重难题型卷(二)等三角形-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（苏科版·新教材）江苏专版

答案与解析 求证：CE是∠ACD的平分线. 证明：：AB∥CD,.∠AEC=∠ECD :△ACE是等腰三角形，∴.∠AEC-=∠ACE. .∠ACE=∠ECD, .CE是∠ACD的平分线， 23.【证明】连接DG,EG,如图. :'CDLAB,点G是BC的中点， D 在RABCD中，DG=2BC 同理，BG=号BC ∴.DG=EG. :F是DE的中点， 第23题答图 ∴.GF I DE. 24.【解】(1)AD是△ABC的高，.∠ADB=90° :∠BAD=65,.∠ABD=90°-65°=25. :CE是△ACB的角平分线，∠ACB=50°， ∠ECB=号∠ACB=25, ∴.∠AEC=∠ABD+∠ECB=25°+25°=50°. (2).BF是△ACB的中线，'.AF=FC :△BCF与△BAF的周长差为3， .(BC+CF+BF)-(AB-AF+BF)=3,..BC-AB=3. :AB=7,BC=10. 25.【证明】如图，BD,CE是△ABC的角平 4 分线，BD,CE相交于点O 过点O作OG⊥BC于点G,作OH⊥ AC于点H,作OK⊥AB于点K, E ,BD,CE是△ABC的角平分线， AH .OG-OH,OG-OK, .OH=OK, ∴.点O在∠BAC的平分线上， G .三角形三条角平分线交于一点. 第25题答图 26.(1)【证明】如图，连接BD,CD, ,D是线段BC的垂直平分线上 A 的点，.BD=DC ,D是∠BAC平分线上的点， DG⊥AB,DH⊥AC, E .DG=DH,∠DGB=∠H=90°. 在Rt△BDG和Rt△CDH中， G (BD-CD, B DG=DH, D .'.Rt△BDG≌Rt△CDH(HL), 第26题答图 .BG-CH. (2)I解】.∠DGA=∠DHA=90°，AD=AD,DG=DH, .∴.Rt△ADG≌Rt△ADH(HL),∴.AG=AH, .AB-AC=AG+BG-(AH-CH)=2BG=12-8=4, ∴.BG=2. 27.【解】(1)PE+PF+PM=BG 证明：如图①，连接PA,PB,PC, 则S△ABP十S△aCP十SAcP=S△ABC. .'△ABC是等边三角形，∴.AB=AC=BC .'PE⊥AB,PF⊥AC,PM⊥BC,BG⊥AC, ∴.AB·PE+2AC·PF+2BC·PM=2AC·BG, 合AB:PE+ZAB·PF+ZAB·PM=2AB,BG ∴.PE+PF+PM=BG (2)PE+PF-PM=BG,理由如下： 如图②，连接PA,PB,PC,则SAABP十SAP-SAiP=SAAc. :△ABC是等边三角形，∴.AB=AC=BC, .'PE⊥AB,PF⊥AC,PM⊥BC,BG⊥AC, ·AB·PE+2AC·PF-2BC·PM=号AC·BG, ·2AB·PE+2AB·PF-2AB·PM=2AB·BG .PE+PF-PM=BG. G M M P ① ② 第27题答图 28.(1)【解】55° 分析：：将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上， ∴.∠AFE=∠DFE ∠ACB=90°，∠CDF=20°，∴.∠CFD=90°-20°=70°， :∠AFE=∠DFE=2×(180°-70)=55 (2)【证明】如图，，△CDF为等 腰三角形，∠FCD=90°， D .∠CDF=∠CFD=45°. 由折叠的性质可知AF=FD, A二 B .∠FAD=∠FDA E 又∠CFD=45°， 第28题答图 .∠FAD=22.5° 又AD平分∠CAB, .∠DAE=∠FAD=22.5°，∴.∠CAD=45°. 又∠C=90°，.∠CBA=45°，.AC=BC (3)【解】，△CDF为等腰三角形，∴.∠CFD=∠CDF=45° .AF=DF, .∠FAD=∠FDA=22.5°，∴.∠ADC=67.5°. :∠ADC=∠B+∠DAB,∴.∠DAB=67.5°-∠B. :AE=DE,∴.∠DAB=∠ADE=67.5°-∠B, .∠DEB=∠EAD+∠EDA=135°-2∠B. ,△BDE为等腰三角形，.分三种情况讨论： ①若DE=DB,则∠DEB=∠B, ∴.135°-2∠B=∠B,∴.∠B=45° ②若BD=BE,则∠DEB=∠EDB, .∠DEB=∠EDB=135°-2∠B. :∠DEB+∠B+∠EDB=180°， .∴.135°-2∠B+135°-2∠B+∠B=180°，∴.∠B=30°. ③若DE=BE,则∠EDB=∠B, :∠DEB+∠B+∠EDB=180°， .135°-2∠B+∠B+∠B=135°≠180（不合题意舍去）. 综上所述，∠B=30°或45° 4.重难题型卷（二）等腰三角形 1.C【解析】当80°角是等腰三角形的顶角时， 底角的度数为2×(180°-80)=50， 当80°角是等腰三角形的底角时， 顶角的度数是180°一80°×2=20° ,∴.等腰三角形的底角的度数为50°或80°.故选C 2.C【解析分为三种情况：①作AB的垂直平分线交南北向的公 路于一点P,此时PA=PB; ②以点A为圆心，AB长为半径画弧交南北向的公路于两点，此 时AB=AP; ③以点B为圆心，AB长为半径画弧交南北向的公路于两点(A 点除外，有一点)，此时AB=BP. 共1十2+1=4个点.故选C. 3.B【解析】如图，当AF=AB=3,BD=BA=3,AE=AB=3,BG =AG时，都能得到符合题意的等腰三角形.故选B. A - C F D 第3题答图 4.D【解析】当点D在线段BC上时，如图①， A B 第4题答图① :∠ABC=a,CA=AB,∴.∠C=∠ABC=a. :CD=CA,∠ADC=∠CAD=180°2∠C=90- 2 a I∠ADC=∠B+∠BAD, 90°-2a=a十B,即g=90°-a, 当点D在线段BC的延长线上时，如图②， 同理可得月=180°-号a 当点D在线段CB的延长线上时，如图③， 同理可得月多。一90，故选D. B DD B ② ③ 第4题答图 5.7或11【解析】如图，在△ABC中，AB=AC,且AD=BD. 设AB=x,BC=y, ①当AC+AD=15,BD+BC=12时， A 则2x+x=15,2x+y=12, 解得x=10,y=7. ②当AC+AD=12,BC+BD=15时， D 则2x+x=12,2x+y=15, 解得x=8,y=11. B 综上所述，这个三角形的底边BC的长为7 第5题答图 或11.故答案为7或11. 6.40°或140°【解析】分两种情况： 当△ABC是等腰锐角三角形时，如图①， ,EF是AB的垂直平分线，.∠AFE=90°. ∠AEF=50°，.∠A=90°-∠AEF=40°. E50 A ① ② 第6题答图 当△ABC是等腰钝角三角形时，如图②， 真题圈数学八年级上15S ,EF是AB的垂直平分线， ∴.∠AFE=90° :∠BAC是△AEF的一个外角，∠AEF=50°， .∴.∠BAC=∠AEF+∠AFE=140° 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为40°或140°， 故答案为40°或140° 7.45°或90°或135°【解析】分情况讨论 ①如图①，AB=AC,∠BFE=45°， .CE LAB,BD⊥AC, ∴.∠BEC=∠ADB=∠BDC=90°， .∠A=∠ABD=45°，即顶角的度数为45°； M D R ① ② ③ 第7题答图 ②如图②，AB=AC,∠BAD=45°， .AD⊥BC,.∠ADB=∠ADC=90°， ∴.∠B=∠BAD=45°，.∠C=∠B=45°， .∠BAC=90°，即顶角的度数为90°； ③如图③，同①可得∠PBN=∠BAM=45°， .∠BAC=135°，即顶角的度数为135°. 综上所述，顶角的度数为45°或90°或135. 8.1或2【解析】设最小角为x,则最大角为x十45°， 当顶角为x+45时，x+x+x十45°=180°，解得x=45°， ∴.此三角形为等腰直角三角形， 此时三角形的面积=号×2X2=2. 当顶角为x时，x十x+45°+x十45°=180°，解得x=30°， ∴.此三角形是顶角为30°的等腰三角形. 如图，AB=AC=2,∠A=30°， A 过点C作CD⊥AB于点D, 在Rt△ADC中，：∠A=30°， ·CD=2AC=1, ·△ABC的面积=2CD:AB=号×1X2=1 D 综上所述，该三角形的面积等于1或2. B C 故答案为1或2. 第8题答图 9.a=3或a>6【解析】分情况如下： ①作线段MN的垂直平分线交OB于点P,连接PM,PN,如图 所示，则PM=PN, 此时△PMN是等腰三角形， 过点M作MH⊥OB于点H, M 当MH>MN时，满足条件的点P恰 好只有一个. 0 B ,MN=3,∠AOB=30°， HP 当MH=3时，OM=2MH=6, 第9题答图 ∴.当a>6时，满足条件的点P恰好只有一个. ②当△PMN是等边三角形时，满足条件的点P恰好只有一个， 此时MN=MP,∠NMP=60°， ∠AOB=30°，∴.∠MPO=30°， ..OM=MP=MN=3,..a=3. 综上，满足条件的a的取值范围为a=3或a>6. 故答案为a=3或a>6. 10.【解】(1)(16-t)cm (2)当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，有BP= BQ,即16-1=2，解得1=号。 答案与解析 ·出发9后，△PQB是等腰三角形， (3)11或12 分析：①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时， CQ=BQ,如图①所示，则∠C=∠CBQ ∠ABC=90°，.∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°， .∠A=∠ABQ,.BQ=AQ, ∴.CQ=AQ=10cm,.BC+CQ=22cm,∴.t=22÷2=11. Q Q B ② © 第10题答图 ②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时，CQ=BC, 如图②所示，则BC+CQ=24(cm), .∴.t=24÷2=12. 综上，当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰 三角形 11.A【解析】如图，延长AP交BC于点 D.,BP是∠ABC的平分线， .∠ABP=∠DBP .AP⊥BP, ∴.∠APB=∠DPB=90° 又BP=BP, D .△BAP≌△BDP(ASA), 第11题答图 .SABP =SALDP ,AP-DP, ∴.SAAIC=SADPC, SABC=10 cm2,.SABPD+SADrC=10 cm2, S△ABP十SAre=10cm2,.SAA=20cm2.故选A 12.号【解析如图，延长AD交BM于 A 点E :∠B=∠BAD,.AE=BE. .CN平分∠ACM, .∠ACN=∠ECN. 第12题答图 .:AD⊥CN,.∠ADC=∠EDC=90° ∠ACD=∠ECD, 在△ACD和△ECD中，CD=CD, ∠ADC=∠EDC, .△ACD≌△ECD(ASA),'.AC=EC,AD=ED. .'AC-9,.'.EC-9..'BC-6,.'.BE-BC+EC-15. AE=15,AD=号.放答案为号 13.(1)【证明】：△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=6O°，AB=AC=BC :D为AC的中点，.∠DBC-号∠ABC-30,AD=DC ,BD=DE,.∠E=∠DBC=30°， :'∠ACB=∠E+∠CDE,∴.∠CDE=30°=∠E, :CD=CE.'AD=DC,.'AD=CE. (2)【解】AD=CE.证明如下：如图，过 点D作DF∥BC,交AB于点F,则 ∠ADF=∠ACB=60°， ∠A=60°， .△AFD是等边三角形， .AD=DF=AF,∠AFD=60°， B .∠BFD=∠DCE 第13题答图 =180°-60°=120°. ,DF∥BC,BD=DE,∴.∠FDB=∠DBE=∠E. ∠FDB=∠E, 在△BFD和△DCE中，∠BFD=∠DCE, BD=DE, '.△BFD≌△DCE(AAS), .CE=DF=AD,即AD=CE. 14.(1)【证明】：BD平分∠ABC,∴.∠ABC=2∠DBC. :∠ABC=2∠C,∴.∠DBC=∠C, ∴.BD=CD,∴.△BCD是等腰三角形 (2)△ACD 分析：：BD=BA,.∠BAD=∠D. :∠ABC=∠BAD+∠D,.∠ABC=2∠D. ∠ABC=2∠C,.∠C=∠D,.AC=AD, .△ACD是等腰三角形. (3)∠ACB 分析：：∠ACD=∠ACB,.∠BCD=2∠ACB. .∠B=2∠ACB,∴.∠BCD=∠B,∴.DC=DB .△DBC是等腰三角形. (4)【证明】如图，在BC的延长线上截取CH=AC,在BC上截 取CE=CA,连接AE,AH. BC=2AC,∴.BE=CE=AC :AC=CH,.∠H=∠CAH, .∠ACB=∠H+∠CAH=2∠H. 又∠ACB=2∠B,∴.∠H=∠B,∴AH=AB. 又BE=EC=AC=CH, .△ABE≌△AHC(SAS),.AE=AC, .AE=AC=CE,∴.△ACE是等边三角形， .∠ACB=60°，.∠ABC=30°，.∠BAC=90°. A B E H 第14题答图 15.(1)①证明】连接MD,如图①. :在Rt△ABC中，M为斜边AC的中点，BM=2AC 同理，DM=号AC,BM=DM,△MBD是等腰三角形. 又N是BD的中点，∴.MN⊥BD ②I解】由条件可知BM=AM=CM=DM. 又.∠BAC=45°，∠DAC=28°， .∠MBC=∠MCB=90°-45°=45°， ∠MCD=∠CDM=90°-28°=62°， .∠BMD=360°-45°×2-62°X2=146. ,BM=DM,MN⊥BD, ·∠BMN=号∠BMD=合×146°=73 D D ① ② 第15题答图 (2)a-B 分析：如图②，连接MD,由条件可知AM=BM=MD, ∴.∠MBA=∠BAC=a,∠MDA=∠DAC=B, ∴.∠AMB=180°-2a,∠CMD=2B, ∴.∠BMD=180°-∠AMB-∠CMD=2a-2R ,BM=MD,N是BD的中点， ·.∠BMN=∠DMN=2∠BMD=2(2a-2B)=a-R 16.D【解析】连接AD,AM(图略). :△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴.AD⊥BC, ·Sae=号BC·AD-号X4·AD=24,解得AD-12. ,'EF是线段AC的垂直平分线， .点C关于直线EF的对称点为A,∴.MA=MC. AD≤AM什MD,.AD的长为CM+MD的最小值， ·.△CDM周长的最小值=(CM+MD)+CD=AD+号BC =12+号×4=12+2=14.故选D. 17.B【解析】如图，作点E关于CD的对称点E,过点E作 EF⊥AB于点F,交CD于点P,连接PE,∴.PE=PE, ∴.EP+FP=PE+PF>EF,此时EP十FP的值最小 :△ABC是等边三角形，.∠B=60°. EF⊥AB,∴.∠FEB=30°，∴.BE=2BF=2X10=20. .BE=8,CE=CE,∴.20=2CE+BE=2CE+8,∴.CE=6, .BC=BE+CE=8+6=14,.AB=BC=14, ∴.AF=AB-BF=14-10=4.故选B. D A D B P B M B 第17题答图 第18题答图 18.14【解析】如图，作点A关于CM的对称点A',点B关于DM 的对称点B',连接CA',MA',MB,A'B',BD, .∠CMD=120°，∴.∠AMC+∠DMB=60°， .∠CMA'+∠DMB=60°，∴.∠A'MB'=60°. ,M是AB的中点，.AM=BM, ∴.MA'=MB,∴.△A'MB为等边三角形. .CD<CA'+AB'+B'D=CA+AM+BD-2+4+8=14, ∴.CD的最大值为14.故答案为14. 19.【獬】：四边形ABCD是长方形，AB=4,BC=7,点E为CD的 中点，.AE为定长 ,PQ=1,.要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ 的值最小即可. 取AB的中点F,连接EF,在EF上取 y EE=PQ=1,连接EP,如图， 可知四边形BCEF是长方形，四边形F EEPQ为平行四边形，BF=分AB=B P'QP 2,∴.EP=EQ, ∴.AP+EQ=AP+EP,∴.要使AP 十EQ最小，只要AP+EP最小即可. 作点A关于BC的对称点A',连接 第19题答图 EA'交BC于点P',连接PA',则PA'=PA,A'B=AB=4, AP+EP=PA'+PE≥EA', 即AP+EP最小时，点P位于点P处，∴.BP的长为所求. 由作图可知，EF=EF-EE=7一1=6，A'F=A'B+BF=4十 2=6,∴.△A'E'F是等腰直角三角形，.∠FA'E=45. ∠A'BP'=90°，∠BPA'=45,.BP=BA'=4. .当四边形APQE的周长最小时，BP的长为4. 20.18【解析】如图，连接BF,过点C作CH⊥BF,交BF的延长 线于点H,交AB于点D'.:△BDE是等边三角形，点F是 DE的中点∠ABF=号∠DBE=2X60°=30， .点F在射线BF上运动 真题圈数学八年级上15$ 当点F与点H重合时，CF最小. :∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴.∠A=60°，AB=2AC=12. :∠ABF=30°，∴.∠ADC=∠BDH=60°， ∴.△ACD是等边三角形， .AD=AC=6,.BD=AB-AD=12-6=6, .△BDE的周长为18.故答案为18. 、日 E C 第20题答图 21.g 【解析】如图，取AB的中点H,连接DH. :△ABC是等边三角形，BF是高，AC=6, ∴.AF=CF=3,∠ABF=30° :点H是AB的中点，.BH=AH=3, ∴.AH=AF. ,将AD绕点A逆时针旋转60°至AE, .AE=AD,∠DAE=60°=∠BAC, E .∠DAH=∠FAE. 第21题答图 又AH=AF,AD=AE, ∴.△ADH≌△AEF(SAS),∴.EF=DH, .当DH⊥BF时，DH的长最短，即EF有最小值， ·DH的最小值为2BH=多，EF的最小值为. 故答案为 22.8【解析】如图，过点P作PE⊥AC于 点E,连接BE :△ABC是等边三角形，ADLBC, .BD=CD,∠DAC=30°， PE-7AP, B D ·AP+BP=PE+BP>BE, 第22题答图 ·当B,P,E三点共线，且BP⊥AC时，号AP+BP=PE+ BP=BE的值最小，此时，点P为△ABC的重心， AP=号AD=8, 故答案为8. 5.阶段学情调研（一） 题号12345678 答案DA BDC CA D 1.D2.A 3.B【解析】由题可知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， .BD=CD=AD,∴.∠DCA=∠A=20°， .∠BDC=∠A+∠DCA=20°+20°=40°.故选B. 4.D 5.C【解析】A.已知两边和其中一边的对角，不能画出唯一 △ABC:B.5十6<13，不能构成三角形；C.已知两角和一边，能 画出唯一三角形；D.已知三角不能画出唯一三角形.故选C. 6.C【解析】：△ABC是等边三角形，AB=6,BD是∠ABC的平 分线，∴.AB=BC=AC=6,CD=AD=3. .CE=CD,.'.CE=CD=3, .BE=BC+CE=6十3=9.故选C真题圈数学 同步调研卷 八年级上15S 狗 4.重难题型卷（二） 等腰三角形 物 题型一 分类讨论 语州 H期 1.(月考·2023-2024苏州立达中学)已知等腰三角形的一个内 角的度数是80°，则它的底角的度数是( A.50° B.80° C.50°或80° D.20°或80 2.(期中·2024-2025南京玄武区)如图，南北向的公路上有一点 A,东西向的公路上有一点B(AB与南北向公路的夹角不等于 60°)，若要在南北向的公路上确定点P,使得△PAB是等腰三 角形，则这样的点P最多能确定()个 A.2 B.3 C.4 D.5 北 西 东 南 第2题图 第3题图 3.(期中·2024-2025南京建邺区改编)如图，已知△ABC中， % AB=3,AC=5,BC=7,在△ABC所在平面内的一条直线，将 △ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三 角形，则这样的直线最多可以画() A5条 B.4条 C.3条 D.2条 4.(期中·2023-2024无锡梁溪区)在△ABC中，已知D为直线 BC上一点，若∠ABC=a,∠BAD=B,且AB=AC=CD,则B 与α之间不可能存在的关系式是( Ag-90°-20 BA=180-0 cg产号a-90 D-120-0 些0 5.(月考·2023-2024常州北郊初中)等腰△ABC的腰AB上的 附 中线CD,把△ABC的周长分成12和15两部分，则底边长 题 为 品 6.(期中·2024-2025无锡惠山区)在△ABC中，AB=AC,AB 的垂直平分线与AC所在直线的夹角为50°，则这个等腰三角 形的顶角的度数为 7.(期中·2024-2025宿迁宿城区)若等腰三角形的两条高所在 直线形成的角中有一个为45°，则其顶角的度数为 8.(期中·2024-2025常州北郊初中)我们把三角形中最大内角 与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”.如果等 腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，那么该三角形的面 积等于 9.(期中·2024-2025南京秦淮区)如图，M,N是∠AOB的边 OA上的两个点(OM<ON),∠AOB= NA 30°，OM=a,MN=3,若边OB上有且只有 M 1个点P,满足△PMN是等腰三角形，则ao2 -B 的取值范围是 第9题图 10.(期中·2024-2025苏州振华中学改编)如图，在△ABC中， ∠B=90°，AB=16cm,BC=12cm,AC=20cm,P,Q是 △ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方 向运动，且速度为1cm/s,点Q从点B开始沿B→C→A方向 运动，且速度为2cm/s,它们同时出发，设出发的时间为ts. (1)BP= (用含t的代数式表示) (2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三 角形？ (3)当点Q在边CA上运动时，出发 秒后， △BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？ Q PA p—A 第10题图 备用图 11 题型二构造等腰三角形 11.（期中·2023-2024苏州工业园区星海实验中学)如图，已知 BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP,若S△BrC=10cm,则 △ABC的面积等于() A.20 cm2 B.30 cm2 C.25 cm2 D.不能确定 B 第11题图 第12题图 12.(期中·2024-2025宿迁宿城区)如图，CN平分△ABC的外 角∠ACM,过点A作CN的垂线，垂足为D,∠B=∠BAD. 若AC=9,BC=6,则AD的长为 13.探究性试题如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E 在BC的延长线上，且BD=DE (I)若点D是AC的中点，如图①，求证：AD=CE, (2)若点D不是AC的中点，如图②，试判断AD与CE之间 的数量关系，并证明你的结论. 绝C E R E ② 备用图 第13题图 14.方法探索【阅读理解】在一个三角形中出现一个角的度数是 另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻 找等腰三角形. (1)如图①，若∠ABC=2∠C,可作BD平分∠ABC,则 △BCD是等腰三角形，请给出证明. (2)如图②，若∠ABC=2∠C,延长CB至点D,使BD=BA, 连接AD,则 是等腰三角形（除△ABD之外）. (3)如图③，若∠B=2∠ACB,以C为顶点，CA为一边，在 △ABC外作∠ACD= ,交BA的延长线于点D,则 △DBC是等腰三角形. 【解决问题】(4)如图④，在△ABC中，∠ACB=2∠B,BC= 2AC,求证：∠A=90°. D 4 4 ① ② ③ 第14题图 精品图书 金星教育 15.(期末·2024-2025苏州四区联考)已知线段AC,以AC为斜 边作Rt△ABC和Rt△ADC,连接BD,M,N分别是线段 AC,BD的中点，连接MN,MB. (1)如图①，Rt△ABC和Rt△ADC在线段AC的两侧. ①求证：MN⊥BD; ②若∠BAC=45°，∠DAC=28°，请求出∠BMN的度数. (2)如图②，Rt△ABC和Rt△ADC在线段AC的同侧，若 ∠BAC=a,∠DAC=B(a>B),则∠BMN的度数为 (用含α，β的代数式表示). ① ② 第15题图 题型三最值问题 类型1利用“三边关系” 16.(期中·2023-2024常州二十四中)如图，在△ABC中，AB= AC,BC=4,面积是24，AC的垂直平分线EF分别交AC,AB 边于E,F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一 动点，则△CDM周长的最小值为() A.8 B.10 C.12 D.14 D E E 第16题图 第17题图 17.(期中·2024-2025南京外国语)如图，点E在等边△ABC的 边BC上，BE=8,射线CD⊥BC,垂足为C,点P是射线CD 上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP十FP的值最小 时，BF=10,则AF的长为() A.3 B.4 C.5 D.6 -12- 18.(期中·2023-2024苏州吴中区)如 图，AC,BD在AB的同侧，点M为 线段AB的中点，AC=2,BD=8, AB=8.若∠CMD=120°，则CD的 M B 最大值为 第18题图 19.(期中·2024-2025南京秦准区改编)如图，在长方形ABCD 中，AB=4,BC=7,点E为CD的中点，P,Q为BC边上两个 动点，且PQ=1,当四边形APQE的周长最小时，求BP的长 4 Q 第19题图 类型2利用“垂线段最短” 20.(期中·2024-2025常州北郊初中改编)如图，Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6,D是线段AB上一个动 点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE.若F是DE的中 点，当CF取最小值时，△BDE的周长为 第20题图 第21题图 第22题图 21.(月考·2024-2025南京外国语)如图，等边△ABC的边长为 6,l是AC边上的高BF所在的直线，点D为直线1上的一动 点，连接AD,并将AD绕点A逆时针旋转60°至AE,连接 EF,则EF的最小值为 22.（月考·2024-2025南通启秀中学)如图，已知等边△ABC中 AD⊥BC,AD=12,若点P在线段AD上运动，当2AP+BP 的值最小时，AP的长为