专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制八年级上册

专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 高分线模型，即同一顶点同时存在高线与角平分线，核心考查两角差值推导。利用高线带来的直角、角平分线带来的等角，结合三角形内角和、外角定理倒角。常出现在填空、解答题，多用来推导角度差公式，可与等腰、折叠综合，大题需写出推导，不可直接套用结论。双（三）垂直模型，图形含有两个或多个直角，依靠直角互余关系倒角。核心规律：同角（等角）的余角相等，快速找到隐藏相等角。多见于全等、相似证明，常搭配旋转、平行线，是几何大题证明等角的常用工具。两类模型都侧重角度等量代换。高分线模型重点关注角平分线与高线的夹角；双垂直模型重点抓互余角转化。考题常将模型隐藏在复杂图形中，需要学生剥离背景识别模型，注意区分余角、补角，避免角度加减出错。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.高分线模型 2 模型2.双垂直模型 5 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 8 易错点与方法总结 13 模型运用 14 A组（基础题） 14 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 28 高分线模型、双（三）垂直模型并非古希腊几何中的独立定理，底层原理出自《几何原本》的三角形内角和、直角性质、角平分线定义。“高分线”“双垂直” 这类名字，是国内初中数学教研在习题总结中创造的俗称，古代几何没有对应的模型名称。 高分线模型，是从三角形同一顶点作角平分线与高线，通过角度运算得到两角之差的固定关系，是内角和定理的衍生推论。双（三）垂直模型依托直角的互余性质，原理是**同角的余角相等**，早在欧氏几何中就有相关论述。 古代几何侧重严谨命题证明，不会按图形外形归类模型。现代为方便教学，教师把反复出现的图形结构提炼命名，方便学生快速识别图形、寻找倒角思路。模型只是解题工具，解答大题不能直接套用模型结论，仍需要用几何定理推导。 一、高分线模型 高分线模型是三角形同一顶点同时存在角平分线和高线的经典倒角模型，适用于任意非直角三角形。其核心原理依托三角形内角和、角平分线等分角度及高线垂直成直角的性质，可推导固定角度结论：顶角平分线与高线的夹角，等于三角形另外两角度数差的一半。该模型核心作用是快速计算角度差值，规避繁琐的分步倒角计算。考试中常结合等腰三角形、折叠、平行线综合出题，多见于填空选择压轴和几何解答小题。需注意模型结论不可直接默写，大题需通过内角和、互余性质分步推导，同时区分锐角、钝角三角形两种情况，避免漏解错解。 双（三）垂直模型 双（三）垂直模型是几何核心倒角模型，指图形中存在两组或三组垂直关系，核心依据是同角或等角的余角相等。模型核心特征为多个直角共存，可快速推导隐藏等角，无需反复证明内角和，是几何边角转化的关键工具。该模型常出现在直角三角形、矩形、折叠及旋转题型中，多用于全等、相似三角形的角度证明和边长推导。解题核心是找准公共余角，剥离复杂图形中的直角结构，完成角度等量代换。考情灵活，常隐藏在综合大题中，无固定图形形态，需主动识别垂直关系，规避余角、补角混淆问题，是初中几何必考基础模型。 模型1.高分线模型 【模型提炼与证明】 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（1）可知：， ，，，， ，，，． 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【典例3】（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，为边上的高，平分交于点，交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）在中，是边上的高，，，为的角平分线，则的度数为______________． 【典例5】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，为钝角，是边上的高，是的平分线．    (1)画出边上的高； (2)若，，求的度数； (3)若，，，求高的长． 模型2.双垂直模型 【模型提炼与证明】 模型2.双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·云南西双版纳·阶段检测）在中，已知，是上的高，是上的高，H是和的交点，求的度数． 【典例2】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图，与中，与相交于E，交于F． (1)的边上的高是 ；的边上的高是 ； (2)若，，，求的面积及的长． 【典例3】（25-26七年级下·全国·单元测试）在中： (1)如图，若，，边上的高，交于点O．求的度数； (2)若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； (3)由（1）（2） 可以得到，无论是锐角还是钝角，总有 ． 【典例4】（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）如图，，是的高，平分．已知，，，，． (1)求和的度数． (2)求的长． 【典例5】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 模型3子母型双垂直模型（射影模型） 【模型提炼与证明】 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·天津和平·期末）如图，在中，，是斜边上的高，于点E．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3】（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则___________． 【典例4】（25-26八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在直角三角形中，，是边上的高，，，．求： (1)作出的边上的中线，并求出的面积； (2)作出的边边上的高，当时，试求出的长． 【典例5】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，是的高，是的高，．求的度数． 模型常见易错点 易错点1：忽略三角形分类讨论，只套用锐角三角形结论。钝角三角形中高在三角形外部，角平分线与高线夹角公式不变，但图形位置改变，极易直接代值计算导致答案错误。 易错点2：解答题直接默写模型结论。高分线角度差公式属于二级推论，无推导过程不得分，必须结合内角和、互余、角平分线定义分步严谨证明。 解题方法总结 方法1：剥离结构法：遇到复杂图形，优先剔除无关线段、重叠图形，精准找出所有垂直关系，锁定两组关键直角。寻找图形中的公共锐角或等角，利用同角、等角的余角相等快速推导等角，完成核心角度转化。 方法2：直角互余倒角法：固定解题思路，见双垂直先标直角、找互余角，梳理角度关联。该方法适用于旋转、折叠、直角三角形综合题，可快速得出隐性等角，为三角形全等、相似证明提供关键条件。 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，是斜边上的高，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，是的高，是的角平分线，，，则的度数是（　　　）    A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）在中，已知，，是上的高，是上的高，H是和的交点，的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，是的两条高，，则___________． 5．（25-26八年级上·甘肃陇南·期中）如图，中，是边上的高，是的角平分线，若，则的度数为____________． 6．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，是高，是角平分线，是中线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________． 7．（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在中，与是的高． (1)若，求； (2)若的高与的比是多少？ 8．（25-26七年级下·四川成都·期中）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线MN与的延长线交于点M，若，求的度数． 9．（25-26八年级上·天津南开·期中）在中，，是斜边上的高． (1)如图1，若是中线，，填空： ①则与的周长差为______； ②则高的长为_______； (2)如图2，若是角平分线，，求的度数． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，已知，与是的高，点O是它们的交点，求的度数． 11．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，平分，是的高，，相交于点，若，，求的度数． 12．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，是的高，是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 13．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为________； (2)若，是的高，求的度数． 14．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，，分别是的高和中线． (1)若的面积为，，则 ； (2)若，求与的周长差． 15．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，是高，是的平分线．若，，则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 17．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，AD，CF相交于点O，且∠BAC＝60°，∠ABC＝74°． (1)求∠COD的度数； (2)若△ABE的面积是3，BC＝4，求高AD的长度． 18．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）在△ABC中： (1)如图，若，，边上的高，交于点．求的度数； (2)若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； (3)由（1）（2）可以得到什么结论，尝试写出来． 19．（25-26八年级上·广西南宁·期中）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法．    (1)如图1，是边上的高，是边上的高，我们知道，则______． (2)如图1，若，，，，是斜边上的高线，用等面积法求的长． (3)如图2，在等腰三角形中，，，过A作于点H，且，P为底边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为M，N，连接，利用，求的值． 20．（24-25七年级下·福建三明·期中）已知：等腰中，． (1)如图1，若是的高，是的角平分线，与交于点．当的大小变化时，的形状也随之改变． ①设，求角度的变量与的关系式； ②当是等腰三角形时，求的度数． (2)如图2，若的面积是是的高，点分别是线段上的点，直接写出的最小值． 21．（25-26八年级上·北京西城·开学考试）（1）如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F，与的数量关系为　　． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E．探究与的数量关系并说明理由； （3）如图3，在中，边上存在一点D，使得，的平分线交于点F，交于E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．请补全图形并直接写出与的数量关系． 22. （25-26八年级上·四川达州·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数． 23．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为，则的面积_______； (2)当，时，求的度数． (3)若，的周长比的周长多，求的长度． 24．（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 25．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，分别是的高和角平分线，（m为常数）． (1)如图1，若，求证：；    (2)如图2，过点E作交于点F，若，求m的值；    (3)在（2）的条件下，连接交于点G，过点G作于点H，若，求的度数． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 高分线模型，即同一顶点同时存在高线与角平分线，核心考查两角差值推导。利用高线带来的直角、角平分线带来的等角，结合三角形内角和、外角定理倒角。常出现在填空、解答题，多用来推导角度差公式，可与等腰、折叠综合，大题需写出推导，不可直接套用结论。双（三）垂直模型，图形含有两个或多个直角，依靠直角互余关系倒角。核心规律：同角（等角）的余角相等，快速找到隐藏相等角。多见于全等、相似证明，常搭配旋转、平行线，是几何大题证明等角的常用工具。两类模型都侧重角度等量代换。高分线模型重点关注角平分线与高线的夹角；双垂直模型重点抓互余角转化。考题常将模型隐藏在复杂图形中，需要学生剥离背景识别模型，注意区分余角、补角，避免角度加减出错。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.高分线模型 2 模型2.双垂直模型 5 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 8 易错点与方法总结 13 模型运用 14 A组（基础题） 14 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 28 高分线模型、双（三）垂直模型并非古希腊几何中的独立定理，底层原理出自《几何原本》的三角形内角和、直角性质、角平分线定义。“高分线”“双垂直” 这类名字，是国内初中数学教研在习题总结中创造的俗称，古代几何没有对应的模型名称。 高分线模型，是从三角形同一顶点作角平分线与高线，通过角度运算得到两角之差的固定关系，是内角和定理的衍生推论。双（三）垂直模型依托直角的互余性质，原理是**同角的余角相等**，早在欧氏几何中就有相关论述。 古代几何侧重严谨命题证明，不会按图形外形归类模型。现代为方便教学，教师把反复出现的图形结构提炼命名，方便学生快速识别图形、寻找倒角思路。模型只是解题工具，解答大题不能直接套用模型结论，仍需要用几何定理推导。 一、高分线模型 高分线模型是三角形同一顶点同时存在角平分线和高线的经典倒角模型，适用于任意非直角三角形。其核心原理依托三角形内角和、角平分线等分角度及高线垂直成直角的性质，可推导固定角度结论：顶角平分线与高线的夹角，等于三角形另外两角度数差的一半。该模型核心作用是快速计算角度差值，规避繁琐的分步倒角计算。考试中常结合等腰三角形、折叠、平行线综合出题，多见于填空选择压轴和几何解答小题。需注意模型结论不可直接默写，大题需通过内角和、互余性质分步推导，同时区分锐角、钝角三角形两种情况，避免漏解错解。 双（三）垂直模型 双（三）垂直模型是几何核心倒角模型，指图形中存在两组或三组垂直关系，核心依据是同角或等角的余角相等。模型核心特征为多个直角共存，可快速推导隐藏等角，无需反复证明内角和，是几何边角转化的关键工具。该模型常出现在直角三角形、矩形、折叠及旋转题型中，多用于全等、相似三角形的角度证明和边长推导。解题核心是找准公共余角，剥离复杂图形中的直角结构，完成角度等量代换。考情灵活，常隐藏在综合大题中，无固定图形形态，需主动识别垂直关系，规避余角、补角混淆问题，是初中几何必考基础模型。 模型1.高分线模型 【模型提炼与证明】 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（1）可知：， ，，，， ，，，． 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件是高, ，,得出,,又因为是角平分线,得出． 【详解】解： , 是角平分线 【典例2】（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 【典例3】（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，为边上的高，平分交于点，交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，先求出的度数，再根据角平分线求出的度数，根据高线，求出的度数，由此得出的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【典例4】（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）在中，是边上的高，，，为的角平分线，则的度数为______________． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的高，角平分线的定义，理解高，角平分线的定义，掌握角的和差计算是关键．根据高，角平分线的定义，数形结合，分类讨论即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 如图所示， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或 ． 【典例5】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，为钝角，是边上的高，是的平分线．    (1)画出边上的高； (2)若，，求的度数； (3)若，，，求高的长． 【答案】(1) 如图，为上的高；    (2) (3) 【分析】本题考查的三角形的高，三角形的角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用； （1）利用三角尺画上的高即可； （2）先求解，，再利用角平分线的定义可得，再结合角的和差关系可得答案； （3）先求解，再把作底边，再列方程求解高即可． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （3）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 模型2.双垂直模型 【模型提炼与证明】 模型2.双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·云南西双版纳·阶段检测）在中，已知，是上的高，是上的高，H是和的交点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和等于，三角形外角的性质，熟记性质是解题的关键，本题对识图能力有一定要求． 先利用三角形的内角和等于求出的度数，再利用是上的高，是上的高，求出的度数，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 又∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∴． 又∵是的一个外角， ∴． 【典例2】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图，与中，与相交于E，交于F． (1)的边上的高是 ；的边上的高是 ； (2)若，，，求的面积及的长． 【答案】(1)， (2)的面积为8， 【分析】此题考查了三角形高的意义和求三角形面积，解题的关键是掌握三角形高的意义和求三角形面积公式． （1）根据三角形某条边上高的定义可以得解； （2）根据三角形面积公式即可求出的面积；然后利用的面积还等于，然后代数求解即可． 【详解】（1）∵在中， ∴的边上的高是； ∵在中， ∴的边上的高是； （2）∵在中，，，， ∴的面积； ∵ ∴，即 ∴． 【典例3】（25-26七年级下·全国·单元测试）在中： (1)如图，若，，边上的高，交于点O．求的度数； (2)若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； (3)由（1）（2） 可以得到，无论是锐角还是钝角，总有 ． 【答案】(1) (2) 如图所示： ，理由如下： ∵，边上的高，所在直线交于点O， ∴， ∵，， ∴； (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、垂线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再根据三角形外角的定义及性质即可得出答案； （2）由垂线的定义得出，再由三角形内角和定理得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得解； （3）根据（1）、（2）直接得出结论即可． 【详解】（1）解：∵，边上的高，交于点O． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：略． （3）解：由（1）、（2）可得：． 【典例4】（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）如图，，是的高，平分．已知，，，，． (1)求和的度数． (2)求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的知识点是三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形面积公式的应用；解题的关键是利用三角形内角和求出角度，通过角平分线定义和高的性质推导角度关系，再结合三角形面积公式求解线段长度． （1）先利用三角形内角和求出，再由角平分线得，进而求出和，最后在中利用内角和求出； （2）根据三角形面积公式，结合两种不同的底和高的表示方法，建立等式求解的长． 【详解】（1）在中，， ， 平分， ， ， ， 在中， 是的高， ， ； （2）在中， ， ． 【典例5】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)m 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 模型3子母型双垂直模型（射影模型） 【模型提炼与证明】 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·天津和平·期末）如图，在中，，是斜边上的高，于点E．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查，直角三角形中，两锐角互余，根据题意可得，再结合，则，即． 【详解】是斜边上的高， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【典例2】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度，从而可得答案． 【详解】解： 是的中线， ， 的面积等于的面积， 故正确； ，是的高， ∴ ，， 是的角平分线， ∴ ， ， 又 ， ， 故正确；   ， ， ， 故正确； ∵， ， 故错误； 故选：C 【典例3】（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质．根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1， ∵， ∴； ②当时，如图2， ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【典例4】（25-26八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在直角三角形中，，是边上的高，，，．求： (1)作出的边上的中线，并求出的面积； (2)作出的边边上的高，当时，试求出的长． 【答案】(1)如图为边上的中线，面积为 (2)如图为边边上的高， 【分析】本题考查了直角三角形面积的计算方法，三角形的高、中线的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质． （1）找的中点，连接，则是的边上的中线，根据三角形中线的性质可得，即可求解； （2）过点作，先根据，求出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，找的中点，连接，则是的边上的中线， 在直角三角形中，，，， ， 是的中线， ； （2）如图，过点作，则为的边边上的高， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 【典例5】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，是的高，是的高，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了两角互余、两直线平行的判定与性质，关键是证明从而证得． 由已知可得，证得，得，再证明，再根据和，求出的度数，从而求得的度数． 【详解】解：∵是的高， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴． 模型常见易错点 易错点1：忽略三角形分类讨论，只套用锐角三角形结论。钝角三角形中高在三角形外部，角平分线与高线夹角公式不变，但图形位置改变，极易直接代值计算导致答案错误。 易错点2：解答题直接默写模型结论。高分线角度差公式属于二级推论，无推导过程不得分，必须结合内角和、互余、角平分线定义分步严谨证明。 解题方法总结 方法1：剥离结构法：遇到复杂图形，优先剔除无关线段、重叠图形，精准找出所有垂直关系，锁定两组关键直角。寻找图形中的公共锐角或等角，利用同角、等角的余角相等快速推导等角，完成核心角度转化。 方法2：直角互余倒角法：固定解题思路，见双垂直先标直角、找互余角，梳理角度关联。该方法适用于旋转、折叠、直角三角形综合题，可快速得出隐性等角，为三角形全等、相似证明提供关键条件。 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，是斜边上的高，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，由直角三角形两锐角互余可得，进而由三角形的高得到，利用所对的直角边等于斜边的一半即可得和，掌握直接三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，是的高，是的角平分线，，，则的度数是（　　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形有关的线段，根据三角形的高和角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）在中，已知，，是上的高，是上的高，H是和的交点，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高等知识． 先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据是上的高得出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是上的高， ∴在中，， 在中，， ∴． 故选：D． 4．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，是的两条高，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是掌握等面积法求高． 利用三角形的等面积法求高即可． 【详解】解：根据等面积得，， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·甘肃陇南·期中）如图，中，是边上的高，是的角平分线，若，则的度数为____________． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的定义，根据三角形高的定义和三角形内角和定理可得的度数，则可求出的度数，进一步由角平分线的定义可得度数，再由三角形内角和定理可得的度数． 【详解】解：∵中，是边上的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，是高，是角平分线，是中线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①②③ 【详解】解：依次分析：①是中线， ，①正确； ②是角平分线， ，②正确； ③， ， 又， ，③正确； ④通过是中线可以得到，但是无法得到，④错误． 综上可知，正确结论的序号有①②③． 7．（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在中，与是的高． (1)若，求； (2)若的高与的比是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式，即可求解； （2）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示列方程是解题的关键． 8．（25-26七年级下·四川成都·期中）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线MN与的延长线交于点M，若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵，是高， ∴， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∵， ∴ (2)， (3) 【分析】（1）由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可得结论； （2）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质可求，由余角的性质可求解； （3）由平角的性质和角平分线的性质可求，由外角的性质可求解． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∵是边上的高， ∴ ∴ ∵， ∴ （3）∵C、A、G三点共线，是角平分线， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 9．（25-26八年级上·天津南开·期中）在中，，是斜边上的高． (1)如图1，若是中线，，填空： ①则与的周长差为______； ②则高的长为_______； (2)如图2，若是角平分线，，求的度数． 【答案】(1)①2；② (2) 【分析】本题考查了三角形中线的性质、角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． （1）①根据是中线可得，分别表示出出与的周长，作差即可得到答案； ②根据代入数据进行计算即可； （2）由角平分线的定义可得，再由直角三角形的两锐角互余得出，最后根据进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①在中，，是中线， ， 的周长，的周长， 与的周长差， 故答案为：2； ②， ， ， 故答案为：； （2）解：，平分， ， 是斜边上的高， ， ， ， ． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，已知，与是的高，点O是它们的交点，求的度数． 【答案】， 【分析】先由三角形高的定义得到，然后对和运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵与是的高， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 11．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，平分，是的高，，相交于点，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和、角平分线的定义及三角形的高；由题意易得，然后根据角平分线的定义及三角形外角的性质可进行求解 【详解】解：，， ． 平分， ． 为边上的高， ， ． 12．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，是的高，是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的高等知识点，掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）由角平分线的定义得，由高的定义得，再根据直角三角形两锐角互余即可； （2）由角的和差可得，再结合角的平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：平分， ， 是的高， ， ． （2）解：∵， ． 平分， ， 在中，， ． 13．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为________； (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用中线得，两三角形周长相减消去公共线段，直接算出边长差； （2）由高得，由角平分线求出，再用三角形的外角性质算出． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∵的周长为：，的周长为：， ∴与的周长差为：， ∵，， ∴， ∴与的周长差为1； （2）∵是的高， ∴， ∵是角平分线，， ∴， ∵是的外角， ∴， 即． 14．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，，分别是的高和中线． (1)若的面积为，，则 ； (2)若，求与的周长差． 【答案】(1) (2)与的周长差为 【分析】本题考查了三角形的面积公式及中线的性质，解题的关键是利用三角形面积公式求高，结合中线定义分析周长差． （1）根据三角形面积公式，代入面积与底边长计算高； （2）由中线定义得，将两个三角形的周长相减，化简后计算边长差． 【详解】（1）解：由，代入，，得， 解得， 故答案为：． （2）解：∵ 是的中线， ∴ ，与的周长差为 ， 代入，，得， 答：与的周长差为． 15．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，是高，是的平分线．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角的平分线，高线，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了角的平分线，高线，三角形内角和定理，熟练掌握定理，角的平分线是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 16．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中错误的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据是的中线得和等底同高，据此对结论①进行判断； 由，，，，可对结论②进行判断； 连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，可得，又因为，所以，进而得，根据已知条件不能确定，据此对结论③进行判断； 由已知得，，，据此对结论④进行判断； 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴和等底同高， ∴． 故得结论①正确； ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 故得结论②正确； 连接，如图： ∵是高，是中线， ∴点是斜边上的中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 假设成立 ∴， 此时， 根据已知条件不能确定， 因此假设不成立． 故得结论③不正确； ∵，是角平分线，是高， ∴，，， ∴， 即． 故得结论④正确； 综上所述，错误的是③． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、高和中线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，直角三角形的性质，运用三角形的内角和定理列出角的等量关系，利用角平分线和直角三角形的性质进行角的等量代换是解题的关键，注意直角三角形斜边上的中线和三角形中线的区别． 17．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，AD，CF相交于点O，且∠BAC＝60°，∠ABC＝74°． (1)求∠COD的度数； (2)若△ABE的面积是3，BC＝4，求高AD的长度． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）利用高的定义得到直角，根据三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义即可求解； （2）根据三角形中线的性质得到的面积是6，进而即可求解． 【详解】（1）解：在中，是高， ， ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵是中线，的面积是3， ∴的面积是6， ∴，即， ∴． 18．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）在△ABC中： (1)如图，若，，边上的高，交于点．求的度数； (2)若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； (3)由（1）（2）可以得到什么结论，尝试写出来． 【答案】(1) (2) ，证明：如图所示 ∵，边上的高，交于点， ∴， 在四边形中，， ∵， ∴； (3)无论是锐角还是钝角，总有 【分析】（1）由垂线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再根据三角形外角的定义及性质即可得出答案； （2）由垂线的定义得出，由四边形内角和得出，再由对顶角相等得出，等量代换即可得解； （3）根据（1）（2）直接得出结论即可． 【详解】（1）解：∵，边上的高，交于点， ∴，， ∴， 在中，， ∵是的外角， ∴； （2）略 （3）解：由（1）（2）可得，无论是锐角还是钝角，总有． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、四边形的内角和、垂线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 19．（25-26八年级上·广西南宁·期中）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法．    (1)如图1，是边上的高，是边上的高，我们知道，则______． (2)如图1，若，，，，是斜边上的高线，用等面积法求的长． (3)如图2，在等腰三角形中，，，过A作于点H，且，P为底边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为M，N，连接，利用，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、折叠的性质等知识点，正确理解“等面积法”并正确的识别图形是解题的关键． （1）直接运用三角形面积公式即可解答； （2）直接运用（1）的结论进行解答即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为． （2）解：由（1）可得：， 则，解得：． （3）解： ∵， ∴， ， ∴． 20．（24-25七年级下·福建三明·期中）已知：等腰中，． (1)如图1，若是的高，是的角平分线，与交于点．当的大小变化时，的形状也随之改变． ①设，求角度的变量与的关系式； ②当是等腰三角形时，求的度数． (2)如图2，若的面积是是的高，点分别是线段上的点，直接写出的最小值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质求线段和的最值，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①根据三角形内角和定理分别表示出，根据三角形的外角的性质得出，即可求解； ②先表示出的三个内角，然后根据等腰三角形的性质，分类讨论，列出方程，解方程，即可求解； （2）过点作，垂足为，交于点，连接，当重合时，的最小值为，进而根据三角形的面积公式求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：①设 ∵ ∴ ∵是的高，是的角平分线， ∴， ∴ ∴； ②∵是的高， ∴ ∵ ∴ ∵是等腰三角形时 当时， ∴ 解得：即 当时， ∴ 解得：即 当时， ∴ s解得：（不合题意，舍去） 综上所述，或 （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点，连接， ∵，是的高， ∴是的对称轴， ∴，当重合时取得最小值，即的最小值为 ∵的面积是， ∴ ∴的最小值是 21．（25-26八年级上·北京西城·开学考试）（1）如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F，与的数量关系为　　． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E．探究与的数量关系并说明理由； （3）如图3，在中，边上存在一点D，使得，的平分线交于点F，交于E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．请补全图形并直接写出与的数量关系． 【答案】（1） （2），理由如下： 为的角平分线， 是边上的高， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图： 三点共线，为角平分线， ， ， ， 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质证明； （2）根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答； （3）根据三角形的外角的性质，角平分线的定义、直角三角形的性质解答即可； 【详解】（1）解：，是高， 是角平分线， 故答案为：； （2） 略 （3） 略 22. （25-26八年级上·四川达州·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵，是高， ∴，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴； (2)； (3) 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可得结论； （2）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质可求，由余角的性质可求解； （3）由平角的性质和角平分线的性质可求，由外角的性质可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∵为边上的高， ∴， ∴， ． （3）证明：∵C、A、G三点共线，、为角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴． 23．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为，则的面积_______； (2)当，时，求的度数． (3)若，的周长比的周长多，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据是的中线，的面积为，即可求出的面积； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质以及三角形的高进行求解即可； （3）根据是的中线，得到，由的周长比的周长多，推出，即可求解． 【详解】（1）解：是的中线，的面积为， ； （2）解：，， ， 平分， ， 是的高， ， ， ； （3）解：是的中线， ， 的周长比的周长多， ， 则， ， ． 24．（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵是边上的高， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）由可得，利用三角形内角和定理可得，从而得到，由角平分线的定义可得，最后使用三角形的内角和定理计算出； （2）仿照（1）的解法可得出，容易判断，则，因此． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）略 25．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，分别是的高和角平分线，（m为常数）． (1)如图1，若，求证：；    (2)如图2，过点E作交于点F，若，求m的值；    (3)在（2）的条件下，连接交于点G，过点G作于点H，若，求的度数． 【答案】(1) 证明：若，则， ， 分别是的高和角平分线， ，， ； (2)3 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和，得到与的关系，再根据角平分线的定义得到与的关系，即可解答； （2）利用平行线的性质得到，即可得到与的关系，即可解答； （3）根据，列方程求得的值，再根据三角形内角和定理求得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：根据三角形内角和定理可得， ， ， ， ， 根据， 可得，即 解得； （3）解：根据，可得， 当时，可得 可得， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形角平分线和高有关的计算，平行线的性质，熟练利用角平分线的定义和三角形内角和进行角度的转换是解题的关键． 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $