第1章 勾股定理 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年八年级上册数学提优训练（北师大版·新教材）

答案6D详解 第一章勾股定理 合题意；D.,∠A:∠B:∠C=2:5:2,且∠A十 例DC[解析]根据题意，知AD=BD,2AD· ∠B+∠C=180°，.可求得∠B=100°，故△ABC不 是直角三角形，不符合题意.故选B. BD-16,AE-EC,TAE.EC-25, 例4(1)，BC=6,AD为BC边上的中线， 所以AD2=BD2=32,AE2=EC2=50, 所以AB2=AD2十BD2=64,AC2=AE2+EC2 BD=Dc-号Bc=3, =100, .AD=4,AB=5,..BD2+AD2=AB2, 所以AB=8,AC=10, ∴.∠ADB=90°，即AD⊥BC. 所以BC2=AC2-AB2=36, (2).AD⊥BC,AD为BC边上的中线， 所以BC=6. ∴.AB=AC 所以△ABC的面积为分AB·BC=号×8X6=24. .AB=5,.AC=5. 故选C. :△ADC的面积S=2AD·DC= 2AC·DE, 例2如图，延长EN交BC于点G,则可用两种方 “号×4X3=2×5xDE, 1 法表示五边形ABCDE的面积S. >不规则图形的面积表示常可以转化成几个规则 解得DE=2.4. 图形面积的和 例5(1)如图，将圆柱的侧面展开后，该侧面展开图 ①将五边形ABCDE看作是由正方形AFDE与 是长方形.由题意，可得AC=30cm,AB=40cm, △ABF,△CDF拼成， ∴.BC2=AC2+AB2=302+402=2500, 则s=r2+2bX2=t+ob ∴.BC=50cm. 故该植物绕行一圈的长度为50cm. ②将五边形ABCDE看作是由正方形ABGM,正方 形CDNG,△AME,△DEN拼成， 则S=a2+62+2abX2=a2+6+ab, 所以c2+ab=a2+b2+ab,所以a2+b2=c2. (2)如图，树干周长为80cm,即AC=80cm, 绕行一圈的长度是100cm,即BC=100cm, .AB2=BC2-AC2=1002-802=3600, ∴.AB=60cm, ∴.树干高为60×10=600(cm)=6(m). 故树干高为6m. 例3B[解析]A.,a=32=9,b=42=16,c= 巩固特 52=25,a2+b2≠c2,故△ABC不是直角三角形，不 1.D[解析]在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6, 符合题意；B.由条件可得到b2十c2=a2,满足勾股定 BC=8, 理的逆定理，故△ABC是直角三角形，符合题意； C..∠A=2∠B=3∠C,∠A+∠B+∠C=180°， 则AB2=AC2+BC2=62+82=100, .以AB为边长的正方形的面积为100. “∠A=(),故△ABC不是直角三角形，不符 故选D. 43 旧纳总结本题考查的是勾股定理，如果直角三 角梯形的面积为2(a十b),也可看作是3个直角 角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那 么a2+b2=c2. 1 三角形组成，则其面积为2ab×2+2c2=ab十 2.A[解析]AB=13,AC=15,边BC上的高 AD=12, 2c,2a+b)+a的=b+日ca+ .在Rt△ABD中， b2=c2,故D选项能证明勾股定理.故选B. BD2=AB2-AD2=25,BD=5, 旧纳总结本题考查了勾股定理的证明、正方形 在Rt△ACD中， 面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式，熟 DC2=AC2-AD2=81,DC=9. 练掌握面积的不同表示方法是解题的关键 如图(1)，当点D在点B的右侧时，BC=BD十2.D[解析]由题意，可知“生长”了1次后形成的图 DC=14. 形中所有的正方形的面积和为2. 如图(2)，当点D在点B的左侧时，BC=DC一 同理可得“生长”了2次后形成的图形中，所有的 BD=4, 正方形的面积和为3， .S△ABC= ×14X12=84或S6e= 1 ×4× .“生长”了3次后形成的图形中，所有的正方形 的面积和为4，…， 12=24.故选A. .“生长”了2024次后形成的图形中，所有的正方 形的面积和为2025.故选D, 3.(1)c2-(a-x)22ax[解析]如题图(1)，过点 A作AD⊥CB,垂足为D.设CD=x. .在Rt△ADC中，AD2=b2-x2, (1) (2) 在Rt△ADB中，AD2=c2-(a-x)2, (第2题) .b2-x2=c2-(a-x)2, 易错警示要注意分情况讨论，考虑AD在 化简，得a2+b2-c2=2ax. △ABC外部和AD在△ABC内部两种情况，考 .a>0,x>0,.2ax>0, 虑不全面会导致出错 .a2+b2-c2>0, 举反日 .a2+b2>c2. 1.B[解析]A.大正方形的面积为c2,也可看作是 其中，①是c2-(a-x)2,②是2ax. 4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积 (2)a2+b2<c2.证明如下： 为号ab×4+(6-a)2=a2+6,化简，得a2+ 如图，过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点 D,设CD=x. b2=c2,故A选项能证明勾股定理；B.大正方形 D 的面积为(a十b)2,也可看作是2个长方形和2个 小正方形组成，则其面积为a2十b2十2ab,∴.(a十 b b)2=a2十b2十2ab,故B选项不能证明勾股定理； B (第3题) C.大正方形的面积为(a十b)2,也可看作是4个 直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为 ,在Rt△ADC中，AD2=b2-x2, 在Rt△ADB中，AD2=c2-(a十x)2, 2abX4+c2=2ab+c2,.(a+6)2=2ab+c2, ∴.b2-x2=c2-(a十x)2, a2十b2=c2,故C选项能证明勾股定理；D.直 化简，得a2十b2-c2=-2ax. 44 .a>0,x>0,∴.-2ax<0, ∴x=2,y= 2 .a2+b2-c2<0, 3, .a2+b2<c2. ∴y=2x(号)=专 第二章 实 数 3.1[解析]因为a<0,所以a一1<0， 例1A例2 )-3 所以w(a-1)2=|a-1|=1-a,所以原式=a十 例3根据题意，可得3+2a-5=0, 1-a=1. 解得a=1,∴.b=32=9, 释反9 ∴.a+2b=1+2X9=19. 1.B[解析]由题意，，在△ABC中，AB=√10， 例4D[解析]2的相反数是一2， AC=√6，BC=2√2， 2的倒数是7,2的鲍对值是2， 2的平方根为土√2.故选D. 例5D[解析]观察数轴，可知-2<a<-l,0< √×48-0=m. 故选B. b<1,la>bl,.a+b<0,a-b<0, ∴.A,B,C选项的结论错误，D选项的结论正确 2,6=6+1 2.C[解析]：a=5- 2 故选D. ∴.ab=1, 例6原式=-2×(-3)-3+2-1=4. 1,1 1+b+1+a D1原式=×后-3V后×6 ∴.S=1十a十1+b-1+a)(1+b) 2+a+b2+a+b =1, >利用乘法分配律 =1十a+b+ab2+a+b 1 11+b2+1+a2 =62-3×V合×6=6v-32=32. S,-1+a+1+6=1+a)1+b 2+a2+b2 2+a2+b2 (2)原式=1-2W2+2+√16÷2=3-2√2+√⑧ 1+a2+b2+a2b21+a2+b2+1 =3-2√2+2√2=3. =2+a2+b2 巩固特训 2+a2+6=1, 1 1 1+b3+1+a3 1.D[解析]①如果一个实数的立方根等于它本身， S,=1十a+1+6-(1+a)1+b 那么这个数有0或1或一1，故说法错误；②a2的 2+a3+b3 2+a3+b3 算术平方根是|a,故说法错误；③一8的立方根不 1+a3+b3+a3b31+a3+b3+1 是士2，应该是一2，故说法错误；④√8I的算术平 2+a3+b3 2+a3+68=1,…, 方根不是9，应该是3，故说法错误.故选D. 1 11十bm+a"+1 归纳总结本题主要考查了算术平方根和立方根 S.=1+a+1+b-1+a)1+6) 的知识，熟练掌握算术平方根和立方根的计算是 2+a"+b" 2+a"+b" 解题的关键， 1+a”+b”+a”6m-1+a"+b"+1 2+a"+b" 2. 4 3 [解析].'√16=4，x是√16的算术平方根， 2+a”+b" =1, 8 .S1o0=1,∴.S1+S2+S3+…+S10=1+1 y是一27的立方根， 十…+1=100.故选C. 45第一章 勾股定理 知识梳理导图 已知直角三角形两边长， 勾股定理：直角三角形两直角 求第三边长 边的平方和等于斜边的平方 如果用a,b和c分别表示直 已知直角三角形的一边， 角三角形的两直角边和斜边， 勾股定理 确定其余两边的关系 那么a2十b2=c2 勾及 的应用 验证带有平方关系的等式 勾股定理的逆定理：如果 定 把实际问题转化为数学模型， 三角形的三边长a,b,c 勾股 再利用勾股定理求解 满足a2十b2=c2,那么这 理 个三角形是直角三角形 定理 勾逆 判断一个三角形是不是 股定 直角三角形 勾股定理的 定理 判断三角形的形状 拼图法、割补法 验证方法 理的 的应 判断两条直线是否垂直 用 满足a2+b2=c2的三个正整 勾股数 运用勾股定理研究最短路径问题 数，称为勾股数 问题解决 策略：反思 题多解，一法多用，一题多变 重难疑点解法 分上分点1勾股定理及其验证 归纳总结 利用勾股定理求面积的常见图形： 例1如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，分别以边AB, AC为斜边作等腰直角三角形 ABD和等腰直角三角形ACE, 若S△ABD=16,S△AcE=25,则△ABC的面积为 作正方形 作等边三角形 (). S3=S1十S2 S3=S1十S2 A.8 B.20 C.24 D.25 名师启发 从条件 等胶直角三角形ABD 出发 从设问出发 作半圆 作等腰直角三角形 等联直角三角形AC A)=B) S3=S1+S2 S3=S1+S2 1=(CB 幻没定理 AD'+BD=AB:AE+CE=AC: 例2《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股 Sw=4初·月.sw=子45·(C6 算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的验证和 勾股定理 对勾股算术算法的推广.在书中提到用如下方法验证 AB,AC 勾股定理：如图，将4个三边长分别为a,b,c的全等 1 实验班提优训练数学八年级上BSD 直角三角形拼成五边形ABCDE,请你添加适当的辅 归纳总结 助线后，用“面积法”验证勾股定理。 直角三角形的判定方法：在三角形中，有一个 角等于90°，那么这个三角形就是直角三角形；如 果三角形的三边长a,b,c满足a2十b2=c2,那么 这个三角形是直角三角形，掌握直角三角形的判定 方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股 定理的逆定理.应用勾股定理的逆定理判定一个三 角形是不是直角三角形的基本步骤：(1)首先确定 名师启发利用三角形和正方形边长的关系 最大边，不妨设最大边长为c;(2)验证a2十b2 进行组合图形. 与c2是否具有相等关系，若相等，则△ABC是 以∠C为直角的直角三角形，反之，则△ABC不是 直角三角形 例4如图，在三角形ABC中，AB=5,BC=6, AD为BC边上的中线，且AD= 4,过点D作DE⊥AC于点E. (1)求证：AD⊥BC; (2)求DE的长. 名师启发(1)由AD是BC边上的中线求出 BD的长，再结合勾股定理逆定理得到△ABD是直角 三角形，进而证明AD⊥BC; (2)4D_C,AD为 AB=AC B(边上的中线 DR的长 型归纳总结 Sa=号AD·CD=4C·DE 验证勾股定理的一般步骤为：(1)构造规则图 形；(2)写出相关图形面积的代数式；(3)找出等量 关系；(4)恒等变形；(5)推导出勾股定理.图形的面 积可直接求（借助图形的面积公式），也可间接求 (借助相关图形面积的和或差)」 分上分点2勾股定理的逆定理 例3(2026·四川达州通川区期末)在△ABC中， ∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,下列所给数据 中，能判断△ABC是直角三角形的是(). A.a=32,b=42,c=52 B.a2-b2=c2 C.∠A=2∠B=3∠C D.∠A∠B:∠C=2:5:2 名师启发利用直角三角形的定义和勾股定 理的逆定理逐项判断即可 2 第一章 ☆方法技巧 定理即可求出一圈的长度；(2)求出该圆柱侧面展开 利用勾股定理的逆定理判断三角形形状的步骤： 图的宽，最后利用勾股定理求出树干高. (1)“找”：找出三边的关系，结合题目中的条件去 转换； (2)“算”：计算两个较短边的平方和与最长边的 平方； (3)“判”：若两者相等，则是直角三角形，且最长边 所对的角是直角；若两者不相等，则此三角形不是 直角三角形， 分上分点3勾股定理的应用 例5(2025·河南平项山期中)已知某植物绕着树 干向上生长，如图，树干的周长为圆柱的底面周长，沿 最短路线绕行一周升高的距离为圆柱的高。 (1)若树干的周长为30cm,绕行一圈升高 40cm,则它绕行一圈的长度是多少？ (2)若树干的周长为80cm,绕行一圈的长度是 100cm,像这样绕10圈到达树顶，则树干高多少米？ 归纳总发 本题考查平面展开图问题，解题的关键是正确 理解圆柱的侧面展开图，将曲面上的最短路线问题 转化为平面上的最短路线问题， 名师启发(1)将圆柱侧面展开后，利用勾股 易错易混辨析 易错点1受思维定式影响导致审题不仔细 巩固特划 例T在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别 1.如图，∠ACB=90°，AC=6, 为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则(). BC=8,则以AB为边长的正 A.∠A为直角B.∠C为直角 方形的面积为( C.∠B为直角D.△ABC不是直角三角形 A.36 B.64 B 解析，(a十b)(a-b)=c2, C.40 D.100 (第1题) ∴.a2-b2=c2,即a2=b2+c2, 对于没有图形的题目考虑不全 ∴.△ABC是直角三角形，a为△ABC的斜边， )易错点2 而漏解 ∴∠A为直角. 例2在△ABC中，AB=15,AC-20,BC边上 答案A 的高AD=12,试求BC的长. 辨析伯纳 解答如图(1)，在Rt△ABD中，AB=15, 因为常见的直角三角形在表示时，一般将直角 AD=12,由勾股定理，得BD2=152-122=92, 标注为∠C,因而有同学就习惯性地认为∠C就一 即BD=9, 定表示直角.该题中的条件应转化为a2一b2=c2, 在Rt△ADC中，AC=20,AD=12, 即a2=b2十c2,根据这一公式进行判断即可. 由勾股定理，得DC2=202-122=162, 3 实验班提优训练数学八年级上BSD 即DC=16, 辨析伯纳 .BC的长为BD+DC=9+16=25; 在无图问题中，如何画图是关键，不能忽视有 多种情况，其根源是△ABC的高不一定在△ABC 的内部；若△ABC是纯角三角形，则△ABC的高 可能在△ABC外部，若△ABC是直角三角形，则 D (1) (2) △ABC的两条高线是其直角边.错解忽视△ABC 如图(2)，在Rt△ABD中，AB=15,AD=12, 的高可能在△ABC内部，也可能在△ABC外部， 由勾股定理，得BD2-152-122=92, 从而漏解。 即BD=9, 巩固特训 在Rt△ACD中，AC=20,AD=12, 由勾股定理，得DC2=202-122=162, 2.已知在△ABC中，AB=13,AC=15,边BC上的 即DC=16, 高为12，则△ABC的面积为(). .BC的长为CD一BD=7. A.24或84 B.84 综上所述，BC的长为25或7. C.48或84 D.48 素养考向提分 传统文化 举会反白 例①(2025·扬州中考)清代扬州数学家罗士琳 1.(2025·江西九江第一中学月考)我国是最早了解勾股 痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士 定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的 琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过 证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定 程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此 理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理 法则写出了下列几组勾股数：①3,4,5；②5,12,13； 作出了详细注释，又给出了另外一个证明.古代印 ③7,24,25；④9,40,41；…，根据上述规律，写出第⑤ 度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定 组勾股数为 理的研究和应用.下面四幅图中，不能证明勾股定 解析通过观察，得 理的是( 第①组勾股数分别为2×1+1=3,2×1十2× 1=4,2×12+2×1+1=5; 第②组勾股数分别为2×2+1=5,2×22+2× 2=12,2×22+2×2+1=13; 第③组勾股数分别为2×3+1=7,2×32+2× 3=24,2×32+2×3+1=25; 第④组勾股数分别为2×4+1=9,2×42+2× 4=40,2×42+2×4+1=41; 所以第⑤组勾股数分别为2×5+1=11,2×52+ 2×5=60,2×52+2×5+1=61. 答案11,60,61 D 新考法 点拨 通过观察，得出规律：这类勾股数分别 例2(2025·山东德州期末)如图，边长为2的正 为2n十1,2n2+2n,2n2+2n十1，由此可写出第 方形ABCD面积记为S1,以AD为斜边作等腰直角 ⑤组勾股数. 三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外 第一章 作正方形，其面积记为S2,…,按照此规律继续下去，3.(2025·江苏南通海门区期末)在△ABC中，BC=a, 则S225的值为( AC=b,AB=c,且c>b≥a. (1)当△ABC是锐角三角形时，小明猜想：a2十 b2>c2.以下是他的证明过程： 如图(1)，过点A作AD⊥CB,垂足为D. B 设CD=x A(》 &(》 :在Rt△ADC中，AD2=b2-x2, 在Rt△ADB中，AD2=①， c() D() .b2-x2=①. 化简，得a2+b2-c2=2ax. 解析由题意，可知第一个正方形的边长为2， a>0,x>0,②>0， ∴S1=4.,△DEA是等腰直角三角形， ∴.a2+b2-c2>0, 由勾版定程，可如5：分5，=2 .a2+b2>c2. 同理可得5,5，=()S=1 其中，①是 ;②是 (2)如图(2)，当△ABC是钝角三角形时，猜想 ,=2s=(g》s=7s.=s a2+b2与c2之间的关系并说明理由. ()=…=(分s5=(份)×4= 份) D a B (1) (2) 答案 B (第3题) 岂点题太题苦查了勺股定理、规律型以及等硬面 角三角形等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直 角三角形的性质，找出规律是解题的关键。 释反白 2.(2025·河南洛阳老城区期中)有一个边长为1的正方 形，经过一次“生长”后，在它的左、右肩上生出两 个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直 角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示 图形，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶 茂”，请你计算出“生长”了2024次后形成的图形 中所有正方形的面积之和为( (第2题) A.2022B.2023C.2024 D.2025 5