=7，所以h的取值 范围是7≤h≤16.故选B. B ① 第8题答图 9.C【解析】如图所示，将图展开，图形 D 长度增加2m,此时AB=10+2= 12(m).连接AC,因为四边形ABCD是 长方形，所以∠B=90°.因为AB=12m, MN BC=AD=5m,所以AC2=AB2+BC2= 第9题答图 122+52=169,所以AC=13m,所以蜗牛从A点爬到C点，它至 少要走13m的路程.故选C. 10.D【解析】因为大正方形面积为100，小正方形面积为9，所以 大正方形边长为10，小正方形边长为3. 由勾股定理，得x+y=102=100,①正确； 由题图可知x一y=3,②正确； 因为大正方形的面积=4×直角三角形的面积十小正方形的面 积，所以100=4×合y叶9，所以xy-号，④正确； 因为2+y=100w-号， 所以(x十2=2+Y+2xy=100+2×号-191，③正确。 综上所述，①②③④均正确.故选D. 11.30【解析】因为△ABC的三边长分别为5,12,13,52+122= 132,所以△ABC是直角三角形，且直角边长为5,12，则△ABC 的面积=号×5×12=30.故答案为30. 12.45【解析】延长AP交网格于格 0 点D,连接BD,如图，设小正方形 的边长为1，则PD=BD=12+ 22=5,PB=1+32=10,所以A B PD+BD=PB,则∠PDB= 第12题答图 90°，∠DPB=∠DBP=45°，所以∠PAB+∠PBA=180° ∠APB=∠DPB=45°.故答案为45. 13.353或225【解析】由题意可得，当斜边长为xcm时，x2=82 +172=353;当斜边长为17cm时，x2=172-82=225.所以以 xcm为边长的正方形的面积是353cm或225cm.故答案为 353或225. 14.8【解析】由题意，得AB=AO3+OB2=162+122=202,可知 连杆的长度等于20cm. 当滑块A向下滑到O点时，滑块B距O点的距离是20cm,故 滑块B滑动了20-12=8(cm). 故答案为8. 15.5【解析】因为CD平分∠ACB,所以∠DCE=∠DCR. 因为CDLEF,所以∠CDE=∠CDF=90°. 因为CD=CD,所以△CDE≌△CDF(ASA), 所以CE=CF,DE=DF=多， 因为∠ABC=90°，所以∠DBF=90° 在Rt△BDF中，DF=号，DB=2, 根据勾股定理得BF=DF-DB=(号)一2-9， 所以BF=是. 设CE-CF=x,则BC=CF-BF=x-号， 在RACDE中，CD=CE-DE=2-(号）， 在R△BCD中，CD=BCe+BD=(x-名）广+2， 则2-（停）广-(x-多）}'+2，解得x=。 故答案为气。 16.【解】(1)因为∠C=90°，a=16,b=12, 所以根据勾股定理得c2=a2+=162+122=400, 解得c=20,所以c的长为20. (2)因为∠C=90°，c=13,b=12, 所以根据勾股定理得a2=c2-=132一122=25， 解得a=5,所以a的长为5. 17.【解连接AC,如图所示， A 因为∠B=90°，AB=20m,BC=15m, 所以根据勾股定理得AC心=AB十BC= 202+152=625. 因为CD=7m,AD=24m, 所以AD+CD=625=AC, 所以△ACD是直角三角形，且∠ADC=第17题答图 90°， 所以SEam=SAe十SAm=2AB·BC+CD·AD= 号×20×15+号×7X24=150+84=234(m), 所以这块草地的面积为234m. 18.【解】(1)如图①所示，AB即所求（答案不唯一）. B ① ② 第18题答图 (2)如图②所示，正方形即所求（答案不唯一）. 19.【解】设BD的长为xcm,则DE=CD=(8-x)cm, 因为在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=62+82=100, 所以AB=10cm 又AE=AC=6cm,所以BE=4cm. 在Rt△BDE中，BE+DE=BD, 所以42+(8一x)2=x2,解得x=5, 即BD的长为5cm. 20.【解】设AD=xm,则由题意可得， AB=(x-0.5)m,AE=(x-1)m 在Rt△ABE中，AE十BE=AB, 即(x-1)2+1.52=(x-0.5), 解得x=3. 即秋千支柱AD的高为3m 21.【解】补全过程如下： 含6+日ab+号-a0b=26+7a6 又Ssu=SaeE十Sae=7e+2ab-)】 所以28+号b=日c+bd, 所以号=c-c,则分=e-d,即心+=d 22.(1)【证明】因为x2十y2=(2n)2+(n2-1)2=4n2+n-2m2+1 =n+2n2+1=(n2+1)2=22 所以(x,y,z)为勾股数， 即以x,y,之为三边长的三角形为直角三角形. (2)【解】因为①3=2×1+1,4=2×12+2×1， 5=2×12+2×1+1, ②5=2×2+1,12=2×22+2×2,13=2×22+2×2+1， ③7=2×3+1,24=2×32+2×3,25=2×32+2×3+1， ④9=2×4+1,40=2×42+2×4,41=2×42+2×4+1， 所以⑥2×6+1=13,2×62+2×6=84,2×62+2×6+1=85， 即第6个数组是(13,84,85). 23.【解】(1)因为CD=10,DE=7, 所以CE=CD-DE=10-7=3. 在Rt△CBE中，∠ECB=90°， 则BE=BC2+CE=42+32=52, 所以BE=5. (2)因为AB∥CD,∠C=90°，所以∠CBA=90°. 当∠BPE=90时，如图①，易知BP=CE=3, 则AP=10一3=7， 所以t=7÷1=7. 0 ① 第23题答图 真题圈数学八年级上3B」 当∠BEP=90时，如图②，过点P作PF⊥CD于点F,易知PF =BC=4,CF=BP=10-t,则EF=7一t, 在Rt△PEF中，PE=PF+EF=42+(7-t)2 在Rt△BEP中，BE+PE=BP, 所以5++(7-)P=(10-P,解得1=号 综上，若△BPE为直角三角形，则t的值为7或号. 2.重难题型卷（一）勾股定理 1.B【解析】因为所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三 角形， 所以由勾股定理可知SA十SB=SE,Sc十SE=SD. 因为SA=5,Sc=6,Sn=20,所以Se=20-6=14, 所以SB=Ss-SA=14-5=9,则正方形B的面积是9. 故选B. 2D【解析]由题知S=x·(9),S=x·()',则S 1 -S=合x·(9)°-名x·(9)}=2,所以ACc-AB 16.因为∠ABC=90°，所以BC=AC2-AB2=16.在Rt△BCD 中，∠BCD=90°，根据勾股定理得CD=BD一BC=S一BC =41-16=25,即S4=CD2=25.故选D. 3.12cm【解析】如图，过点C作CD ⊥AB于点D. 因为AC=BC,CD LAB, 5 cm 所以AD=号AB=3cm A GD 由勾股定理，得CD=AC-AD= 6cm 16,所以CD=4cm, 第3题答图 所以SAc=合AB·CD =2×6X4=12(cm2). 故答案为12cm2. 4.13【解析】因为∠ACB=90°，AC=4,BC=3, 所以在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=AC十BC, 即AB2=42十32，解得AB=5. 因为四边形ABMN是正方形， 所以∠ABP=∠M=∠ACB=90°，AB=BM, 所以∠ABC+∠CAB=90°，∠ABC+∠MBQ=90°， 则∠MBQ=∠BAP,所以△MBQ≌△BAP(AAS), 所以SAgO=SAP,则SAAIC=S四边形aPM, 所以S影=S正方形Aw-2SAA8c=25-12=13. 故答案为13. 5.【解】(1)24÷4=6，OB=OC=3, 设AC=x,则AO=x十3，AB=6一x, 根据勾股定理，得(x十3)2十32=(6-x)2, 解得x=1,则2×3+1)×3X4=合×4X3×4=24. 故该飞镖状图案的面积是24. (2)智分析：将四边形MNKT的面积设为x,将其余八个全等 的三角形每一个的面积设为y,因为正方形ABCD,正方形EF GH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S,S十S2十S=40, 所以S=8y十x,S2=4y+x,S3=x,则S1+S2+S3=3x+12y =40,所以x十-号，所以5=x+40-智 6.A【解析】因为∠C-90°，AC=6,BC=8, 所以AB2=AC+BC2=62+82=100, 解得AB=10,由折叠可知，AE=BE,所以AE=5.