九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷（新教材浙教版，举一反三，测试范围：第1章 二次函数～第2章 随机事件的概率）

**基本信息** 聚焦二次函数与概率核心知识，通过23题分层设计（单选10、填空6、解答7），融合真实情境与跨学科应用，量化评估学生抽象能力、推理意识及模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数图像性质、概率计算|融合2025-2026年多地模拟题，考查抽象能力| |填空题|6/18|函数增减性、游戏公平性|设置开放题（如11题m值），培养创新意识| |解答题|7/72|二次函数综合、概率应用、统计调查|20题“丢沙包轨迹”体现模型意识，23题中考真题综合考查推理能力|

九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材浙教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 2．（2025·山东枣庄·模拟预测）在一个不透明的布袋中装有2个红球和8个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是红球的概率是，需要向袋子里添加红球的个数为（     ）个 A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】设需要向袋子里添加个红球，则红球个数为个，球的总数为个，据此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设需要向袋子里添加个红球， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴需要向袋子里添加红球的个数为10个． 3．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用开口向上的二次函数性质：点到对称轴的距离越远，函数值越大，比较两点的函数值得到距离关系，解不等式得到m的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵，， ∴，即， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴，整理得， 两边平方得， 展开得， 化简得， 解得， 选项中只有满足，因此的值可能是． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）数学课上，老师与同学们做“掷骰子”试验，并依次记录了不同试验次数时某事件发生的频率，绘制了如下统计图．下列选项可能是这个事件的是（     ） A．朝上点数小于3 B．朝上点数小于2 C．朝上点数是奇数 D．朝上点数不小于3 【答案】A 【分析】根据统计图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近，说明该事件发生的概率约为，分别计算各选项事件的概率即可得出答案． 【详解】解：由折线统计图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近， 该事件发生的概率约为， A、朝上点数小于的情况有两种，其概率为，符合题意； B、朝上点数小于的情况有一种，其概率为，不符合题意； C、朝上点数是奇数的情况有三种，其概率为，不符合题意； D、朝上点数不小于的情况有四种，其概率为，不符合题意． 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知二次函数（为常数）的图象只经过第二、三、四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对二次函数配方得到顶点坐标，根据开口方向和图象只经过二、三、四象限的要求，得到两个不等关系：顶点纵坐标大于0保证存在的点，经过第二象限，函数与y轴交点纵坐标小于等于0保证时，y恒小于等于0，不经过第一象限，解不等式组即可得到a的取值范围. 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， ∴二次函数与轴的交点为， ∵图象只经过第二、三、四象限， ∴，解得 . 6．（2022·内蒙古赤峰·三模）已知函数（k为常数），若从中任取整数k值，则得到的函数中具有性质“y随x增大而增大”的一次函数的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一次函数的增减性得到，结合已知，满足的的值为，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵函数中随增大而增大， ∴，解得， ∵，为整数， ∴的取值为，共7种等可能结果，其中满足的值为，共3种， ∴所求概率． 7．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（    ） A．这个游戏小刚获胜的可能性最大 B．这个游戏小刚获胜的可能性最小 C．这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大 D．这个游戏对三人是公平的 【答案】D 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数以及小刚获胜的结果数、小明获胜的结果数、小红获胜的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果， 其中小刚获胜的结果有：（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布），共3种，小明获胜的结果有：（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），共3种，小红获胜的结果有：（石头，布），（剪刀，石头），（布，剪刀），共3种， ∴小刚获胜的概率为，小明获胜的概率为，小红获胜的概率为． ∴小刚、小红、小明获胜的概率一样大， 故选：D． 8．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，分别过点（、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得：，，，，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可知、、的横坐标相同， ∵， ∴，， ∴， ， ∴ ． 9．（2026·陕西商洛·二模）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两点，且，若在点，之间（含点，）的抛物线上存在两点，（点，不重合），使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出抛物线的对称轴，分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：， 对称轴为直线； （ⅰ）当时，， 点在对称轴左侧，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， ， 点也在对称轴左侧，如图答图①， ， ， ， 此时，在点，之间（含点，）的抛物线上不存在两点，，使得；（在对称轴同侧的两点不可能存在纵坐标相等的情况） （ⅱ）当时，， 点在对称轴右侧，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ，点在对称轴左侧，点的对称点在对称轴右侧，如答图②，（关于抛物线对称轴对称的两点到对称轴的距离相等，且纵坐标相等） ， ， ， 此时，在点，之间的抛物线上存在关于对称轴对称的两点，，使得； 综上所述，的取值范围为．（当点，位于对称轴异侧时，在抛物线上点，之间的部分关于对称轴对称的部分上的对应点均满足） 10．（2026·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形，，是图形上两点，若对于，，都有，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】先求出翻折后图形G的分段解析式，计算对应的，再根据所在区间的位置分情况讨论，求出区间内的最大值，当时，一定成立；当时，不一定成立；当时，可使一定成立；当时，一定成立；综合四种情况即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形， ∴当时，图形的解析式为；当时，图形的解析式为，即图形的解析式为，其图像如图1所示： ∵二次函数， ∴二次函数关于直线对称， 下面我们来结合图象对的范围进行分类讨论： ∵， ∴当，即时，此时，都在二次函数的图象上，如图1所示， ∴将代入，得：， ∵当时，；当时，； ∴当时，，一定小于与中的较大值， ∵当时，；， 即当时，；， ∴当时，，即符合题意； 当，即时，此时，，点在二次函数的图象上，如图2所示， 此时，当时，取最大值为， 而当，，即此时对于，，不都有， ∴不符合题意； 当，即时，此时点在图象上， ∵， ∴点在二次函数的图象上，如图3所示， 此时，， 若对于，，都有，即， ∴，解得：或（舍去）， ∵， ∴符合题意； 当，即时，此时点，都在图象上，如图4所示： 此时在图象上随着的增大而增大， ∵， ∴， ∴符合题意； 综上：或． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·北京·期末）在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，确定对称轴位置得到的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：二次函数中，二次项系数为，因此抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴的值可以是（答案不唯一，满足即可）． 12．（25-26九年级下·全国·单元测试）小丽与小华做硬币游戏，任意掷一枚均匀的硬币两次，游戏规定：如果两次朝上的面不同，那么小丽获胜；如果两次朝上的面相同，那么小华获胜．你认为这样的游戏公平吗 ________（填“公平”，“不公平”）． 【答案】公平 【分析】根据游戏规则可知：任意掷一枚均匀的硬币两次，有4种情况；两次朝上的面不同，有2种；两次朝上的面相同，也有2种；故小丽与小华取胜的概率相等，故这个游戏公平． 【详解】任意掷一枚均匀的硬币两次，朝上的情况有正正、反反、正反、反正四种情况，所以两次朝上的面不同或两次朝上的面相同的概率相等，即游戏公平． 故答案是：公平. 【点睛】考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从F出口落出的概率是______________． 【答案】 【分析】画出树状图，根据树状图可知，共有4种等可能的结果，其中小球从F点落出有1种，即可求解． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有4种等可能的结果，其中小球从点落出有1种， ∴小球从点落出的概率是． 14．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 15．（25-26七年级下·北京房山·期末）现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果． 4 【答案】6，9182 【分析】根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可． 【详解】解：∵甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是4，甲先填， ∴第二个数字为9，第四个数字为8， ∵乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字． ∴第三个数字可以为1，2，3，第五个数字可以为1,2，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有3种选法，第五个数字有2种选法， ∴满足条件的填法有6种，表中空白处可以为9182． 故答案为：6，9182 【点睛】本题考查概率的知识，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字． 16．（2022·江苏泰州·三模）已知函数和函数的最值互为相反数，则_______0．（填“”或“”） 【答案】 【分析】先确定两个二次函数的开口方向和最值类型，利用顶点纵坐标公式得到两个最小值，根据最值互为相反数整理得到，代入待比较式子配方即可判断符号． 【详解】解：，开口向上， 只有最小值，最小值为， ∵ 的二次项系数，开口向上， ∴只有最小值，最小值为， 两个函数的最值互为相反数， ∴， 提取公因式得：， ∵ ， ∴， ∴， 将代入，得 ， ∵， ∴，即． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（2026·云南楚雄·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线经过点，求抛物线的对称轴； (2)已知点都在该抛物线上，且满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）抛物线经过点，可将该点坐标代入抛物线方程求出的值，再利用对称轴公式求对称轴； （2）由点和纵坐标相等，可知、关于抛物线对称轴对称，因此抛物线对称轴为；抛物线开口向下 ()，在对称轴左侧随增大而增大，右侧随增大而减小；点离对称轴越近，函数值越大；由 可知：点离对称轴的距离小于点、离对称轴的距离，据此列不等式求解；最后结合求出的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入抛物线解析式： ， 解得， 所以抛物线解析式为： ， 其中，， 对称轴公式为： ， 所以抛物线的对称轴为直线． （2）解：由点、在抛物线上且纵坐标相同，得抛物线对称轴为： ，故， 抛物线中，开口向下，函数值大小与点到对称轴的距离关系为：点到对称轴的距离越小，函数值越大； 点、到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为， 因为，所以点到对称轴的距离小于2，即： ， 解此不等式： ， 解得， 又， 则， 综上，． 18．（8分）小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字，，2，3． (1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为________； (2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张．若两人抽取卡片上的数字之积为正数，则小明胜；否则小亮胜．请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏规则公平 理由如下：画树状图如下 共有16种等可能的结果，其中两人抽取卡片上的数字之积为正数的结果有8个，两人抽取卡片上的数字之积为负数的结果有8个， （小明胜），P（小亮胜）， ∴小明胜的概率=小亮胜的概率， ∴这个游戏规则公平． 【分析】（1）根据卡片上标有数字为负数的个数和概率公式进行解答即可； （2）画出树状图并利用概率公式分别求出小明胜和小亮胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵卡片上分别标有数字，，2，3．负数共2个， ∴小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为． （2）略 19．（10分）（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 【答案】(1)直线． (2)或 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴只有一个公共点得到，求出m的值后，将二次函数解析式化为顶点式，即可解答； （2）先表示出平移后的新抛物线的解析式为，根据二次函数在的范围内有最小值，则当或时，二次函数取得最小值，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点， 故， 整理，得， 解得，， ， 舍去， 故， 故， 故抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数的解析式为， 根据题意，得新的二次函数在的范围内有最小值，即， ， 的图象开口向下，且对称轴的左侧y随x的增大而增大，对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∴当或时，二次函数取得最小值． ①若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴ ②若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴； 综上所述，符合题意的n的值为或． 20．（10分）（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 21．（12分）（2025·湖南长沙·模拟预测）随着手机互联网技术的迅猛发展，越来越多的市民喜欢用手机进行沟通交流．某校数学兴趣小组为了解长沙洋湖某社区20～60岁居民最喜欢的手机沟通方式，针对给出的四种（A：微信、B：QQ、C：班级优化大师、D：其他）的使用情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： (1)参与问卷调查的总人数是 ； (2)补全条形统计图； (3)若小强和他爸爸要在各自的手机里安装A，B，C三种APP中的一种，求他俩选择同一种的概率，并列出所有可能的结果． 【答案】(1)500人 (2)解：补全条形统计图如下： (3)所有可能结果如下：共9种；概率为 【分析】（1）利用种人数除以其所占百分比，即可解题； （2）算出种人数，补全条形统计图即可； （3）借助表格列出所有可能结果，进而求出他俩选择同一种的概率，即可解题。 【详解】（1）解：（人）， 即参与问卷调查的总人数为500人， （2）解：（人）； （3）解：根据题意列表如下： 小强爸爸 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 所有可能结果如下：共9种， 小强和爸爸选择同一种的可能结果有共3种， ∴小强和他爸爸选择同一种的概率为． 22．（12分）（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与关于轴对称，与轴交于、两点（点在点的左侧），抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线和的函数表达式； (2)求，两点的坐标； (3)点、分别在抛物线、上，且点、在轴的同侧，使得以，，，四点为顶点的四边形是以为边且面积为4的平行四边形，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点Q的坐标为或或或 【分析】（1）根据对称性得到两条抛物线的对称轴关于轴对称，且两条抛物线与轴的交点相同，进行求解即可； （2）令，进行求解即可； （3）求得 ，设点Q的纵坐标为，根据平行四边形的面积公式求得 ，当点P、Q都在x轴的上方时，点P只能在点Q的左侧，由题可得将点P向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点Q，求得，．当点P、Q都在x轴的下方时，点P在点Q的左侧，由题可得将点P向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点Q，求得，，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与轴的交点为， ∵抛物线与关于轴对称， ∴抛物线与轴的交点也为，抛物线的对称轴与的对称轴关于轴对称， ∴，， ∴， ∴，； （2）解：当时，解得， ∴； （3）解：当时，解得 或 ， ， 由（2）知：； ， 点P，Q在x轴的同侧， 为平行四边形的边， ． 设点Q的纵坐标为， 以点B、D、P、Q为顶点的四边形是面积为4的平行四边形， ， ， 当点P、Q都在x轴的上方时，点P只能在点Q的左侧，由题可得将点P向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点Q， ，则， 解得，， ，． 当点P、Q都在x轴的下方时，点P在点Q的左侧，由题可得将点P向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点Q， ，则， 解得 ， ， ，， 点Q在点P的左侧，不存在面积为4的平行四边形， 综上，点Q的坐标为或或或． 23．（14分）（2026·湖北武汉·中考真题）抛物线：与轴交于、两点（点在点左侧）． (1)求、两点的坐标． (2)如图1，直线交抛物线于、两点，的外心在边上，求的值． (3)如图2，抛物线：与抛物线交于、两点，连接．是线段上一点，过点作轴的平行线分别交抛物线、于、两点，连接、、、．求证：与的面积相等． 【答案】(1)， (2) (3)证明：设直线的解析式为，点的横坐标为，则， 轴， ，， 设，， 联立直线与抛物线得， 整理得：， ，是直线与的交点， ，是该方程的两根， ， 同理，联立直线与抛物线得， 整理得， ，也在抛物线上， ，也是该方程的两根， ， ， 过点作于点，则是和的公共高， ，，且， ， 同理，过点作于点，可得， ，， ． 【分析】（1）求出时对应点的坐标并结合点在点左侧即可求解； （2）先利用外心在边上推出是中点，得到点坐标；再根据列方程求解，结合取舍即可； （3）先设直线解析式与各点横坐标，联立直线与两条抛物线，借助一元二次方程根与因式分解证出；再利用等底同高三角形面积相等进行推导，即可证明两三角形面积相等． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，． （2）解：如图，连接， 的外心在上， ， 为线段的中点， 设，，则，是方程的两根， 整理得， 由韦达定理得， 点的横坐标为，即， ， 由勾股定理得， 又， 由求根公式，方程的根为， ， ， ，即， ， ， 整理得， 解得或， ， ． （3）略． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材浙教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 二次函数~第2章 随机事件的概率 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·山东枣庄·模拟预测）在一个不透明的布袋中装有2个红球和8个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是红球的概率是，需要向袋子里添加红球的个数为（     ）个 A．6 B．7 C．8 D．10 3．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）数学课上，老师与同学们做“掷骰子”试验，并依次记录了不同试验次数时某事件发生的频率，绘制了如下统计图．下列选项可能是这个事件的是（     ） A．朝上点数小于3 B．朝上点数小于2 C．朝上点数是奇数 D．朝上点数不小于3 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知二次函数（为常数）的图象只经过第二、三、四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（2022·内蒙古赤峰·三模）已知函数（k为常数），若从中任取整数k值，则得到的函数中具有性质“y随x增大而增大”的一次函数的概率为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（    ） A．这个游戏小刚获胜的可能性最大 B．这个游戏小刚获胜的可能性最小 C．这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大 D．这个游戏对三人是公平的 8．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，分别过点（、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（     ） A． B．2 C． D． 9．（2026·陕西商洛·二模）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两点，且，若在点，之间（含点，）的抛物线上存在两点，（点，不重合），使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形，，是图形上两点，若对于，，都有，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·北京·期末）在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 12．（25-26九年级下·全国·单元测试）小丽与小华做硬币游戏，任意掷一枚均匀的硬币两次，游戏规定：如果两次朝上的面不同，那么小丽获胜；如果两次朝上的面相同，那么小华获胜．你认为这样的游戏公平吗 ________（填“公平”，“不公平”）． 13．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从F出口落出的概率是______________． 14．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 15．（25-26七年级下·北京房山·期末）现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果． 4 16．（2022·江苏泰州·三模）已知函数和函数的最值互为相反数，则_______0．（填“”或“”） 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（2026·云南楚雄·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线经过点，求抛物线的对称轴； (2)已知点都在该抛物线上，且满足，求的取值范围． 18．（8分）小明和小亮玩一个抽卡游戏：一个不透明的盒子中装有四张形状、大小、质地完全相同的卡片，卡片上分别标有数字，，2，3． (1)小明从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的数字是负数的概率为________； (2)小明从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回并摇匀，小亮再随机抽取一张．若两人抽取卡片上的数字之积为正数，则小明胜；否则小亮胜．请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由． 19．（10分）（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 20．（10分）（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 21．（12分）（2025·湖南长沙·模拟预测）随着手机互联网技术的迅猛发展，越来越多的市民喜欢用手机进行沟通交流．某校数学兴趣小组为了解长沙洋湖某社区20～60岁居民最喜欢的手机沟通方式，针对给出的四种（A：微信、B：QQ、C：班级优化大师、D：其他）的使用情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： (1)参与问卷调查的总人数是 ； (2)补全条形统计图； (3)若小强和他爸爸要在各自的手机里安装A，B，C三种APP中的一种，求他俩选择同一种的概率，并列出所有可能的结果． 22．（12分）（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与关于轴对称，与轴交于、两点（点在点的左侧），抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线和的函数表达式； (2)求，两点的坐标； (3)点、分别在抛物线、上，且点、在轴的同侧，使得以，，，四点为顶点的四边形是以为边且面积为4的平行四边形，请求出点的坐标． 23．（14分）（2026·湖北武汉·中考真题）抛物线：与轴交于、两点（点在点左侧）． (1)求、两点的坐标． (2)如图1，直线交抛物线于、两点，的外心在边上，求的值． (3)如图2，抛物线：与抛物线交于、两点，连接．是线段上一点，过点作轴的平行线分别交抛物线、于、两点，连接、、、．求证：与的面积相等． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $