第2讲 有理数的运算与巧算 奥数培优讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

人教版初中七年级上册奥数培优讲义★★★★★ 第2讲 有理数的运算与巧算 ——五大巧算·乘方拓展·定义新运算—— 目 录 【课程信息】 1 【学习目标】 1 【前言】 1 一、知识导航 2 （一）　有理数运算的五大巧算方法 2 （二）　乘方拓展 3 （三）　定义新运算 4 二、易错辨析 5 三、典例精讲 5 四、方法总结 13 五、解题口诀 14 六、习题分层训练 14 A组　基础过关（4题） 14 B组　能力提升（4题） 15 C组　挑战冲刺（4题） 15 七、参考答案与详细解析 15 八、本讲小结 17 九、易错警示 17 十、学习建议 18 学科网（北京）股份有限公司 【课程信息】 适用年级 初中七年级上册 专题名称 有理数的运算与巧算 难度星级 ★★★★☆（竞赛培优篇） 建议课时 3课时（120分钟） 核心方法 凑整配对、拆项裂项、提取公因数、错位相减、整体代换 前置知识 有理数的概念、四则运算 重点内容 五大巧算方法、乘方符号规律、末位数字周期、定义新运算 难点内容 错位相减法、整体代换法、幂的大小比较、规律发现型新运算 例题数量 8道（含变式训练） 习题数量 12道（基础4/提升4/冲刺4） 【学习目标】 1. 熟练掌握有理数运算的五大巧算方法：凑整配对法、拆项裂项法、提取公因数法、错位相减法、整体代换法，能根据算式结构特征快速选择合适方法。 2. 理解乘方的意义与符号规律，掌握负数的奇偶次幂符号判断、底数分解巧算、幂的末位数字周期规律，会进行幂的大小比较。 3. 理解定义新运算的本质——按新规则"套公式"，掌握直接代入型、规律发现型、方程构造型三类题型的解法。 4. 掌握有理数混合运算的顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号里面的。运算前先确定每一步结果的符号，再确定绝对值。 5. 养成"先观察结构、再选择方法、最后规范运算并验证"的解题习惯，提升符号感与运算推理能力。 【前言】 【趣味问题】 计算：1+2+3+…+100，你需要多长时间？德国数学家高斯在10岁时，用了不到10秒就算出了答案——5050。他的方法是：将第一个数和最后一个数配对（1+100=101），第二个数和倒数第二个数配对（2+99=101），一共配成50对，所以101×50=5050。这就是"凑整配对法"的雏形。 【数学史话】 有理数的运算是代数学的基石。古埃及人在公元前2000年就已经会进行分数运算了。中国古代的《九章算术》中记载了丰富的分数运算法则，包括"合分术"（分数加法）、"减分术"（分数减法）、"乘分术"（分数乘法）和"经分术"（分数除法），比欧洲早了一千多年。 在竞赛中，有理数运算的重点不是"算得对"，而是"算得巧"。本讲我们将学习五大巧算方法和乘方拓展技巧，让你在面对复杂算式时，能够一眼看穿结构，选择最优方法，又快又准地得出答案！ 一、知识导航 图1　本讲知识地图 （一）　有理数运算的五大巧算方法 方法1 凑整配对法 利用加法交换律、结合律，把能凑成整十、整百、整千的数先结合；对于符号交替的连加连减，把相邻两项配成一组。核心：观察哪些数配对后能凑整或得到相同结果。 方法2 拆项裂项法 把分数拆成两个分数的差，使中间项相互抵消。 常用公式： ①（分母为连续整数积）； ②（分母相差k，系数1/k不能漏）。 方法3 提取公因数法 把乘法分配律反过来用：ab+ac = a(b+c)。关键是从各项中找出公共因数，并把剩下的部分凑成整十、整百数。小数和分数混合运算中尤其好用。 方法4 错位相减法 适用于等比型求和：S = 1 + a + a² + a³ + … + aⁿ。设原式为S，两边同乘底数a，两式相减后中间项全部消去，剩下首尾两项。 核心：设S→乘底数→相减→求S。 方法5 整体代换法（换元法） 把算式中重复出现的复杂部分用字母代替，简化运算结构。常用于含多个相同分数和的代数式求值。核心：找到重复部分，设为新元，化简后再代回。 （二）　乘方拓展 图2　负数乘方的符号规律 考点1 乘方的意义与符号规律 aⁿ表示n个a相乘（n为正整数），a叫底数，n叫指数。符号规律：负数的偶次幂为正、奇次幂为负；0的正整数次幂为0；1的任何次幂为1；(−1)ⁿ的符号随n的奇偶交替。注意：−aⁿ与(−a)ⁿ含义不同！−2²=−(2²)=−4，(−2)²=4。 考点2 幂的末位数字周期 某些底数的乘方末位数字按周期循环：2ⁿ：2,4,8,6（周期4）；3ⁿ：3,9,7,1（周期4）；7ⁿ：7,9,3,1（周期4）；8ⁿ：8,4,2,6（周期4）；4ⁿ：4,6（周期2）；9ⁿ：9,1（周期2）；5ⁿ和6ⁿ的末位数字不变（分别为5和6）。求末位数字：用指数除以周期，看余数对应循环中的第几个数字（余0看最后一个）。 考点3 幂的大小比较 方法一：化成同指数，比较底数（底数大者幂大）。如230=(2³)10=810，320=(32)10=910，因为8<9，所以230<320。 方法二：化成同底数，比较指数。 方法三：计算近似值比较（适用于指数较小时）。 考点4 有理数混合运算顺序 先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号里面的（先小括号、再中括号、后大括号）。运算前先确定每一步结果的符号，再确定绝对值。同级运算从左到右依次进行。 图3　乘方末位数字的周期规律 （三）　定义新运算 考点1 直接代入型 按题目给出的新运算规则，把数字直接代入公式计算。注意：①新定义优先于普通四则运算；②括号内的新运算先算；③字母对应位置不能搞反（a*b中a在前b在后）。 考点2 规律发现型 先计算前几项，观察定义中隐藏的规律（如循环、递推、与普通运算的等价关系），再按规律求解较大项。关键：多算几项，耐心找规律。 考点3 方程构造型 新运算中含有未知数时，按定义把式子展开，转化为一元一次方程（或一元二次方程）求解。注意：解出后要代入检验，确保符合定义的定义域。 二、易错辨析 常见错误 正确做法 乘方符号判断错误：−2²误算为4，(−2)³误算为8 −aⁿ表示aⁿ的相反数，先算乘方再取负：−2²=−(2²)=−4。(−a)ⁿ表示−a的n次方：(−2)³=(−2)×(−2)×(−2)=−8。关键看负号是否在括号内！ 裂项时漏掉系数：误拆为− 裂项公式：=(−)。分母相差k时，系数是，不能漏掉！=(−) 错位相减时项数搞错：S=1+2+2²+…+2ⁿ，2S−S误算为2ⁿ−1 设S=1+2+2²+…+2ⁿ（共n+1项），则2S=2+2²+…+2ⁿ+2ⁿ⁺¹（比S多出最后一项2ⁿ⁺¹，少掉第一项1）。相减得S=2ⁿ⁺¹−1，不是2ⁿ−1！关键数清项数。 提取公因数时符号出错：−3.14×5.6+3.14×4.4误提取为3.14×(5.6+4.4) 提取公因数要连同符号一起提取。−3.14×5.6+3.14×4.4=3.14×(−5.6+4.4)=3.14×(−1.2)=−3.768。或者提取−3.14：=−3.14×(5.6−4.4)。 末位数字周期余0时搞错：2²⁰²⁴的末位数字，2024÷4=506余0，误算为第1个数字2 余0时对应周期的最后一个数字（第4个），不是第1个！2ⁿ的周期是2,4,8,6，余0对应第4个数字6。所以2²⁰²⁴的末位数字是6。 定义新运算时代入位置搞反：a*b=2a+b，计算3*4时代入为2×4+3 a*b中a在前b在后，3*4中a=3，b=4，应代入为2×3+4=10，不是2×4+3=11。注意字母对应位置！ 混合运算顺序错误：−3²+2×(−1)³误算为9+2=11 先乘方：−3²=−9（不是9！），(−1)³=−1。再乘除：2×(−1)=−2。后加减：−9+(−2)=−11。关键：−3²的负号不在括号内，结果为负！ 三、典例精讲 例1 凑整配对法——符号循环分组求和 【方法标签】凑整配对 · 分组求和 题目：计算：。 分析：观察算式，符号按"++--"循环出现，每4项为一组。每组的计算结果相同，可以先分组再求和。关键是数清组数和每组的结果。 详解： 第1步：观察符号规律：+、+、−、−、+、+、−、−……每4项一循环 第2步：每4项配成一组：、、……、 第3步：计算第一组： 第4步：验证第二组：，每组结果都是 第5步：数清组数：从1到2024共2024项，每4项一组，共组 第6步：原式 【方法点睛】 凑整配对法的核心是"观察结构、合理分组"。对于有规律的连加连减，先观察符号的循环规律，再按循环周期分组。分组后要验证每组的结果是否相同（或成等差数列），然后用"每组结果×组数"快速求和。本题中符号按"++--"循环，周期为4，每组结果都是−4，共506组，所以结果为−2024。常见的符号循环还有"+--+"（每组为0）、"+++---"（周期6）等。 【变式训练】 变式：计算：1−2−3+4+5−6−7+8+…+2021−2022−2023+2024。 【变式答案】符号按"+--+"循环，每4项一组：，，……，共组，每组都是0，原式 例2 拆项裂项法——分母相差k的裂项 【方法标签】裂项相消 · 分母差为k 题目：计算： + + + … + 。 分析：每个分数的分母是两个相差3的整数的乘积（1和4差3，4和7差3，…）。利用裂项公式： = ()( − )，这里k=3，所以每一项=()( − )。裂项后中间项相互抵消。 详解： 第1步：裂项公式： = ()( − ) 第2步：原式=()(−)+()(−)+()(−)+…+()(−) 第3步：提取公因数：原式=()[(1−)+(−)+(−)+…+(−)] 第4步：去括号后，中间的−和+抵消，−和+抵消，……，−和+抵消 第5步：只剩下首项1和末项− 第6步：原式=()(1 − )=()()= 【方法点睛】 裂项相消的关键是"拆成差、中间消"。分母相差k时，裂项系数是，绝对不能漏掉！拆项后要注意观察哪些项能抵消：通常是前一项的减数和后一项的被减数相同。本题中分母的规律是1,4,7,10,…,2023,2026（公差为3的等差数列），裂项后恰好首尾相接、中间抵消。 【变式训练】 变式：计算： + + + 。 【变式答案】=()(−+−+−+−)=()(−)=()()= 例3 提取公因数法——分数小数混合运算 【方法标签】提取公因数 · 分配律逆用 题目：计算：。（提示：） 分析：直接计算两个乘积再相加，运算量较大。观察到3.6+6.4=10，如果能提取公因数凑出10就好了。但两个乘积的因数不同（25.4和37.9）。利用提示37.9=25.4+12.5，将37.9拆成25.4+12.5，然后展开，就能提取公因数25.4，剩下的部分恰好也能凑整。 详解： 第1步：将拆为：原式 第2步：展开第二个乘积： 第3步：前两项提取公因数25.4： 第4步：： 第5步：； 第6步：原式 【方法点睛】 提取公因数法的关键是"制造公因数"。当两个乘积没有明显的公因数时，可以通过拆数（将一个数拆成两个数的和或差）来制造公因数。本题中37.9=25.4+12.5就是关键的拆数技巧。拆数后展开，前两项提取25.4凑出10，后一项12.5×6.4利用12.5×8=100凑整。拆数凑公因数是竞赛中常用的技巧。 【变式训练】 变式：计算：。 【变式答案】提取公因数2.5： 图4　裂项相消原理示意图 例4 错位相减法——等比数列求和 【方法标签】错位相减 · 乘方型求和 题目：计算：。 分析：从第二项起，每一项都是前一项的3倍，属于等比型求和。设原式为，两边同乘3，用减去，中间项全部消去，剩下首尾两项。注意项数：从到共2026项。 详解： 第1步：设 第2步：两边同乘3： 第3步： 用减去： 第4步：中间项全部抵消 第5步： 第6步： 【方法点睛】 错位相减法"三步曲"：设→乘底数→相减。关键是数清项数和注意乘底数后的式子比原式多出最后一项、少掉第一项。对于（共项），结果为（）。本题，，所以。 【变式训练】 变式：计算：。 【变式答案】设，，， 图5　错位相减法原理示意图 例5 整体代换法——重复部分换元简化 【方法标签】整体代换 · 换元法 题目：计算：(1 + + + ) × ( + + + ) − (1 + + + + ) × ( + + )。 分析：算式中++重复出现多次，如果直接通分计算会非常繁琐。设a=++，b=，将算式用a和b表示，可以大大简化。原式变为(1+a)(a+b)−(1+a+b)a，展开后a²项抵消，只剩下b。 详解： 第1步：设 a = + + ，b = 第2步：则 1 + + + = 1 + a 第3步： + + + = a + b 第4步：1 + + + + = 1 + a + b 第5步：原式 第6步：展开第一项： 第7步：展开第二项： 第8步：相减： 第9步：所以原式 = b = 【方法点睛】 整体代换法的核心是"找到重复部分，设为新元"。当算式中某个复杂部分（如多个分数的和）重复出现时，将其设为一个字母，展开后复杂的高次项往往会相互抵消，只剩下简单的结果。本题中设a=++后，a²和ab项全部抵消，结果就是b=。换元法是"化繁为简"的典型技巧。 【变式训练】 变式：计算：(1++)(++) − (1+++)(+)。 【变式答案】设a=+，b=，原式=(1+a)(a+b)−(1+a+b)a=b= 例6 乘方综合——末位数字与幂的大小比较 【方法标签】末位周期 · 幂的比较 题目：(1)求的末位数字；(2)比较与的大小。 分析：(1)3的幂的末位数字按3,9,7,1循环，周期为4。用2025除以4，看余数对应循环中的第几个数字。(2)比较两个幂的大小，可以化成同指数比较底数。100和75的最大公约数是25，所以，，比较16和27即可。 详解： 第1步：(1)，，（末位7），（末位1），（末位3）…… 第2步：末位数字：3,9,7,1,3,9,7,1……周期为4 第3步： 第4步：余1对应循环中的第1个数字3，所以的末位数字是3 第5步：(2)化同指数： 第6步： 第7步：因为指数相同（都是25），比较底数： 第8步：所以，即 【方法点睛】 末位数字问题"三步"：写循环→除以周期→按余数定位。余0时对应周期的最后一个数字。幂的大小比较常用"化同指数"法：找到两个指数的最大公约数d，将两个幂都化成指数为d的形式，然后比较底数。本题中gcd(100,75)=25，所以化成指数25。也可以"化同底数"，但本题底数2和3互质，化同指数更方便。 【变式训练】 变式：(1)求的末位数字；(2)比较与的大小。 【变式答案】(1)末位按7,9,3,1循环，，末位数字是7。(2)，，，所以 例7 定义新运算——规律发现型 【方法标签】定义新运算 · 规律发现 题目：规定一种新运算"⊕"：对于任意有理数、，有。(1)计算；(2)计算；(3)若，求的值；(4)探究：与有什么关系？利用这个关系计算。 分析：这是一道综合性的定义新运算题。(1)(2)直接代入计算。(3)按定义展开后是一元一次方程。(4)是规律发现型：，这个关系可以大大简化连算。利用这个关系，可以逐步转化。 详解： 第1步：(1) 第2步：(2)先算，再算 第3步：(3)，， 第4步：(4) 第5步：所以 第6步：利用这个关系： 第7步： 第8步：归纳规律： 第9步：所以 第10步： 【方法点睛】 定义新运算的三类题型：①直接代入型——按规则代入计算；②方程构造型——含未知数时展开为方程；③规律发现型——多算几项找规律，发现新运算与普通运算的等价关系。本题中是关键发现，利用这个关系可以将复杂的连算转化为普通乘法，大大简化运算。规律发现的核心是"多算几项、耐心观察"。 【变式训练】 变式：规定a※b。(1)计算3※4；(2)探究a※b与的关系；(3)计算2※3※4。 【变式答案】 (1)3※4。 (2)a※b。 (3)2※3※4 例8 混合运算综合——多种方法综合运用 【方法标签】综合运算 · 符号+乘方+巧算 题目：计算：。 分析：这是一道有理数混合运算综合题，涉及乘方、乘除、加减、绝对值。按照运算顺序：先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减。每一步都要先确定符号，再确定绝对值。注意（奇次幂为负），（偶次幂为正），（奇次幂为负）。 详解： 第1步：先算乘方和绝对值： 第2步：（奇次幂为负） 第3步：(−)² = （偶次幂为正） 第4步：（偶次幂为正） 第5步：(−)² = （偶次幂为正） 第6步： 第7步：（2025是奇数，奇次幂为负） 第8步：代入原式：= (−8) × () − 9 ÷ () + 5 × (−1) 第9步：再算乘除：(−8)×() = −2；9÷() = 9×9 = 81；5×(−1) = −5 第10步：原式 【方法点睛】 有理数混合运算"三步法"：①先乘方（含绝对值）——注意符号，负数的偶次幂为正、奇次幂为负；②再乘除——同级运算从左到右，除以一个数等于乘以它的倒数；③后加减——先确定每一项的符号，再合并。每一步都要"先定符号，再定绝对值"，这是避免符号错误的关键。和的区别要特别注意！ 【变式训练】 变式：计算：。 【变式答案】，，，，，。原式 四、方法总结 方法 适用场景 操作要点 典型例题 凑整配对法 符号交替的连加连减、能凑整的混合运算 观察哪些数配对后能凑整或得到相同结果；两项一组或多项一组；先定项数再定组数 例1 拆项裂项法 分母为乘积形式的分数求和 =()(−)；系数1/k不能漏；拆后中间项抵消，只剩首末项 例2 提取公因数法 含相同因数的混合运算、乘法分配律逆用 找出公共因数（可能需要拆数制造公因数）；提取后括号内凑整；注意连同符号一起提取 例3 错位相减法 等比型求和（1+a+a²+…+aⁿ） 设S→乘底数a→两式相减→中间项抵消→求S；注意项数和多出的最后一项 例4 整体代换法 重复出现复杂部分的代数式求值 找到重复部分设为新元；展开化简后高次项往往抵消；最后代回求值 例5 末位周期法 求乘方的末位数字 写出前几项找周期→用指数除以周期→按余数定位（余0看最后一个）；2,3,7,8周期4，4,9周期2 例6 化同指数法 比较两个幂的大小 找两个指数的最大公约数d→化成指数为d的幂→比较底数；底数大者幂大 例6 规律发现法 定义新运算中的规律探究 多算前几项→观察新运算与普通运算的等价关系→利用规律简化复杂计算 例7 五、解题口诀 1. 有理运算有巧法，凑整配对与裂项；提取公因数分配，错位相减整体换。 2. 凑整配对看结构，相邻两项配一组；每组结果算准确，数清组数是关键。 3. 裂项相消有公式，分母差k系数；拆成差来中间消，只剩首项和末项。 4. 提取公因数要细心，连同符号一起提；没有公因造公因，拆数凑整是高招。 5. 错位相减三步走，设S乘a再相减；中间项全抵消，数清项数不出错。 6. 整体代换找重复，复杂部分设字母；展开高次全抵消，化繁为简真巧妙。 7. 乘方符号看奇偶，偶次为正奇次负；与，括号有无要分清。 8. 末位数字有周期，2,3,7,8周期四；指数除以周期数，余零对应最后一个。 9. 幂的比较化同指，找好公约再变形；底数大者幂就大，简单快捷不出错。 10. 新运算按式套，字母位置别搞反；含未知数列方程，多算几项找规律。 六、习题分层训练 说明：A组为基础过关，B组为能力提升，C组为挑战冲刺。建议先独立完成，再对照参考答案与解析。 A组　基础过关（4题） A1. 计算：。 A2. 计算：。 A3. 计算：。 A4. 规定，计算的值。 B组　能力提升（4题） B1. 计算： + + + … + 。 B2. 计算：。 B3. 求的末位数字。 B4. 计算：。 C组　挑战冲刺（4题） C1. 计算：(1 + + ) × ( + + ) − (1 + + + ) × ( + )。 C2. 比较与的大小。 C3. 规定。(1)计算；(2)若，求的值；(3)探究与的关系，并计算。 C4. 计算： + + + + … + 。（提示： = − ，注意分母规律） 七、参考答案与详细解析 A组 A1 1 解析：（奇次幂），（偶次幂），，。原式。注意：，不是（这里答案相同，但概念不同）。 A2 −1012 解析：两两配对：，共组，每组，原式。 A3 25 解析：提取公因数2.5：。 A4 7 解析：，。 B组 B1 解析：裂项：=()(−)。 原式=()(1−+−+…+−)=()(1−)=()()=。 B2 87381 解析：设，，，。 B3 8 解析：的末位数字按8,4,2,6循环，周期4。，对应第1个数字8。 B4 61 解析：，，，，，。 原式。 C组 C1 解析：设a=+，b=。原式=(1+a)(a+b)−(1+a+b)a=(a+b+a²+ab)−(a+a²+ab)=b=。 C2 2¹²⁰ < 3⁸⁰ 解析：化同指数：gcd(120,80)=40。，。因为，所以，即。 C3 (1)19；(2)x=3；(3)a⊕b=(a+1)(b+1)−1，1⊕2⊕3⊕4=119 解析：(1)。 (2)，，。 (3)。 。 C4 解析： 分母规律：，，，，…，。 原式=++…+=(1−)+(−)+…+(−)=1−=。 八、本讲小结 本讲系统学习了有理数运算的五大巧算方法、乘方拓展和定义新运算三大板块，是七年级奥数的重点专题。 1. 五大巧算方法：①凑整配对法：观察结构，合理分组，两项或多项一组，凑整或得到相同结果；②拆项裂项法：=()(−)，系数1/k不能漏，拆后中间抵消只剩首末；③提取公因数法：ab+ac=a(b+c)，没有公因数时拆数制造公因数，注意连同符号提取；④错位相减法：设S→乘底数→相减→求S，注意项数和多出的最后一项；⑤整体代换法：重复部分设新元，展开后高次项抵消，化繁为简。 2. 乘方拓展：①符号规律——负数的偶次幂为正、奇次幂为负；与含义不同，负号是否在括号内是关键；②末位数字周期——2,3,7,8周期4，4,9周期2，5,6不变，求末位用指数除以周期看余数（余0看最后一个）；③幂的大小比较——化同指数比底数（找指数的最大公约数），或化同底数比指数；④混合运算顺序——先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内，每步先定符号再定绝对值。 3. 定义新运算：①直接代入型——按规则代入，注意字母对应位置；②规律发现型——多算几项找规律，发现新运算与普通运算的等价关系；③方程构造型——含未知数时展开为方程求解。定义新运算的本质是"按新规则套公式"，关键是准确代入和耐心找规律。 4. 核心思想：①转化思想——复杂运算转化为简单运算（裂项、换元、错位相减都是转化）；②整体思想——将重复部分看作整体（整体代换）；③观察思想——先观察算式结构，再选择方法，不盲目硬算。 解题总原则：先观察结构，再选择方法，最后规范运算并验证。五大巧算方法要根据算式特征灵活选择，乘方运算要特别注意符号，定义新运算要准确代入。 九、易错警示 易错警示 1. 乘方符号判断错误！，不是4！，不是8！关键看负号是否在括号内：在括号内，负号参与乘方；不在括号内，先算乘方再取负。 2. 裂项漏掉系数！=()(−)，不是−！分母相差k时，裂项系数是，绝对不能漏掉。 3. 错位相减项数搞错！共项，，不是！设S时要数清项数，乘底数后多出最后一项。 4. 提取公因数符号出错！，不是！提取公因数要连同符号一起提取，或提取负公因数。 5. 末位数字余0时搞错！的末位数字：，对应周期最后一个数字6，不是第1个数字2！余0时看周期的最后一个数字。 6. 定义新运算代入位置搞反！，计算3*4时代入为，不是！a在前b在后，字母对应位置不能搞反。 7. 混合运算顺序错误！，不是！先乘方（），再乘除（），后加减。 8. 整体代换时展开出错！展开后和项抵消，结果为，不是！展开时要逐项相乘，注意符号，不要漏项。 十、学习建议 —————————————————————————— 学习建议 1. 方法归类整理：将五大巧算方法整理成"方法—适用场景—操作要点—典型例题"对照表，每种方法配3-5道练习题，做到看到算式就能判断用哪种方法。 2. 乘方专项训练：乘方符号判断是高频易错点。每天做10道乘方符号判断题（如、、等），强化"负号是否在括号内"的判断。 3. 裂项公式熟记：熟记裂项公式=(−)，特别注意系数。做裂项题时先写出公式，再代入，避免漏掉系数。 4. 错位相减规范：错位相减要严格按"设S→乘底数→相减→求S"四步书写，每一步都要写清楚，特别是乘底数后的式子要逐项对齐，便于观察抵消。 5. 末位周期表背诵：将2,3,4,5,6,7,8,9的末位数字周期制成卡片，每天默写一遍，做到脱口而出。特别注意余0时对应最后一个数字。 6. 错题本建立：将错题按"乘方符号错""裂项漏系数""错位相减项数错""提取公因数符号错""末位余0错""新运算位置错"等类型归类，每周复习一次，同类错误不犯第二次。 7. 限时训练：竞赛考试时间紧，平时练习要限时。A组每题2分钟、B组每题4分钟、C组每题6分钟，逐步提高速度和准确率。巧算的目的就是"又快又准"。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 有理运算有巧法，凑整裂项与代换； 乘方符号看奇偶，末位周期除四看； 新运算按式套，列好方程把值算！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $