九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷（新教材湘教版，举一反三，测试范围：第1章 图形的相似～第2章 锐角的正弦、余弦、正切）

九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材湘教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 图形的相似~第2章 锐角的正弦、余弦、正切 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北沧州·三模）如图，菱形的对角线，相交于点，为的中点，，，那么（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，连接交于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，以点为中心，将放大为，满足．连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·广东肇庆·三模）如图，在正方形中，E是边的中点，连接，F是的中点，连接，作于点G，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，且，对角线，相交于点，是上的一个动点，作交于点，作交于点，连结，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．（2022·浙江温州·三模）在学习勾股弦图时，小白利用四个全等的四边形拼成正方形，其中，，且．若图中两个正方形的面积差为94，则四边形的对角线长度为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·安徽合肥·一模）如图，菱形中，，点G、H分别在、上，，，，则菱形的边长为（   ） A． B． C．8 D．2 10．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，D为边的四等分点（即），，F为中点，若的面积为1，则四边形的面积为（    ）． A．10 B． C．4 D．12 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，若，，则的长为_____． 12．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 13．（2026·广东佛山·二模）在矩形中，点E是边上一点，连接，过A作于点F，若，，，则矩形的面积是______． 14．（2026·辽宁朝阳·二模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐述了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，小孔的高度为，则实像的高度为_____． 15．（2026·河北沧州·三模）如图，在矩形中，，．若在该矩形中总能作出等边三角形，满足点E在边上，点F在边上，则的取值范围是__________． 16．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点为线段上靠近点的黄金分割点，点为线段上靠近点的黄金分割点，点为线段上靠近点的黄金分割点，点为线段上靠近点的黄金分割点，连接，，连接分别与，交于点，，则________． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．（8分）（2026·广东汕头·一模）如图，菱形的周长为，对角线，相交于点，且与的长度之比为，过点作于点，交于点，连接． (1)求的长； (2)求的值． 19．（10分）（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，点E，F分别在正方形的边上，且，点G，H分别在边，上，且，垂足为P． (1)求证：； (2)若正方形边长为5，， ，求的长度． 20．（10分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 21．（12分）（2025·北京门头沟·模拟预测）阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在中，，，则______； 小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现不是特殊角，但它是特殊角的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在边上截取，连接（如图2），通过构造有特殊角（）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决． (1)请回答：______． (2)解决问题：如图3，在等腰中，，，请借助构造出的角，并计算值． 22．（12分）（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A，B的坐标分别为，，动点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点A运动，同时点N以相同速度从点B出发，沿线段向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，设运动时间为t秒． (1)求直线的解析式． (2)用含t的代数式表示P的坐标 （直接写出答案）． (3)是否存在t的值，使以P，A，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 23．（14分）（2026·河南平顶山·三模）【主题】探究光折射与反射现象． 【实验工具】低功率激光灯、一块光学直角棱镜、量角器等． 【实验过程】某物理兴趣小组使用相关实验工具进行光学实验．如图，是这块光学直角棱镜的截面，所在的面为不透光的磨砂面．一束光线从 边上的点射入棱镜，折射后到达边上的点，恰有，再经过反射后，从 边上的点射出． 【实验数据】调整光线入射角度和位置，使点在同一平面内，并测量得到． 【问题解决】根据以上实验过程和测量的数据，解答下列问题． (1)如图1，调整光线入射角度和位置，使光线．若，则__________．（结果保留根号） (2)如图2，再次调整光线入射角度和位置，使，从点射出后，光线 ．若，求的长．（结果精确到．参考数据：，） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题核心是运用相似三角形的判定定理，通过分析各选项提供的条件与已知平行关系结合后能否满足判定规则，关键在于准确识别角的对应关系和边的比例关系．利用相似三角形的判定定理，对每个选项逐一分析是否能推出，从而确定无法判定的条件． 【详解】已知，可得． 若添加条件，可得． 因此． 又因为，为截线，可得． ． 因此选项A不符合题意． 若添加条件， 由，为截线，可得． 此时与中，且夹角， 故． 因此选项B不符合题意． 若添加条件， ∵， ． ， ． 因此选项C不符合题意． 若添加条件，． 该比例中，与的夹角为，与的夹角为． 虽然可得，但与无直接等量关系，且比例对应的角并非“夹角”；同时也无法通过其他判定定理证明相似．因此添加该条件后，仍无法判定，选项D符合题意 故选D 2．（2026·河北沧州·三模）如图，菱形的对角线，相交于点，为的中点，，，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由四边形是菱形，得，，，可得,再结合为的中点，得，故，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在中，. 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，连接交于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点、分别作的垂线，垂足为、，由旋转的性质易证是等边三角形，再利用直角三角形，分别得出，，再证明，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点、分别作的垂线，垂足为、， 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ． 5．（2026·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，以点为中心，将放大为，满足．连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴的垂线，交轴于点，容易求得 ，进而可求得，得到点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线，交轴于点， 由题意得， ∴ ， ∴． ，， ． ∴， 又∵，， ，． ． ∴点的坐标为． ． 6．（2026·广东肇庆·三模）如图，在正方形中，E是边的中点，连接，F是的中点，连接，作于点G，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方形边长为，则，根据中点的定义得出，利用勾股定理求出，可得，根据正方形的性质得出，可得，进而证明，根据相似三角形的性质求出，，根据正切的定义即可得出答案． 【详解】解：设正方形边长为，则， 是边的中点， ． 在中，， 是的中点， ， 四边形为正方形， ∴ ， ， ， ， ，即， ，， ． 7．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，且，对角线，相交于点，是上的一个动点，作交于点，作交于点，连结，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用矩形对角线相等且互相平分、平行线证得相似三角形，结合垂直条件推导两组直角三角形相似，通过设参数化简线段长度，借助勾股定理推导出与的正比例关系式；再依据垂线段最短，确定点到对角线的垂线段为最小值，结合三角形面积公式求出的最小长度，最终代入关系式算出的最小值． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 对角线，且为中点， ， ， ， 过点分别作于，于， 则四边形为矩形， ，且, ， ， ， ， ， 设， 则，，， ，，， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 其中， 代入得：， 约分化简得：， ，， 在中，由勾股定理得， 将、代入，利用完全平方公式展开并整理： ， ， ，即， 为定值， 当取最小值时，取得最小值， 点在线段上运动， 根据垂线段最短，当时，取得最小值（即点到直线的距离）， ， 代入得：， 解得， 将代入的表达式： ． 8．（2022·浙江温州·三模）在学习勾股弦图时，小白利用四个全等的四边形拼成正方形，其中，，且．若图中两个正方形的面积差为94，则四边形的对角线长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到，，根据得到，因此，，．过点D作于点M，过点C作于点N，设，，则，，在中通过解直角三角形得到，．证明四边形是矩形，得到，，在中通过解直角三角形得到，，因此，从而得到，求出．根据得到，求得，因此，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵四个全等的四边形拼成正方形， ∴，， ∵， ∴，即 ∴， ∵两个正方形的面积差为94， ∴， ∴． 过点D作于点M，过点C作于点N，则， 设，，则，， ∵，， ∴， ， ． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， ， ∴， ∵， ∴，解得． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴在中，． 9．（2026·安徽合肥·一模）如图，菱形中，，点G、H分别在、上，，，，则菱形的边长为（   ） A． B． C．8 D．2 【答案】C 【分析】连接，由菱形中，，得到，是等边三角形，则，，再根据结合一线三等角模型证明，得到，代入解方程即可． 【详解】解：连接， ∵菱形中，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴， 即菱形的边长为． 10．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，D为边的四等分点（即），，F为中点，若的面积为1，则四边形的面积为（    ）． A．10 B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据得到和，根据相似三角形的性质得到，由于D为边的四等分点，可证得，根据三角形的面积公式证得，再次利用相似三角形的性质得到，据此进行计算四边形的面积即可． 【详解】解：连接， 、 ，即 、 、 ． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，若，，则的长为_____． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 12．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】 连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H， ∵中，，，点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 13．（2026·广东佛山·二模）在矩形中，点E是边上一点，连接，过A作于点F，若，，，则矩形的面积是______． 【答案】 【分析】过点B作于点G，则，再由矩形的性质得，从而有；在中由正弦函数关系求得，由勾股定理求得，在中由正弦函数关系求得，即可求得矩形的面积． 【详解】解：如图，过点B作于点G，则， ∵， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴； ∵，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∴， 在中，， ∴， ∴矩形的面积为． 14．（2026·辽宁朝阳·二模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐述了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，小孔的高度为，则实像的高度为_____． 【答案】3 【分析】由题意可得出，，再根据相似三角形的性质得出比例式求出的长即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， ， ． 15．（2026·河北沧州·三模）如图，在矩形中，，．若在该矩形中总能作出等边三角形，满足点E在边上，点F在边上，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由题意易得，然后可分为当点E与点B重合，点F为的中点时，x的值最小，当点F与点D重合，点E为的中点时，x的值最大，进而分类进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意可知： 如图，当点E与点B重合，点F为的中点时，x的值最小． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 如图，当点F与点D重合，点E为的中点时，x的值最大． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 综上，x的取值范围是． 16．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点为线段上靠近点的黄金分割点，点为线段上靠近点的黄金分割点，点为线段上靠近点的黄金分割点，点为线段上靠近点的黄金分割点，连接，，连接分别与，交于点，，则________． 【答案】 【分析】由题意得，，证，得，由分别为上靠近B，C的黄金分割点，得，连接，，证四边形是平行四边形， 取为中点，则，连接， 证，由平行线分线段成比例得，即，将代入计算即可． 【详解】解：连接，， 分别为，上靠近的黄金分割点， ∴， ． ∴ 又 ， ∴，， ∴． 分别为上靠近B，C的黄金分割点， ∴， ，， ， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵交于M， ∴， ，， ∴， ∴，即， 取为中点，则． 连接则，即， 由平行线分线段成比例得： ∴． ， ． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)， ， ， ， ，是的中线， ， ， ， 又， ． (2) 【分析】（1）先说明、，再利用直角三角形中线的性质以及等边对等角可得，即；再根据两种对应角相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）根据勾股定理可得，利用相似三角形的性质可求得． 再证明，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理，得，即， ， 由（1）知：， ， ， ． 是的中线， ， ．    ， ， ， ， ． 18．（8分）（2026·广东汕头·一模）如图，菱形的周长为，对角线，相交于点，且与的长度之比为，过点作于点，交于点，连接． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的性质求出，，结合勾股定理求出，，进一步得出，，根据菱形的性质即可求解； （2）根据直角三角形的性质得出，推得，根据余弦的定义得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵菱形的周长为， ∴． 根据题意可得， 故， 令，， 在中，， 故， ∴，， ∴，． 对于菱形，， 即， 解得， ∴的长为． （2）解：∵，点是的中点， 故， 即， 在中，， 在中，， 故， 即． 19．（10分）（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，点E，F分别在正方形的边上，且，点G，H分别在边，上，且，垂足为P． (1)求证：； (2)若正方形边长为5，， ，求的长度． 【答案】(1)解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，得到，再根据垂直的定义进而得出，即可根据证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）先求出的长，再根据勾股定理求出的长，再证，由性质求出的长，最后根据，可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴ ， 即， ∴ ， ∴ ． 20．（10分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 21．（12分）（2025·北京门头沟·模拟预测）阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在中，，，则______； 小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现不是特殊角，但它是特殊角的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在边上截取，连接（如图2），通过构造有特殊角（）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决． (1)请回答：______． (2)解决问题：如图3，在等腰中，，，请借助构造出的角，并计算值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据等腰直角三角形的性质得出，根据三角形外角性质得出，根据等角对等边得出，进而得出，根据正切函数的定义即可得出答案； （2）延长至，使，过点作于，根据可得，设，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，进而得出，根据外角性质得出，，根据正切函数的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）解：如图，延长至，使，过点作于， ∵， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（12分）（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A，B的坐标分别为，，动点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点A运动，同时点N以相同速度从点B出发，沿线段向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，设运动时间为t秒． (1)求直线的解析式． (2)用含t的代数式表示P的坐标 （直接写出答案）． (3)是否存在t的值，使以P，A，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或． 【分析】（1）先求出点C坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴点， 设直线的解析式为：， 由题意可得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）延长，交于点G，可得出， ∵动点运动t秒后， ∴， ∴， ∵点A，C的坐标分别为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则，， ∴P点的坐标为； （3）当时，且，则， ∴， ∴ ∴， 当时，且，则， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 23．（14分）（2026·河南平顶山·三模）【主题】探究光折射与反射现象． 【实验工具】低功率激光灯、一块光学直角棱镜、量角器等． 【实验过程】某物理兴趣小组使用相关实验工具进行光学实验．如图，是这块光学直角棱镜的截面，所在的面为不透光的磨砂面．一束光线从 边上的点射入棱镜，折射后到达边上的点，恰有，再经过反射后，从 边上的点射出． 【实验数据】调整光线入射角度和位置，使点在同一平面内，并测量得到． 【问题解决】根据以上实验过程和测量的数据，解答下列问题． (1)如图1，调整光线入射角度和位置，使光线．若，则__________．（结果保留根号） (2)如图2，再次调整光线入射角度和位置，使，从点射出后，光线 ．若，求的长．（结果精确到．参考数据：，） 【答案】(1) (2)的长约为． 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，，，进而勾股定理求得的长； （2）延长交于点．解求得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ． 在中，， ． 在中，， ∴ ． （2）如图，延长交于点． ． ， ， ． ， 在中，， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $