专题01 一元二次方程的概念及含参数问题（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程概念及参数问题，以5类分层题型构建从概念识别到解的应用的递进训练，精选各地期末真题，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|5题型15题|含高频识别、重点参数求解、一般式转化及难点解的应用|从概念（识别）到定义应用（参数），再到形式转化（一般式），最终到解的应用（判断与参数），形成完整逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|3题型13题|综合单选、填空、解答，含跨题型综合题与新定义题|深化概念理解，通过综合题训练参数问题推理能力，培养模型意识|

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01一元二次方程的概念及含参数问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1一元二次方程的识别（高频） 题型2由一元二次方程的定义求参数（重） 题型3化成一元二次方程的一般式（重） 题型4判断是否是一元二次方程的解 题型5由一元二次方程的解求参数（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1一元二次方程的识别 1.C 2.B 3.B ◆题型2由一元二次方程的定义求参数 4.1 5.2 6.1 ◆题型3化成一元二次方程的一般式 7.x2-5x-3=0 8.2 9.x2-7x+5=0 ◆题型4判断是否是一元二次方程的解 1/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.A 11.B 12.C ◆题型5由一元二次方程的解求参数 13.2 14.-2025 15. 【答案】(1)x2+3x-4=0 (2)c=-3 (3)2025 【详解】(1)解：根据新定义，方程-4x2+3x+1=0的倒方程是：x2+3x-4=0； (2)解：由题知，方程x2-2x+c=0的倒方程为cx2-2x+1=0, 将x=-1代入此方程得，c+2+1=0, 解得c=-3: (3)解：由题知，一元二次方程6x2+x+1=0的倒方程是x2+x-6=0, .是此方程的一个实数根， ∴.m2+m-6=0, .m3+m2-6m=0, .m3+m2-6m+2025=0+2025=2025. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.B 214 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.B 3.C 4.B 5.c 二、填空题 6.x2+2x-1=0 7.-2 8.2022 9.≠±2 =-2 10.x1=-2,x2=3 三、解答题 11. 【答案】11 【详解】解：：a是方程2x2-3x-6=0的一个根， .2a2-3a-6=0, .2a2-3a=6, ∴.(a+1)(a-1)+3a(a-2) =a2-1+3a2-6a, =4a2-6a-1, =2(2a2-3a-1. =2×6-1, =11. 12. 【答案】(1)m=-V5 (2)m≠±V5 【详解】(1)解：：关于x的方程(m-5)x+(m-V5)x+2=0是一元一次方程， m2-5=0且m-V5≠0， 即m=±5且m≠√5， m=-√5： 3/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：：关于x的方程m-S)x2+(m-⑤)x+2=0是一元二次方程， m2-5≠0， 解得m≠±√5 13. 【答案】(1)x2+3x-4=0 (2)c=-3 (3)2025 【详解】(1)解：根据新定义，方程-4x2+3x+1=0的倒方程是：x2+3x-4=0; (2)解：由题知，方程x2-2x+c=0的倒方程为cx2-2x+1=0, 将x=-1代入此方程得，c+2+1=0, 解得c=-3: (3)解：由题知，一元二次方程6x2+x+1=0的倒方程是x2+x-6=0, m是此方程的一个实数根， .m2+m-6=0. ∴.m3+m2-6m=0, .m3+m2-6m+2025=0+2025=2025 414 专题01 一元二次方程的概念及含参数问题 常考题型·精准突破 题型1 一元二次方程的识别（高频） 题型2 由一元二次方程的定义求参数（重） 题型3 化成一元二次方程的一般式（重） 题型4 判断是否是一元二次方程的解 题型5 由一元二次方程的解求参数（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1一元二次方程的识别 1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需要同时满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程需同时满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程， 选项A：中未知数最高次数为1，是一元一次方程，故该选项不符合题意； 选项B：中含有两个未知数，是二元二次方程，故该选项不符合题意； 选项C：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意； 选项D：中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意； B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义； C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． ◆题型2 由一元二次方程的定义求参数 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【详解】解：关于的方程是一元二次方程 未知数的最高次数为，可得 解得，此时二次项系数为，符合一元二次方程的定义． 5．（25-26八年级下·山东济南·期末）若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 6．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 1 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． ◆题型3 化成一元二次方程的一般式 7．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题关键．先计算完全平方公式、去括号，再移项、合并同类项，整理成一元二次方程的一般式即可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将原方程化为一般形式，并通过乘以使二次项系数为1，从而得到一次项系数． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项得， 再乘以得 ， 此时二次项系数为1，一次项系数为2． 故答案为：2． 9．（25-26九年级上·广东韶关·阶段检测）一元二次方程化为一般形式是_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式求解即可，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ◆题型4 判断是否是一元二次方程的解 10．（25-26九年级上·海南·期中）下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， 方程可表示为，展开得． 故选：． 11．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了判断是否是一元二次方程的解．通过观察表格数据，找到使代数式的值为2的值，这些值即为方程 的实数根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，方程可化为， 由表格可知，当 或 时，， ∴方程的实数根为，， 故选：B 12．（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（    ） A．6，3 B．6， C．3， D．6， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：C． ◆题型5 由一元二次方程的解求参数 13．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 【答案】2 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根为， 将代入方程得：，解得：． 14．（25-26八年级下·河北张家口·期末）若是关于的方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】先得出，再作为一个整体代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 15．（26-27九年级·江苏·暑假作业）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，是整式方程，未知数最高次数为2． 【详解】解：A、中含有2个未知数，是二元一次方程，不符合定义； B、，整理得，只含一个未知数，是整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义； C、中 是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合定义； D、，整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合定义． 2．（25-26八年级下·河北张家口·期末）关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘多项式运算法则展开原式，即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 将方程左边按照单项式乘多项式法则展开 得， 该方程的一般形式为． 3．（25-26八年级下·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 4．（25-26八年级下·重庆·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 5．（25-26八年级下·山东威海·期末）关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 二、填空题 6．（25-26八年级下·浙江温州·期中）将一元二次方程化为一般式为______． 【答案】 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开方程左边，再通过移项整理得到一元二次方程的一般式． 【详解】解： ， ， 移项，得 ． 7．（25-26八年级下·北京石景山·期末）若是一元二次方程的解，则k的值为____________． 【答案】 【分析】将代入原方程即可求解的值． 【详解】解：是一元二次方程的解 整理得 解得 ． 8．（25-26九年级上·河南周口·开学考试）已知是方程的一个根，则__________． 【答案】2022 【分析】把代入方程，求出，整体代入法求值即可. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴. 9．（25-26八年级·全国·暑假作业）（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 【答案】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，求解即可； （2）根据一元一次方程的定义得到，求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． （2）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 三、解答题 11．（25-26九年级下·北京·开学考试）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】将代入方程中，得，再化简，得到，最后代入数值6，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 12．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 13．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01一元二次方程的概念及含参数问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1一元二次方程的识别（高频） 题型2由一元二次方程的定义求参数（重） 题型3化成一元二次方程的一般式（重） 题型4判断是否是一元二火方程的解 题型5由一元二次方程的解求参数（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1一元二次方程的识别 1.(25-26八年级下·浙江台州期末)下列方程是一元二次方程的是() A.x+1=2 B.x2+y2=3 C.x2+2x=4 D.2+1=5 2.(25-26八年级下陕西咸阳期末)下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是() A.2+-1=0 B.(x+2)(2x-1)=6 C.ax2+bx+c=0 D.2x(x-3)-9=2x2+1 3.(25-26八年级下·安徽合肥期末)下列方程是一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0 B.3(x-9)-(x+1)2=1 c.x-1 D.√x+1=x-1 ◆题型2由一元二次方程的定义求参数 4.(25-26八年级下安徽合肥期末)若关于x的方程x1-2x-5=0是一元二次方程，则m=一 5.(25-26八年级下山东济南期末)若关于x的方程(k+2)x-2+4x-3=0是一元二次方程，则k= 1/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26九年级下黑龙江期中)己知关于x的方程(k+1)x1-3x+1=0是一元二次方程，则k的值为 ◆题型3化成一元二次方程的一般式 7.(25-26九年级上四川广安阶段检测)一元二次方程(x+3-x=2(x2+3)化成一般形式为 8.(25-26九年级上江苏镇江期末)将一元二次方程-x(x+2)=3化成一般形式后，若二次项系数为1， 则一次项系数是」 9.(25-26九年级上广东韶关阶段检测)一元二次方程x-x+1=2(3x-2)化为一般形式是 ◆题型4判断是否是一元二次方程的解 10.(25-26九年级上海南期中)下列方程中，两根分别是-2和3的方程是() A.x2-x-6=0 B.x2-6x+5=0 C.x2+x-6=0 D.x2-6x-1=0 11.(25-26九年级上江苏苏州期中)如表是小钰同学求代数式ax2+br(a,b为常数)的值的情况.根 据表中的数据可知，关于x的一元二次方程ar2+br-2=0的实数根是() 2 ax2+bx 0 0 A.x=2,x2=6 B.x=-1,x2=2 C.x=0,x2=1 D.x=-2,x2=3 12.(25-26九年级上河南许昌阶段检测)若关于x的一元二次方程ar2+bx+c=0(a≠0)满足 9a+3b+c=0,9a-3b+c=0,则该一元二次方程的根是（) A.6,3 B.6,-3 C.3,-3 D.6,-6 ◆题型5由一元二次方程的解求参数 2/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(25-26八年级下·福建福州期末)已知一元二次方程2x2-5x+m=0的一个根为2，则m= 14.(25-26八年级下河北张家口期末)若m是关于x的方程x2+x-1=0的一个根，则m(m+1)-2026的 值为一 15.(26-27九年级江苏·暑假作业)定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax+br+c=0的倒方程， 其中a,b,c为常数（且a,c≠0），根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程-4x2+3x+1=0的“倒方程”是一： (②)若x=-1是一元二次方程x2-2x+c=0的“倒方程”的解，求出c的值： (3)若m是一元二次方程6x2+x+1=0的“倒方程”的一个实数根，则m3+m2-6m+2025的值为 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(25-26八年级下浙江杭州期末)下列方程中，属于一元二次方程的是() A.3x+2y=5 B.x2=x+2 c.2+1=+5 D.2x+5=3x-1 2.(25-26八年级下河北张家口期末)关于x的一元二次方程(x-1)=0化为一般形式为() A.x2+x=0B.x2-x=0 C.x2-1=0 D.x2+1=0 3.(25-26八年级下北京平谷期末)若关于x的一元二次方程(m-3)x+3x+m-9=0的一个根是x=0, 则m的值是() A.±3 B.3 C.-3 D.0 4.(25-26八年级下重庆期末)若方程(m-3)x+3x-3=0是关于x的一元二次方程，则m的值为 315 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-3 B.-1 C.1 D.3 5.(25-26八年级下·山东威海期末)关于x的方程ar+br+c=0(a≠0)中，若a,b,c满足4a+2b+c=0和 4a-2b+c=0,则该方程的根是（) A.X=2,x2=0 B.x=-4,x2=4 C.x=2,x2=-2 D.无法确定 二、填空题 6.(25-26八年级下·浙江温州期中)将一元二次方程x(x+2)=1化为一般式为 7.(25-26八年级下·北京石景山期末)若x=1是一元二次方程3x2+c-1=0的解，则k的值为 8.(25-26九年级上河南周口开学考试)已知x=1是方程x2+ax-b=0的一个根，则2023+a-b= 9.(25-26八年级全国暑假作业)(1)关于x的方程(m2-4)x2-(m-2)x-1=0是一元二次方程，则 L (2)关于x的方程(m-4x2-(m-2)x-1=0是一元一次方程，则m 10.(25-26九年级上山东青岛阶段检测)在一元二次方程ar'+br+c=0(a≠0)的研究中小明发现 4a-2b+c=0,小红发现9a+3b+c=0,而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程 的根为 三、解答题 11.(25-26九年级下·北京·开学考试)已知a是方程2x2-3x-6=0的一个根，求代数式 (a+1)(a-1)+3a(a-2)的值. 12.(24-25八年级下山东烟台期中)已知关于x的方程(m2-5)x2+(m-V5)x+2=0 (1)当为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当为何值时，此方程是一元二次方程？ 13.(24-25九年级上·辽宁丹东期末)定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax+bx+c=0的倒方程， 其中a,b,c为常数（且a,c≠0），根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程-4x2+3x+1=0的“倒方程”是_： (2)若x=-1是一元二次方程x-2x+c=0的“倒方程”的解，求出c的值； 4/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若m是一元二次方程6r+x+1=0的“倒方程”的一个实数根，则m+m2-6m+2025的值为· 515