广东深圳市南方科技大学附属中学2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷

2025年南科大附中高三年级第二次模拟考试 数学 命题人：孙玉才、王丹 审题人：樊一萍 （本试卷共6页，满分150分，考试用时120分钟) 注意事项： 1,答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上。将条形码粘贴在答 题卡左上角“条形码粘贴处”。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.若复数2在复平面内对应的点位于第二象限，则且在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为( A.2 B.3 C.4 D.5 3.在△ABC中，角A,B,C的对边a,b,c成公差为2的等差数列，若7sinA=3sinC,则△ABC的面 积为（) A.3V5 B.3V5 c.l55 D.15W5 4 2 4 4.若f(x)=lh(e2:++a是偶函数，则a=() A.0 B.-1 C.-2 D.-e 5.画数)=(+在(，0]上的零点个数为() A.3 B.4 C.6 D.8 数学试卷第1页（共6页） 6.高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个 检测点安检即可进入.现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相 等的可能情况有() A.66种 B.93种 C.195种 D.273种 7.若函数f(x)=cos2x+sin 2x+在a上有两个点，则sn2a+ 的取值范围 是() A.[a) c 8.若不等式(x-1)e-m-b≥0(e是自然对数的底数)对任意xR恒成立，则当取最大值时， 实数a=() A.1 B.2 c.e D.e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.己知a,是东共线的单位向量，其夹角为(0(0，π)，则下列说法正确的是( A存在1eR,使得(+ B.存在aeR,使得b⊥(a+b C.存在2eR,使得(a+)M位-1)D.存在eR,使得(a+1(位-a) 10.如图所示，正方体ABCD-ABCD棱长为2，正方形BCC,B内（不含边界）一动点P在运 动过程中始终满足BP=2PC.下列说法中正确的为() A.存在点P使得PB⊥PC B,直线BC与点P的轨迹有公共点 D C.点P运动轨迹长为4 D,三棱锥P-BCD体积最大值为8 数学试卷第2页（共6页） 1.质数)-闪2.0>06>0)的图象类似于汉字图字，拔称为国函数，并把其与y 的交点关于原点的对称点称为“囧点”、以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数有公共点的圆，皆称之 为“囧圆”，则当a=1,b=1时，下列结论正确的是 A.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 B.当x∈(-l,)时，f(x)的最大值为-1 C.函数f(x)的“囧点”与函数y=nx图象上的点的最短距离为√互 D.函数f(x)的所有“囧圆”中，面积的最小值为3元 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合A={,2,3,4,5,B= ze小 则集合B的真子集个数为 13.设F,F2分别是双曲线C: 京=1(a>0,b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在 x2 y2 双曲线的海近线上，loP=PF=P,则C的离心率为 14.以(0，m)间的整数(m>L,m∈N)为分子，以m为分母组成分数集合A,其所有元素和为a: 以(O,m)间的整数(m>1,m∈N)为分子，以m为分母组成不属于集合A的分数集合A,其所有 元素和为a…,依次类推以(0，m)间的整数(m>1,m∈N)为分子，以m为分母组成不属于 A,A2,…An的分数集合An,其所有元素和为an；则a+a2+…+an= 数学试卷第3页（共6页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知数列{a,}的前n项和S,满足S=a,+1-)5nN,t为常数，且4，=a+2. (1)求1的值： (2)证明：{a,}为等差数列： (3)若n2<Sn<(n+1)2,neN,求a的取值范围. 16.(I5分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥AC,AP⊥BP,CA⊥AP,BC=√5，M、N分 别为PB、PA中点 (I)证明：平面CMN与平面ABC的交线III平面PAB: (2)若PA=PB,二面角C-MN-A的正切值为2，求AC的长. 数学试卷第4页（共6页） 17.(I5分)向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展如人工智能中的大 语言模型DeepSeek(以下简称DeepSeek),为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数 量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名规频从业人员进行调查，结果如下表所示： 相关从业人员 DeepSeek的应用情况 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 (1)根据所给数据完成上表后，判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ (2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至 第三轮培训达到优秀”的概率分别为行，每轮相互独立，有二轮及以上获得优秀的员工才 能应用DeepSeek. (i)求员工经过培训能应用DeepSeek的概率. (i)已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元，开展DeepSeek培 训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润I0万元；DeepSeek培训平均每人 每年成本为1万元根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余 员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部 最多可以调多少人到其他部门？ n(ad-be)2 附：Xa+be+aa+90+d其中n=a+bc+d,Pt≥384=05) 数学试卷第5页（共6页） 18.(17分)已知a≠0，函数f()-=(c+)n(c+)在x=。处取得极值， (1)求a: (2)证明：对任意的m,n∈(0，+oo),都有f(m+n)>f(m)+f(n): (3)若存在实数x>0,使得(k-2)x-1>f(x)成立，求k的最小整数值 19.(7分)已知椭圆号+片=a>6>0的短转长为2，且过点 3 2 设点P(xo,%)为椭圆在 第一象限内一点。 (1)求椭圆方程： (2)设椭圆的左顶点为A,下顶点为B,线段AP交y轴于点C,线段BP交x轴于点D,若△PAB 的面积是△PCD面积的6倍，求P点的坐标； (3)点P关于原点的对称点为2，点R(x,O),点T为PR中点，QT的延长线交椭圆于点S,当∠QPS 最大时，求直线P?方程 数学试卷第6页（共6页）