专题 有理数的运算培优题型专练（专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以“法则-运算律-应用-纠错”为主线，系统整合有理数运算方法，通过分层题型与中考真题强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接应用法则|8题|先定符号再算绝对值，强化运算法则直接应用|从基础运算到符号确定，构建运算基础| |混合运算|5题|“先乘方再乘除后加减，括号优先”顺序规则|衔接法则与综合运算，培养步骤严谨性| |凑整运算|8题|优先凑0和整数，同符号/分母/形式数结合|深化交换律结合律应用，提升简算能力| |乘法分配律|10题|拆分与逆用分配律，除法转化为乘法后应用|聚焦运算律核心，强化代数变形能力| |新定义问题|6题|观察新运算规则，按定义分步运算|迁移运算逻辑，培养创新与应用意识| |纠错问题|8题|针对符号、漏乘、顺序等错误类型分析|通过错因反思，完善运算严谨性|

有理数的运算培优专题训练 题 型 概 览 重 点 强 化 重点题型1：直接应用法则 ★ 点拨　根据有理数加、减、乘、除、乘方的运算法则合理运算，先确定符号再确定答案绝对值 1．（2026•南充）计算2+（﹣2）结果是（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．4 【答案】C 【分析】利用互为相反数的加法法则直接计算出结果即可． 【解答】解：根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得0． ∴2+（﹣2）＝2﹣2＝0．故选：C． 2．（2025•天津）计算（﹣21）÷（﹣7）的结果等于（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】两数相除，同号得正，并把绝对值相除，由此计算即可． 【解答】解：（﹣21）÷（﹣7）＝21÷7＝3，故选：B． 3．（2025•南通）计算（﹣2）×（﹣3），正确的结果是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6 【答案】D 【分析】利用有理数的乘法法则计算即可． 【解答】解：原式＝+（2×3）＝6，故选：D． 4．（2025•无锡）计算﹣2+3的结果为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【答案】C 【分析】利用有理数加法法则求解． 【解答】解：﹣2+3＝1，故选：C． 5．（2025•陕西）计算：﹣5+4＝（　　） A．1 B．﹣1 C．9 D．﹣9 【答案】B 【分析】根据绝对值不相等的异号两数相加的运算法则计算即可． 【解答】解：﹣5+4＝﹣（5﹣4）＝﹣1，故选：B． 6．（2025•镇江）计算﹣2+3的结果是（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【答案】C 【分析】根据有理数的加法法则计算即可得． 【解答】解：﹣2+3＝1， ∴﹣2+3的结果是1．故选：C． 7．（2026•河北）计算：4﹣（﹣6）＝　 　 ． 【答案】10 【分析】根据有理数的减法法则，把减法化成加法，然后按照有理数的加法法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝4+6 ＝10． 8．（2025•安徽）计算：|﹣5|﹣（﹣1）＝　 　 ． 【答案】6 【分析】先算绝对值，再算减法即可． 【解答】解：原式＝5+1＝6， 故答案为：6． 重点题型2：混合运算 ★ 点拨　先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 1．（2026•湖南）水的化学式是H2O，其中氢元素的化合价是+1，氧元素的化合价是﹣2．计算（+1）×2+（﹣2）的结果是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据有理数的混合运算法则进行解题即可． 【解答】解：（+1）×2+（﹣2） ＝（+2）﹣2 ＝0．故选：B． 2．（2025•成都）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 　 　 ． 【答案】3 【分析】根据程序框图列出算式（15+3）÷6，进而计算即可． 【解答】解：由题意知，输入的数x＝（15+3）÷6 ＝18÷6 ＝3，故答案为：3． 3．（2025•广西）（计算：（﹣2）×（﹣1）+3； 【答案】5 【分析】先算乘法，再算加法即可 【解答】解：（1）（﹣2）×（﹣1）+3 ＝2+3 ＝5，故答案为：5． 4．（2026•山西）计算：（﹣7+5）+|﹣6| 【答案】-6 【分析】根据实数的运算法则进行计算； 【解答】解：（1）原式＝﹣2+6 ＝﹣2+12﹣16 ＝﹣6，故答案为：-6． 5．（2025•山西）计算：||×6﹣32+（﹣8+4） 【答案】-10 【分析】利用绝对值的性质，有理数的乘方法则计算后再算乘法，最后算加减即可； 【解答】解：（1）原式6﹣9﹣4 ＝3﹣9﹣4 ＝﹣10，故答案为：-10． 重点题型3：利用交换律、结合律凑整 ★ 点拨　优先凑0和整数，可对同符号、同形（整数或分数）、同分母分数优先运算。带分数可适当拆成整数加分数或整数减分数。 1．（2026春•道外区期末）计算：2.5×4÷8.5 【答案】 【分析】先按从左到右的运算顺序，先计算乘法部分得到整数10，再用10除以8.5，最后化简分数得到结果 【解答】解：2.5×4÷8.5 ＝10÷8.5 ． 2．（2026•南岗区校级开学）． 【答案】 【分析】先把除法变为乘法，再利用乘法交换律和结合律计算即可． 【解答】解：原式 ． 3．（2025秋•常德校级期末）简便计算：； 【答案】-1 【分析】根据有理数加法交换律和结合律求解即可 【解答】解： ＝﹣1+0 ＝﹣1 4．（2025•通川区校级开学）计算：． 【答案】-1 【分析】先将小数化为假分数，再运用加法结合律求解即可． 【解答】解：原式 ＝0﹣2+1 ＝﹣1． 5．（2025秋•利津县月考）用简便方法计算： （1）（﹣7）+11+（﹣13）+9； （2）． （3）（+1）+（﹣2）+（+3）+（﹣4）+…+（+99）+（﹣100）； （4）． 【答案】（1）0；（2）；（3）-50；（4） 【分析】（1）利用加减法中的简便运算计算即可； （2）把小数转化成分数，再利用加减法中的简便运算计算即可； （3）利用加减法中的简便运算计算即可； （4）利用加减法中的简便运算计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣（7+13）+（11+9） ＝﹣20+20 ＝0； （2）原式 ； （3）原式＝[（+1）+（﹣2）]+[（+3）+（﹣4）]+…+[（+99）+（﹣100）] ＝﹣50； （4）原式 ． 6．（2025秋•河北区校级月考）简便计算： （1）（﹣5）×（﹣8.1）×3.14×0； （2）； 【答案】（1）0；（2） 【分析】（1）根据任何数与零相乘都得零解答即可； （2）先确定符号，统一成分数，后转化成乘法计算即可 【解答】解：（1）（﹣5）×（﹣8.1）×3.14×0＝0． （2）原式． 7．（2025秋•台安县期中）用运算律进行简便运算：（﹣7）+11+（﹣13）+9 【答案】0 【分析】利用有理数的加减法则计算即可； 【解答】解：（﹣7）+11+（﹣13）+9 ＝﹣（7+13）+（11+9） ＝﹣20+20 ＝0． 8．（2025秋•江北区校级期中）运用合适的方法简便计算：； 【答案】3 【分析】根据乘法交换律简便计算即可； 【解答】解：（1）原式 ＝3． 重点题型4：乘法分配律的应用 ★ 点拨　乘法分配律的拆分，对于除法没有分配律，但可以把除数变乘法后，通过乘法分配律进行运算。 1．（2026春•道外区期末）计算：． 【答案】5． 【分析】利用乘法分配律，把24分别和括号里的三个分数相乘，再把得到的结果依次进行加减运算，简化计算过程． 【解答】解： ＝6+20﹣21 ＝26﹣21 ＝5． 2．（2026•南岗区校级开学）计算： 【答案】3． 【分析】利用乘法分配律计算即可； 【解答】解：原式 ＝1.4+1.6 ＝3． 3．（2025秋•常德校级期末）简便计算：． 【答案】-22． 【分析】根据有理数乘法分配律求解即可． 【解答】解： ＝﹣20+16﹣18 ＝﹣22． 4．（2025秋•鸡西期末）用简便方法计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1）23；（2） 【分析】（1）先把除法变乘法，再根据有理数乘法运算律计算即可； （2）把2020变为（2019+1），再根据有理数乘法运算律计算即可． 【解答】解：（1） ＝3+30﹣10 ＝23； （2） ． 5．（2025秋•平凉期末）简便计算：． 【答案】-17． 【分析】运用乘法分配律进行计算即可． 【解答】解： ＝﹣18﹣20+21 ＝﹣17． 6．（2025秋•沈阳期末）计算：199×（﹣25）． 【答案】-4975． 【分析】把199换成（200﹣1）与（﹣25）相乘即可． 【解答】解：199×（﹣25） ＝（200﹣1）×（﹣25） ＝200×（﹣25）﹣1×（﹣25） ＝﹣5000+25 ＝﹣4975． 7．（2025秋•皇姑区期末）用简便方法计算：999×（﹣26）． 【答案】-259974． 【分析】先变形，然后根据乘法分配律计算即可． 【解答】解：（999×（﹣26） ＝（1000﹣1）×（﹣26） ＝1000×（﹣26）﹣1×（﹣26） ＝﹣26000+26 ＝﹣259974． 8．（2025秋•常德校级期中）利用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）﹣3198；（2）-24 【分析】（1）将转化为，再利用乘法分配律计算． （2）将除法转化为乘法，再利用乘法分配律计算． 【解答】解：（1）原式 ＝﹣3200+2 ＝﹣3198； （2）原式 ＝﹣27+6﹣3 ＝﹣24． 9．（2025秋•虹口区校级期中）计算：． 【答案】（1）﹣718 【分析】观察分式，可以将拆成，然后运用乘法分配律，分别相乘，算出结果． 【解答】解： ＝﹣720+2 ＝﹣718． 10．（2025秋•鞍山月考）简便计算： （1）； （2）． 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）利用乘法的分配律计算即可； （2）逆用乘法的分配律计算即可． 【解答】解：（1） ＝﹣9﹣4+18 ＝5． （2） ． 重点题型5：新定义问题 ★ 点拨　注意观察提高给出的运算方法，按照方法运算。 1．（2025秋•金东区期末）研究新定义的有理数运算“☆”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①（+2）☆（+3）＝1；（+8）☆（+3）＝5；（﹣2）☆（﹣8）＝6；（﹣7）☆（﹣4）＝3； ②（+2）☆（﹣5）＝﹣7；（+14）☆（﹣6）＝﹣20；（﹣5）☆（+8）＝﹣13；（﹣9）☆（+3）＝﹣12； ③（+2）☆0＝2；0☆（+4）＝4；（﹣5）☆0＝﹣5；0☆（﹣9）＝﹣9；0☆0＝0． 【应用法则】计算：[（﹣10）☆（+3）]☆（﹣17）． 【答案】4 【分析】【应用法则】先算（﹣10）☆（+3）：异号运算，结果为﹣（10+3）＝﹣13；再算﹣13☆（﹣17）：同号运算，结果为|﹣13﹣（﹣17）|＝4 【解答】解：【应用法则】[（﹣10）☆（+3）]☆（﹣17） ＝﹣|﹣10﹣3|☆（﹣17） ＝（﹣13）☆（﹣17） ＝|﹣13﹣（﹣17）| ＝|﹣13+17| ＝|4| ＝4． 2．（2025秋•袁州区校级期中）在学习完（有理数的运算）后，小明对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝ab+2a（a，b不相等）． （1）2⊕（﹣3）＝　 ； （2）求﹣5⊕（）的值 【答案】（1）-2；（2）40 【分析】（1）根据已知条件中的新定义进行计算即可； （2）先根据新定义计算，再次利用新定义求出答案即可 【解答】解：（1）∵a⊕b＝ab+2a， ∴2⊕（﹣3） ＝2×（﹣3）+2×2 ＝﹣6+4 ＝﹣2， 故答案为：﹣2； （2）∵a⊕b＝ab+2a， ∴ ＝﹣2﹣8 ＝﹣10， ∴﹣5⊕（） ＝（﹣5）⊕（﹣10） ＝（﹣5）×（﹣10）+2×（﹣5） ＝50﹣10 ＝40． 3．（2025秋•咸阳校级期中）新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“※”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足a※b＝a2b+ab． （1）求（﹣2）※3的值； （2）求（﹣5）※[（﹣4）※2]． 【答案】（1）6；（2）480 【分析】（1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：（﹣2）※3 ＝（﹣2）2×3+（﹣2）×3 ＝12+（﹣6） ＝6； （2）由题意得：（﹣5）※[（﹣4）※2] ＝（﹣5）※[（﹣4）2×2+（﹣4）×2] ＝（﹣5）※（32﹣8） ＝（﹣5）※24 ＝（﹣5）2×24+（﹣5）×24 ＝600﹣120 ＝480． 4．（2025秋•仙游县期中）现定义一种新运算：a⊗b＝ab+a﹣b，如1⊗3＝1×3+1﹣3＝1．求[（﹣2）⊗5]⊗（6）； 【答案】-125 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值； 【解答】解：根据题中的新定义得： 原式＝（﹣10﹣2﹣5）⊗6 ＝（﹣17）⊗6 ＝﹣102﹣17﹣6 ＝﹣125． 5．（2025秋•新华区校级期中）小明同学借助于有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：对于任意有理数m、n（m≠n），都有m⊕n＝﹣m×n﹣2×m．求的值； 【答案】60 【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果 【解答】解：原式 ＝﹣5⊕（2+8） ＝﹣5⊕10 ＝﹣（﹣5）×10﹣2×（﹣5） ＝50+10 ＝60． 6．（2025秋•沭阳县校级月考）类似于运算符号“+、﹣、×、÷”，新定义一种运算符号“△”，规定：x△y＝3x﹣y． （1）计算（﹣2）△5的值．（2）计算[5△（﹣2）]△3的值． 【答案】（1）-11；（2）48 【分析】（1）直接将x＝﹣2，y＝5代入新运算公式x△y＝3x﹣y，按照有理数的运算规则计算即可； （2）属于多层新运算，需先计算内层的5△（﹣2），得到结果后再将其作为新的x，3作为y，再次代入新运算公式计算，过程中要注意每一步的运算顺序和符号问题． 【解答】解：（1）（﹣2）△5 ＝3×（﹣2）﹣5 ＝﹣6﹣5 ＝﹣11； （2）5△（﹣2） ＝3×5﹣（﹣2） ＝15+2 ＝17， [5△（﹣2）]△3 ＝17△3 ＝3×17﹣3 ＝51﹣3 ＝48． 重点题型6：纠错问题 ★ 点拨　常见错误出现在乘法分配律漏乘，去括号时前面为“-”号忘记变号，运用交换律忘记带符号移动，混合运算运算顺序错误。 1．（2026•蓬江区校级三模）． 小李的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） ＝﹣2+6（第三步） ＝4（第四步） 根据小李的计算过程，回答下列问题： （1）小李在进行第二步计算时，运用的运算律是　 　 ； （2）请指出他从第　 　 步开始出现错误； （3）将错误的一步改正并写出之后正确的解答过程． 【答案】（1）加法交换律与结合律；（2）三；（3）1.6 【分析】（1）根据计算过程即可得出答案； （2）根据计算过程进行判断即可； （3）将错误步骤改正并进行正确的计算即可． 【解答】解：（1）小李在进行第二步计算时，运用的运算律是加法交换律与结合律， 故答案为：加法交换律与结合律； （2）他从第三步开始出现错误， 故答案为：三； （3）原式 ＝﹣4.4+6 ＝1.6． 2．（2026•信都区二模）小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解：5+（﹣4）4 ＝5+（）第一步 ＝5﹣1…第二步 ＝4…第三步 解答下列问题： （1）同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程； （2）计算：． 【答案】（1）第一步、-11；（2）-4 【分析】（1）小明在第一步中先计算了，因此出现错误；根据有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可． 【解答】解：（1）小明在第一步出现错误； 正确计算过程为： ＝5+（﹣16） ＝﹣11； （2） ＝16÷（﹣2）+4 ＝﹣8+4 ＝﹣4． 3．（2026•丛台区校级二模）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ① ＝﹣15+（﹣4）…② ＝﹣19…③ （1）在上面的计算过程中，开始出错的步骤是　 　 （填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． （2）为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是　 　 ．（填“+”或“﹣”） 【答案】（1）②；（2）+ 【分析】（1）根据运算过程判断即可；根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）把看作是两个负数的和，可得答案． 【解答】解：（1）在上面的计算过程中，开始出错的步骤是②； 原式 ＝﹣15+（﹣5） ＝﹣20； （2）， 故方框内应填上“+”． 故答案为：+． 4．（2026•邯郸校级二模）（1）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步 ＝﹣4+6﹣5…第二步 ＝﹣3…第三步 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． （2）计算：． 【答案】（1）第一步错误、-5；（2）2 【分析】（1）利用乘法分配律计算； （2）先计算乘方，再计算绝对值和进行乘法分配律计算，最后进行加减计算． 【解答】解：（1）从第一步开始出现错误， 正确解答过程如下： ＝﹣4﹣6+5 ＝﹣5； （2） ＝3﹣（2﹣1） ＝3﹣1 ＝2． 5．（2026•河北校级一模）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式① ＝（﹣20）÷（﹣5）…② ＝﹣4…③ （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第　 　 步，第二处是第　 　 步； （2）请你写出这道题的正确解答过程． 【答案】（1）②、③；（2）36 【分析】（1）第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）根据乘除运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）由题目中的解答过程可知， 第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错， 故答案为：②，③； （2）原式 ＝12×3 ＝36． 6．（2025秋•惠阳区期末）请你阅读小虎同学的作业后，回答问题：计算：． 解：原式： ＝1.5÷（﹣6）② ＝﹣0.25③ （1）上面解题中从第　 　 步开始出现错误，错误的原因是　 　 ； （2）写出这道计算题的正确解题过程． 【答案】（1）②、运算顺序错误；（2）-4 【分析】（1）根据题干中的计算步骤进行判断即可； （2）将错误步骤改正后写出正确的计算过程即可． 【解答】解：（1）由题干中的计算步骤可得从第②步开始出现错误，错误的原因是运算顺序错误， 故答案为：②；运算顺序错误； （2）原式＝1.5÷（）×4 ＝1.5÷（﹣1.5）×4 ＝﹣1×4 ＝﹣4． 7．（2025秋•永康市期末）小明与小红同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） ＝16×（﹣8）×（﹣8）（第二步） ＝1024（第三步） 小红： 原式＝﹣16÷（）×（﹣8）（第一步） ＝﹣16÷[（）×（﹣8）]（第二步） ＝﹣16÷1（第三步） ＝﹣16（第四步） （1）小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）小明在第一步就出现错误，小红在第二步出现错误；（2）-1024 【分析】（1）根据有理数乘法的计算方法进行判断即可； （2）按照有理数乘法的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（1）小明在第一步就出现错误，小红在第二步出现错误， （2）原式＝﹣16÷（）×（﹣8） ＝﹣16×（﹣8）×（﹣8） ＝﹣1024． 8．（2025秋•驻马店期末）下面是小明同学对算式“”的计算过程： 解：原式第一步 ＝﹣6+8﹣10÷25…第二步 第三步 第四步 根据以上过程，回答下列问题： （1）小明在进行第一步计算时，运用的运算律是　 　 ； （2）我们发现小明的计算出现了错误，他是在第　 　 步开始出错的； （3）请你给出正确的解答过程． 【答案】（1）乘法分配律；（2）二；（3） 【分析】（1）第一步利用了乘法分配律； （2）第二步运算顺序出现错误，同级运算应该从左到右依次运算； （3）按照运算法则和运算顺序进行计算即可． 【解答】解：（1）第一步利用了乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （2）第二步运算顺序出现错误，同级运算应该从左到右依次运算； 故答案为：二； （3）按照运算法则和运算顺序进行计算可得： 原式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 有理数的运算培优专题训练 题 型 概 览 重 点 强 化 重点题型1：直接应用法则 ★ 点拨　根据有理数加、减、乘、除、乘方的运算法则合理运算，先确定符号再确定答案绝对值 1．（2026•南充）计算2+（﹣2）结果是（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．4 2．（2025•天津）计算（﹣21）÷（﹣7）的结果等于（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 3．（2025•南通）计算（﹣2）×（﹣3），正确的结果是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6 4．（2025•无锡）计算﹣2+3的结果为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 5．（2025•陕西）计算：﹣5+4＝（　　） A．1 B．﹣1 C．9 D．﹣9 6．（2025•镇江）计算﹣2+3的结果是（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 7．（2026•河北）计算：4﹣（﹣6）＝　 　 ． 8．（2025•安徽）计算：|﹣5|﹣（﹣1）＝　 　 ． 重点题型2：混合运算 ★ 点拨　先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 1．（2026•湖南）水的化学式是H2O，其中氢元素的化合价是+1，氧元素的化合价是﹣2．计算（+1）×2+（﹣2）的结果是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 2．（2025•成都）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 　 　 ． 3．（2025•广西）计算：（﹣2）×（﹣1）+3； 4．（2026•山西）计算：（﹣7+5）+|﹣6| 5．（2025•山西）计算：||×6﹣32+（﹣8+4） 重点题型3：利用交换律、结合律凑整 ★ 点拨　优先凑0和整数，可对同符号、同形（整数或分数）、同分母分数优先运算。带分数可适当拆成整数加分数或整数减分数。 1．（2026春•道外区期末）计算：2.5×4÷8.5 2．（2026•南岗区校级开学）． 3．（2025秋•常德校级期末）简便计算：； 4．（2025•通川区校级开学）计算：． 5．（2025秋•利津县月考）用简便方法计算： （1）（﹣7）+11+（﹣13）+9； （2）． （3）（+1）+（﹣2）+（+3）+（﹣4）+…+（+99）+（﹣100）； （4）． 6．（2025秋•河北区校级月考）简便计算： （1）（﹣5）×（﹣8.1）×3.14×0； （2）； 7．（2025秋•台安县期中）用运算律进行简便运算：（﹣7）+11+（﹣13）+9 8．（2025秋•江北区校级期中）运用合适的方法简便计算：； 重点题型4：乘法分配律的应用 ★ 点拨　乘法分配律的拆分，对于除法没有分配律，但可以把除数变乘法后，通过乘法分配律进行运算。 1．（2026春•道外区期末）计算：． 2．（2026•南岗区校级开学）计算： 3．（2025秋•常德校级期末）简便计算：． 4．（2025秋•鸡西期末）用简便方法计算下列各题： （1）； （2）． 5．（2025秋•平凉期末）简便计算：． 6．（2025秋•沈阳期末）计算：199×（﹣25）． 7．（2025秋•皇姑区期末）用简便方法计算：999×（﹣26）． 8．（2025秋•常德校级期中）利用简便方法计算： （1）； （2）． 9．（2025秋•虹口区校级期中）计算：． 10．（2025秋•鞍山月考）简便计算： （1）； （2）． 重点题型5：新定义问题 ★ 点拨　注意观察提高给出的运算方法，按照方法运算。 1．（2025秋•金东区期末）研究新定义的有理数运算“☆”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①（+2）☆（+3）＝1；（+8）☆（+3）＝5；（﹣2）☆（﹣8）＝6；（﹣7）☆（﹣4）＝3； ②（+2）☆（﹣5）＝﹣7；（+14）☆（﹣6）＝﹣20；（﹣5）☆（+8）＝﹣13；（﹣9）☆（+3）＝﹣12； ③（+2）☆0＝2；0☆（+4）＝4；（﹣5）☆0＝﹣5；0☆（﹣9）＝﹣9；0☆0＝0． 【应用法则】计算：[（﹣10）☆（+3）]☆（﹣17）． 2．（2025秋•袁州区校级期中）在学习完（有理数的运算）后，小明对有理数运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝ab+2a（a，b不相等）． （1）2⊕（﹣3）＝　 ； （2）求﹣5⊕（）的值 3．（2025秋•咸阳校级期中）新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“※”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足a※b＝a2b+ab． （1）求（﹣2）※3的值； （2）求（﹣5）※[（﹣4）※2]． 4．（2025秋•仙游县期中）现定义一种新运算：a⊗b＝ab+a﹣b，如1⊗3＝1×3+1﹣3＝1．求[（﹣2）⊗5]⊗（6）； 5．（2025秋•新华区校级期中）小明同学借助于有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：对于任意有理数m、n（m≠n），都有m⊕n＝﹣m×n﹣2×m．求的值； 6．（2025秋•沭阳县校级月考）类似于运算符号“+、﹣、×、÷”，新定义一种运算符号“△”，规定：x△y＝3x﹣y． （1）计算（﹣2）△5的值．（2）计算[5△（﹣2）]△3的值． 重点题型6：纠错问题 ★ 点拨　常见错误出现在乘法分配律漏乘，去括号时前面为“-”号忘记变号，运用交换律忘记带符号移动，混合运算运算顺序错误。 1．（2026•蓬江区校级三模）． 小李的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） ＝﹣2+6（第三步） ＝4（第四步） 根据小李的计算过程，回答下列问题： （1）小李在进行第二步计算时，运用的运算律是　 　 ； （2）请指出他从第　 　 步开始出现错误； （3）将错误的一步改正并写出之后正确的解答过程． 2．（2026•信都区二模）小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解：5+（﹣4）4 ＝5+（）第一步 ＝5﹣1…第二步 ＝4…第三步 解答下列问题： （1）同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程； （2）计算：． 3．（2026•丛台区校级二模）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ① ＝﹣15+（﹣4）…② ＝﹣19…③ （1）在上面的计算过程中，开始出错的步骤是　 　 （填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． （2）为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是　 　 ．（填“+”或“﹣”） 4．（2026•邯郸校级二模）（1）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步 ＝﹣4+6﹣5…第二步 ＝﹣3…第三步 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． （2）计算：． 5．（2026•河北校级一模）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式① ＝（﹣20）÷（﹣5）…② ＝﹣4…③ （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第　 　 步，第二处是第　 　 步； （2）请你写出这道题的正确解答过程． 6．（2025秋•惠阳区期末）请你阅读小虎同学的作业后，回答问题：计算：． 解：原式： ＝1.5÷（﹣6）② ＝﹣0.25③ （1）上面解题中从第　 　 步开始出现错误，错误的原因是　 　 ； （2）写出这道计算题的正确解题过程． 7．（2025秋•永康市期末）小明与小红同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） ＝16×（﹣8）×（﹣8）（第二步） ＝1024（第三步） 小红： 原式＝﹣16÷（）×（﹣8）（第一步） ＝﹣16÷[（）×（﹣8）]（第二步） ＝﹣16÷1（第三步） ＝﹣16（第四步） （1）小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤； （2）请写出正确的解答过程． 8．（2025秋•驻马店期末）下面是小明同学对算式“”的计算过程： 解：原式第一步 ＝﹣6+8﹣10÷25…第二步 第三步 第四步 根据以上过程，回答下列问题： （1）小明在进行第一步计算时，运用的运算律是　 　 ； （2）我们发现小明的计算出现了错误，他是在第　 　 步开始出错的； （3）请你给出正确的解答过程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $