九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷（新教材北师大版，举一反三，测试范围：第1章 特殊平行四边形～第2章 一元二次方程）

**基本信息** 九年级数学拔尖卷聚焦特殊平行四边形与一元二次方程，通过23题（10选6填7解答）实现知识深度覆盖，创新设计定义新运算、赵爽勾股图解方程等题，培养抽象能力、推理意识与应用意识，可精准量化学生高阶思维水平。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|特殊平行四边形性质判定、一元二次方程根的判别式|第5题定义新运算考查抽象能力，第8题动点问题培养几何直观| |填空题|6/18|韦达定理应用、图形折叠与拼接|第15题正方形分割与矩形拼接体现空间观念，第16题折叠问题发展推理意识| |解答题|7/72|尺规作图、方程应用、几何综合证明|21题结合赵爽勾股图传承数学文化，23题正方形旋转与筝形判定综合考查创新意识|

九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 特殊平行四边形~第2章 一元二次方程 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在四边形中，、是对角线上的两点（不与点、重合），且，连接、、、，则下列结论错误的是（    ） A．若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形 B．若四边形是菱形，则四边形是菱形 C．若四边形是矩形，则四边形是矩形 D．若四边形是正方形，则四边形是菱形 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 4．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，F是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点E，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D．不确定 5．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．1 B． C．或 D．1或 6．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，以为顶点作线段，使且，且点恰好落在上，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知，，，下列结论正确的是（　　） A．若，则或 B．当时，的值为2，则或 C．有最大值 D．若，则关于x的方程有两个不相等的实数根 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于点，连接，．有下列结论：①；②四边形是菱形；③四边形是矩形；④．其中正确结论的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2025·江西南昌·模拟预测）已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 12．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）已知两个关于x的一元二次方程：(b，c均为常数)，．其中，方程的一个根是，方程有两个相等的实数根，则b的值是______． 13．（2026·江苏南京·三模）正方形中，点O为对称中心，过点O且点E在上，点F在上，，．则____________． 14．（2021·天津南开·二模）如图，菱形ABCD和菱形EFGH的面积分别为和，CD落在EF上，，若的面积为，则的面积是____． 15．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图1，将面积为的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为______． 16．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，矩形，点，分别为，的中点，连结与对角线相交于点．点是上一点，连结与相交于点，将沿折叠，点的对应点恰好落在点，则________． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 18．（8分）（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在格点上．（要求仅用无刻度的直尺画图，不写作法，保留画图痕迹） (1)在图1中，点O在格点上，画出以为边，O为对角线交点的平行四边形； (2)在图2中，画出一个以线段为对角线，面积为6的矩形，点，均在格点上． 19．（10分）（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 20．（10分）（2026·浙江·模拟预测）如图，在中，为对角线，按下列要求作图： ①分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，Q； ②作直线，分别交，，于点O，E，F，连结，． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若平分，，，，求的面积． 21．（12分）（25-26八年级下·山东济南·期末）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 22．（12分）（25-26八年级下·四川泸州·阶段检测）如图1所示，在正方形中，点 为边上一点，连接，过点 作交 于点 ，过点 作交的延长线于点 ． (1)请问和 有何数量关系，并说明理由； (2)如图所示，在（1）的条件下，以和 为边向右作矩形，连接 交于点，求的度数． 23．（14分）（25-26九年级下·山东菏泽·期中）综合与实践 【问题背景】数学学习中，很多特殊图形具有共同的结构特征．某数学小组对角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行研究，发现它们都包含一种特殊四边形模型，如图所示． 【归纳总结】 (1)定义：四边形中，若，则称该四边形为筝形．请写出筝形的两条性质（不需证明）： ①_____； ②_____． 【知识迁移】 (2)如图1，将正方形绕点A逆时针旋转任意角度，得到正方形，边与交于点E．求证：四边形是筝形； (3)若将（2）中“正方形”改为“菱形”，其余条件不变，如图2，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形正确结论． 【拓展延伸】 (4)如图3，在（2）的正方形旋转图形中，连接、交于点O．若正方形边长为6，求的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由一元二次方程有两个相等实数根得判别式为0，推导m与n的数量关系，结合n的范围判断的范围． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴． ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 两边同除以，得 ， 整理得 ． 当时，， ∴， 则 ，可能小于1也可能大于1，故A、B均不成立． 当时，， ∴， ∴，故C错误，D正确． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在四边形中，、是对角线上的两点（不与点、重合），且，连接、、、，则下列结论错误的是（    ） A．若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形 B．若四边形是菱形，则四边形是菱形 C．若四边形是矩形，则四边形是矩形 D．若四边形是正方形，则四边形是菱形 【答案】C 【分析】连接交于点，利用平行四边形对角线互相平分及得出，判定四边形为平行四边形，再结合特殊平行四边形的性质逐项判断． 【详解】解：连接交于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， 即． ∵，， ∴四边形是平行四边形，故A不符合题意． 若四边形是菱形， ∴，即． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故B不符合题意． 若四边形是矩形， ∴． ∵、是对角线上的两点（不与点、重合）， ∴， 即． ∴四边形不是矩形，故C符合题意． 若四边形是正方形， ∴， 即． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故D不符合题意． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，从第一个方程得到两根和与两根积，再对第二个方程利用根与系数的关系得到的表达式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵一元二次方程的两根为，， ∴两根之积满足， ∴． 4．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，F是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点E，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】过点作，，垂足分别为．证明得到，进而推导出，结合和等腰直角三角形的性质，易得答案． 【详解】解：如图所示，过点作，，垂足分别为． ∵四边形是正方形， ∴平分，， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 5．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．1 B． C．或 D．1或 【答案】C 【分析】根据新运算定义，分和两种情况列一元二次方程，求解后舍去不符合前提的解，即可得到的值，选出正确选项． 【详解】解：当，即时，， ∵ ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当，即时，， ∵ ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，x的值为或． 6．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，以为顶点作线段，使且，且点恰好落在上，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作交于点，交于点，证明四边形是矩形，得出，利用勾股定理求出，再证明，得出，再利用勾股定理依次求出，，最后利用线段和差关系求解即可求出结论． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 在正方形中，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ，， ， （负值已舍去）， ， ， ， ， ， 在中，，， ，即， （负值已舍去）， ， ， ． 7．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知，，，下列结论正确的是（　　） A．若，则或 B．当时，的值为2，则或 C．有最大值 D．若，则关于x的方程有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】A选项：令，代入表达式化简得，解方程即可判断； B选项：当时，代入，化简得，解得或，即可判断； C选项：计算得，因平方项非负，表达式无最大值，即可判断； D选项：令，化简得，判别式，方程有两个不相等实根，即可判断． 【详解】解：A选项： 若， 则， 将，代入得： ， 化简：， 解得或，故A选项错误； B选项： 当时，代入， ， 代入：， 解得或， 并非或，故B选项错误； C选项， 所以无最大值，故C选项错误； D选项，若，则， 将，代入得： ， 化简：， 判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故D选项正确． 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过正方形性质证明两组三角形全等，推导出确定动点的运动轨迹，再取中点构造定长线段，结合勾股定理与三角形三边关系，进而求出线段长度的最小值． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即是直角三角形，， 取的中点，连接、， 在中，是斜边的中点， ， 正方形边长为，即， ， 是中点， ， 又，， ， 在中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，即， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时取得最小值， ． 9．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据四边形的面积等于四边形面积的倍列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积， 四边形面积， 四边形的面积等于四边形面积的倍， ， 整理得 设， ， 解得或（舍去）， ． 10．（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于点，连接，．有下列结论：①；②四边形是菱形；③四边形是矩形；④．其中正确结论的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题重点考查平行线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，推导出，且，是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质得，，，而、分别为边、的中点，则，，则四边形是平行四边形，所以，可判断①正确；由，得，则，所以四边形是菱形，可判断②正确；由，交的延长线于点，得，则四边形是平行四边形，而，所以四边形是矩形，可判断③正确；设，，则，求得，则，所以，则四边形：：：，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，，， 、分别为边、的中点， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， 故①正确； ， ， ， 四边形是菱形， 故②正确； ，交的延长线于点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 故③正确； 设，，则， ，， ， ，， ∴， 故④错误， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2025·江西南昌·模拟预测）已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 【答案】17 【分析】先得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， 则原式 ． 12．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）已知两个关于x的一元二次方程：(b，c均为常数)，．其中，方程的一个根是，方程有两个相等的实数根，则b的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的解．依据题意，由方程的一个根是，求得，再由方程有两个相等的实数根，可得，进而，最后计算即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵方程的一个根是， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2026·江苏南京·三模）正方形中，点O为对称中心，过点O且点E在上，点F在上，，．则____________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质及中心对称性得出，从而求出正方形的边长及的长，过点作的垂线构造直角三角形，利用勾股定理计算的长． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是正方形，点为对称中心 点与点关于点对称， 在和中 四边形是正方形 ，， 四边形是矩形 在中，由勾股定理得 ． 14．（2021·天津南开·二模）如图，菱形ABCD和菱形EFGH的面积分别为和，CD落在EF上，，若的面积为，则的面积是____． 【答案】8.5 【分析】连接FH，菱形和菱形中，，可得，可得和同底等高，再根据，，计算即可得出答案. 【详解】解：连接FH，在菱形和菱形中，， ， ， ， 和同底等高， 菱形的面积为，， ， ， 故答案为：8.5. 【点睛】本题考查菱形的性质以及三角形面积的求法，关键在于识别出同底等高的三角形的面积相等. 15．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图1，将面积为的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解决几何问题，关键是根据正方形与拼接后矩形的面积相等，结合边长的关系列方程求解． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴正方形的边长为4． 设的长为，由拼图结构可知，矩形的另一边长度为． ∴， 整理得， 由求根公式得， ∴(舍去负值)． 故答案为：． 16．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，矩形，点，分别为，的中点，连结与对角线相交于点．点是上一点，连结与相交于点，将沿折叠，点的对应点恰好落在点，则________． 【答案】 【分析】连接交于点O，连接，根据三角形中位线及线段关系把两个三角形面积都用的面积表示出来即可． 【详解】解：连接交于点O，连接，， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ． ∴ ∴ 是的中点． 矩形中，， ， ， 点分别为的中点， ， ． , ． ， 根据折叠可知， ， ． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； (2) (3)的最大值为 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 18．（8分）（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在格点上．（要求仅用无刻度的直尺画图，不写作法，保留画图痕迹） (1)在图1中，点O在格点上，画出以为边，O为对角线交点的平行四边形； (2)在图2中，画出一个以线段为对角线，面积为6的矩形，点，均在格点上． 【答案】(1)如图1，平行四边形即为所求． (2)如图2，矩形即为所求． 【分析】（1）因为平行四边形的对角线互相平分，所以点O必须是和的中点．作图步骤：连接，延长到点,使；连接，以O为中心，将绕O旋转，得到的线段即为；依次连接A→C→E→F→A，即得平行四边形． （2）因为矩形的对角线互相平分且相等，所以的中点也是的中点．作图步骤：找出的中点，再在格点上找一点B，使得（即矩形邻边垂直）且满足矩形面积；确定点D，使为的中点；依次连接A→B→C→D→A，即得矩形． 【详解】（1）略 （2）略 19．（10分）（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 20．（10分）（2026·浙江·模拟预测）如图，在中，为对角线，按下列要求作图： ①分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，Q； ②作直线，分别交，，于点O，E，F，连结，． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若平分，，，，求的面积． 【答案】(1)四边形是菱形．理由如下： 由题意得，垂直平分， ，，， 在中，， ． 又，， （ASA）， ， ， 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）由 垂直平分 得 ，，结合平行四边形得 及全等证 ，从而四边相等得四边形是菱形； （2）利用菱形对角线垂直及角平分线性质，分别求出 和 的面积，相加得 面积，进而求出平行四边形面积． 【详解】（1）略 （2）如图，过点F作于点H． 四边形是菱形， ， ， ， ． 平分，，， ， ， ， ． 21．（12分）（25-26八年级下·山东济南·期末）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 【答案】(1)；； (2)1或3 (3)6 【分析】（1）与题干思路一致，画出图形更容易得解； （2）先因式分解变形得，再根据题干条件分析，，进而分类讨论求解即可； （3）先画出图形，根据小正方形的面积为4，得到①，根据大正方形的面积可得新的方程：，则②，解方程即可． 【详解】（1）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为； （2）解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，， 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1； 当时，， ∴，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3； （3）解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， ∵小正方形的面积为4，， ∴，①， ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②， ②①得， 解得， 将代入①得， 解得． 22．（12分）（25-26八年级下·四川泸州·阶段检测）如图1所示，在正方形中，点 为边上一点，连接，过点 作交 于点 ，过点 作交的延长线于点 ． (1)请问和 有何数量关系，并说明理由； (2)如图所示，在（1）的条件下，以和 为边向右作矩形，连接 交于点，求的度数． 【答案】(1)， 理由：如下图所示， 四边形是正方形， ，， ∵ ， 又， ， ， 在与中， ， ， ． (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可证，再根据平行线的性质可证，可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等可得； （2）首先连接根据可证，根据全等三角形对应边相等可证，从而可证，再根据可证，可证是等腰直角三角形，可得，再根据平行线的性质可得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， 由（1）可知，， 矩形是正方形， ， ， ， 在 和中， ， ， ， ， ， 在 和中， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 23．（14分）（25-26九年级下·山东菏泽·期中）综合与实践 【问题背景】数学学习中，很多特殊图形具有共同的结构特征．某数学小组对角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行研究，发现它们都包含一种特殊四边形模型，如图所示． 【归纳总结】 (1)定义：四边形中，若，则称该四边形为筝形．请写出筝形的两条性质（不需证明）： ①_____； ②_____． 【知识迁移】 (2)如图1，将正方形绕点A逆时针旋转任意角度，得到正方形，边与交于点E．求证：四边形是筝形； (3)若将（2）中“正方形”改为“菱形”，其余条件不变，如图2，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形正确结论． 【拓展延伸】 (4)如图3，在（2）的正方形旋转图形中，连接、交于点O．若正方形边长为6，求的最小值． 【答案】(1)①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半（本题答案不唯一，只要正确即可） (2) 证明：如图1，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的正方形， ，， 在和中， ， ， ， ∴四边形是筝形． (3) 解：四边形是筝形， 理由：如图2，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的菱形， ，， ， ， ， ， ∴四边形是筝形． (4) 【分析】（1）利用筝形的定义解答即可； （2）连接，利用正方形的性质得到，，利用全等三角形的判定与性质得到，依据筝形的定义解答即可； （3）连接，由旋转知，，得，，进而得，进而得，故可得结论； （4）利用筝形的性质和圆的有关性质得到点O在以为直径的半圆上运动，的中点M为该半圆的圆心，连接，结合图形得到当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为，利用正方形的性质和勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：由筝形的定义可得：①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半；③筝形是轴对称图形等；（本题答案不唯一，只要正确即可） （2）略 （3）略 （4）解：如图3， 由（2）知四边形是筝形， ，， 点A、E在线段的垂直平分线上， ， ， ∴点O在以线段为直径的半圆上运动， 取的中点M，则点M为该半圆的圆心，连接，， ， 当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为， ∵正方形的边长为6， ∴， ，且M为的中点， ， ∴， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $