专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制八年级上册

该初中数学讲义通过思维导图系统梳理三角形倒角模型知识体系，将燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型按“定义-核心结论-推导方法”框架呈现，用对比表格归纳模型特征与应用场景，清晰展现角度等量代换的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与易错点集锦，A组基础题巩固模型应用，C组压轴题融合多模型综合考查，典例如飞镖模型结合角平分线推导角度关系，培养推理意识与几何直观，助力学生分层提升，为教师精准教学提供支持。

专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型 燕尾（飞镖）模型属于凹四边形倒角模型，核心结论为凹角等于外侧三个角之和，多用于快速角度计算，常与角平分线结合，是选择、填空题高频考点。大题不能直接套用结论，需要借助三角形外角定理推导。风筝模型具备两组邻边相等，是轴对称图形，对角线互相垂直，可实现边角转化，常和等腰三角形、垂直平分线综合出题，侧重角度推导与线段等量关系证明。翻角模型由图形折叠产生，折叠前后对应角相等，本质是轴对称，折叠形成的重叠角、补角关系是考查重点，常结合等腰、最短路径问题。 三类模型核心思想都是角度等量代换，把分散角集中求解。考题常混合多个模型，解答题务必写出推导过程，不可直接默写模型结论，还需要留意多解、隐藏直角等陷阱。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.飞镖（燕尾）模型 2 模型2.鹰爪（风筝）模型 5 模型3.翻角模型 8 易错点与方法总结 13 模型运用 14 A组（基础题） 14 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 28 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2025–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ 燕尾模型是凹四边形倒角模型，核心结论：凹处内角等于另外三个角之和。解题多用三角形外角定理推导，选择填空可直接用结论，大题必须写推导。常搭配角平分线综合出题，用于快速求角度。识别特征：图形向内凹陷，形似飞镖，注意区分普通四边形，避免模型混用。 风筝模型两组邻边分别相等，属于轴对称图形，对角线互相垂直。可得到相等角、相等线段，常结合等腰三角形性质。多用于角度转化与线段证明，轴对称翻折是常见出题形式。解题抓住对称轴，利用全等转移边角，看清对角关系，不要混淆对角线性质。 翻角模型由图形折叠形成，本质是轴对称，折叠前后对应角相等。折叠产生重叠角、补角关系，是倒角核心。常与三角形内角和、角平分线结合。折叠后隐藏相等角，解题要找准对应角，留意重叠部分，大题不能直接套用结论，需要利用全等进行角度推导。 模型1.飞镖模型 【模型提炼与证明】 1）飞镖模型（边）：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 2）飞镖模型（角度）：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 3）飞镖模型拓展：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）【模型认识】如图，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 (1)如图，已知，，，求的度数． 【归纳结论】 (2)、、和的数量关系是________． 【深入探究】 (3)如图，若，，且，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接并延长到点E，由三角形外角的性质可得，，则可推出，据此代入求解即可； （2）由（1）可得答案； （3）由（1）得，，求出的度数，则可得到的度数，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图1所示，连接并延长到点E， ∴，， ∴， ∵，，， ∴； （2）解；由（1）可得； （3）解：由（1）得， ， ∵，， ∴， ∵且， ∴， ∴． 【典例2】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）探究与发现：如图①所示的图形，像我们常见的飞镖，我们把这样的图形叫做“飞镖图”． (1)观察图①，说明与之间的数量关系； (2)请你利用以上结论，解决以下问题： ①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，若，则__________． ②如图③，平分平分，若，求的度数； ③如图④，，求的度数． 【答案】(1) (2)① ②③ 【分析】（1）连接并延长到点G，利用三角形的外角和定理，角的和证明即可． （2）①根据题意，得，结合前面的结论，得根据，计算即可． ②根据题意，平分平分，得 根据前面的结论，得，，结合，求的度数即可． ③连接，两次运用结论，再求和计算即可． 本题考查了三角形外角性质，直角三角形的性质，角的平分线，熟练掌握外角性质，灵活运用基本结论是解题的关键． 【详解】（1）解：与之间的数量关系为： ．理由如下： 连接并延长到点G， 根据题意，得， ∵， ∴． （2）解：①根据题意，得，结合前面的结论，得， ∵， ∴， 故答案为：． ②解：根据题意，平分平分， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． ③连接， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∵ ∴． 【典例3】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”． 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下： 方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°， 即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°， 又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°， ∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图3，连结CD并延长至F， ∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角， ．．．．．．．．．． 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论． 任务： (1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【答案】(1)三角形的内角和定理 (2)见解析 【分析】（1）根据解题过程作答即可； （2）连结CD并延长至F，由三角形外角的性质即可证明． 【详解】（1）由解题过程可得，“方法一”主要依据的一个数学定理是三角形的内角和定理， 故答案为：三角形的内角和定理； （2）连结CD并延长至F， ∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角， ， ，即． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 【典例4】（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证．在探究之间的关系时，小明同学提供如下两种方法． 方法一∶如图2，连接，则在中，， 即 ， 又∵在中，， ∴， 即． 方法二∶如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， ∴ ． ． ∵ ∴ ∴． 解答下列问题． (1)根据“方法二”中辅助线的添加方式，补全方法二的证明过程； (2)如图1，当时，直接写出 °． (3)应用：如图4，，直接写出 ． 【答案】(1) ；；；；；；； (2)50 (3)230° 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，新定义的运用，三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键． （1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，列式，结合角的等量代换和运算，即可作答． （2）把代入，进行计算即可作答． （3）连接，结合图1的结论，列式计算，整理式子，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴把代入， 得 解得； （3）解：连接，如图所示： 由方法一，在四边形中，得； 在四边形中，得； ∵ ∴ 即． 【典例5】（24-25七年级下·全国·单元测试）四条线段、、、首尾顺次相接，组成以下图形，填空： (1)当点、、三点共线时，如图①，__________°；    (2)当点、、三点不共线时， ①如图②（“飞镖”形），与、、之间的数量关系是__________，并说明理由； ②如图③，__________； (3)当点在线段上时，如图④，与、之间的数量关系是_____； (4)当线段与相交时，如图⑤（“8字”形），、与、之间的数量关系是__________． 【答案】(1)180 (2) ①如图，作射线， ∵，， ∴，， ∴； ②360 (3) (4) 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用； （1）由三角形的内角和定理可得答案； （2）①如图，作射线，利用三角形的内角和与平角的含义可得：，，再利用角的和差运算可得结论；②如图，连接，利用三角形的内角和定理可得答案； （3）利用三角形的内角和定理与平角的含义可得答案； （4）利用三角形的内角和定理可得，，再进一步可得结论． 【详解】（1）解：当点、、三点共线时，如图①，； （2）解：① 略 ②如图，连接， ∵，， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴； （4）解：如图，记的交点为， ∵，，， ∴ 模型2.鹰爪模型 【模型提炼与证明】 1）鹰爪模型：如图1，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 图1 图2 2）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)问题提出 如图1，是的一个外角，则，，之间的数量关系为_____． (2)尝试探究 如图2，线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，求之间的数量关系． (3)拓展提升 如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状的图形．试探究，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质即可求出答案； （2）根据三角形的内角和定理及对顶角相等即可得到结论； （3）结合（2），根据三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是的一个外角， ∴； （2）解：在图2中，有， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴． 【典例2】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (1)已知：是的一个外角（如图1）．求证：． 证明：如图2，过点作．（请完成后面的证明） (2)如图3，线段相交于点，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系． (3)如图4，由线段组成的一个“风筝”形状，运用（2）中得出的数量关系，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：如图2，过点C作， ∴， ∵， ∴； (2) (3) 解：，理由如下： 如图， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴． 【分析】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）根据三角形的内角和定理及对顶角相等即可得到结论； （3）结合（2），根据三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在图3中，有， ∵， ∴， 故答案为：； （3）略 【典例3】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，若，则_____． (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．其中，求的度数用表示． (3)如图3，平分外角，平分外角．试确定与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：结论：；理由如下： ∵平分外角，平分外角， ，， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，即可得出答案； （3）根据三角形外角的性质和角平分线的定义，求出，，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵、分别平分和， ∴，（角平分线的定义）， ∵（三角形内角和定理）， ∴ ． 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， 即， ∴； （3）略 【典例4】（2025·湖南娄底·模拟预测）物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图1）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflectionlaw）．如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．如图3，两块平面镜、，且，光线与所在的直线相交于点E，，则与之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用平角的定义得出，利用外角的性质，而，即可证得． 【详解】解：， 理由如下：∵， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴． 【典例5】（25-26七年级下·吉林长春·期末）在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形内角和定理可得，进而得到；①②利用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可； （3）如图：延长至D，利用角平分线的定义、三角形外角的性质可得，再结合，然后分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，，点P是和的平分线的交点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ①∵与的角平分线与相交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴． ②∵与的角平分线相交于点Q， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图：延长至D， ∵为的外角的角平分线， ∴, ∵，, ∴, ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； 由（2）可知 ∵在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍， ∴①当时，即，解得：； ②当时，即，解得：； 综上所述，的度数是或． 模型3.翻角模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 条件：如图1，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图2，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原三角形的为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在图①的中，根据三角形内角和定理，可求得；结合折叠的性质和图②和图③可知：，即可在中，得到另一个关于、度数的等量关系式，联立两式即可求得的度数． 【详解】解：如图：    在中， 则； 根据折叠的性质知：，； 在中，则有：， 即； ，得， 解得． 故选：A 【点睛】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现和的倍数关系是解答此题的关键． 【典例2】（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于点，再将沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，那么的度数是______． 【答案】/36度 【分析】此题考查了角的运算，角平分线的定义，折叠的性质，等边对等角，三角形外角性质，根据折叠可得，，由角平分线的定义可得，证明，得到，然后根据可得答案，正确掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例3】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，一张直角三角形纸片，，，，将纸片沿折叠，使点A落在点D处，则的度数为_________ ． 【答案】46° 【分析】由，得，由折叠得，，可证明A、M、D三点在同一条直线上，则    ，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿折叠，点A落在点D处， ∴，， ∴， ∴A、M、D三点在同一条直线上， ∴， 故答案为：46°． 【典例4】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）折叠可以解决很多问题．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等，那么不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢? 【问题情境】如图1，在中，，怎样判断与的大小关系呢? 解答：将边折叠，使落在边上，点C的对应点为，折痕与交于点D． 由折叠可得．又，； 结论：在三角形中，大边对大角；反之，大角对大边． （1）若，，求的度数； （2）若，判断，与之间的数量关系，并说明理由； 【变式探究】（3）如图2，在中，，，是的角平分线．设，，求的长（用含a，b的代数式表示）； 【思维拓展】（4）在中，，，D是边上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点E在直线的下方，与边交于点M．继续将向下折叠，使边与重合，折痕为（F在边上），连接．若是等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】（1）； （2），与之间的数量关系是：，理由如下： 将边折叠，使落在边上，点C的对应点为，折痕与交于点D，如图2所示： 根据折叠的性质得：，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）； （4）当是等腰三角形时，的度数为或或． 【分析】（1）先求出，将沿折叠，点C落在上，点C的对应点为，则，再根据可得出的度数； （2）将边沿折叠，点C落在上，点C的对应点为，折痕与交于点D，则，，，进而得，由此得，则，由此可得，与之间的数量关系； （3）将沿折叠，点C落在上，点C的对应点为，折痕与交于点D，则，，，进而得，则，再根据得，然后根据即可得出答案； （4）先求出，设，根据折叠的性质分别求出，，，再分三种情况讨论如下：①当时，则；②当时，则；③当时，则，据此计算即可得出答案． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∵将沿折叠，点C落在上，点C的对应点为，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）将边折叠，使落在边上，点C的对应点为，折痕与交于点D，如图3所示： 根据折叠的性质得：，，， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （4）在中，，， ∴，如图4所示： 设， ∴， ∴， 根据折叠的性质得：，， ∴， ∵将向下折叠，使边与重合，折痕为（F在边上）， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， 当是等腰三角形时，有以下三种情况： 当时，则， ∴， 解得：， ∴； 当时，则， ∴， 解得：， ∴； 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：当是等腰三角形时，的度数为或或． 【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，等腰三角形的性质，含有角的直角三角形的性质，理解图形的折叠变换及其性质，熟练掌握等腰三角形的性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 【典例5】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． 模型常见易错点 1）公式记反，写成∠A=∠BDC+∠B+∠C 错误颠倒大小角，凹进去的角是最大角，等于另外三个角之和。 正解：延长线段造外角，现场推导，不要死记公式。 2）分不清飞镖和八字（8 字）模型 八字模型：对顶角相等，∠A+∠B=∠C+∠D； 飞镖模型：凹四边形，凹角 = 另外三角之和，结构不同，公式不能混用。 3）在解答题直接写飞镖结论，没有推导过程 填空可以口算使用结论，大题必须通过延长线段 + 外角定理写出推导步骤，不能直接套用模型名称。 4）找不到图形里的隐形飞镖 复杂图形中没有画出完整飞镖轮廓，不会局部拆分三角形，只会使用标准图形。 5）风筝模型比例式与角度式混淆 初中倒角只用角度和差关系，不要套用相似风筝的面积 / 比例结论。 解题方法总结 飞镖风筝模型是三角形外角定理的延伸应用，是从基础三角形角度计算走向不规则多边形倒角的过渡内容。风筝模型用于交叉图形，飞镖用于内凹图形，二者相辅相成，大量出现在选择填空压轴，也是全等、圆综合大题的前置倒角工具。 熟练掌握 “延长线段构造外角” 的推导思路，不仅可以搞定本模型，还可以自主推导所有不规则四边形角度关系，摆脱死记公式的学习模式，提升几何逻辑能力。 1．（25-26七年级下·山东·期末）如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用三角形的内角和可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，的外角与的三等分线交于点，即，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，根据三角形内角和定理求出，结合三等分线可求出，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求出，根据三角形外角的性质求出，根据角平分线定义和三角形外角的性质可求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 又，， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∵的平分线与的外角的平分线交于点， ∴，， 又， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，是的平分线，是的平分线，，相交于点．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义连接，根据三角形内角和定理求出，，所以，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：连接，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， 在中，． 故选：A． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，、的平分线交于点P，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，延长交于E，根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，整理可得，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：如图，延长交于E， ∵的角平分线交于点P， ∴， 由三角形的内角和定理得，， 在中，， 在中，， ∴， 得，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： （1）如图1，在中，与的平分线交于点，，则__________； （2）如图2．的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求__________（用表示）： （3）如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求__________（用表示）： （4）如图4，外角、的平分线交于点，，、的平分线交于点，则__________；延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则__________． 【答案】 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，，结合角平分线的性质可得，因此； （2）由三角形外角的性质可得，，，结合角平分线的性质可得，，，因此； （3）由三角形的内角和定理可得，，结合平角的定义可得，，由角平分线的性质可得，，因此； （4）根据前三问的结论，代入数值计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （4）同理（3）可得，， 同理（1）可得，， 同理（2）可得，． 6．（25-26八年级上·河北保定·期中）【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为______． 【答案】 （1）证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵， ∴， ∴； （2）； （3）． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在直线上取一点，连接， 由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 【答案】 （1）， 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵ ∴ ∴； （2）①；②． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）①如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，在直线上取一点，连接， 由①可知， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 8．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，的两条内角平分线相交于点，两条外角平分线交于点．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有关角平分线的计算，三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键． 根据得到，结合角平分线得到，从而得到，最后结合角平分线求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的两条内角平分线相交于点， ∴， ∴， ∵两条外角平分线交于点， ∴， ∴． 故选：B． 9．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 根据三角形外角的性质可得，，再根据邻补角表示出，然后利用三角形的内角和定理列式整理可得，同理，最后求和即可． 【详解】解：如图， 根据三角形的外角性质，，， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴． 故选：C． 10．（25-26七年级下·四川宜宾·期末）在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处．有以下四个结论： ①如图1，当点落在BC边上时，； ②如图2，当点落在△ABC内部时，； ③如图3，当点落在△ABC上方时，； ④当时，或，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和及平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠的性质及三角形外角的性质、三角形内角和可判断①②③；分点落在△ABC上方与下方两种情况，由平行线的性质、折叠的性质、三角形外角的性质与三角形内角和即可判断④． 【详解】解：当点落在BC边上时， 由折叠性质得：， 则， ， 故①正确； 当点落在△ABC内部时， 由折叠性质得：， 又， ， ， ； 故②正确； 当点落在△ABC上方时， 由折叠性质得：， 又， ， ， ； 即； 故③正确； 当时， 若点在下方，如图， ， ； 由折叠性质得：， 即； 而， ， ， 即； 若点在上方，如图， ， ； 由折叠性质得：， ， 综上，或； 故④正确． 故选：D． 11．（25-26七年级下·福建莆田·期末）科普体验馆里设置了一个模拟光线反射的趣味装置，由两块互相垂直的平面镜，组成．如图，入射光线经过两次反射后得到反射光线，反射时满足，．将平面镜绕点顺时针旋转，使得入射光线与反射光线所在直线互相垂直，则旋转后两块平面镜所夹锐角的度数为______． 【答案】/45度 【分析】设入射光线与反射光线交于点，过点作，过点作，设，则，根据题意得，求得和，进一步求得和，结合三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：设入射光线与反射光线交于点，过点作，过点作，如图， 设，则， ∵入射光线与反射光线所在直线互相垂直， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴． 12．（25-26七年级下·四川宜宾·期末）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和都是“倍角三角形”，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，由折叠的性质得到，则可推出；当是“倍角三角形”时，只存在或这两种情况，据此根据，求出的度数，进而求出的度数，进一步求出的度数，再验证是否为“倍角三角形”即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴； 在中，， ∴当是“倍角三角形”时，只存在或这两种情况， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴此时不是“倍角三角形”，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时是“倍角三角形”，符合题意； 综上所述，． 13．（25-26七年级下·山东聊城·期末）探究以下问题： (1)探究一：如图（a），平分，平分，请确定与的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），平分，平分，请确定与的数量关系________________； (3)探究三：如图（c），平分，平分，请确定与的数量关系________________； 解决问题： (4)如图（d），在中，，，分别平分，，M，N，Q分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，，则________． 【答案】(1)， 理由：∵平分，平分， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． (2) (3) (4) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形内角和定理推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （2）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （3）据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （4）根据（1）（2）（3）中的结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，平分， ∴设，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴，， ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴设，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， ∴． （4）解：由（1）（2）（3）的结论可得：， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，点E、F分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数是（   ） A． B． C．或 D． 或 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的定义，折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 先确定是等腰三角形，得出，因为不确定是以哪两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①，②，③，然后分别利用角的关系得出答案即可． 【详解】解：∵中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 连接， 设，由对称性可知，， ∴， ∵， ∴， 分类如下： ①如图1，当时，， 由，得， 解得：． 此时， ； ②如图2，当时， 则， 故， 由得：， 解得， 此时， ； ③时， 则， 故， 由得 此方程无解． ∴不成立； 综上所述，的度数是或． 故选：C． 15．（2025·江西宜春·模拟预测）如图所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于点O的灯泡发出的两束光线OB，OC经灯碗反射以后平行射出．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点O作平行于反射光线的辅助线，利用平行线的内错角相等性质，将拆分为与对应的角，进而求出的度数． 【详解】解：如图，过点O向左作射线OE，使，则， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握作辅助平行线，利用内错角相等推导角度关系是解题的关键． 16．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，点分别在的边上，连接，把沿折叠，点恰好落在边上点的位置．若平分，则下列结论：①，②；③；④．其中正确结论的序号是___________． 【答案】 ①②④ 【分析】根据折叠的性质可得 ，从而得到对应角相等，据此判断①；根据四边形内角和定理及 判断②；根据角平分线的定义及三角形内角和定理推导 与 的关系，结合平角定义及折叠性质判断④；通过反证法或特定值法判断③是否恒成立. 【详解】解：由折叠的性质可知，， ，，， ，故①正确； 在四边形 中，， ， ，即，故②正确； 平分， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， ，故④正确.； 若，则， ， 由于的形状不确定，该等式不一定成立，故③错误.； 综上所述，正确的结论是①②④. 17．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点D、E分别在的边上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．当的某条边与垂直时，________． 【答案】24或45 【分析】分三种情况：或或分别求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴． ①如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ； ∴①， 由折叠知， ∵， ∴ ，② ∴得：； ∴， 由折叠知， ∴ ； ②如图，当时， 则； ③如图，当时，不合题意； 综上可知，的度数为或． 18．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在中，的平分线与外角的平分线的反向延长线相交于点E． （1）若，则_________． （2）若外角的平分线与的平分线相交于点F，且，则_________． 【答案】 /35度 /45度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，，等量代换可得答案； （2）由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，同（1）可得，，再根据，通过等量代换即可求解． 【详解】解： （1）平分，平分， ，， 是的外角，是的外角， ，， ， ； （2）平分，是的外角， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 19．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键； 由“8字形”结论可知， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【详解】解：由“8字形”结论得到， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 20．（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，点为边上一点且不与两点重合，将沿翻折得到，直线与直线相交于点．若，当为等腰三角形时，______． 【答案】或或 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形，三角形外角性质，分四种情况讨论，分别画出图形，根据折叠的性质以及等腰三角形的性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得，，， 当为等腰三角形时，分以下四种情况解答： ①当时，，如图， ∴， ∵， ∴，此时点和点重合，显然不符合题意； ②当时，，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； ③当时，，如图， ∴， ∴， ∴； ④当点在线段上侧时，，，如图， 由折叠得，， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，或或， 故答案为：或或． 21．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）【教材呈现】如下是苏科版七年级数学下册教材第169页第18题的内容． 18．任意画，在的两条边上分别取点，，在的内部取一点，连接，．探索与，，之间的数量关系，并证明你的结论． 为了书写方便我们设，，，．（以下所表述的各个角指的都是平角以内的角） 下面的数量关系均写成用含，，的代数式表示的形式． (1)请完成下面的探索过程． 本题有三种情况： ①当点在边上时，如图①，与，，之间的数量关系是 ； ②当点在直线的右侧时，如图②，与，，之间的数量关系是 ； ③当点在直线的左侧时，如图③，与，，之间的数量关系是 ，并证明你的结论． (2)【拓展】若在的外部取一点（点、、、满足任意三点不共线），连接，．设，，，，则与，，之间的数量关系是 ．（写出两个正确结论即可得满分） 【答案】(1)①，②，③ (2)或或或或 【分析】（1）根据三角形内角和定理、三角形外角的性质分别求解； （2）分情况画出图形，利用三角形内角和定理、三角形外角的性质分别求解． 【详解】（1）解：①当点在边上时，，， 与，，之间的数量关系是：； ②当点在直线的右侧时，连接，如图 在中，， 在中，， ， 即， ； ③当点在直线的左侧时， 证明：如图，延长交于点D， 是的外角，是的外角， ，， ； （2）解：分情况讨论： ①如图： ，，， ， ； ②如图： ，， ， ； ③如图： ，， ， ； ④如图： 同1可得， ； ⑤如图： ，， ， ． 22．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”． (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1)解：，理由是： 过点A、D作射线， ∵， ∴， 即； (2)①；② 【分析】（1）作射线，根据三角形的外角的性质可得结论：； （2）①先根据三角尺可知：，根据（1）的结论可得：，从而得结论； ②先根据（1）的结论可得：的度数，由角平分线可得：，从而得结论． 【详解】（1）略； （2）解：∵， 由（1）知：， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴． 23．（25-26七年级下·河南周口·期中）求解下列各题： (1)【初步认识】如图1，在中，平分，平分．若，则____________；如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是_________． (2)【继续探索】如图3，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． (3)【拓展应用】如图4、是两内角平分线的交点，是两外角平分线的交点，延长，，交于点．请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1)    ； (2) (3) 【分析】（1）如图1，由角平分线可得，，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图2，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由（1）、（2）的结论即可得出． 【详解】（1）解：如图1，，分别平分，， ，． 如图2，∵平分，平分外角， ∴，． ，， ． ∴ （2）解：，， ，， ． （3）解：由（1）得，， 由（2）得，， ∴， ∴． 24．（25-26七年级下·河南周口·期中）求解下列各题： (1)【建立模型】如图1，在内部有一点，连接，．求证：． (2)【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，____________． (3)【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【答案】(1)证明：如图，延长交于点， ∵，， ∴． (2)180 (3) 【分析】（1）延长交于点，由三角形外角性质得，，由此即可得出结论； （2）设与相交于点，由（1）得，则，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案； （3）延长与的延长线相交于点，则，，进而得，由（2）得，则． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设与相交于点， 由（1）得， ∴． 在中，， ∴． （3）解：如图，延长与的延长线相交于点， ，， ． 在中，， ． 由（2）得，， ． 25．（25-26七年级下·广东东莞·期中）综合实践：【问题背景】图1展示了光线反射定律：是镜面的垂线，一束光线m射到平面镜上，被反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线所夹的锐角． 【理解原理】 (1)在图1中，请证明： (2)利用光的反射定律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（把证明过程补充完整） 理由：． （________） ，， （________）． ． 即________ ．（________） 【尝试探究】 (3)改变两平面镜，之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变．图3中，，入射光线经两次反射后，反射光与平行但方向相反，求． (4)两块平面镜，，，入射光线EF经过两次反射，得到反射光线，图4中，光线与相交于点O，请用含的式子表示的度数为________． 【答案】(1)见解析 (2)两直线平行，内错角相等；等式的传递性；；内错角相等，两直线平行 (3) (4) 【分析】（1）根据等角的余角相等即可得证； （2）根据平行线的判定和性质把证明过程补充完整； （3）过B作，根据平行公理可证，可得，再求出即可得解； （4）根据，，，得出，根据，证得，根据三角形内角和定理求得． 【详解】（1）证明：， ， ∵， ； （2）解：， （两直线平行，内错角相等）， ， ∴（等式的传递性）， ∴， 即， （内错角相等，两直线平行）； （3）解：过B作， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：，，， ， ， ， ， ． 26．（25-26七年级下·吉林长春·期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： (1)如图，在中，与的平分线交于点，，则________； (2)如图，的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求的度数． (3)如图，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求________（用表示） (4)如图，外角、的平分线交于点，、的平分线交于点，则延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则与的数量关系为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，可得，再根据角平分线的定义，可得，即可求解； （3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可得到； （4）同理（1）和（2）可得，，，则． 【详解】（1）解：， ， 与的平分线交于点， ，， ， ； （2）解：， ，即， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ； （3）解：，，， ， 、的平分线交于点， ，， ； （4）解：，理由如下： 、的平分线交于点， 同理（1）可得， 的平分线与的平分线的延长线相交于点， 同理（2）可得， ． 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型 燕尾（飞镖）模型属于凹四边形倒角模型，核心结论为凹角等于外侧三个角之和，多用于快速角度计算，常与角平分线结合，是选择、填空题高频考点。大题不能直接套用结论，需要借助三角形外角定理推导。风筝模型具备两组邻边相等，是轴对称图形，对角线互相垂直，可实现边角转化，常和等腰三角形、垂直平分线综合出题，侧重角度推导与线段等量关系证明。翻角模型由图形折叠产生，折叠前后对应角相等，本质是轴对称，折叠形成的重叠角、补角关系是考查重点，常结合等腰、最短路径问题。 三类模型核心思想都是角度等量代换，把分散角集中求解。考题常混合多个模型，解答题务必写出推导过程，不可直接默写模型结论，还需要留意多解、隐藏直角等陷阱。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.飞镖（燕尾）模型 2 模型2.鹰爪（风筝）模型 5 模型3.翻角模型 8 易错点与方法总结 13 模型运用 14 A组（基础题） 14 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 28 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2025–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ 燕尾模型是凹四边形倒角模型，核心结论：凹处内角等于另外三个角之和。解题多用三角形外角定理推导，选择填空可直接用结论，大题必须写推导。常搭配角平分线综合出题，用于快速求角度。识别特征：图形向内凹陷，形似飞镖，注意区分普通四边形，避免模型混用。 风筝模型两组邻边分别相等，属于轴对称图形，对角线互相垂直。可得到相等角、相等线段，常结合等腰三角形性质。多用于角度转化与线段证明，轴对称翻折是常见出题形式。解题抓住对称轴，利用全等转移边角，看清对角关系，不要混淆对角线性质。 翻角模型由图形折叠形成，本质是轴对称，折叠前后对应角相等。折叠产生重叠角、补角关系，是倒角核心。常与三角形内角和、角平分线结合。折叠后隐藏相等角，解题要找准对应角，留意重叠部分，大题不能直接套用结论，需要利用全等进行角度推导。 模型1.飞镖模型 【模型提炼与证明】 1）飞镖模型（边）：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 2）飞镖模型（角度）：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 3）飞镖模型拓展：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）【模型认识】如图，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 (1)如图，已知，，，求的度数． 【归纳结论】 (2)、、和的数量关系是________． 【深入探究】 (3)如图，若，，且，直接写出的度数． 【典例2】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）探究与发现：如图①所示的图形，像我们常见的飞镖，我们把这样的图形叫做“飞镖图”． (1)观察图①，说明与之间的数量关系； (2)请你利用以上结论，解决以下问题： ①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，若，则__________． ②如图③，平分平分，若，求的度数； ③如图④，，求的度数． 【典例3】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”． 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下： 方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°， 即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°， 又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°， ∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图3，连结CD并延长至F， ∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角， ．．．．．．．．．． 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论． 任务： (1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【典例4】（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证．在探究之间的关系时，小明同学提供如下两种方法． 方法一∶如图2，连接，则在中，， 即 ， 又∵在中，， ∴， 即． 方法二∶如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， ∴ ． ． ∵ ∴ ∴． 解答下列问题． (1)根据“方法二”中辅助线的添加方式，补全方法二的证明过程； (2)如图1，当时，直接写出 °． (3)应用：如图4，，直接写出 ． 【典例5】（24-25七年级下·全国·单元测试）四条线段、、、首尾顺次相接，组成以下图形，填空： (1)当点、、三点共线时，如图①，__________°；    (2)当点、、三点不共线时， ①如图②（“飞镖”形），与、、之间的数量关系是__________，并说明理由； ②如图③，__________； (3)当点在线段上时，如图④，与、之间的数量关系是_____； (4)当线段与相交时，如图⑤（“8字”形），、与、之间的数量关系是__________． ∵，， ∴，， ∴； 模型2.鹰爪模型 【模型提炼与证明】 1）鹰爪模型：如图1，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 图1 图2 2）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)问题提出 如图1，是的一个外角，则，，之间的数量关系为_____． (2)尝试探究 如图2，线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，求之间的数量关系． (3)拓展提升 如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状的图形．试探究，之间的数量关系． 【典例2】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (1)已知：是的一个外角（如图1）．求证：． 证明：如图2，过点作．（请完成后面的证明） (2)如图3，线段相交于点，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系． (3)如图4，由线段组成的一个“风筝”形状，运用（2）中得出的数量关系，猜想与的数量关系，并说明理由． 【典例3】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，若，则_____． (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．其中，求的度数用表示． (3)如图3，平分外角，平分外角．试确定与的数量关系，并说明理由． 【典例4】（2025·湖南娄底·模拟预测）物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图1）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflectionlaw）．如图2，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．如图3，两块平面镜、，且，光线与所在的直线相交于点E，，则与之间满足的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【典例5】（25-26七年级下·吉林长春·期末）在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． 模型3.翻角模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 条件：如图1，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图2，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原三角形的为（    ）    A． B． C． D． 【典例2】（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于点，再将沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，那么的度数是______． 【典例3】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，一张直角三角形纸片，，，，将纸片沿折叠，使点A落在点D处，则的度数为_________ ． 【典例4】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）折叠可以解决很多问题．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等，那么不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢? 【问题情境】如图1，在中，，怎样判断与的大小关系呢? 解答：将边折叠，使落在边上，点C的对应点为，折痕与交于点D． 由折叠可得．又，； 结论：在三角形中，大边对大角；反之，大角对大边． （1）若，，求的度数； （2）若，判断，与之间的数量关系，并说明理由； 【变式探究】（3）如图2，在中，，，是的角平分线．设，，求的长（用含a，b的代数式表示）； 【思维拓展】（4）在中，，，D是边上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点E在直线的下方，与边交于点M．继续将向下折叠，使边与重合，折痕为（F在边上），连接．若是等腰三角形，请直接写出的度数． 【典例5】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 模型常见易错点 1）公式记反，写成∠A=∠BDC+∠B+∠C 错误颠倒大小角，凹进去的角是最大角，等于另外三个角之和。 正解：延长线段造外角，现场推导，不要死记公式。 2）分不清飞镖和八字（8 字）模型 八字模型：对顶角相等，∠A+∠B=∠C+∠D； 飞镖模型：凹四边形，凹角 = 另外三角之和，结构不同，公式不能混用。 3）在解答题直接写飞镖结论，没有推导过程 填空可以口算使用结论，大题必须通过延长线段 + 外角定理写出推导步骤，不能直接套用模型名称。 4）找不到图形里的隐形飞镖 复杂图形中没有画出完整飞镖轮廓，不会局部拆分三角形，只会使用标准图形。 5）风筝模型比例式与角度式混淆 初中倒角只用角度和差关系，不要套用相似风筝的面积 / 比例结论。 解题方法总结 飞镖风筝模型是三角形外角定理的延伸应用，是从基础三角形角度计算走向不规则多边形倒角的过渡内容。风筝模型用于交叉图形，飞镖用于内凹图形，二者相辅相成，大量出现在选择填空压轴，也是全等、圆综合大题的前置倒角工具。 熟练掌握 “延长线段构造外角” 的推导思路，不仅可以搞定本模型，还可以自主推导所有不规则四边形角度关系，摆脱死记公式的学习模式，提升几何逻辑能力。 1．（25-26七年级下·山东·期末）如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，的外角与的三等分线交于点，即，．若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，是的平分线，是的平分线，，相交于点．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，、的平分线交于点P，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： （1）如图1，在中，与的平分线交于点，，则__________； （2）如图2．的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求__________（用表示）： （3）如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求__________（用表示）： （4）如图4，外角、的平分线交于点，，、的平分线交于点，则__________；延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则__________． 6．（25-26八年级上·河北保定·期中）【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为______． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 8．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，的两条内角平分线相交于点，两条外角平分线交于点．已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，若，则等于（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·四川宜宾·期末）在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处．有以下四个结论： ①如图1，当点落在BC边上时，； ②如图2，当点落在△ABC内部时，； ③如图3，当点落在△ABC上方时，； ④当时，或，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（25-26七年级下·福建莆田·期末）科普体验馆里设置了一个模拟光线反射的趣味装置，由两块互相垂直的平面镜，组成．如图，入射光线经过两次反射后得到反射光线，反射时满足，．将平面镜绕点顺时针旋转，使得入射光线与反射光线所在直线互相垂直，则旋转后两块平面镜所夹锐角的度数为______． 12．（25-26七年级下·四川宜宾·期末）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和都是“倍角三角形”，则的度数为___________． 13．（25-26七年级下·山东聊城·期末）探究以下问题： (1)探究一：如图（a），平分，平分，请确定与的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），平分，平分，请确定与的数量关系________________； (3)探究三：如图（c），平分，平分，请确定与的数量关系________________； 解决问题： (4)如图（d），在中，，，分别平分，，M，N，Q分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，，则________． 14．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，点E、F分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数是（   ） A． B． C．或 D． 或 15．（2025·江西宜春·模拟预测）如图所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于点O的灯泡发出的两束光线OB，OC经灯碗反射以后平行射出．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，点分别在的边上，连接，把沿折叠，点恰好落在边上点的位置．若平分，则下列结论：①，②；③；④．其中正确结论的序号是___________． 17．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点D、E分别在的边上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．当的某条边与垂直时，________． 18．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在中，的平分线与外角的平分线的反向延长线相交于点E． （1）若，则_________． （2）若外角的平分线与的平分线相交于点F，且，则_________． 19．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    20．（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，点为边上一点且不与两点重合，将沿翻折得到，直线与直线相交于点．若，当为等腰三角形时，______． 21．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）【教材呈现】如下是苏科版七年级数学下册教材第169页第18题的内容． 18．任意画，在的两条边上分别取点，，在的内部取一点，连接，．探索与，，之间的数量关系，并证明你的结论． 为了书写方便我们设，，，．（以下所表述的各个角指的都是平角以内的角） 下面的数量关系均写成用含，，的代数式表示的形式． (1)请完成下面的探索过程． 本题有三种情况： ①当点在边上时，如图①，与，，之间的数量关系是 ； ②当点在直线的右侧时，如图②，与，，之间的数量关系是 ； ③当点在直线的左侧时，如图③，与，，之间的数量关系是 ，并证明你的结论． (2)【拓展】若在的外部取一点（点、、、满足任意三点不共线），连接，．设，，，，则与，，之间的数量关系是 ．（写出两个正确结论即可得满分） 22．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”． (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数． 23．（25-26七年级下·河南周口·期中）求解下列各题： (1)【初步认识】如图1，在中，平分，平分．若，则____________；如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是_________． (2)【继续探索】如图3，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． (3)【拓展应用】如图4、是两内角平分线的交点，是两外角平分线的交点，延长，，交于点．请直接写出，与之间的数量关系． 24．（25-26七年级下·河南周口·期中）求解下列各题： (1)【建立模型】如图1，在内部有一点，连接，．求证：． (2)【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，____________． (3)【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 25．（25-26七年级下·广东东莞·期中）综合实践：【问题背景】图1展示了光线反射定律：是镜面的垂线，一束光线m射到平面镜上，被反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线所夹的锐角． 【理解原理】 (1)在图1中，请证明： (2)利用光的反射定律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（把证明过程补充完整） 理由：． （________） ，， （________）． ． 即________ ．（________） 【尝试探究】 (3)改变两平面镜，之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变．图3中，，入射光线经两次反射后，反射光与平行但方向相反，求． (4)两块平面镜，，，入射光线EF经过两次反射，得到反射光线，图4中，光线与相交于点O，请用含的式子表示的度数为________． 26．（25-26七年级下·吉林长春·期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： (1)如图，在中，与的平分线交于点，，则________； (2)如图，的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求的度数． (3)如图，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求________（用表示） (4)如图，外角、的平分线交于点，、的平分线交于点，则延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则与的数量关系为________． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $