九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷（新教材苏科版，举一反三，测试范围：第1章 一元二次方程 ～第2章 反比例函数）

**基本信息** 聚焦反比例函数与一元二次方程，融合新定义运算、赵爽勾股圆方图等文化素材及几何综合题，通过分层设计量化拔尖学生抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|反比例函数图像性质、一元二次方程根的判别式|如第5题新定义运算，考查符号意识与分类讨论| |填空题|6/18|韦达定理、反比例函数几何意义|如第14题图形剪拼，关联方程与几何直观| |解答题|7/72|函数与几何综合、新定义“差根方程”|如22题用赵爽法解方程，体现文化传承；23题“伴随矩形”定义，考查模型意识与创新应用|

九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由一元二次方程有两个相等实数根得判别式为0，推导m与n的数量关系，结合n的范围判断的范围． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴． ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 两边同除以，得 ， 整理得 ． 当时，， ∴， 则 ，可能小于1也可能大于1，故A、B均不成立． 当时，， ∴， ∴，故C错误，D正确． 2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）正比例函数与反比例函数的图像相交于A，B两点，，，且．点，在反比例函数上，其中，则下面结论正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用正比例函数与反比例函数交点的中心对称性质求出的符号，再根据时，反比例函数的单调性判断和的大小关系． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的交点关于原点中心对称 ∴， 代入 得： ， ∵在反比例函数上， ∴， ∴，即 ∵时，反比例函数在第一象限内，随的增大而减小，， ∴． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，从第一个方程得到两根和与两根积，再对第二个方程利用根与系数的关系得到的表达式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵一元二次方程的两根为，， ∴两根之积满足， ∴． 4．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，设点的坐标是，则点的坐标是，根据等腰三角形的性质可得，根据反比例函数的解析式可知点的纵坐标是，从而可得，根据三角形的面积公式即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 设点的坐标是，则点的坐标是， ，， 是等腰三角形， ， 轴 点的横坐标是，纵坐标是， 轴交双曲线于点， 点的横坐标是， 点的纵坐标是， ， ， ， ． 5．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．1 B． C．或 D．1或 【答案】C 【分析】根据新运算定义，分和两种情况列一元二次方程，求解后舍去不符合前提的解，即可得到的值，选出正确选项． 【详解】解：当，即时，， ∵ ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当，即时，， ∵ ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，x的值为或． 6．（2025·山东威海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点D，双曲线经过点D，交边于点E，且，则E的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，求得点和点坐标，从而求得直线和反比例函数的解析式，联立即可求解． 【详解】解：过点作，如下图： 在菱形中，，，， ， ， 设，则， 由图可得，，即， 由勾股定理得 解得或（舍去）， ，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ， 将代入得， 解得，即， 又为的中点， ， 设直线解析式为， 代入、得，， 解得， ∴， 联立和得， 解得或（舍）， 检验：将代入分母得，结果不为0， ∴是分式方程的解， 将代入得，， ∴． 7．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据四边形的面积等于四边形面积的倍列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积， 四边形面积， 四边形的面积等于四边形面积的倍， ， 整理得 设， ， 解得或（舍去）， ． 8．（2026·广东深圳·三模）新定义：是关于的函数，当时，的最大值为，最小值为，此时令，则称当时，为关于的型函数．在下列函数中，当时，为关于的2型函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义，已知，可得，要求，即需要函数在该区间内的最大值与最小值满足，依次计算各选项的即可判断． 【详解】解：由题意得 ，，， ， ， 在中，， 随的增大而增大， 当时，最小值；当时，最大值， ，A选项不符合要求； 在中，， 随的增大而减小， 当时，最大值；当时，最小值， ，满足，B选项符合要求； 在中，， 在每个象限内，随的增大而减小， 当时，最大值；当时，最小值， ，C选项不符合要求； ， 开口向上，对称轴为，距离对称轴越远，函数值越大， 当时，最小值，离对称轴更远，时取得最大值， ，D选项不符合要求 9．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知，，，下列结论正确的是（　　） A．若，则或 B．当时，的值为2，则或 C．有最大值 D．若，则关于x的方程有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】A选项：令，代入表达式化简得，解方程即可判断； B选项：当时，代入，化简得，解得或，即可判断； C选项：计算得，因平方项非负，表达式无最大值，即可判断； D选项：令，化简得，判别式，方程有两个不相等实根，即可判断． 【详解】解：A选项： 若， 则， 将，代入得： ， 化简：， 解得或，故A选项错误； B选项： 当时，代入， ， 代入：， 解得或， 并非或，故B选项错误； C选项， 所以无最大值，故C选项错误； D选项，若，则， 将，代入得： ， 化简：， 判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故D选项正确． 10．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，，由菱形的性质可得，求出，证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值． 【详解】解：过点作轴于点，记与轴交于点F，与轴交于点N，连接，， 是的中点，四边形是菱形， ∴，， ，， 轴，O为的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∴点N是的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∵，，均垂直轴， ∴， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2025·江西南昌·模拟预测）已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 【答案】17 【分析】先得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， 则原式 ． 12．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象上．作轴于点A，交延长线于点C，则的面积为 ________ ．（用含k的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设点P的坐标为，可得出，由点P和点Q关于原点对称可得出，再结合已知条件可得出，再得出，，再根据三角形面积公式得出，最后根据反比例函数的图象得出即可得出答案． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在反比例函数上， ∴， ∵点P和点Q关于原点对称， ∴， ∵轴，， ∴， ∴，， ∴， ∵反比例函数在第二和第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）已知两个关于x的一元二次方程：(b，c均为常数)，．其中，方程的一个根是，方程有两个相等的实数根，则b的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的解．依据题意，由方程的一个根是，求得，再由方程有两个相等的实数根，可得，进而，最后计算即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵方程的一个根是， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图1，将面积为的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解决几何问题，关键是根据正方形与拼接后矩形的面积相等，结合边长的关系列方程求解． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴正方形的边长为4． 设的长为，由拼图结构可知，矩形的另一边长度为． ∴， 整理得， 由求根公式得， ∴(舍去负值)． 故答案为：． 15．（2026·陕西西安·三模）若反比例函数的图象经过，两点，若，分别位于双曲线的两个分支，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据，两点位于反比例函数两个分支，可得两点横坐标异号，结合横坐标大小得到关于的不等式，再结合判断反比例函数比例系数的符号，联立求解得到的取值范围． 【详解】解：点，分别位于双曲线的两个分支， 两点横坐标异号． 又， ，， 解得． ，点，分别位于双曲线的两个分支， ∴． ∴反比例函数的图象经过一、三象限． ，即． 综上所述，． 16．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 【答案】 【分析】设，，根据等腰直角三角形的性质表示出，的长，进而表示出点的坐标，利用点在反比例函数图象上得到与的关系式，再根据三角形面积差建立方程求解即可； 【详解】解：设，（，）， 为等腰直角三角形，， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ，即， 由图可知，点的坐标为，点的坐标为， 点在上，， 点的纵坐标为，横坐标为， ，，且点在第二象限， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， ． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“方程有两个不相等的实数根”可知判别式,列不等式即可求出的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到两根之和，结合已知，求出两根的值，再通过两根之积求出的值． 【详解】（1）解：已知一元二次方程为 ,方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系可得 ，， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∴． 18．（8分）（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； (2) (3)的最大值为 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 19．（10分）（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，反比例函数（k是常数）与一次函数（b是常数）的图象相交于点，． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴相交于点C，点P是反比例函数图像上的动点，连接、，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)或； (3)或. 【分析】（1）把代入和解方程即可得到结论； （2）把代入得，，得到，于是得到不等式的解集； （3）设，先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式构建关于m的方程求解即可. 【详解】（1）的图象与一次函数的图象交于． ∴，， ∴，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：把代入得， ∴， ∴不等式的解集为或； （3）解：对于，当时，，解得， ∴， 设， ∵的面积为6， ∴， 解得， 当时，，则； 当时，，则； 综上，点P的坐标为或. 20．（10分）（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 21．（12分）（25-26九年级下·山东济南·开学考试）如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（）；点 (2)①3；存在，点M的坐标为或 【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标； （2）①延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，作AE⊥x轴，PF⊥x轴，由此即可得出AE，PF，EF的长度，根据反比例中的模型：三角形的面积公式等于梯形面积，即可得出结论； ②首先，由于四边形是矩形，其邻边必然垂直，即，过作的垂线分别交，于点，，已知点，所以可以求出直线的解析式；接下来，因为点必须落在平行四边形的边上，所以需要分情况讨论：分别令直线与平行四边形的两条边（、）所在的直线方程联立求解，最后，通过验证求出的交点是否在线段范围内，即可筛选出所有符合条件的点的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的关系式为. 四边形为平行四边形，且点，，点， 点，点. （2）解：①作轴于点E，作轴于点F，如图3所示， 点为线段的中点，点、， 点， 令中，则， 点， 根据反比例函数的几何意义得， ， ②假如四边形是矩形，则，过作的垂线分别交，于点，，作轴于点，如下图： 点， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 直线的关系式为， 联立， 解得， ； ∴点的坐标为或． 22．（12分）（25-26八年级下·山东济南·期末）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 【答案】(1)；； (2)1或3 (3)6 【分析】（1）与题干思路一致，画出图形更容易得解； （2）先因式分解变形得，再根据题干条件分析，，进而分类讨论求解即可； （3）先画出图形，根据小正方形的面积为4，得到①，根据大正方形的面积可得新的方程：，则②，解方程即可． 【详解】（1）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为； （2）解：∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，， 解得：，， 当时，， ∴， 解得， ∴方程的一个正根为1； 当时，， ∴，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3； （3）解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， ∵小正方形的面积为4，， ∴，①， ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②， ②①得， 解得， 将代入①得， 解得． 23．（14分）（2026·广东佛山·模拟预测）定义：以反比例函数图象上的两点为端点，两点连线为对角线，且边都平行于坐标轴的矩形为该反比例函数的伴随矩形，矩形的另一条对角线所在直线为该反比例函数的伴随直线．如图1，矩形的顶点、在反比例函数的图象上，所以矩形是反比例函数的伴随矩形，直线是反比例函数的伴随直线． (1)如图2，已知反比例函数的图象经过矩形的顶点，轴，轴，，，求反比例函数的表达式，并判断矩形是否为该反比例函数的伴随矩形． (2)求证：任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点． (3)如图3，已知矩形和矩形都是反比例函数的伴随矩形，且对应的伴随直线均为． ①求证：直线与直线的交点M始终在直线上； ②若矩形的周长为30，矩形的周长为6，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：；矩形是该反比例函数的伴随矩形 (2)证明：设任意反比例函数解析式为：，取它的任意一个伴随矩形，假设在函数图象上的两个对角顶点分别为：，． ∵矩形的边平行于坐标轴， ∴另外两个对角顶点坐标为：，． 设伴随直线的解析式为：， 将点B，点D代入解析式， 则有：， ①-②得：， 整理得：， 即， ∵， ∴两边约去，得：， 将代入①，可得：， 即， ∴伴随直线的解析式为：， 当时，， ∴该直线恒过原点， 即任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点． (3)①证明：设伴随矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为， ∵矩形的边平行于坐标轴， ∴另外两个对角顶点坐标为：，． 由伴随直线为，结合伴随矩形顶点性质可得点B、点D在直线上， 即：，， 化简得：， 即， ∴点C坐标为． 同理可设伴随矩形的顶点E的坐标为， 同理可得顶点G的坐标为． 设直线的解析式为：， 将点A，点E坐标代入解析式， 得：， ①-②得：， 整理得：， 即， ∵， ∴两边约去，得：， 将代入①，可得：， 即， ∴， ∴直线的解析式为：． 同理，设直线的解析式为：， 将点C，点G坐标代入解析式， 得：， ①-②得：， 整理得：， 即， ∵， ∴两边约去，得：， 将代入①，可得：， 即， ∴， ∴直线的解析式为：． 联立直线与直线的解析式， 得：， ①-②得：， 整理得：， 即 ∴， ∴ ∴ ∴， 将代入②得：， 即， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 即直线与直线的交点坐标为：， 经检验，该点坐标满足， 因此直线与直线的交点M始终在直线上． ② 【分析】（1）将点A代入反比例函数解析式求出k值，得到函数表达式；根据边平行于坐标轴，以及边的长度，计算出点C坐标，验证点C是否在反比例函数图象上，即可判断是否为伴随矩形； （2）设任意反比例函数解析式为：，取它的任意一个伴随矩形，假设在函数图象上的两个对角顶点分别为：，．根据矩形的边平行于坐标轴，推出另外两个顶点的坐标，将它们代入直线解析式计算，最后得到直线的常数项为0，即可证明直线恒过原点； （3）①设伴随矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，先推出另外两个顶点坐标，．由伴随直线为，结合伴随矩形顶点性质可得点B、点D在直线上，推导出，即得到点C坐标为．同理可设伴随矩形的顶点E的坐标为，同理可得顶点G的坐标为．运用待定系数法求出直线与直线的解析式，联立两直线方程，求出直线与直线的交点M的坐标，最后检验该点坐标满足，即可证得结论； ②设伴随矩形的顶点A的坐标为，由①可知，点C坐标为， 则矩形的长为：，宽为：，根据“矩形的周长为30”，建立关于a的方程，解方程，即可求得a的值；设伴随矩形的顶点E的坐标为，由①可知，点G的坐标为，同理可求出c的值；最后根据①中求出的点M坐标，代入a和c的值，即可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过矩形的顶点， ∴将点代入中， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为：． ∵轴， ，， ∴， 即． 同理，∵轴，，， ∴， 即， ∵， 即点C坐标满足反比例函数的关系式， ∴点C在反比例函数的图象上． 根据伴随矩形的定义，点A、点C都在反比例函数图象上，且边都平行于坐标轴，因此矩形是该反比例函数的伴随矩形． （2）略 （3）①略 ②解：设伴随矩形的顶点A的坐标为， 由①可知，点C坐标为， 则矩形的长为：，宽为：， 周长为： 化简得：， 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴，． 同理，设伴随矩形的顶点E的坐标为， 由①可知，点G的坐标为． 则矩形的长为：，宽为：， 周长为： 化简得：， 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴，． 由①可知，直线与直线的交点坐标为：， ∵，， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 一元二次方程 ~第2章 反比例函数 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）正比例函数与反比例函数的图像相交于A，B两点，，，且．点，在反比例函数上，其中，则下面结论正确的是（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 4．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．1 B． C．或 D．1或 6．（2025·山东威海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点D，双曲线经过点D，交边于点E，且，则E的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（     ） A． B． C． D． 8．（2026·广东深圳·三模）新定义：是关于的函数，当时，的最大值为，最小值为，此时令，则称当时，为关于的型函数．在下列函数中，当时，为关于的2型函数的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知，，，下列结论正确的是（　　） A．若，则或 B．当时，的值为2，则或 C．有最大值 D．若，则关于x的方程有两个不相等的实数根 10．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点、都在反比例函数（）的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若菱形的面积为40，则的值为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2025·江西南昌·模拟预测）已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 12．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象上．作轴于点A，交延长线于点C，则的面积为 ________ ．（用含k的式子表示） 13．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）已知两个关于x的一元二次方程：(b，c均为常数)，．其中，方程的一个根是，方程有两个相等的实数根，则b的值是______． 14．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图1，将面积为的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为______． 15．（2026·陕西西安·三模）若反比例函数的图象经过，两点，若，分别位于双曲线的两个分支，且，则的取值范围是_____． 16．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，反比例函数，和均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若，则________． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 18．（8分）（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 19．（10分）（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，反比例函数（k是常数）与一次函数（b是常数）的图象相交于点，． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴相交于点C，点P是反比例函数图像上的动点，连接、，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 20．（10分）（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 21．（12分）（25-26九年级下·山东济南·开学考试）如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（12分）（25-26八年级下·山东济南·期末）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 23．（14分）（2026·广东佛山·模拟预测）定义：以反比例函数图象上的两点为端点，两点连线为对角线，且边都平行于坐标轴的矩形为该反比例函数的伴随矩形，矩形的另一条对角线所在直线为该反比例函数的伴随直线．如图1，矩形的顶点、在反比例函数的图象上，所以矩形是反比例函数的伴随矩形，直线是反比例函数的伴随直线． (1)如图2，已知反比例函数的图象经过矩形的顶点，轴，轴，，，求反比例函数的表达式，并判断矩形是否为该反比例函数的伴随矩形． (2)求证：任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点． (3)如图3，已知矩形和矩形都是反比例函数的伴随矩形，且对应的伴随直线均为． ①求证：直线与直线的交点M始终在直线上； ②若矩形的周长为30，矩形的周长为6，直接写出点M的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $