培优01 一元二次方程概念及解法（16大题型）数学新教材人教版九年级上册

培优01 一元二次方程概念及解法 思维导图 知识点睛 一 一元二次方程定义 1、定义： 方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程。 2、注意： 整式方程，分母和根号内不能含有未知数字母；必须含有二次项；未知数只能有1个 二 一元二次方程的一般形式 1、一般形式形式： 。 2、各项名称： 二次项：；二次项系数：一次项：；一次项系数：；常数项： 3、其他形式： 展开合并后，形如：；； 三 一元二次方程的解（根） 1、定义： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根。 2、解的个数： 在实数范围内，一元二次方程可能出现无解的情况，最多两个解。 四 一元二次方程的解法 1、核心思想： 降次 2、直接开方法： （1）核心思想：对于形如的一元二次方程可通过平方根的意义直接开方。 （2）基本步骤：①二次项系数化为 1（方程两边同除以系数）；②开方求解。 3、配方法： （1）核心思想：把方程化为形式，再两边开方求解。 （2）基本步骤：①移项（常数项移到等号右边）；②二次项系数化为 1（方程两边同除以 a）；③配方（两边加一次项系数一半的平方）；④开方求解。 4、公式法： （1）核心思想：用配方法把化为的一般形式，求出求根公式的一般形式。 （2）根的判别式：Δ>0 ⟹ 方程有两个不相等的实数根；Δ=0 ⟹ 两个相等的实数根；Δ<0 ⟹ 没有实数根。 （3）求根公式：当Δ≥0时，方程的实数根可写为。 （4）基本步骤：①将一元二次方程化成一般形式；②确定二次项系数、一次项系数、常数项；③确定根的判别式正负；④代入根据求根公式求解。 5、因式分解法： （1）核心思想：把化为两个一次式乘积为0的形式，再由"两个因式之积为 0 ⟺ 至少一个为 0"得根。 （2）常用分解手段：①提取公因式；②公式法（完全平方公式/ 平方差公式）；③十字相乘法。 （3）解法步骤：①将方程右边化为 0；②将左边因式分解；③令每个因式分别为 0，得到一元一次方程求解。 五 一元二次方程根与系数关系 1、韦达定理 ： 若、是一元二次方程的两个根，则 ；。 2、判别式与韦达定理： 判别式与韦达定理联用：根的存在性（Δ≥0）必须先判断，否则讨论无意义。 基础题型 题型1：一元二次方程的辨析（易） 1. 知识点：一元二次方程的概念 2. 解题技巧：经过化简、移项合并后，依次核对是否整式、未知数个数、未知数最高次数。 【例1】 （26-27九年级上·广东中山·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 变式1-1 （26-27九年级上·全国·单元复习）下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：①是分式方程，不是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上所述，③和④是一元二次方程． 变式1-2 （25-26八年级下·浙江丽水·期末）在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A的方程，整理得，未知数最高次数为1，不符合一元二次方程定义； 选项B的方程含有2个未知数，不符合一元二次方程定义； 选项C的方程不是整式方程，不符合一元二次方程定义； 选项D的方程是整式方程，只含1个未知数，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程定义． 题型2：对一元二次方程二次项系数a≠0的理解（重） 1. 知识点：一元二次方程的二次项系数不能为0 2. 解题技巧：对于一元二次方程 （a≠0），a作为二次项系数，当它取0时，方程的二次项消失，则变为一元一次方程。 【例2】 （25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ）． A．1 B．－1 C． D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需同时满足次数和系数条件．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴ 且， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 变式2-1 （24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 变式2-2 （26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于的方程是一元二次方程，求此一元二次方程． 【答案】，该方程为 【分析】根据一元二次方程的定义可知，且，求出的值代入即可求得该方程． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且． 解得． ∴此一元二次方程为． 题型3：一元二次方程的一般形式（易） 1. 知识点：一元二次方程的一般式为（a≠0）。 2. 解题技巧：经过化简、移项合并后，变为 （a≠0）的形式，再确定a、b、c的值。 3. 注意：系数前面的符号不要漏掉。 【例3】 （25-26八年级下·河北张家口·期末）关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘多项式运算法则展开原式，即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为， 将方程左边按照单项式乘多项式法则展开 得， ∴该方程的一般形式为． 变式3-1 （25-26九年级上·安徽阜阳·期末）方程展开为一般形式后，一次项系数是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式和系数，其一般形式为．方程整理为一般形式，确定出一次项系数即可． 【详解】解：方程整理得：， 则方程的一次项系数是． 故选：A． 变式3-2 （25-26九年级上·云南昭通·期末）一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．将方程化为一般形式后，识别系数并求和． 【详解】解：原方程：， 移项得：， ∴，，， ∴， 故选：A． 题型4：判断是否为一元二次方程的解（易） 1. 知识点：一元二次方程的解的概念。 2. 解题技巧：通过直接代入让方程的等号成立。 【例4】 （25-26九年级下·江西鹰潭·阶段检测）下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 变式4-1 （25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … ....A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 变式4-2 （25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是根据方程的解构造一元二次方程． 根据一元二次方程的解的定义，构造一个含有因式的一元二次方程即可． 【详解】解：因为方程的一个解是1，所以可设方程为，展开得到． 故答案为：（答案不唯一）． 题型5：一元二次方程的解求参数（重） 1. 知识点：一元二次方程解的概念，代数法求值。 2. 解题技巧：将对应的解代入后，得到新的关系式，通过整理进行求参数或含有参数的式子。 【例5】 （26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的一个根为，则m的值为_____． 【答案】18 【分析】方程的根满足方程，将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得， 整理得， 解得． 变式5-1 （25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的特征．把代入方程得到，将原式转化为，然后代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 变式5-2 （25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）若是方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，由一元二次方程的解的定义可得，进而代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型6：配方法解一元二次方程（易） 1. 知识点：利用配方法解一元二次方程。 2. 解题技巧：当二次项系数为1，一次项系数为偶数时优先用配方法。 【例6】 （福建省福安市第六中学2025-2026学年上学期数学素养监测）解方程：． 【答案】； 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， ∴， 直接开方得：， ∴； 变式6-1 （西安市新城区2026-2027学年度第一学期九年级摸底测试数学）解方程： 【答案)， 【分析】利用配方法进行计算即可 【详解】解：原方程变形为， 即， ．     ． ， 变式6-2 （2026-2027九年级数学）用配方法解下列方程： (1)；(2)． 【答案】(1)，；(2)， 【分析】按照配方的方法步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，． （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 题型7：公式法解一元二次方程（易） 1. 知识点：利用求根公式解一元二次方程。 2. 解题技巧：系数较简单或者及其复杂，没有其他简便方法求解一元二次方程，用公式法。 【例7】 （2026-2027九年级数学）用公式法解下列方程：(1)；(2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：， ， ∴, ∴， ∴， 解得：； （2）解： ， ∴， ∴， ∴， 解得：． 变式7-1 （2026-2027九年级数学）用公式法解下列方程：(1)；(2) 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据一元二次方程的一般形式，分别找出二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程有两个不相等的实数根，再利用公式法求解即可； （2）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别找出方程的二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程有两个不相等的实数根，再利用公式法求解即可； 【详解】（1）解：， 由方程可得：，，， ∵， ∴， 即，； （2）解： ， 将原方程化为一般形式，得， 由方程一般形式可得：，，， ∵， ∴， 即， 变式7-2 （繁昌区第三中学2025-2026九年级数学试卷）公式法解方程：． 【答案】， 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， 题型8：因式分解法解一元二次方程（易） 1. 知识点：利用提公因式、公式法因式分解，求一元二次方程的解。 2. 解题技巧：二次项系数为1的还可以用十字相乘法进行因式分解，提取公因式注意提出是否有“-”号，涉及变号。 【例8】 （北京市文汇中学2026-2027学年度第一学期初三年级数学）解方程：． 【答案】 【分析】移项后提取公因式因式分解，转化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：整理方程 移项得 提取公因式得 得或 解得 变式8-1 （广东深圳市宝安中学2026-2027学年上学期九年级数学）解方程：． 【答案】 【详解】解： 解得． 变式8-2 （2026-2027九年级数学）因式分解法解下列方程：(1)； (2) 【答案】(1)，；(2)， 【详解】（1）解： ∴或， 解得，； （2）解： 或 解得， 题型9：一元二次方程的根与系数的关系（易） 1. 知识点：一元二次方程的根与系数关系。 2. 解题技巧：代入时注意a、b、c系数的符号，依据公式直接代入即可。 【例9】 （2026-2027九年级数学）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)；(2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系，求解即可． 【详解】（1）解：设方程的两个根为，，这里，，， ∴，； （2）解：设方程即的两个根为，，这里，，， ∴，． 变式9-1 （上海市浦东模范中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题）关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： (1)填空：________；________； (2)； (3)． 【答案】(1)2，；(2)；(3)8 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，乘法公式的变形计算是关键． （1）确定一元二次方程二次项，一次项，常数项的值，根据根与系数的关系（）代入求值即可； （2）运用乘法公式变形计算即可求解； （3）根据分式的计算法则得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：关于的方程有两个实数根、， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴原式． 变式9-2 （福建省泉州第五中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试题）已知关于的一元二次方程，如果方程有两实根为、，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．根据根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，再代入计算即可． 【详解】解：方程有两实根为、， ，， ， ， 解得， 当时，一元二次方程为， 此时，符合题意； 答：的值为． 培优题型 题型10：利用整体代入法求参数（难） 1. 知识点：一元二次方程解的概念，整体代入的思想。 2. 解题技巧:式子中通常隐藏着由二元一次方程变换而来的等式，可通过提取公因式或化简等方法找到对应等式，进行整体的代入求值。 【例10】 （25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____________． 【答案】－2026 【分析】因为a是方程的根，所以可将a代入方程得到关于a的等式，作为化简代数式的核心依据．利用得到的等式对代数式的前两项进行降次化简．利用得到的等式变形得到的表达式，代入分式中化简，最后合并化简后的两部分结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴， 对所求式前两项提取公因式： ∵， 代入分式部分： ∵， ∴等式两边同除以得： ， ∴， 将以上结果代入原式： ． 变式10-1 （25-26九年级·阶段检测）先化简，再求值； (1)，其中是方程的根． (2)，其中，． 【答案】(1)化简结果为，值为 (2)化简结果为，值为 【分析】（1）利用方程的解的定义得到，整体代入化简式即可； （2）约分后得到最简式，再代入的值计算即可； 【详解】（1）解：原式 ， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴原式； （2）解：原式， ∵，， ∴， ∴原式． 变式10-2 （25-26九年级下·山东淄博·期末）已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 题型11：关于一元二次方程的新定义问题（难） 1. 知识点：一元二次方程的定义、一般式、解等基础概念。 2. 解题技巧：根据新定义的方程要求，理解其各项系数之间的关系，进行求解运算。过程中涉及整体代入、换元等思想，符号上不要漏掉“-”号。 【例11】 （26-27九年级·江苏·暑假作业）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1)；(2)；(3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 变式11-1 （25-26八年级下·全国·周测）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如． (1)判断是否为一元二次方程． (2)判断和是否是方程的根． 【答案】(1)是；(2)不是  是 【分析】本题考查了新定义运算、一元二次方程的定义以及方程根的检验方法，掌握新运算的转化规则和方程根的验证方法是解题的关键． （1）根据新运算的法则，将展开并整理成整式方程形式，再根据一元二次方程的定义进行判断； （2）先根据新运算将转化为整式方程，再将和分别代入方程，通过检验等式是否成立来判断是否为方程的根． 【详解】（1）解：由题意可得， 整理，得， 是一元二次方程． （2）解：由题意可得， 整理，得． 当时，， 不是方程的根． 当时，， 是方程的根． 变式11-2 （25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．已知关于的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，先解一元一次方程可得，将代入一元二次方程，计算即可得解，理解“相伴方程”的定义是解此题的关键． 【详解】解：解一元一次方程可得， ∵关于的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”， ∴将代入一元二次方程可得， 解得：， 故答案为：． 题型12：一元二次方程的综合实践问题（难） 1. 知识点：一元二次方程的定义、一般式、解等基础概念，主要考察阅读理解的能力。 2. 解题技巧：仔细阅读材料，结合相应的方程概念、方程的解进行解答。 【例12】 （20-21八年级下·江苏盐城·阶段检测）阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 【答案】 【分析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否有相同的实数根． 【详解】解：设相同实根是a， 则，， 相减得， 若，则两个方程都是，有两个共同的根0和． 若，则，即相同实根是，代入方程，得，， ∵k为非负实数， ∴不符合k为非负实数的条件，舍去， 综上，时，关于x的方程与有相同的实根． 变式12-1 （2026·安徽六安·一模）阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得： ____①，由m为整数知： ②是整数，一定是整数，是有理数，，． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值． 解法一：由得． 具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得 ，即， 从而有或③ 或④ 即或或． 当时，，同理⑤ 或⑥ 综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得…… 请将①②③④⑤⑥补充完整． 【答案】①；②；③；④⑤当时，；⑥当时， 【分析】（1）将去括号展开，然后整理成，再根据整数的性质，即得答案； （2）对于③和④，根据整数的性质，可得另两个结论或；对于⑤和⑥，将和，分别代入求解即可． 【详解】解：问题一： 设n为有理数， 已知方程有一个整数根， 令方程中一个整数根为m， 将m代入一元二次方程得：， ， ， 由m为整数知：是整数， 一定是整数， 是有理数， ， ． 故答案为：①；②． 问题二： 解法一：由得． 具有任意性， 多项式的一次项系数和常数项均为0， ， 即， 或或， 或或． 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：③；④⑤当时，；⑥当时，． 变式12-2 （25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 题型13：换元法解一元二次方程（难） 1. 知识点：结合解一元二次方程的方法，利用整体换元的思想进行换元求解。 2. 解题技巧：找到合理的整体部分，进行换元，注意换元后还要求原内容。 【例13】 （25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，①解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到化降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程： (1)； (2)； (3)已知实数a满足，则______． 【答案】(1)， (2)，， (3) 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了用换元法解方程，一元二次方程根的判别式，熟练运用换元法解方程是解题的关键． （1）设，把方程化为，求出，再代入，求出的值； （2）设，把方程转为，求出，再代入，求出的值； （3），将原方程化为关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：， 设，则方程可化为：， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，此方程无实数根， 原方程的解是：，； （2）解： 整理得， 设， 则原方程可化为：， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，解得：， ∴原方程的解为：，，． （3）解：， 令， 则， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，此时，舍， 故答案为：． 变式13-1 （25-26九年级上·河南南阳·期中）阅读下面材料，然后解答问题： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程：，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：，， 或． 解得，，，． (1)请参考例题解法，解下列方程： ； ． (2)已知一元二次方程，，直接写出的值． 【答案】(1)，；，；(2)或或12 【分析】本题主要考查了换元法在解一元二次方程中的应用，正确理解题意，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）①设，则原方程换元为，由此求解即可； ②设，则原方程换元为，由此求解即可； （2）设，则，设，则，求出的值，则，分为四种情况代入计算求解即可． 【详解】（1）解：， 设，则原方程换元为， ， 解得（舍去），， ， 解得，， ， 设，则原方程换元为， ， 解得（舍去），， ， 即， 解得，； （2）设，则， 原方程换元为， 解得，， 设，则， 原方程换元为， 解得，， 当，时， ； 当，时， ； 当，时， ； 当，时， ； 综上，的值为或或． 变式13-2 （25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下列材料，解答问题： 换元法：把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．请利用“换元法”解决以下问题： (1)解方程：； (2)已知实数，满足，求的值； (3)解方程：； (4)解方程：． 【答案】(1)，；(2)15；(3)，，，；(4)， 【分析】本题主要考查了换元法解方程，解一元二次方程等知识点，熟练运用换元思想转化方程是解决此题的关键． （1）设，则原方程化为关于的一元二次方程，求解后再转换成关于的方程求解即可； （2）设则原方程转化为关于的一元二次方程，求解后根据确定的值即可得解； （3）设则原方程转化为关于的一元二次方程，求解后，根据绝对值定义求即可； （4）设，，则，原方程化为，进而求得，则，然后解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 因式分解得， 解得或， ∴当时， 因式分解得，解得或， 当时，即， ∵， ∴方程无实数解， 综上，原方程的解为，； （2）解：设，则原方程化为， 展开得， 因式分解得， 解得或， 因为，所以舍去， 故 （3）解：设，则，原方程化为， 因式分解得， 解得或， 当时，解得或， 当时，解得或， ∴，，，； （4）解：设，，则， 原方程化为， ∴，则， ∴或， ∴，． 题型14：与配方法结合的最值问题（难） 1. 知识点：配方法解一元二次方程的定义，平方的非负性。 2. 解题技巧：通过配方，转化成 的形式，注意求最大值还是最小值，关注符号。 【例14】 （24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）设，为实数， 求的最小值． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、通过对完全平方公式变形求值、配方法的应用、换元法解一元二次方程、解分式方程（化为一元一次） 【分析】将展开计算并整理为，再根据平方的性质，可得的最小值． 【详解】解： ， 当且仅当，时，即，时，取得最小值． 变式14-1 （24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）阅读与思考 配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值． 我们使用的方法如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料方法，解答下列问题． (1)的最大值为______； (2)求的最小值． 【答案】(1)3；(2)的最小值为2 【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 此题考查配方法的应用，解题关键在于理解题意掌握运算法则． 【详解】（1） ∵ ∴ ∴的最大值为3 ∴的最大值为3； （2） ∵， ∴ ∴的最小值为2 ∴的最小值为2． 变式14-2 （25-26八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1)；(2)常数的值为或；(3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 题型15：利用根与系数关系求参数（重） 1. 知识点：一元二次方程的根与系数的关系，代入求值。 2. 解题技巧：结合根的情况进行参数的求解，利用因式分解等方法简便计算。 【例15】 （25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 【答案】是非负数 【分析】首先根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，然后代入得，即可得出结论． 【详解】证明：关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根， ， ， ， ， ∴是非负数． 变式15-1 （25-26八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)；；(2)或；(3) 【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和..的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，， ，； （2）解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：，， ∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即， ， ，即， 的最大值为1． 变式15-2 （25-26九年级下·山东济南·自主招生）若实数a，b，c满足：，7． (1)若，求m的最小值； (2)若，且a为整数，求； (3)若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 【答案】(1)；(2)或(3)不能 【分析】（1）先求得，则，利用配方法和平方数的非负性求解即可； （2）先求得，且b，c是方程的两根，利用一元二次方程的判别式与根的关系得到，进而求得或1即可求解； （3）由已知得到，根据奇数与偶数的积是偶数，偶数与偶数的和为偶数可得结论． 【详解】（1）解：，， ∴， ． ∴当时，m的最小值为； （2）解：，， ． ∴b，c是方程的两根， ，则， ，则， ， ∵a为整数， 或1， ∴无论哪种情况都有， 或； （3）不能，理由如下： 把代入，得， 与奇偶性不同，b与奇偶性不同， 与必定同为偶数， 必定为偶数，即m必定为偶数． 题型16：关于根与系数关系的新定义问题（难） 1. 知识点：一元二次方程的根与系数关系、一元二次方程的新定义。 2. 解题技巧：通过对根与系数关系的变形，结合因式分解，形成新的结构，进行运算。 【例16】 （25-26七年级下·江苏宿迁·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数”． 【解决问题】 (1)下列各数中，“和谐数”有    ．（填序号）①12；②20；③45；④60． 【探究问题】 (2)若可配方成（m，n为常数），则的值 ． (3)已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知，比较P，Q的大小． 【答案】(1)②③；(2)；(3)9；(4) 【分析】（1）根据“和谐数”的定义即可求解； （2）根据配方法即可求解； （3）根据配方法写出两个式的平方和的形式即可求解； （4）依据题意，先作差，然后根据配方法，以及非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵，∴12不是“和谐数”， ②∵，∴20是“和谐数”， ③∵，∴45是“和谐数”， ④∵，∴60不是“和谐数”， ∴“和谐数”有②③； （2）解：， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 由题意，∵，M为“和谐数”， ∴当时，， ∴； （4）解：∵， ∴ ∵对于任意实数x，y都有， ∴． ∴． 变式16-1 （25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)①；(2)；(3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：①解得：或， ，是“差根方程”； ②解得：，， ，②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 变式16-2 （25-26八年级下·福建福州·期末）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 【答案】(1)③；(2)或；(3) 【分析】（1）根据“邻根方程”的定义，计算判断即可． （2）根据方程，得到，，根据“邻根方程”的定义，得，求解即可． （3）设方程的两个根为，， 则， ，根据题意，得方程是“邻根方程”，得到，利用完全平方，实数的非负性证明即可． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程是“邻根方程”； （2）解：解方程，得，， 方程是“邻根方程”， ， 或， 解得或． （3）证明：设方程的两个根为，， 则， ，且， 方程是“邻根方程”， ， ， ， ， ， 而， ， 故． 归纳总结 一、重点 1.掌握一元二次方程的定义；一元二次方程一般形式，能准确识别二次项、一次项、常数项，二次项系数a、一次项系数b。 2.掌握二次项系数a≠0的意义：只有a≠0，方程才是二次方程；若a=0,b≠0，方程退化为一元一次方程。 3.一元二次方程的根：能判断一个数是不是方程的根，会把根代入方程求参数的值。 4.熟练应用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程组。 5.会用判别式判断一元二次方程根的情况。 6.一元二次方程根与系数关系式（韦达定理）。 二、难点 1.判断经过整理化简之后的方程是否为一元二次方程（表面看有二次项，化简后二次项抵消）。 2.根据一元二次方程定义求字母参数取值，既要保证二次项系数不为0，又要满足次数条件，容易漏掉a≠0这个限制。 3.区分：整式方程、一元一次方程、一元二次方程。 4.已知方程的根，代入求参数，注意参数带来的条件检验。 5.一元二次方程根与系数关系，由分解因式的形式展开对应。 6.换元法解一元二次方程，识别换元对象，多解问题不能漏解。 三、易错点 1.忽略a≠0：看到未知数最高次数为2，就判定是一元二次方程，忘记二次项系数不能等于0，尤其求参数时不检验二次项系数。 2.写一般形式时，没有移项化为右边等于0的标准形式，找错各项系数；系数要带上前面符号尤其是“-”号。 3.不是整式方程误判为一元二次方程：分母含有未知数、根号内含未知数，属于分式/无理方程，化简后二次项消失。 4.“方程的解”概念混淆：只把正数当根，一元二次方程根可以正数、负数、0。 5.直接开方法容易忽略负数根的情况；配方法在二次项系数不为1时进行直接配方，一次项系数为负数漏负号；公式法漏掉系数符号；因式分解提出公因式x后直接消掉，导致漏根，右边不为0直接分解，分解不完全。 四、数学思想 1.转化思想：把复杂方程整理转化为一元二次方程一般形式。 2.分类讨论思想：含参数方程，讨论二次项系数a=0和a≠0两种情况，区分一元一次、一元二次方程。的三种情况。 3.代入思想（方程根的定义）：将根代入方程，把方程的根转化为等式求字母的值。 4.降次转化思想：将二次方程通过配方、开方、分解，转化为两个一元一次方程，把高次问题转化为低次已知问题。 5.化归思想：把不标准、不整齐、复杂的方程化为标准一般形式，统一方法解决。 同步测评 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 2．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判定条件是未知数的最高次数为2且二次项系数不能为零．根据一元二次方程的判定条件列式求解即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， ∴，即． 又∵ 二次项系数 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件． ∴ ． 故选B． 3．（25-26九年级上·北京·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，再确定的值． 【详解】解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 5．（25-26九年级上·山西晋中·期中）下表是某同学求代数式（..为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于的一元二次方程的一个根为（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 3 8 15 ．．． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式的值与方程的解，理解表格信息，掌握方程与解的关系是解题的关键． 通过表格数据，分析当x取不同值时，的值，代入方程观察方程是否成立，即可求解． 【详解】解：根据表格可知， A、当时，，可得，故不是方程的根，选项A不符合题意， B、当时，，可得，故是方程的根，选项B符合题意， C、当时，，可得，故不是方程的根，选项C不符合题意， D、当时，，可得，故不是方程的根，选项D不符合题意． 故选：B． 6．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 7．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设，则，进而得到，即是方程的根，进而得到是方程的根，由得到，根据可知，是方程的两个根，则或，排除，进而根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∵∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵，∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得，即， ∵，∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故选：D． 二、填空题 8．（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）若a是方程的一个解，则的值是________． 【答案】 【分析】将代入方程得到关系式，整理得到的值，再将所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴把代入方程得， 整理得， 两边同除以得， ∴． 三、解答题 10．（2026-2027学年九年级上册）解方程：(1)；(2)； (3)；(4)；(5)． 【答案】(1)，．；(2)，．(3)， (4)，；(5)， 【详解】（1）解： 整理得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解： ， ， ， ， ∴，． （3）解：原方程可化为， 开平方得：或， 解得：． （4）解：原方程可化为， 因式分解得：， 即：或 解得：． （5）解：原方程可化为， 即：或， 解得：． 11．（2025八年级上·上海·专题练习）当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式下，注意二次项系数不等于零是解题的关键． 直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得且． 解，得， 解，得， 所以． 所以当时，原方程是关于的一元二次方程． 12．（25-26九年级上·全国·单元测试）定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”_______． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． (3)已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】(1) (2)，互为倒数， 证明如下： ∵一元二次方程的两根为， “友好方程”的两根为． ∴， ， 即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：，互为倒数； (3) 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）求出方程的解，，即得猜想，分别求方程和的根，可验证； （3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程”的两根为，因此方程的两根或，即，整理方程得，即得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的“友好方程”为：， 故答案为：； （2）解：， ， 解得，，， 根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数， （3）解：∵方程的两根是， ∴该方程的“友好方程”， 即的两根为， 则， 即中或， ∴该方程的解为． 利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根为， 故答案为． 13．（25-26九年级下·北京·开学考试）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】将代入方程中，得，再化简，得到，最后代入数值6，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 14．（25-26八年级上·福建福州·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：； (2)若是的一个根，判断的符号． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义． （1）根据已知等式得出，代入进而根据，得出式子的符号，即可得证； （2）根据一元二次方程的解的定义可得，代入，结合条件化简并判断符号，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， （2）解：是的根， ， ， ， ， ， ， ， ． 15．（25-26八年级下·全国·周测）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)如果是等边三角形，试判断1是否是这个一元二次方程的根． 【答案】(1)等腰三角形；(2)是 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义、等腰三角形与等边三角形的性质，掌握代入法验证方程根的方法和三角形边长的性质是解题的关键． （1） 将代入方程，化简后得到与的数量关系，根据等腰三角形的定义判断的形状； （2） 根据等边三角形三边相等的性质，代入方程化简，再将代入检验等式是否成立，判断是否为方程的根． 【详解】（1）是等腰三角形．理由如下： ∵把代入方程，得， ， ， 的形状是等腰三角形． （2）解：∵是等边三角形， ． ， ， 即． ∵是的边长， ∴， ∴． 当时，左边右边， 是这个一元二次方程的根． 16．（北京市石景山区2025-2026学年第二学期八年级期末数学试卷）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 【答案】(1)；(2)， 【分析】（1）利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）根据的范围确定的最小整数值，再将所求代数式变形为，由一元二次方程根与系数的关系可得与的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：由（1）可知且取满足条件的最小整数， ∴， ，即， ，， ． 17．（浙江省温州市2025-2026学年八年级下学期数学期末卷）已知关于x的方程 (1)当方程的一个根为2时，求c的值． (2)若方程的两根之积为3，求方程的根． 【答案】(1)；(2)， 【分析】（1）将方程的根代入原方程即可求解； （2）根据根与系数的关系，即可求出c，再利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：将方程的根代入原方程：，解得； （2）设方程的两根为，，若方程的两根之积为3， 则，解得， 即：， 解得，． 18．（四川省泸州市古蔺县茅溪镇初级中学校2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题），是方程的两个根，请计算下列式子的值． (1)与的值是多少？(2)值是多少？ 【答案】(1)，；(2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根与系数的关系作答即可； （2）将化为，进而计算即可． 【详解】（1）解：对于，其中，， ， ； （2）解：． 19．（江苏省泰州市姜堰区励才实验学校2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题）已知关于的一元二次方程 . (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根为，，是否存在实数满足 若存在请求出的值、若不存在请说明理由． 【答案】(1)；(2)不存在 【分析】本题考查一元二次方程判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系； （1）根据方程有两个不相等的实数根，，判别式大于零，求解 的取值范围； （2）利用根与系数的关系代入条件方程，求出 的值，但需验证是否满足方程有实数根的条件（判别式非负），发现不满足，故不存在． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． （2）解：由根与系数的关系：，， ∴， 解得，， ∵方程有两实数根， ∴，解得 ∵， ∴不存在满足条件的实数m． 20．（江苏省苏州市吴江区盛泽第一中学2025--2026学年上学期九年级数学12月月考试卷）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：， 方程去分母得：， 整理得：， ， ∴或， 解得：， 检验：当时，， 当时，， 故原方程的解为，． 21．（上海市浦东新区张江集团中学2025--2026学年上学期12月八年级数学月考卷）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查无理方程的解法、解一元二次方程、解一元一次不等式组，关键在于通过平方去掉根号是关键，同时考虑无理方程有意义．以及对计算结果进行检验． 先求出x的取值范围，再对方程变形进行两次平方，然后解一元二次方程，再检验即可求解． 【详解】解：由题意，， 解得． 将变形，得：， 将方程两边平方可得：，即， 再两边平方可得：． 整理得：． 解得：或． 经检验：是原方程的增根，是无理方程的解． 故原方程的解为． 22．（山东淄博市张店区2025-2026学年度第二学期期中学业水平检测初三数学试题）阅读理解：转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．利用转化思想，我们可以解一些新的方程． 例如无理方程（根号下含有未知数的方程），解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程必须检验． 例：解方程． 解：两边平方得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是． 解决问题： (1)已知关于的方程有一个根是，那么的值为_____； (2)仿照以上方法，解方程：； (3)请你回顾以上解答过程，总结与反思转化的数学思想，并应用转化思想解如下方程：． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【分析】（1）直接将代入原方程即可求出的值； （2）根据一元二次方程的解法，转化的思想；将两边平方，转化为一元二次方程求解，最后检验，舍去增根即可； （3）分类讨论将转化为一元二次方程来求解，当，即时，原方程可化为：，解得：；当，即时，原方程可化为：，解得：． 【详解】（1）解：将代入，得：， ∴， ∴． （2）解：， 两边平方得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程得：左边，右边而， ∴是原方程的增根， 原方程的根是． （3）解：分类讨论将转化为一元二次方程来求解， 当，即时，原方程可化为：， 整理后得：， ， 解得：， ∵， ∴不是原方程的根，是原方程的根， 当，即时，原方程可化为：， 整理后得： ， ， 解得：， ∵， ∴不是原方程的根，是原方程的根， 综上：原方程的解为或． 23．（江苏省盐城市亭湖区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）阅读下面的例题：解方程， 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），． 原方程的根是，． (1)解方程； (2)解方程． 【答案】(1)，；(2)， 【分析】本题考查了一元二次方程解法、解含绝对值的方程． （1）参照例题方法，根据绝对值的性质，将原方程化为两个一元二次方程求解，注意舍根； （2）根据绝对值的性质，将原方程化为两个一元二次方程求解，注意舍根． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为， 解得，（不合题意，舍去）； 原方程的根是，． （2）当，即时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当，即时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 原方程的解是，． 24．（25-26七年级下·河南·期中）【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)；(2)2；(3)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性进行求解即可； （3）利用配方法和非负性进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； ∵， ∴； ∴代数式的最小值是2； （3）解：， ， ， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 25．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根，且两根之和为整数，求整数的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分析两根之和的整数性，然后验证的可能值即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不为，即. 设关于的一元二次方程的实数根分别为， 则． 方程的两根之和为整数， 整数． 当时，方程为，判别式，无实数根，故舍去； 当时，方程为，判别式，有实数根． ． 26．（2022九年级上·湖北黄冈·竞赛）已知实数a、b、c满足，，求a、b、c的值． 【答案】， 【分析】先对进行变形得：①，由已知得：②，将②代入①，整理得③．根据一元二次方程根与系数的关系，由②、③可知a、b是关于t的方程④的两个实数根，即，整理得到，结合，求出，将代入④得：，解方程即可求出． 【详解】解：∵， ∴①， 由已知得， ∴②， 将②代入①，整理得③． 由②、③可知a、b是关于t的方程④的两个实数根， ∴， 整理得：， ∵， ∴， 即， ∴． 将代入④得：， ∴， 即． ∴，． 27．（25-26八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1)是；(2)；(3)k=9；(4)当时，的最小值为 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）解： 符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； （4）解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． 28．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）阅读与思考 八（3）班数学兴趣小组的小李同学在解一元二次方程时遇到了这样一个方程．对这个方程进行化简得到：，继续求解时发现解这个方程有些困难，于是思考解这个方程有没有比较简单的方法呢？数学兴趣小组的同学为此展开讨论，有人提出能否将方程进行变形，利用求平方根来求解，于是做了如下尝试： 第一步：令； 第二步：原方程可变形为； 第三步：······ 完成本题的求解之后，数学小组又用此方法解出了几个类似的方程．经过多次尝试，小组内部进行了反思：该方法的第一步实际上是对方程等号左边的两个多项式取平均值，再通过换元得到一个相对简单的一元二次方程，其本质是求平方根法的推广，不过只有特殊形式的一元二次方程才能运用． (1)请完成材料中第二步以后的求解过程． (2)依照材料内容，小赵同学尝试解方程：．他的解法如下： 第一步：令； 第二步：原方程变形为； 接下去，小赵同学遇到了困难，他发现直接模仿该方法并没有使方程变得简单，在换元到第二步后也难以继续往下进行．你能帮助他解决这个困难吗？请优化小赵同学的解题过程，并运用材料中的方法完成该方程的求解． (3)材料中解法的本质是求平方根法．回顾课本中对求平方根法的归纳：形如（）的一元二次方程可以通过求平方根来求解．请你结合材料内容，观察并归纳：当一元二次方程可化成形如_____的方程时，可用材料中的方法求解． 【答案】(1)，；(2)，； (3) 【分析】（1）将方程变形为平方差形式后，通过计算求出的值，进而得到t的解，再代回换元式求出x的解； （2）通过换元将原方程变形，再取两个因式的平均值换元，转化为平方差形式求解，最后代回换元式得到x的解； （3）归纳出当一元二次方程可化成形如（m、n、p为常数）的形式时，可采用材料中的方法求解． 【详解】（1）解：∵ 第二步得到方程， 根据平方差公式， ∴ 可变形为， 即， 计算得，则， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得，． （2）∵ 原方程为，令，则方程变形为， 进一步整理为， 取两个多项式的平均值，令，设，， ∴ 原方程可化为， ∵ ， ∴ ，即，解得， 当时，，得； 当时，，得； 又∵ ， ∴ 或 ， 解得，． （3）∵ 材料中的方法本质是平方根法的推广，通过对两个一次因式取平均值换元，转化为平方差形式求解， ∴ 当一元二次方程可化成形如（其中、、为常数）的方程时，可用材料中的方法求解． 29．（25-26八年级上·贵州六盘水·期中）【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法： 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 小明的做法是将已知条件适当变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法： 因为 所以当时， 原式． 小丽的做法是将结论中代数式适当变形，再将已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 (1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题： 已知，求的值． (2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题： 已知，求的值． 【答案】(1)－8；(2)2 【分析】本题考查完全平方公式的运用和整体代入思想，将条件和所求式通过配方、去根号、降次等方法进行转化是解题关键． （1）将原式通过配方转化为完全平方式，将变形后整体代入求解． （2）将条件进行变形，分两次整体代入求解． 【详解】（1）解：仿照“小丽的做法”， ，可化为， ． （2）解：仿照“小明的做法”， ， ， ， ， ， ， ． 30．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）对于实数a，b，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求的值； (2)若，是一元二次方程的两个根，求的值． 【答案】(1)；(2)或 【分析】本题为新定义问题，考查了一元二次方程的解法等知识，理解新定义是解题关键． （1）根据定义的新运算即可求解； （2）先解方程得或，再分，和，两种情况分类讨论，根据定义的新运算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：解方程得或， 当，时，∵， ∴； 当，时，∵， ． ∴的值为或． 31．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读材料，解答问题 材料一：已知实数，，满足，，则可将，看作一元二次方程的两个不等实数根． 材料二：已知，求的值， 某同学解答思路如下： 由可得， 所以． (1)直接应用：已知实数，满足，，求的值； (2)间接运用： ①若，且，则（   ） A．    B．    C．    D． ②已知实数，满足，．且，求的值． 【答案】(1)7；(2)①A；② 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，由此即可得到答案； （2）①将方程变为，从而得出是一元二次方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，即可得出答案； ②根据题意可得是一元二次方程的两个不相等的实数根，则，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵实数，满足，， ∴实数，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）①解：方程两边同除以得： ， ∵， ∴是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 即，故A正确； ②∵， ∴， ∴ ， ∴， 又∵，，即， ∴是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01 一元二次方程概念及解法 思维导图 知识点睛 一 一元二次方程定义 1、定义： 方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程。 2、注意： 整式方程，分母和根号内不能含有未知数字母；必须含有二次项；未知数只能有1个 二 一元二次方程的一般形式 1、一般形式形式： 。 2、各项名称： 二次项：；二次项系数：一次项：；一次项系数：；常数项： 3、其他形式： 展开合并后，形如：；； 三 一元二次方程的解（根） 1、定义： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根。 2、解的个数： 在实数范围内，一元二次方程可能出现无解的情况，最多两个解。 四 一元二次方程的解法 1、核心思想： 降次 2、直接开方法： （1）核心思想：对于形如的一元二次方程可通过平方根的意义直接开方。 （2）基本步骤：①二次项系数化为 1（方程两边同除以系数）；②开方求解。 3、配方法： （1）核心思想：把方程化为形式，再两边开方求解。 （2）基本步骤：①移项（常数项移到等号右边）；②二次项系数化为 1（方程两边同除以 a）；③配方（两边加一次项系数一半的平方）；④开方求解。 4、公式法： （1）核心思想：用配方法把化为的一般形式，求出求根公式的一般形式。 （2）根的判别式：Δ>0 ⟹ 方程有两个不相等的实数根；Δ=0 ⟹ 两个相等的实数根；Δ<0 ⟹ 没有实数根。 （3）求根公式：当Δ≥0时，方程的实数根可写为。 （4）基本步骤：①将一元二次方程化成一般形式；②确定二次项系数、一次项系数、常数项；③确定根的判别式正负；④代入根据求根公式求解。 5、因式分解法： （1）核心思想：把化为两个一次式乘积为0的形式，再由"两个因式之积为 0 ⟺ 至少一个为 0"得根。 （2）常用分解手段：①提取公因式；②公式法（完全平方公式/ 平方差公式）；③十字相乘法。 （3）解法步骤：①将方程右边化为 0；②将左边因式分解；③令每个因式分别为 0，得到一元一次方程求解。 五 一元二次方程根与系数关系 1、韦达定理 ： 若、是一元二次方程的两个根，则 ；。 2、判别式与韦达定理： 判别式与韦达定理联用：根的存在性（Δ≥0）必须先判断，否则讨论无意义。 基础题型 题型1：一元二次方程的辨析（易） 1. 知识点：一元二次方程的概念 2. 解题技巧：经过化简、移项合并后，依次核对是否整式、未知数个数、未知数最高次数。 【例1】 （26-27九年级上·广东中山·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 变式1-1 （26-27九年级上·全国·单元复习）下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 变式1-2 （25-26八年级下·浙江丽水·期末）在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 题型2：对一元二次方程二次项系数a≠0的理解（重） 1. 知识点：一元二次方程的二次项系数不能为0 2. 解题技巧：对于一元二次方程 （a≠0），a作为二次项系数，当它取0时，方程的二次项消失，则变为一元一次方程。 【例2】 （25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ）． A．1 B．－1 C． D．不存在 变式2-1 （24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 变式2-2 （26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于的方程是一元二次方程，求此一元二次方程． 题型3：一元二次方程的一般形式（易） 1. 知识点：一元二次方程的一般式为（a≠0）。 2. 解题技巧：经过化简、移项合并后，变为 （a≠0）的形式，再确定a、b、c的值。 3. 注意：系数前面的符号不要漏掉。 【例3】 （25-26八年级下·河北张家口·期末）关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 变式3-1 （25-26九年级上·安徽阜阳·期末）方程展开为一般形式后，一次项系数是（   ） A． B．1 C． D．2 变式3-2 （25-26九年级上·云南昭通·期末）一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 题型4：判断是否为一元二次方程的解（易） 1. 知识点：一元二次方程的解的概念。 2. 解题技巧：通过直接代入让方程的等号成立。 【例4】 （25-26九年级下·江西鹰潭·阶段检测）下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 变式4-1 （25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … ....A．， B．， C．， D．， 变式4-2 （25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 题型5：一元二次方程的解求参数（重） 1. 知识点：一元二次方程解的概念，代数法求值。 2. 解题技巧：将对应的解代入后，得到新的关系式，通过整理进行求参数或含有参数的式子。 【例5】 （26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的一个根为，则m的值为_____． 变式5-1 （25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 变式5-2 （25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）若是方程的一个实数根，则的值为______． 题型6：配方法解一元二次方程（易） 1. 知识点：利用配方法解一元二次方程。 2. 解题技巧：当二次项系数为1，一次项系数为偶数时优先用配方法。 【例6】 （福建省福安市第六中学2025-2026学年上学期数学素养监测）解方程：． 变式6-1 （西安市新城区2026-2027学年度第一学期九年级摸底测试数学）解方程： 变式6-2 （2026-2027九年级数学）用配方法解下列方程： (1)；(2)． 题型7：公式法解一元二次方程（易） 1. 知识点：利用求根公式解一元二次方程。 2. 解题技巧：系数较简单或者及其复杂，没有其他简便方法求解一元二次方程，用公式法。 【例7】 （2026-2027九年级数学）用公式法解下列方程：(1)；(2)． 变式7-1 （2026-2027九年级数学）用公式法解下列方程：(1)；(2) 变式7-2 （繁昌区第三中学2025-2026九年级数学试卷）公式法解方程：． 题型8：因式分解法解一元二次方程（易） 1. 知识点：利用提公因式、公式法因式分解，求一元二次方程的解。 2. 解题技巧：二次项系数为1的还可以用十字相乘法进行因式分解，提取公因式注意提出是否有“-”号，涉及变号。 【例8】 （北京市文汇中学2026-2027学年度第一学期初三年级数学）解方程：． 变式8-1 （广东深圳市宝安中学2026-2027学年上学期九年级数学）解方程：． 变式8-2 （2026-2027九年级数学）因式分解法解下列方程：(1)； (2) 题型9：一元二次方程的根与系数的关系（易） 1. 知识点：一元二次方程的根与系数关系。 2. 解题技巧：代入时注意a、b、c系数的符号，依据公式直接代入即可。 【例9】 （2026-2027九年级数学）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)；(2)． 变式9-1 （上海市浦东模范中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题）关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： (1)填空：________；________； (2)； (3)． 变式9-2 （福建省泉州第五中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试题）已知关于的一元二次方程，如果方程有两实根为、，且，求的值． 培优题型 题型10：利用整体代入法求参数（难） 1. 知识点：一元二次方程解的概念，整体代入的思想。 2. 解题技巧:式子中通常隐藏着由二元一次方程变换而来的等式，可通过提取公因式或化简等方法找到对应等式，进行整体的代入求值。 【例10】 （25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____________． 变式10-1 （25-26九年级·阶段检测）先化简，再求值； (1)，其中是方程的根． (2)，其中，． 变式10-2 （25-26九年级下·山东淄博·期末）已知是方程的一个根，试求的值． 题型11：关于一元二次方程的新定义问题（难） 1. 知识点：一元二次方程的定义、一般式、解等基础概念。 2. 解题技巧：根据新定义的方程要求，理解其各项系数之间的关系，进行求解运算。过程中涉及整体代入、换元等思想，符号上不要漏掉“-”号。 【例11】 （26-27九年级·江苏·暑假作业）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 变式11-1 （25-26八年级下·全国·周测）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如． (1)判断是否为一元二次方程． (2)判断和是否是方程的根． 变式11-2 （25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．已知关于的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则的值为___________． 题型12：一元二次方程的综合实践问题（难） 1. 知识点：一元二次方程的定义、一般式、解等基础概念，主要考察阅读理解的能力。 2. 解题技巧：仔细阅读材料，结合相应的方程概念、方程的解进行解答。 【例12】 （20-21八年级下·江苏盐城·阶段检测）阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 变式12-1 （2026·安徽六安·一模）阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得： ____①，由m为整数知： ②是整数，一定是整数，是有理数，，． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值． 解法一：由得． 具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得 ，即， 从而有或③ 或④ 即或或． 当时，，同理⑤ 或⑥ 综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得…… 请将①②③④⑤⑥补充完整． 变式12-2 （25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 题型13：换元法解一元二次方程（难） 1. 知识点：结合解一元二次方程的方法，利用整体换元的思想进行换元求解。 2. 解题技巧：找到合理的整体部分，进行换元，注意换元后还要求原内容。 【例13】 （25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，①解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到化降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程： (1)； (2)； (3)已知实数a满足，则______． 变式13-1 （25-26九年级上·河南南阳·期中）阅读下面材料，然后解答问题： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程：，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：，， 或． 解得，，，． (1)请参考例题解法，解下列方程： ； ． (2)已知一元二次方程，，直接写出的值． 变式13-2 （25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下列材料，解答问题： 换元法：把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．请利用“换元法”解决以下问题： (1)解方程：； (2)已知实数，满足，求的值； (3)解方程：； (4)解方程：． 题型14：与配方法结合的最值问题（难） 1. 知识点：配方法解一元二次方程的定义，平方的非负性。 2. 解题技巧：通过配方，转化成 的形式，注意求最大值还是最小值，关注符号。 【例14】 （24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）设，为实数， 求的最小值． 变式14-1 （24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）阅读与思考 配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值． 我们使用的方法如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料方法，解答下列问题． (1)的最大值为______； (2)求的最小值． 变式14-2 （25-26八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 题型15：利用根与系数关系求参数（重） 1. 知识点：一元二次方程的根与系数的关系，代入求值。 2. 解题技巧：结合根的情况进行参数的求解，利用因式分解等方法简便计算。 【例15】 （25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 变式15-1 （25-26八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 变式15-2 （25-26九年级下·山东济南·自主招生）若实数a，b，c满足：，7． (1)若，求m的最小值； (2)若，且a为整数，求； (3)若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 题型16：关于根与系数关系的新定义问题（难） 1. 知识点：一元二次方程的根与系数关系、一元二次方程的新定义。 2. 解题技巧：通过对根与系数关系的变形，结合因式分解，形成新的结构，进行运算。 【例16】 （25-26七年级下·江苏宿迁·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数”． 【解决问题】 (1)下列各数中，“和谐数”有    ．（填序号）①12；②20；③45；④60． 【探究问题】 (2)若可配方成（m，n为常数），则的值 ． (3)已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知，比较P，Q的大小． 变式16-1 （25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 变式16-2 （25-26八年级下·福建福州·期末）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 归纳总结 一、重点 1.掌握一元二次方程的定义；一元二次方程一般形式，能准确识别二次项、一次项、常数项，二次项系数a、一次项系数b。 2.掌握二次项系数a≠0的意义：只有a≠0，方程才是二次方程；若a=0,b≠0，方程退化为一元一次方程。 3.一元二次方程的根：能判断一个数是不是方程的根，会把根代入方程求参数的值。 4.熟练应用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程组。 5.会用判别式判断一元二次方程根的情况。 6.一元二次方程根与系数关系式（韦达定理）。 二、难点 1.判断经过整理化简之后的方程是否为一元二次方程（表面看有二次项，化简后二次项抵消）。 2.根据一元二次方程定义求字母参数取值，既要保证二次项系数不为0，又要满足次数条件，容易漏掉a≠0这个限制。 3.区分：整式方程、一元一次方程、一元二次方程。 4.已知方程的根，代入求参数，注意参数带来的条件检验。 5.一元二次方程根与系数关系，由分解因式的形式展开对应。 6.换元法解一元二次方程，识别换元对象，多解问题不能漏解。 三、易错点 1.忽略a≠0：看到未知数最高次数为2，就判定是一元二次方程，忘记二次项系数不能等于0，尤其求参数时不检验二次项系数。 2.写一般形式时，没有移项化为右边等于0的标准形式，找错各项系数；系数要带上前面符号尤其是“-”号。 3.不是整式方程误判为一元二次方程：分母含有未知数、根号内含未知数，属于分式/无理方程，化简后二次项消失。 4.“方程的解”概念混淆：只把正数当根，一元二次方程根可以正数、负数、0。 5.直接开方法容易忽略负数根的情况；配方法在二次项系数不为1时进行直接配方，一次项系数为负数漏负号；公式法漏掉系数符号；因式分解提出公因式x后直接消掉，导致漏根，右边不为0直接分解，分解不完全。 四、数学思想 1.转化思想：把复杂方程整理转化为一元二次方程一般形式。 2.分类讨论思想：含参数方程，讨论二次项系数a=0和a≠0两种情况，区分一元一次、一元二次方程。的三种情况。 3.代入思想（方程根的定义）：将根代入方程，把方程的根转化为等式求字母的值。 4.降次转化思想：将二次方程通过配方、开方、分解，转化为两个一元一次方程，把高次问题转化为低次已知问题。 5.化归思想：把不标准、不整齐、复杂的方程化为标准一般形式，统一方法解决。 同步测评 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 3．（25-26九年级上·北京·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山西晋中·期中）下表是某同学求代数式（..为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于的一元二次方程的一个根为（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 3 8 15 ．．． A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 7．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）若a是方程的一个解，则的值是________． 三、解答题 10．（2026-2027学年九年级上册）解方程：(1)；(2)； (3)；(4)；(5)． 11．（2025八年级上·上海·专题练习）当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 12．（25-26九年级上·全国·单元测试）定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”_______． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． (3)已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 13．（25-26九年级下·北京·开学考试）已知是方程的一个根，求代数式的值． 14．（25-26八年级上·福建福州·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：； (2)若是的一个根，判断的符号． 15．（25-26八年级下·全国·周测）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)如果是等边三角形，试判断1是否是这个一元二次方程的根． 16．（北京市石景山区2025-2026学年第二学期八年级期末数学试卷）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)记此方程的两个根为，．当取满足条件的最小整数时，求的值． 17．（浙江省温州市2025-2026学年八年级下学期数学期末卷）已知关于x的方程 (1)当方程的一个根为2时，求c的值． (2)若方程的两根之积为3，求方程的根． 18．（四川省泸州市古蔺县茅溪镇初级中学校2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题），是方程的两个根，请计算下列式子的值． (1)与的值是多少？(2)值是多少？ 19．（江苏省泰州市姜堰区励才实验学校2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题）已知关于的一元二次方程 . (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根为，，是否存在实数满足 若存在请求出的值、若不存在请说明理由． 20．（江苏省苏州市吴江区盛泽第一中学2025--2026学年上学期九年级数学12月月考试卷）解方程：． 21．（上海市浦东新区张江集团中学2025--2026学年上学期12月八年级数学月考卷）解方程：． 22．（山东淄博市张店区2025-2026学年度第二学期期中学业水平检测初三数学试题）阅读理解：转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．利用转化思想，我们可以解一些新的方程． 例如无理方程（根号下含有未知数的方程），解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程必须检验． 例：解方程． 解：两边平方得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是． 解决问题： (1)已知关于的方程有一个根是，那么的值为_____； (2)仿照以上方法，解方程：； (3)请你回顾以上解答过程，总结与反思转化的数学思想，并应用转化思想解如下方程：． 23．（江苏省盐城市亭湖区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）阅读下面的例题：解方程， 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），． 原方程的根是，． (1)解方程； (2)解方程． 24．（25-26七年级下·河南·期中）【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 25．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知关于的一元二次方程有实数根，且两根之和为整数，求整数的值． 26．（2022九年级上·湖北黄冈·竞赛）已知实数a、b、c满足，，求a、b、c的值． 27．（25-26八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 28．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）阅读与思考 八（3）班数学兴趣小组的小李同学在解一元二次方程时遇到了这样一个方程．对这个方程进行化简得到：，继续求解时发现解这个方程有些困难，于是思考解这个方程有没有比较简单的方法呢？数学兴趣小组的同学为此展开讨论，有人提出能否将方程进行变形，利用求平方根来求解，于是做了如下尝试： 第一步：令； 第二步：原方程可变形为； 第三步：······ 完成本题的求解之后，数学小组又用此方法解出了几个类似的方程．经过多次尝试，小组内部进行了反思：该方法的第一步实际上是对方程等号左边的两个多项式取平均值，再通过换元得到一个相对简单的一元二次方程，其本质是求平方根法的推广，不过只有特殊形式的一元二次方程才能运用． (1)请完成材料中第二步以后的求解过程． (2)依照材料内容，小赵同学尝试解方程：．他的解法如下： 第一步：令； 第二步：原方程变形为； 接下去，小赵同学遇到了困难，他发现直接模仿该方法并没有使方程变得简单，在换元到第二步后也难以继续往下进行．你能帮助他解决这个困难吗？请优化小赵同学的解题过程，并运用材料中的方法完成该方程的求解． (3)材料中解法的本质是求平方根法．回顾课本中对求平方根法的归纳：形如（）的一元二次方程可以通过求平方根来求解．请你结合材料内容，观察并归纳：当一元二次方程可化成形如_____的方程时，可用材料中的方法求解． 29．（25-26八年级上·贵州六盘水·期中）【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法： 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 小明的做法是将已知条件适当变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法： 因为 所以当时， 原式． 小丽的做法是将结论中代数式适当变形，再将已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 (1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题： 已知，求的值． (2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题： 已知，求的值． 30．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）对于实数a，b，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求的值； (2)若，是一元二次方程的两个根，求的值． 31．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读材料，解答问题 材料一：已知实数，，满足，，则可将，看作一元二次方程的两个不等实数根． 材料二：已知，求的值， 某同学解答思路如下： 由可得， 所以． (1)直接应用：已知实数，满足，，求的值； (2)间接运用： ①若，且，则（   ） A．    B．    C．    D． ②已知实数，满足，．且，求的值． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $