重难点专题 一元二次方程的概念（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

重难点专题 一元二次方程的概念 重难点一 判断是否是一元二次方程 一个方程如果符合以下三个条件就是一元二次方程：①只含有一个未知数（一元）；②未知数的最高次数是2（二次）；③等式两边都是整式（整式方程）.特别注意：①三个条件缺一不可；②隐含条件二次项系数不为0. 1．（2026九年级上·全国·课后作业）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 故答案为D. 2．（2026-广东中山·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故答案为A. 3．（2026九年级上·全国·课后作业）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 故答案为D. 4．（2026浙江温州·期中）若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义，得到“”是含的二次项，进行判断即可. 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴“”是含的二次项， ∴“”可以是，其他选项均不能构成一元二次方程. 故答案为B 5．（2026威海·期中）下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是 ． 【分析】本题根据一元二次方程的定义判定，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐个验证每个方程即可得出结果． 【详解】解：①，由于题目未规定，当时方程不是二次方程，则①不是一元二次方程； ②展开整理得：，则②是一元二次方程； ③是分式方程，不是整式方程，则③不是一元二次方程； ④，由于，则，则④是一元二次方程； ⑤不是整式方程，则⑤不是一元二次方程； ⑥，满足一元二次方程所有定义条件，则⑥是一元二次方程； 综上所述，②④⑥是一元二次方程． 6．（2026九年级上·全国·课后作业）判断关于x的方程是否为一元二次方程． 【答案】当时，关于x的方程是一元二次方程； 当时，关于x的方程不是一元二次方程． 【分析】先将原方程整理为整式方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义分类讨论即可． 【详解】解：， ， ， 当，即时，原方程不是一元二次方程； 当，即时，原方程是一元二次方程． 重难点二 确定一元二次方程的字母系数 根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程式是一元二次方程，来确定字母系数.特别注意：二次项系数不为0. 1．（2025·贵港·期中）关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：（）未知数的最高次数是；（）二次项系数不为．据此即可求解． 【详解】解：由一元二次方程的定义可得，解得：． 故答案为A． 2．（2026·重庆·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【分析】由一元二次方程的定义求字母的值，即二次项系数不为0，未知数的最高次数是2. 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 故答案为B 3．（2026·宜宾·九年级校考阶段练习）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键：一般地，形如（其中a、b、c是常数，）的方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为B． 4．（2025.定西·期中统考）已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 【分析】本题主要查了一元二次方程的定义．根据“含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程式是一元二次方程”，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 5．（2026山东烟台·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 重难点三 判断一元二次方程的项及项的系数 任意一元二次方程经过整理（去分母、去括号、移项、合并同类项），都可化为统一形式：，这就是一元二次方程的一般形式，其中是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项.特别注意：系数包括每项前面的负号. 1．（2026·广西百色·期中）一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 【分析】本题考查了一元二次方程的有关定义，解题的关键是掌握相关定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，一般形式为，其中，，分别为二次项，一次项和常数项．先将一元二次方程化为一般式，即可求解． 【详解】解：由可得， 则常数项为，D选项符合题意． 故答案为D． 2．（2026·广西梧州·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】本题考查一元二次方程的知识，先将一元二次方程整理为一般形式，一元二次方程的一般形式为 （），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.排除二次项系数为的错误选项，即可得到结果． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式：原方程为 移项得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为D． 3.（2026.九年级上·全国·课后作业）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是什么？ 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为．一元二次方程化为一般形式后，找出一次项系数与常数项即可． 【详解】解：方程整理得：， 则一次项系数、常数项分别为，3． 4．（2026九年级上·全国·课后作业）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 【分析】先将各方程一元二次方程一般形式，再利用一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答即可． 【详解】解：方程可化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为：3，，0； 方程可化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为：1，1，； 方程可化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为：7，0，4． 5．（2026九年级上·全国·课后作业）将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项． 【答案】，二次项为，二次项系数为，一次项为，一次项系数为，常数项为． 【分析】首先利用完全平方公式把方程化为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义得出它的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项． 【详解】解：去括号得：， 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为：， 二次项为，二次项系数为，一次项为，一次项系数为，常数项为． 6．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 重难点四 确定一元二次方程的解，求字母系数 依据是一元二次方程的解（根）的定义，将未知数值代入方程两边根据是否相等判断.根据一元二次方程解（根）的定义，将方程的解代入方程，建立所求字母为未知数的方程，求出字母.特别注意：求出的字母系数不能使二次项系数为0. 1.（2025.九上·昭通·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于的方程，求解后再结合一元二次方程的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. 故答案为A． 2．（2026·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴．故答案为C． 3．（2026·浙江杭州·阶段检测）对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（     ） ①若，则方程有一根为； ②若，则方程有一根为； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有一根为． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义，解题关键是利用根的定义代入验证，，逐一定证即可． 【详解】解：①将代入方程，得，已知，因此，即是方程的根，故①正确； ②将代入方程，得，已知，即是方程的根，故②正确； ③若是方程的根，代入得，整理得，当时，等式不一定成立，故③错误； ④将代入方程，得，已知，因此，即是方程的根，故④正确； 综上，①②④正确． 故答案为B． 4．（2026·广东深圳·三模）已知一元二次方程的一个根是1，请写出一个一元二次方程____． 【分析】一元二次方程要求二次项系数不为0，将根代入方程满足等式，即可得到符合要求的方程． 【详解】解：设一元二次方程的一般形式为， ∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 任意取满足条件的，例如取，，， 得到一元二次方程， 验证可知是该方程的根，符合要求． 故答案为（答案不唯一） 5．（2026·济宁·校考期中）方程的一个实数根为m ，求的值. 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，求解代数式的值，本题由方程的解可得，再代入求值即可． 【详解】解：∵方程的一个实数根为m ， ∴，即， ∴. 6．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知，都是方程的根，试求代数式的值． 【解析】由一元二次方程解的定义先求出的值. 【详解】解：∵，都是方程的根， ∴，， ∴， ∴ . 重难点五 一元二次方程概念的综合应用 依据是一元二次方程的定义、解的定义，解决与其相关的综合问题. 1．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 故答案为C． 2．（2026·浙江温州·期中）小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【分析】利用换元法和方程的解的定义求解，设，由的解为，得到一元二次方程的解，再把方程变形为，令，可得，通过对应关系求出方程的解． 【详解】解：设， ∵ 的解为，， ∴ ，， 即的解为，， 对方程两边同乘，得， 即， 令，可得， ∴ 该方程的解为，， 即，， 解得，． 故答案为B． 3．（2026·福建福州·阶段检测）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设，则，进而得到，即是方程的根，进而得到是方程的根，由得到，根据可知，是方程的两个根，则或，排除，进而根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵， ∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得， 即， ∵， ∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故答案为D． 4．（2026·江苏南通·阶段检测）关于的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是___________． 【分析】本题考查了一元二次方程的解．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到或，解之即可得出结论． 【详解】解：可把方程看作关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的解是， ∴关于的方程的解是或， ∴或． 故答案为：或． 5．（2026·北京海淀·开学考试）若是关于的方程的一个解，则代数式的值为___________． 【分析】将方程的解代入方程得到，化简所求代数式后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 整理得， ∴ ．故答案为： 6．（2026·江苏·暑假作业）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·全国·周测）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如． (1)判断是否为一元二次方程． (2)判断和是否是方程的根． 【分析】本题考查了新定义运算、一元二次方程的定义以及方程根的检验方法，掌握新运算的转化规则和方程根的验证方法是解题的关键． （1）根据新运算的法则，将展开并整理成整式方程形式，再根据一元二次方程的定义进行判断； （2）先根据新运算将转化为整式方程，再将和分别代入方程，通过检验等式是否成立来判断是否为方程的根． 【详解】（1）解：由题意可得， 整理，得， 是一元二次方程． （2）解：由题意可得， 整理，得． 当时，， 不是方程的根． 当时，， 是方程的根． 8.（2026·浙江·期中）已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； 【分析】（1）把代入方程求解即可； （2）根据题意可得，则有，然后分类进行求解即可； （3）由题意易得，，则有，，然后根据进行分类求解即可． 【详解】【答案】(1)把代入， 得，不成立， 故不是方程的根． (2)证明：由题意，得， 则，即， 当时，方程，完全相同，不合题意， 当时，则，故（舍去），， 把代入，得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 一元二次方程的概念 重难点一 判断是否是一元二次方程 一个方程如果符合以下三个条件就是一元二次方程：①只含有一个未知数（一元）；②未知数的最高次数是2（二次）；③等式两边都是整式（整式方程）.特别注意：①三个条件缺一不可；②隐含条件二次项系数不为0. 1．（2026九年级上·全国·课后作业）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026-广东中山·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026九年级上·全国·课后作业）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026浙江温州·期中）若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 5．（2026威海·期中）下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是 ． 6．（2026九年级上·全国·课后作业）判断关于x的方程是否为一元二次方程． 重难点二 确定一元二次方程的字母系数 根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程式是一元二次方程，来确定字母系数.特别注意：二次项系数不为0. 1．（2025·贵港·期中）关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·宜宾·九年级校考阶段练习）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A． B．2 C． D． 4．（2025.定西·期中统考）已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 5．（2026山东烟台·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 重难点三 判断一元二次方程的项及项的系数 任意一元二次方程经过整理（去分母、去括号、移项、合并同类项），都可化为统一形式：，这就是一元二次方程的一般形式，其中是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项.特别注意：系数包括每项前面的负号. 1．（2026·广西百色·期中）一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 2．（2026·广西梧州·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3.（2026.九年级上·全国·课后作业）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是什么？ 4．（2026九年级上·全国·课后作业）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 5．（2026九年级上·全国·课后作业）将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项． 6．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 重难点四 确定一元二次方程的解，求字母系数 依据是一元二次方程的解（根）的定义，将未知数值代入方程两边根据是否相等判断.根据一元二次方程解（根）的定义，将方程的解代入方程，建立所求字母为未知数的方程，求出字母.特别注意：求出的字母系数不能使二次项系数为0. 1.（2025.九上·昭通·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 2．（2026·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江杭州·阶段检测）对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（     ） ①若，则方程有一根为； ②若，则方程有一根为； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有一根为． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 4．（2026·广东深圳·三模）已知一元二次方程的一个根是1，请写出一个一元二次方程____． 5．（2026·济宁·校考期中）方程的一个实数根为m ，求的值. 6．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知，都是方程的根，试求代数式的值． 重难点五 一元二次方程概念的综合应用 依据是一元二次方程的定义、解的定义，解决与其相关的综合问题. 1．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 2．（2026·浙江温州·期中）小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2026·福建福州·阶段检测）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏南通·阶段检测）关于的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是___________． 5．（2026·北京海淀·开学考试）若是关于的方程的一个解，则代数式的值为___________． 6．（2026·江苏·暑假作业）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 7．（2026·全国·周测）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为． 如． (1)判断是否为一元二次方程． (2)判断和是否是方程的根． 8.（2026·浙江·期中）已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $