九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷（新教材沪科版，举一反三，测试范围：第21章 二次函数与反比例函数～第22章 相似形）

**基本信息** 聚焦二次函数与相似形，以拔尖题为载体，通过丢沙包运动轨迹等实际情境题，考查几何直观、模型意识与推理能力，适配九年级月考学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相似判定、函数图像性质|结合图形辨析，考查空间观念| |填空题|6/18|相似计算、二次函数顶点|注重符号运算与几何直观结合| |解答题|7/72|二次函数应用（丢沙包模型）、相似与反比例函数综合（菱形与双曲线）|综合实践题体现模型意识，跨知识整合题考查推理能力|

九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材沪科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题核心是运用相似三角形的判定定理，通过分析各选项提供的条件与已知平行关系结合后能否满足判定规则，关键在于准确识别角的对应关系和边的比例关系．利用相似三角形的判定定理，对每个选项逐一分析是否能推出，从而确定无法判定的条件． 【详解】已知，可得． 若添加条件，可得． 因此． 又因为，为截线，可得． ． 因此选项A不符合题意． 若添加条件， 由，为截线，可得． 此时与中，且夹角， 故． 因此选项B不符合题意． 若添加条件， ∵， ． ， ． 因此选项C不符合题意． 若添加条件，． 该比例中，与的夹角为，与的夹角为． 虽然可得，但与无直接等量关系，且比例对应的角并非“夹角”；同时也无法通过其他判定定理证明相似．因此添加该条件后，仍无法判定，选项D符合题意 故选D 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 3．（2025·湖南张家界·模拟预测）已知函数与的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数的图象经过的象限可以判断的符号，再根据图象与y轴交点位置判断的符号，进而得到的符号；然后根据反比例函数的图象所在象限，判断的符号， 再结合、、的符号，先判断二次函数的开口方向，再用对称轴公式判断对称轴位置，最后根据时的函数值判断与y轴的交点位置，逐一匹配选项即可． 【详解】解：观察函数图象可知：，，， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴直线，与轴的交点在轴正半轴． ∴二次函数的图象可能是 ． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，设点的坐标是，则点的坐标是，根据等腰三角形的性质可得，根据反比例函数的解析式可知点的纵坐标是，从而可得，根据三角形的面积公式即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 设点的坐标是，则点的坐标是， ，， 是等腰三角形， ， 轴 点的横坐标是，纵坐标是， 轴交双曲线于点， 点的横坐标是， 点的纵坐标是， ， ， ， ． 6．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用开口向上的二次函数性质：点到对称轴的距离越远，函数值越大，比较两点的函数值得到距离关系，解不等式得到m的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵，， ∴，即， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴，整理得， 两边平方得， 展开得， 化简得， 解得， 选项中只有满足，因此的值可能是． 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）正比例函数与反比例函数的图像相交于A，B两点，，，且．点，在反比例函数上，其中，则下面结论正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用正比例函数与反比例函数交点的中心对称性质求出的符号，再根据时，反比例函数的单调性判断和的大小关系． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的交点关于原点中心对称 ∴， 代入 得： ， ∵在反比例函数上， ∴， ∴，即 ∵时，反比例函数在第一象限内，随的增大而减小，， ∴． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，且，对角线，相交于点，是上的一个动点，作交于点，作交于点，连结，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用矩形对角线相等且互相平分、平行线证得相似三角形，结合垂直条件推导两组直角三角形相似，通过设参数化简线段长度，借助勾股定理推导出与的正比例关系式；再依据垂线段最短，确定点到对角线的垂线段为最小值，结合三角形面积公式求出的最小长度，最终代入关系式算出的最小值． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 对角线，且为中点， ， ， ， 过点分别作于，于， 则四边形为矩形， ，且, ， ， ， ， ， 设， 则，，， ，，， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 其中， 代入得：， 约分化简得：， ，， 在中，由勾股定理得， 将、代入，利用完全平方公式展开并整理： ， ， ，即， 为定值， 当取最小值时，取得最小值， 点在线段上运动， 根据垂线段最短，当时，取得最小值（即点到直线的距离）， ， 代入得：， 解得， 将代入的表达式： ． 9．（2025·山东威海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点D，双曲线经过点D，交边于点E，且，则E的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，求得点和点坐标，从而求得直线和反比例函数的解析式，联立即可求解． 【详解】解：过点作，如下图： 在菱形中，，，， ， ， 设，则， 由图可得，，即， 由勾股定理得 解得或（舍去）， ，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ， 将代入得， 解得，即， 又为的中点， ， 设直线解析式为， 代入、得，， 解得， ∴， 联立和得， 解得或（舍）， 检验：将代入分母得，结果不为0， ∴是分式方程的解， 将代入得，， ∴． 10．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，正方形中，点F是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据正方形的性质得，，可知，可判断①正确；利用，，可知，则②正确；利用，得，且，可知③正确；延长交于，由，得，可判断④正确，进而可得答案． 【详解】解：四边形与四边形都是正方形， ，，，， ，，， ，故①正确； ，， ， ， ， ，故②正确； ，， ， ， ，又， ，故③正确， 如图，延长交于， ， ， ， ，故④正确； 正确的是①②③④，共4个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，若，，则的长为_____． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 12．（2026·江苏南京·二模）已知二次函数的图象与轴的两个交点的距离为，则该函数图象的顶点的纵坐标为______． 【答案】 【分析】设二次函数对应一元二次方程的两根为，由抛物线与轴两交点距离为可得，利用恒等式结合韦达定理推导出，再代入顶点纵坐标公式，整体代换求值得到顶点纵坐标． 【详解】解：令，得， 设方程的两个根为， 由根与系数的关系可得 ，， 由题意得二次函数图象与轴两个交点的距离为， 因此， 两边平方得， 由完全平方公式变形得， 代入得， 整理得，即， 二次函数顶点纵坐标公式为， 将代入得， 将代入得． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象上．作轴于点A，交延长线于点C，则的面积为 ________ ．（用含k的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设点P的坐标为，可得出，由点P和点Q关于原点对称可得出，再结合已知条件可得出，再得出，，再根据三角形面积公式得出，最后根据反比例函数的图象得出即可得出答案． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在反比例函数上， ∴， ∵点P和点Q关于原点对称， ∴， ∵轴，， ∴， ∴，， ∴， ∵反比例函数在第二和第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】 连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H， ∵中，，，点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 15．（2026·山西太原·三模）如图，矩形，点、点分别是、的中点，连接、，且平分，点为上靠近点的三等分点，连接，已知，则的长为______． 【答案】 【分析】延长、交于点，过点作于点，证明得到，，根据题意得，进而得到，结合平分，推出，则，由勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，，进而求出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长、交于点，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， 点是的中点， ， ， ， ，， 点是的中点， ， ， 平分， ， ， ， ， 点为上靠近点的三等分点， ， ，， ， ，即， ，， ， ． 16．（2026·辽宁抚顺·一模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．现有下列说法：①；②；③的解集是；④（为任意实数）．其中正确的是___________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】先根据抛物线开口向下、与y轴的交点位于y轴正半轴，，再根据对称轴可得，由此可判断说法①；将对称轴进行化简得到，代入二次函数中，即，将点代入二次函数的解析式可判断说法②；根据二次函数的对称性可知抛物线也经过点，结合图象得到当，，可判断说法③；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断说法④，即可得出答案． 【详解】解：∵由图可知，开口向下，即，对称轴在轴右侧，即，与轴交于正半轴，即， ∴，故①符合题意； ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴二次函数可化简为， ∵二次函数经过点， ∴将代入，得，即，故②符合题意； ∵二次函数对称轴为直线，且经过点， ∴与轴另一个交点为，即， ∴由图象可知的解集为，故③符合题意； ∵由图可知，开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数有最大值， ∵假设（为任意实数），即， ∴，即， ∵当，，与假设矛盾，所以假设不成立，故④不符合题意； 综上，符合题意的有：①②③． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（2026·山东枣庄·三模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)，理由如下： 当时，抛物线为， ∵，是抛物线上的点， ∴，， ∴； (2)或或 【分析】（1）代入计算即可求解； （2）分和两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：抛物线对称轴为， ∵过抛物线上的点作直线轴，， ∴直线与抛物线的另一个交点为点P关于的对称点， 若，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ①若，则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意， ②若，则， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意； ③若，则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小 当时，y随x的增大而增大， 设点关于的对称点为， 则， ∴， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意； 若，则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 设点关于的对称点为， ∵， ∴， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意， 综上，a的取值范围是或或． 18．（8分）（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，为的中点，为上一点，的延长线交于．已知，，． (1)求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)10； (2)． 【分析】（1）利用勾股定理可求，则即可求； （2）连接，设，则利用等高三角形的面积比等于底之比可表示，又可知，利用等比性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， 为中点 ； （2）解：连接， 设， ， ， ， 且与同高， ， 为中点，与同高， ， ， 与同高，与同高， ， 由等比性质： ， 19．（10分）（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A，B的坐标分别为，，动点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点A运动，同时点N以相同速度从点B出发，沿线段向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，设运动时间为t秒． (1)求直线的解析式． (2)用含t的代数式表示P的坐标 （直接写出答案）． (3)是否存在t的值，使以P，A，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或． 【分析】（1）先求出点C坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴点， 设直线的解析式为：， 由题意可得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）延长，交于点G，可得出， ∵动点运动t秒后， ∴， ∴， ∵点A，C的坐标分别为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则，， ∴P点的坐标为； （3）当时，且，则， ∴， ∴ ∴， 当时，且，则， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 20．（10分）（2026·江苏苏州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点为线段上一点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数图象于点． (1)若，求点的坐标； (2)连接，若，求反比例函数解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用线段比例关系确定点坐标与点坐标的关系，再由求出参数，进而确定反比例函数解析式，求出点坐标． （2）用参数表示出点、、的坐标，计算的长度和点到直线的距离，利用三角形面积公式建立方程求解． 【详解】（1）解：点在上， 设点的坐标为， 过点C作轴于点E， ∴， 又点在线段上，且， ∴， 点的坐标为， 轴于点， 点的坐标为， ， ， ， ， 点的坐标为， 点在反比例函数上， ， 反比例函数解析式为， 点在直线上，且点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的坐标为． （2）解：由(1)可知，点的坐标为，点的坐标为， ， 直线的方程为，点的坐标为， 点到直线的距离为， ， ， ， ， ， 反比例函数解析式为． 21．（12分）（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 22．（12分）（25-26九年级下·山东济南·开学考试）如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（）；点 (2)①3；存在，点M的坐标为或 【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标； （2）①延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，作AE⊥x轴，PF⊥x轴，由此即可得出AE，PF，EF的长度，根据反比例中的模型：三角形的面积公式等于梯形面积，即可得出结论； ②首先，由于四边形是矩形，其邻边必然垂直，即，过作的垂线分别交，于点，，已知点，所以可以求出直线的解析式；接下来，因为点必须落在平行四边形的边上，所以需要分情况讨论：分别令直线与平行四边形的两条边（、）所在的直线方程联立求解，最后，通过验证求出的交点是否在线段范围内，即可筛选出所有符合条件的点的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的关系式为. 四边形为平行四边形，且点，，点， 点，点. （2）解：①作轴于点E，作轴于点F，如图3所示， 点为线段的中点，点、， 点， 令中，则， 点， 根据反比例函数的几何意义得， ， ②假如四边形是矩形，则，过作的垂线分别交，于点，，作轴于点，如下图： 点， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 直线的关系式为， 联立， 解得， ； ∴点的坐标为或． 23．（14分）（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________； (4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、相似三角形的判定及性质等： （1）采用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，直线与轴的交点为，因为直线经过点，点，采用待定系数法可求出直线的解析式，进而求得点的坐标，分两种情况讨论：当时，；当时，； （3）设直线与轴的交点为点，过点作的垂线，交于点，设，容易证明，可求得的值，进而可确定点的坐标，求出直线的解析式，根据直线与抛物线相交可得到方程，求解即可得到答案； （4）连接，交于点，容易证得，得到，，过点作于点，通过，可得，，，取的中点，连接，，可得，可知，当且仅当，，共线时取等号，当点与点重合时，点与点重合，此时最大． 【详解】（1）因为抛物线经过点，，所以 解方程组，得 所以，抛物线的解析式为 （2）根据题意，可知点的坐标为，可设点的坐标为． 设直线的解析式为，直线与轴的交点为． 因为直线经过点，点，可得 解方程组，得 所以直线的解析式为． 所以点的坐标为． （Ⅰ）当时，如图所示． 根据题意可知．点到轴的距离为, 所以，即 解得 ，（舍去）． 所以点的坐标为． （Ⅱ）当时，如图所示，点位于点上方． 根据题意可知，点到轴的距离为， 所以，即 解得（舍去），． 所以，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． （3）如图所示，设直线与轴的交点为点，过点作的垂线，交于点． 根据题意可知，． 设． 因为，， 所以． 所以． 所以． 所以． 因为，， 所以． 所以，即． 所以． 所以． 所以． 所以． 所以点的坐标为． 设直线的解析式为． 因为直线经过点和点，可得 解得 所以直线的解析式为． 因为直线与抛物线相交，可得 解得 （舍去），． 所以点的坐标为． （4） 根据题意可知，四边形为矩形，，． 如图所示，连接，交于点， 所以． 因为， 所以． 所以，． 过点作于点． 因为， 所以． 所以． 所以，，． 所以． 取的中点，连接，． 因为， 所以． 所以，当且仅当，，共线时取等号． 根据题意可知，点的坐标为， 所以． 所以． 当点与点重合时，点与点重合，此时最大，即． 综上所述， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材沪科版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第21章 二次函数与反比例函数~第22章 相似形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南张家界·模拟预测）已知函数与的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）正比例函数与反比例函数的图像相交于A，B两点，，，且．点，在反比例函数上，其中，则下面结论正确的是（     ）． A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，且，对角线，相交于点，是上的一个动点，作交于点，作交于点，连结，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 9．（2025·山东威海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点D，双曲线经过点D，交边于点E，且，则E的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，正方形中，点F是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，若，，则的长为_____． 12．（2026·江苏南京·二模）已知二次函数的图象与轴的两个交点的距离为，则该函数图象的顶点的纵坐标为______． 13．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象上．作轴于点A，交延长线于点C，则的面积为 ________ ．（用含k的式子表示） 14．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 15．（2026·山西太原·三模）如图，矩形，点、点分别是、的中点，连接、，且平分，点为上靠近点的三等分点，连接，已知，则的长为______． 16．（2026·辽宁抚顺·一模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．现有下列说法：①；②；③的解集是；④（为任意实数）．其中正确的是___________（填序号）． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（2026·山东枣庄·三模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 18．（8分）（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，为的中点，为上一点，的延长线交于．已知，，． (1)求的长； (2)若，求的值． 19．（10分）（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A，B的坐标分别为，，动点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点A运动，同时点N以相同速度从点B出发，沿线段向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，设运动时间为t秒． (1)求直线的解析式． (2)用含t的代数式表示P的坐标 （直接写出答案）． (3)是否存在t的值，使以P，A，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 20．（10分）（2026·江苏苏州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点为线段上一点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数图象于点． (1)若，求点的坐标； (2)连接，若，求反比例函数解析式． 21．（12分）（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 22．（12分）（25-26九年级下·山东济南·开学考试）如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（14分）（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________； (4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $