专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制八年级上册

该初中数学讲义通过分类框架图系统梳理三角形双角平分线模型知识体系，将双内角、一内一外、双外角三类模型按“图形特征-条件结论-证明推导”分层呈现，用对比表格归纳公式差异，结合内角和等基础定理构建知识脉络，突出核心必考模型的重难点联系。 讲义亮点在于分层练习设计与探究式学习模式，A组基础题直接套用公式，B组结合平行线综合考查，C组压轴题如“角平分线累计平分”培养推理意识。口诀“双内90°加一半”强化模型意识，易错点总结指导精准解题，助力不同层次学生提升，教师可据此实施分层教学与高效复习。

专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 双角平分线模型是浙教版八年级上册几何角度计算的核心必考模型，贯穿高线、角平分线、平行线、三角形内角和、外角定理两大核心模块，题型相对固定、结论性强、易混易错点集中。本讲内容主要掌握掌握三类双角平分线模型的图形特征，能快速识图分类；常见考向以基础求值、角度推导、规律探究为主。选择填空题多直接套用公式求角度或反向求顶角，题型简单分值稳定；解答题侧重模型推导、几何倒角证明，考查学生逻辑推理与步骤书写能力。中档题型常结合平行线、高线综合出题，难度小幅提升。 高频易错点为混淆三类模型公式、误判内外角平分线，只记结论不懂推导，题目变式后无法灵活解题，是几何基础失分重点。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.双角平分线模型（双内角） 2 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 8 模型3.双角平分线模型（两外角） 11 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 角平分线雏形起源于古埃及土地测绘，古希腊时期欧几里得《几何原本》严格定义单角平分线，证明尺规作图方法，帕普斯初步研究外角平分线，但未推导两条平分线相交的夹角规律。近代数学家完善内外角平分线基础理论，推出角度推导逻辑，不过未归纳标准化模型。 双角平分线三类模型并非古代经典定理，而是近现代中学几何教学提炼的解题工具。各地中考频繁出现双内角、一内一外、双外角平分线求角题型，教师整理同类考题，归纳出三组固定角度关系式，形成统一倒角模型。 该模型依托内角和、外角定理、角平分线定义推导，将繁杂倒角步骤简化为直接套用公式。它是基础几何定理与应试需求结合的产物，无单一发明者，经多年教研整合定型，如今成为初中几何高频拓展模型，用于快速解决角度计算与几何推理题。 口诀化总结：“双内90°加一半，双外90°减一半，内外直接取一半”。 1）三角形内角和等于180°；三角形外角定理：三角形的一个外角等于不相邻两内角之和； 2）角平分线定义：将一个角分为两个相等的角； 3）等式性质、角度整体代换思想（几何核心方法）。 模型1.双角平分线模型（双内角） 【模型提炼与证明】 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1（拓展1） 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2（拓展2） 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠B+∠E-180°。。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-(∠PCD+∠PDC)=180°-(∠BCD+∠CDE)=180°-(540°-∠A-∠B-∠E)=(∠A+∠B+∠E)-90即：2∠P=∠A+∠B+∠E-180°。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在中，、的平分线，相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段检测）如图，是的平分线，是的平分线，与交于若，，则的度数为______． 【典例3】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，是的平分线，是的平分线，与交于G，若，，则为__________．    【典例4】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，与的平分线交于点与的平分线交于……依次类推，与角平分线交于点，则的度数为__________ 【典例5】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）问题情境： 如图1，在中，和的平分线交于点． (1)探索发现： 若，则的度数为________；若，则的度数为________． (2)猜想证明： 猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)拓展应用： 如图2，在中，和的平分线交于点，和的平分线交于点，直接写出与之间的数量关系． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 图1 图2 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）（拓展1） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在四边形中，和的平分线相交于点F，且，则（   ）    A． B． C． D． 【典例2】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，，E是线段上一点，连接，的平分线与的平分线交于点F．已知，则的度数为________． 【典例3】（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，，的平分线，交于点，为的外角的平分线，的延长线交于点，，则的大小为______ 【典例4】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，的平分线与的平分线交于点，得，的平分线与的平分线交于点，得，……，的平分线与的平分线交于点，得，则=_________． …∴． 【典例5】（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，求与； (2)若时，则____________，____________． 模型3.双角平分线模型（两外角） 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 图1 图2 2）旁心模型 （拓展1） 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，是射线上一定点，是射线上一动点，和的平分线，交于点，则的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【典例2】（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，平分交于点E，，M、N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F，的度数为（    ） A． B． C． D．不能确定 【典例3】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知的外角和外角的平分线相交于点D，如果，那么_____． 【典例4】（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 【典例5】（25-26八年级上·湖北·期中）如图，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． (1)填空：当，时， ， ； (2)当时，求，的度数； (3)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 模型常见易错点 1）混淆【90°+∠A】和【90°-∠A】：记住内大外小，内角平分角度较大，外角平分角度较小； 2）一内一外模型无 90°，是唯一纯半角公式（即∠A）； 3）解答题禁止直接写结论，必须写角平分线定义、角度代换步骤，否则扣分； 4）无图题型需分类讨论（部分压轴题考点）。 解题方法总结 通用解题步骤 1）先识别模型类型：判断是共边角场景，还是三角形的“双内/双外/一内一外”场景； 2）直接套用对应结论，跳过复杂的分步角度推导； 3）大题需补充推导过程：利用角平分线性质拆分角度，结合三角形内角和/外角定理完成证明。 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图所示，是的平分线，是的平分线，与交于点G．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，是的平分线，是的平分线，，相交于点．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，的和的平分线，相交于点G，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 5．（24-25七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，，平分交于E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，与的平分线交于点，且，，则与的数量关系可表示为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点．若，则________． 9．（25-26八年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图，中，，两锐角的平分线，交于点F．的度数为______． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，，平分交于点，，，M、N分别是、延长线上的点，和的平分线交于点，的度数为___________． 11．（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，，的平分线，相交于点F，，，则_______． 12．（25-26八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，，则___． 13．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，，点在的延长线上，与的平分线交于点，则的度数是________． 14．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 15．（25-26八年级上·河北保定·期末）（问题背景） ，点A、B分别在、上运动（不与点O重合）． （问题思考） (1)如图①，，分别是和的平分线，随着点A，点B的运动，______； (2)如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点D． ①若则_________； ②随着点A、B的运动的大小会变吗?如果改变求的度数；如果不变，请说明理由； （问题拓展） (3)在图②的基础上，射线的反向延长线上有一点P，如果，其余条件不变，围随着点A、B的运动（如图③），则：______．用含的代数式表示）_________．（用含的代数式表示） 16．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． (1)填空：当，时， °， °． (2)请你猜想，当的大小变化时，求的值是否变化？请说明理由． 17．（25-26八年级上·山东青岛·期末）【基础探究】 （1）如图1，，点E是上的点，点P是和之间的一点，连接、.若，，则的度数为________； （2）如图2，，的平分线与的平分线交于点G，当时，则的度数为________； （3）如图3，，点A、点C分别是、上的点，点B和点F是和之间的点，连接、、、.若，，、分别平分、，则的度数为________； 【问题迁移】 （4）如图4，在中，、分别平分、.则与的数量关系为：________； 【拓展深化】 在中，D、E是、上的点，设，. （5）如图5，、分别平分、.用含m、n的式子表示的度数为________； （6）如图6，、分别平分、，射线与的平分线相交于点H，点H在内部，用含m、n的式子表示的度数为________. 18．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 (1)如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有∠E=∠A请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 (2)如图2，在△ABC中，∠ABC=40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数； 【变式拓展】 (3)如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状． ①已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度数； ②直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系． 19．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)判断与的数量关系，并加以证明； (2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________ (3)如图2，若，，求的度数． 20．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）【课本再现】苏科新版七年级数学下册第7章平面图形的认识（二）第43页第21题如下：如图1，，点A、B分别在、上运动（不与点O重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点D． 【特殊探究】（1）当时， ； 【推理论证】（2）随着点A、B的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数，请说明理由； 【拓展探究1】（3）如图2，在图1的基础上分别作与的平分线，交于点E，则 ； 【拓展探究2】（4）如图3，若将图1中的“”拓展为一般情况，即，连接，与的平分线相交于点Q，试判断与的数量关系，并说明理由． 21．（25-26七年级下·吉林长春·期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： (1)如图，在中，与的平分线交于点，，则________； (2)如图，的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求的度数． (3)如图，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求________（用表示） (4)如图，外角、的平分线交于点，、的平分线交于点，则延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则与的数量关系为________． 22．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己解决问题的经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 (1)如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 (2)如图2，在中，．延长至点，延长至点，已知，的平分线分别与的平分线及其反向延长线交于点，，求的度数． 【变式拓展】 (3)如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状，已知，．求的度数和． 23．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）综合探究与应用 【问题情境】 (1)如图，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数________． 【问题探究】 (2)如图，在中，作外角，的平分线交于点．求和的数量关系． 【拓展应用】 (3)如图，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，则________． 24．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． 【结论证明】 （1）如图1，在中，E是内角的平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，，延长至点G，延长至点H．若，的平分线与的平分线及其反向延长线交于点E，F，求的度数． 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线交于点F．若，，求的度数． 25．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图1，在中，和的平分线交于点O，求与的关系，请说明理由． （2）如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与的关系，不必说明理由． （3）如图3，分别平分，，求与（）的关系，请说明理由． （4）如图4，分别平分，，请直接写出与，的关系，不必说明理由． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 双角平分线模型是浙教版八年级上册几何角度计算的核心必考模型，贯穿高线、角平分线、平行线、三角形内角和、外角定理两大核心模块，题型相对固定、结论性强、易混易错点集中。本讲内容主要掌握掌握三类双角平分线模型的图形特征，能快速识图分类；常见考向以基础求值、角度推导、规律探究为主。选择填空题多直接套用公式求角度或反向求顶角，题型简单分值稳定；解答题侧重模型推导、几何倒角证明，考查学生逻辑推理与步骤书写能力。中档题型常结合平行线、高线综合出题，难度小幅提升。 高频易错点为混淆三类模型公式、误判内外角平分线，只记结论不懂推导，题目变式后无法灵活解题，是几何基础失分重点。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.双角平分线模型（双内角） 2 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 8 模型3.双角平分线模型（两外角） 11 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 角平分线雏形起源于古埃及土地测绘，古希腊时期欧几里得《几何原本》严格定义单角平分线，证明尺规作图方法，帕普斯初步研究外角平分线，但未推导两条平分线相交的夹角规律。近代数学家完善内外角平分线基础理论，推出角度推导逻辑，不过未归纳标准化模型。 双角平分线三类模型并非古代经典定理，而是近现代中学几何教学提炼的解题工具。各地中考频繁出现双内角、一内一外、双外角平分线求角题型，教师整理同类考题，归纳出三组固定角度关系式，形成统一倒角模型。 该模型依托内角和、外角定理、角平分线定义推导，将繁杂倒角步骤简化为直接套用公式。它是基础几何定理与应试需求结合的产物，无单一发明者，经多年教研整合定型，如今成为初中几何高频拓展模型，用于快速解决角度计算与几何推理题。 口诀化总结：“双内90°加一半，双外90°减一半，内外直接取一半”。 1）三角形内角和等于180°；三角形外角定理：三角形的一个外角等于不相邻两内角之和； 2）角平分线定义：将一个角分为两个相等的角； 3）等式性质、角度整体代换思想（几何核心方法）。 模型1.双角平分线模型（双内角） 【模型提炼与证明】 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1（拓展1） 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2（拓展2） 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠B+∠E-180°。。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-(∠PCD+∠PDC)=180°-(∠BCD+∠CDE)=180°-(540°-∠A-∠B-∠E)=(∠A+∠B+∠E)-90即：2∠P=∠A+∠B+∠E-180°。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在中，、的平分线，相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质与三角形内角和性质即可求出的值． 【详解】解：由题意可知：， ∵在中，、的平分线是，， ∴， ∴． 故选：B． 【典例2】（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段检测）如图，是的平分线，是的平分线，与交于若，，则的度数为______． 【答案】/60度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，求出，继而求出，得到，求出． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， 故答案为：． 【典例3】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，是的平分线，是的平分线，与交于G，若，，则为__________．    【答案】/80度 【分析】本题主要考查了三角形内角和的应用，首先连接，根据三角形的内角和定理，求出，∠1+∠2+∠3+∠4=70°；然后判断出，再根据是的平分线，是的平分线，判断出；最后根据三角形的内角和定理，用即可求出∠A的度数． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴∠3=∠5，∠4=∠6， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【典例4】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，与的平分线交于点与的平分线交于……依次类推，与角平分线交于点，则的度数为__________ 【答案】 【分析】根据题目信息，利用角平分线的性质得出，，以此类推 ，，的度数，依次类推即可求得的度数了．本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题． 【详解】解：，， ， 平分，平分， ，， 平分，平分， ，， 同理可得，， ，， ， 故答案为． 【典例5】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）问题情境： 如图1，在中，和的平分线交于点． (1)探索发现： 若，则的度数为________；若，则的度数为________． (2)猜想证明： 猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)拓展应用： 如图2，在中，和的平分线交于点，和的平分线交于点，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) ，理由如下： 分别平分， ， ，， ， ； (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点， （1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行求解即可； （2）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行推导即可； （3）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行推导即可； 熟练掌握角平分线的定义，三角形的内角和定理是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ， ， ∵， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ， ， 故答案为：，； （2）略 （3）平分平分， ， ， 同理可得，， ∴． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 图1 图2 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）（拓展1） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在四边形中，和的平分线相交于点F，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和，先运用四边形内角和得出，因为角平分线的定义得，，则，最后运用三角形内角和进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：    在四边形中，， ∴， ∵和的平分线相交于点F， ∴，， ∴， ∴， 在中，则， 故选：B． 【典例2】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，，E是线段上一点，连接，的平分线与的平分线交于点F．已知，则的度数为________． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用平行线的性质求解角的关系是解题的关键． 过点F作，根据平行线的性质可得，可得，由角平分线的定义结合得，，再根据平行线的性质得，最后利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：过点F作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的平分线与的平分线交于点F．， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【典例3】（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，，的平分线，交于点，为的外角的平分线，的延长线交于点，，则的大小为______ 【答案】 【分析】先证明，，再结合三角形的内角和定理可得答案． 本题考查的是角平分线的定义，三角形内角和定理，关键是证明，解答． 【详解】解：，的平分线，交于点， ， 为的外角的平分线， ， ，， ； 故答案为：． 【典例4】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，的平分线与的平分线交于点，得，的平分线与的平分线交于点，得，……，的平分线与的平分线交于点，得，则=_________． 【答案】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1CD＝∠ACD，∠A1BC＝∠ABC，然后整理即可得到∠A1＝∠A；同理可发现规律，按照规律求出即可． 【详解】解：（1）由三角形的外角性质得，∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠DBC+∠D， ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC， ∵∠ABC的角平分线与∠ACE的外角平分线交于D， ∴2∠A1CD＝∠ACD，2∠A1BC＝∠ABC， ∴∠A＝2∠A1CD﹣2∠A1BC＝2（∠A1CD﹣∠A1BC）＝2∠A1； ∴∠A1＝， 同理可得： ∠A2＝∠A1＝； ∠A3＝∠A2＝； ∠A4＝∠A3＝； …∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 【典例5】（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，求与； (2)若时，则____________，____________． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、外角性质、平行线性质以及角平分线的性质，通过这些性质逐步推导角度关系． （1）先根据三角形内角和求出，再利用平行线性质得到，结合角平分线求出相关角，进而求出和； （2）先根据三角形内角和求出，再利用平行线性质得到，结合角平分线求出相关角，进而求出和． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ，． 平分， ， ； ， 平分，平分， ，， ， ，即， ； ；； （2）， ， ， ，． 平分，平分， ，， ， ， 由（1）可知不变， ； ，； 故答案为：，． 模型3.双角平分线模型（两外角） 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 图1 图2 2）旁心模型 （拓展1） 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，是射线上一定点，是射线上一动点，和的平分线，交于点，则的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，正确识别图形，并能理解角与角之间的数量关系． 先根据已知条件和三角形内角和定理求出度数，再利用角平分线的性质证明，，从而求出的度数，根据三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】， ， ，平分和， ，， ， ， ； 故选． 【典例2】（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，平分交于点E，，M、N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F，的度数为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平角定义，角平分线定义，三角形内角和定理， 根据平角定义求出在，再根据角平分线定义求出，然后根据三角形内角和定理得，即可得，最后根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】解：∵，， ∴． ∵和平分线交于点F， ∴． ∵， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【典例3】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知的外角和外角的平分线相交于点D，如果，那么_____． 【答案】/71度 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，求出，再由角平分线的定义可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵的外角和外角的平分线相交于点D， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例4】（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数． 【详解】（1）解：分别是和的角平分线，， ， ， ； （2）解：分别是和的角平分线， ， ， ； （3）解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ； （4）解：是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， 由（3）知， ， ， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，， 都是锐角， ∴分四种情况讨论： ①， ， ， ； ②， ， ； ③， ， ， ， ④， ， 解之得：， 综上可知：的度数为或或或． 【典例5】（25-26八年级上·湖北·期中）如图，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． (1)填空：当，时， ， ； (2)当时，求，的度数； (3)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 【答案】(1)， (2)； (3) 当的大小变化时，的值不变化，理由如下： 由（2）可知： ， ， ， 当的大小变化时，的值不变化． 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理． （1）先根据已知条件求出和，再根据角平分线的定义，求出，，，，最后利用三角形的内角和定理求出答案； （2）先根据已知条件求出，，再根据角平分线的性质求出和，最后利用三角形的内角和定理求出答案； （3）由（2）把和都用表示出来，然后求出即可判断． 【详解】（1）解：（1），， ，， ，分别是，的平分线，，分别是，的平分线， ，， ，； 故答案为：，； （2）， ， ，， ， ， ，分别是，的平分线，，分别是，的平分线， ，， ，， ，； （3）略 模型常见易错点 1）混淆【90°+∠A】和【90°-∠A】：记住内大外小，内角平分角度较大，外角平分角度较小； 2）一内一外模型无 90°，是唯一纯半角公式（即∠A）； 3）解答题禁止直接写结论，必须写角平分线定义、角度代换步骤，否则扣分； 4）无图题型需分类讨论（部分压轴题考点）。 解题方法总结 通用解题步骤 1）先识别模型类型：判断是共边角场景，还是三角形的“双内/双外/一内一外”场景； 2）直接套用对应结论，跳过复杂的分步角度推导； 3）大题需补充推导过程：利用角平分线性质拆分角度，结合三角形内角和/外角定理完成证明。 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图所示，是的平分线，是的平分线，与交于点G．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．根据三角形内角和定理求出，，所以，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， 在中，． 故选：C． 2．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，掌握三角形内角和定理成为解题的关键． 先求出，进而求出，再根据角平分线定义得及，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交分线交于点， ∴， ∴． ∵和的平分线交于点M， ∴， ∴， 在中，， 即：． 故选：C． 3．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，是的平分线，是的平分线，，相交于点．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义连接，根据三角形内角和定理求出，，所以，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：连接，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， 在中，． 故选：A． 4．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，的和的平分线，相交于点G，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的有关计算． 根据和的平分线，相交于点G，可知，，根据得到，即可求出的度数． 【详解】的平分线相交于点， ， ， ， ． 故选C． 5．（24-25七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，由可得，即得，再根据角平分线的定义得，进而根据三角形的内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴， ∴， 故选：． 6．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，，平分交于E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线是解题的关键． 如图，由，，可得，，则，由，可得，即，由，可证，进而可判断①的正误；，即，则，由，可知，进而可判断②的正误；由平分，可得，由，，可得，即平分，进而可判断③的正误；由平分，平分，可得，，则，，，进而可判断④的正误． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴，即， ∴， 又∵， ∴，故②错误； ∵平分， ∴， 又∵，， ∴，即平分，故③正确； ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④共3个． 故选：C． 7．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，与的平分线交于点，且，，则与的数量关系可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，根据角平分线的性质可得，，，由，，可得，，由三角形内角和定理可得，由三角形外角的性质可得，从而可求得与的数量关系，熟记三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：与的平分线交于点， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 整理得， 故选：A． 8．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点．若，则________． 【答案】125 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、平角的性质、角平分线等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 由三角形内角和定理得，，，根据角平分线定义得，，则，再根据平角的定义可得，然后根据角平分线的定义可得，则，最后根据三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵的外角平分线与的外角平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：125． 9．（25-26八年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图，中，，两锐角的平分线，交于点F．的度数为______． 【答案】/135度 【分析】本题考查了三角形内角和性质，角平分线的定义，先根据，求出，因为两锐角的平分线，交于点F．则，再根据三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵中，， ∴ ∵两锐角的平分线，交于点F． ∴ ∴ 在中，， 故答案为： 10．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，，平分交于点，，，M、N分别是、延长线上的点，和的平分线交于点，的度数为___________． 【答案】 【分析】利用角平分线的性质，表示出相等的角，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 【点睛】注意角平分线的性质，角的和差，三角形内角和定理的灵活应用． 11．（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，，的平分线，相交于点F，，，则_______． 【答案】/121度 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，的平分线，相交于点， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，，则___． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，对顶角相等， 由对顶角相等得出，再由三角形内角和定理可得出，变形即可得出答案． 【详解】解∶设与交于点D， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 13．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在中，，点在的延长线上，与的平分线交于点，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和，能灵活推导出与的关系是解决此题的关键．先求出，再推出，进而即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴， ∵， ， ∴ ， 故答案为： ． 14．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 【答案】(1)115，25 (2) 解：不会发生变化，理由如下： ， ． ， ，． 平分，平分， ，． ． ， ， ， ． 当的度数发生变化时，、的度数不发生变化； (3)或或或 【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，则，再由不变，即可分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ， ，． 平分， ． ； ， ． 平分，平分， ，． ， ，即， ． 故答案为：115，25； （2）略 （3）解：设， ． ， ，， 平分，平分， ，， ． ． 平分，平分， ，， ， ， 中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ①当时，， 解得： ②当时，， 解得： ③当时，， 解得： ④当时，， 解得： 综上可知，或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 15．（25-26八年级上·河北保定·期末）（问题背景） ，点A、B分别在、上运动（不与点O重合）． （问题思考） (1)如图①，，分别是和的平分线，随着点A，点B的运动，______； (2)如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点D． ①若则_________； ②随着点A、B的运动的大小会变吗?如果改变求的度数；如果不变，请说明理由； （问题拓展） (3)在图②的基础上，射线的反向延长线上有一点P，如果，其余条件不变，围随着点A、B的运动（如图③），则：______．用含的代数式表示）_________．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)①，②的度数不随A、B的移动而发生变化，见详解 (3)， 【分析】（1）根据角平分线的定义及三角形内角和定理，将求出，即可求解． （2）①根据角平分线的定义及三角形内角和定理，求出，即可求解；②设，根据角平分线的定义及三角形内角和定理，求出，即可求解． （3）设，根据角平分线的定义及三角形内角和定理，求出，即可求解． 【详解】（1）解： ， 、分别是和角的平分线， ，， ， ； 故答案为：． （2）解：①， ， 是的平分线， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． ②的度数不随A、B的移动而发生变化，设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ． 故的度数不随A、B的移动而发生变化． （3）解：设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了根据角平分线的定义及三角形内角和定理应用，掌握角平分线的定义及三角形内角和定理，并会灵活运用是解题的关键． 16．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． (1)填空：当，时， °， °． (2)请你猜想，当的大小变化时，求的值是否变化？请说明理由． 【答案】(1)115，65； (2) 解：当的大小变化时，的值不发生变化，理由如下： ，分别是，的平分线， ，， ， ， ，， ，， ，分别是，的平分线， ，， ， ， ， 当的大小变化时，的值不发生变化． 【分析】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键． （1）由角平分线的性质和三角形内角和定理可得，利用邻补角求出，，再结合角平分线的性质和三角形内角和定理可得； （2）由角平分线的性质和三角形内角和定理可得，利用邻补角求出，，再结合角平分线的性质和三角形内角和定理可得，由此即可得到答案． 【详解】（1）解： ，分别是，的平分线，，， ，， ， ； ，， ，， ，分别是，的平分线， ，， ， ， 故答案为：115，65； （2）略 17．（25-26八年级上·山东青岛·期末）【基础探究】 （1）如图1，，点E是上的点，点P是和之间的一点，连接、.若，，则的度数为________； （2）如图2，，的平分线与的平分线交于点G，当时，则的度数为________； （3）如图3，，点A、点C分别是、上的点，点B和点F是和之间的点，连接、、、.若，，、分别平分、，则的度数为________； 【问题迁移】 （4）如图4，在中，、分别平分、.则与的数量关系为：________； 【拓展深化】 在中，D、E是、上的点，设，. （5）如图5，、分别平分、.用含m、n的式子表示的度数为________； （6）如图6，、分别平分、，射线与的平分线相交于点H，点H在内部，用含m、n的式子表示的度数为________. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）过点P作，再根据平行线的性质即可得出答案； （2）过G点作，再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出答案； （3）过B点作，过点F作，再根据平行线的性质和角的等量关系即可得出答案； （4）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，即可求解； （5）根据第（4）问建立模型，延长、交于点F，再根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，即可求解； （6）根据三角形的内角和定理计算，，即可求解． 【详解】（1）过点P作，如图所示： ，， ， ，， ，， ； （2）过G点作，如图所示： ，， ，， ， ，则， 的平分线与的平分线交于点G， ，， ， ， ，则， ； （3）过B点作，过点F作，如图所示： 、分别平分、， ，， ，，， ， ，，，， ，， ， ，， ， ； （4）、分别平分、， ，， ， ， ， ， ； （5）根据第（4）问建立模型，延长、交于点F，可将图5补形成下图： ，，， ， 由题（4）问可知， ； （6）设，交于点F，如图所示： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定义与三角形的外角的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 18．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 (1)如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有∠E=∠A请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 (2)如图2，在△ABC中，∠ABC=40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数； 【变式拓展】 (3)如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状． ①已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度数； ②直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系． 【答案】(1) 证明： 又因为在中， 同理可得： 又因为BE和CE分别是和的角平分线 即 (2)70° (3)①205°  ② 【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案 （2）先推导出,再推导出，进而可以求解 （3）①延长BA，CD交于点M，延长CE、BF交于点N，可得，进而即可求解；②根据，结合角平分线的意义及三角形内角和定理，即可得到结论 【详解】（1）略 （2）解： ∵∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F， （3）解：①延长BA，CD交于点M，延长CE、BF交于点N，如下图所示， ∵BF、CE平分 ② 又 即： 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． 19．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)判断与的数量关系，并加以证明； (2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________ (3)如图2，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的性质，解题的关键是利用三角形外角与内角的关系，结合角平分线的性质进行角度推导． （1）利用三角形外角的性质，结合角平分线的定义，推导与的数量关系； （2）根据（1）的结论，以及证明，找出规律，推导与的关系； （3）利用（2）中得出的角的关系，结合三角形内角和定理，求出的度数． 【详解】（1）（1）； 证明：在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， 即， ∴； （2）在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ， ， 即， 又 ， 同理，，…… （3）解：由（2）知道，， ， 在， ， ， 答：的度数是． 20．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）【课本再现】苏科新版七年级数学下册第7章平面图形的认识（二）第43页第21题如下：如图1，，点A、B分别在、上运动（不与点O重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点D． 【特殊探究】（1）当时， ； 【推理论证】（2）随着点A、B的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数，请说明理由； 【拓展探究1】（3）如图2，在图1的基础上分别作与的平分线，交于点E，则 ； 【拓展探究2】（4）如图3，若将图1中的“”拓展为一般情况，即，连接，与的平分线相交于点Q，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）45； （2）的大小不会变，理由如下： 设， ，是的平分线，的反向延长线交的平分线于点D， ，，，，， ； （3）； （4），理由如下： 设， ，是的平分线，的反向延长线交的平分线于点D，与的平分线相交于点Q， ，，，， ， ， ，， ，， ， ， ． 【分析】本题考查了平面图形中角的计算、与角平分线有关的三角形内角和问题，根据图形推理证明是解题的关键． （1）根据已知角度和角平分线，先求出和的度数，再根据计算即可； （2）设，根据已知角度和角平分线，用含的代数式表示和，再根据计算即可； （3）设，根据已知角度和角平分线，用含的代数式表示和，再根据计算即可； （4）设，，则，，表示出 ，，根据， 表 示出，根据，表示出 ，根据得 ，即可得 ． 【详解】解：（1），，是的平分线，的反向延长线交的平分线于点D， ，，，， ， ， 故答案为：45； （2）略 （3）设， ，是的平分线，的反向延长线交的平分线于点D， ，，，， 在图1的基础上分别作与的平分线，交于点， ，，，， ， 故答案为：； （4）略 21．（25-26七年级下·吉林长春·期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： (1)如图，在中，与的平分线交于点，，则________； (2)如图，的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求的度数． (3)如图，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求________（用表示） (4)如图，外角、的平分线交于点，、的平分线交于点，则延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则与的数量关系为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，可得，再根据角平分线的定义，可得，即可求解； （3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可得到； （4）同理（1）和（2）可得，，，则． 【详解】（1）解：， ， 与的平分线交于点， ，， ， ； （2）解：， ，即， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ； （3）解：，，， ， 、的平分线交于点， ，， ； （4）解：，理由如下： 、的平分线交于点， 同理（1）可得， 的平分线与的平分线的延长线相交于点， 同理（2）可得， ． 22．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己解决问题的经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 (1)如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 (2)如图2，在中，．延长至点，延长至点，已知，的平分线分别与的平分线及其反向延长线交于点，，求的度数． 【变式拓展】 (3)如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状，已知，．求的度数和． 【答案】(1)证明：平分，平分 ， ， 即 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案； （2）先推导出，再推导出，进而可以求解； （3）延长，交于点M，延长、交于点N，由（1）可得，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵，、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F， 由（1）可得， ∴； ∴； （3）延长，交于点M，延长、交于点N， 如图所示， ∵、平分 由（1）可得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）综合探究与应用 【问题情境】 (1)如图，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数________． 【问题探究】 (2)如图，在中，作外角，的平分线交于点．求和的数量关系． 【拓展应用】 (3)如图，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，则________． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线得出，进而求解即可； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的性质同（1）求解即可； （3）首先求出，得到，然后分4种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，． ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵外角，的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴； （3）解：是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴， ∴； ③当时， ∴， ∴； ④当时， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或或或． 24．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． 【结论证明】 （1）如图1，在中，E是内角的平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，，延长至点G，延长至点H．若，的平分线与的平分线及其反向延长线交于点E，F，求的度数． 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线交于点F．若，，求的度数． 【答案】解：（1）∵E是内角的平分线与外角的平分线的交点， ． ， ， ， 即． （2）； （3） 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． （1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案； （2）先推导出，再推导出，进而可以求解； （3）延长，交于点G，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2），，的平分线与的平分线及其反向延长线交于点E，F， 由（1）可知，， ， ． （3）如图，延长，交于点G． ，， ，， ． 四边形的内角与外角的平分线交于点F， ． 25．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图1，在中，和的平分线交于点O，求与的关系，请说明理由． （2）如图2，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与的关系，不必说明理由． （3）如图3，分别平分，，求与（）的关系，请说明理由． （4）如图4，分别平分，，请直接写出与，的关系，不必说明理由． 【答案】（2），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角的和差等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得、，易得，然后再根据三角形内角和定理即可解答； （2）由角平分线的定义可得，易得，然后根据等量代换以及角的和差即可解答； （3）由角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，进而得到；同理可得，再根据等量代换即可解答； （4）由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理以及等量代换可得，再结合，运用等量代换即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在中，， ∴， ∵是∠ABC的平分线， ∴， 同理可得： ∴， ∵在中，， ∴； （2），理由如下： ∵是的角平分线， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3），理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （4），理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 30 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $