九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷（新教材沪教版五四制，举一反三，测试范围：第27章 二次函数～第28章 相似三角形）

**基本信息** 聚焦二次函数与相似三角形核心内容，精选各地期末及中考真题，融入足球射门、丢沙包等真实情境，通过分层设问考查抽象能力与模型意识，适配九年级拔尖学生月考使用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|二次函数图像性质、相似三角形判定|结合黄金分割（题3）考查几何直观| |填空题|12/36|二次函数顶点坐标、位似变换、小孔成像（题12）|以《墨经》素材体现文化传承| |解答题|10/52|二次函数综合应用、相似测高（题26）、运动轨迹（题25）|丢沙包问题（题25）突出模型意识，相似测高（题26）强化推理能力|

九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材沪教版五四制】 时间：90分钟 满分：100分 测试范围：第27章 二次函数~第28章 相似三角形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共28题，单选6题，填空12题，解答10题，满分100分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·天津红桥·一模）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（O为原点，高）正前方8m的A处射门，球射向球门的路线可以看作抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为．有下列结论： ①该球经过区域； ②该球飞行的水平距离为时的高度大于飞行的水平距离为时的高度； ③C为球门的高上一点，．若该球员先从A处带球向他的正后方（图中x轴的正方向）移动后再射门，且球射向球门的路线形状、球的最大高度均保持不变，则球经过区域． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，且，对角线，相交于点，是上的一个动点，作交于点，作交于点，连结，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26八年级下·北京·期末）在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 8．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，若，，则的长为_____． 9．（2026·江苏南京·二模）已知二次函数的图象与轴的两个交点的距离为，则该函数图象的顶点的纵坐标为______． 10．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 11．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 12．（2026·辽宁朝阳·二模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐述了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，小孔的高度为，则实像的高度为_____． 13．（2026·宁夏银川·二模）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则m的值为______． 14．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在平行四边形中，以点A为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的相似比为，连接，，若平行四边形的面积为，则与的面积之和为_______． 15．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知二次函数与一次函数 ，二次函数图象过点，则不等式的解集为_____． 16．（2026·山西太原·三模）如图，矩形，点、点分别是、的中点，连接、，且平分，点为上靠近点的三等分点，连接，已知，则的长为______． 17．（2026·辽宁抚顺·一模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．现有下列说法：①；②；③的解集是；④（为任意实数）．其中正确的是___________（填序号）． 18．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点为线段上靠近点的黄金分割点，点为线段上靠近点的黄金分割点，点为线段上靠近点的黄金分割点，点为线段上靠近点的黄金分割点，连接，，连接分别与，交于点，，则________． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）（2026·山东枣庄·三模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 20．（4分）（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，为的中点，为上一点，的延长线交于．已知，，． (1)求的长； (2)若，求的值． 21．（4分）（2026·云南楚雄·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线经过点，求抛物线的对称轴； (2)已知点都在该抛物线上，且满足，求的取值范围． 22．（4分）（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 23．（4分）（2026·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线表达式； (2)点是第三象限内抛物线上一点，过作 轴交直线于．求的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 24．（4分）（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A，B的坐标分别为，，动点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点A运动，同时点N以相同速度从点B出发，沿线段向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，设运动时间为t秒． (1)求直线的解析式． (2)用含t的代数式表示P的坐标 （直接写出答案）． (3)是否存在t的值，使以P，A，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 25．（6分）（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 26．（6分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 27．（8分）（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与关于轴对称，与轴交于、两点（点在点的左侧），抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线和的函数表达式； (2)求，两点的坐标； (3)点、分别在抛物线、上，且点、在轴的同侧，使得以，，，四点为顶点的四边形是以为边且面积为4的平行四边形，请求出点的坐标． 28．（8分）（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________； (4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材沪教版五四制】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 2．（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题核心是运用相似三角形的判定定理，通过分析各选项提供的条件与已知平行关系结合后能否满足判定规则，关键在于准确识别角的对应关系和边的比例关系．利用相似三角形的判定定理，对每个选项逐一分析是否能推出，从而确定无法判定的条件． 【详解】已知，可得． 若添加条件，可得． 因此． 又因为，为截线，可得． ． 因此选项A不符合题意． 若添加条件， 由，为截线，可得． 此时与中，且夹角， 故． 因此选项B不符合题意． 若添加条件， ∵， ． ， ． 因此选项C不符合题意． 若添加条件，． 该比例中，与的夹角为，与的夹角为． 虽然可得，但与无直接等量关系，且比例对应的角并非“夹角”；同时也无法通过其他判定定理证明相似．因此添加该条件后，仍无法判定，选项D符合题意 故选D 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·天津红桥·一模）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（O为原点，高）正前方8m的A处射门，球射向球门的路线可以看作抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为．有下列结论： ①该球经过区域； ②该球飞行的水平距离为时的高度大于飞行的水平距离为时的高度； ③C为球门的高上一点，．若该球员先从A处带球向他的正后方（图中x轴的正方向）移动后再射门，且球射向球门的路线形状、球的最大高度均保持不变，则球经过区域． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】因为已知抛物线的顶点坐标和抛物线上一点坐标，所以可先设抛物线的顶点式，代入点的坐标求出抛物线的解析式，这是解题的突破口．对于结论①，因为要判断球是否经过区域，所以将代入抛物线解析式，求出对应的y值，再与的长度比较．对于结论②，因为要比较水平距离和时的高度，求出对应的y值并比较大小．对于结论③，因为球员向正后方移动2m，抛物线形状和最大高度不变，所以先确定新抛物线的顶点坐标，设出新的顶点式，代入新的射门点坐标求出解析式，再将代入求出y值，与、的长度比较． 【详解】根据题意，抛物线顶点坐标为，设抛物线顶点式：，代入得： ，解得， ∴原抛物线解析式为：； 判断①： 是处的线段，代入得： ，∴球与轴交点在点上方，不经过区域，①错误． 判断②： 飞行水平距离对应横坐标，抛物线开口向下，对称轴为，水平距离对应时，水平距离对应时，，因此高度在时小于时，结论②错误． 判断③： 球员向正方向移动后，新点坐标为，抛物线形状不变（不变）、最大高度不变，新顶点坐标为，新抛物线解析式为：． 代入得：． 是处的区域，，因此球经过区域，③正确． 综上，正确结论为③，共1个． 5．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用开口向上的二次函数性质：点到对称轴的距离越远，函数值越大，比较两点的函数值得到距离关系，解不等式得到m的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵，， ∴，即， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴，整理得， 两边平方得， 展开得， 化简得， 解得， 选项中只有满足，因此的值可能是． 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，且，对角线，相交于点，是上的一个动点，作交于点，作交于点，连结，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用矩形对角线相等且互相平分、平行线证得相似三角形，结合垂直条件推导两组直角三角形相似，通过设参数化简线段长度，借助勾股定理推导出与的正比例关系式；再依据垂线段最短，确定点到对角线的垂线段为最小值，结合三角形面积公式求出的最小长度，最终代入关系式算出的最小值． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 对角线，且为中点， ， ， ， 过点分别作于，于， 则四边形为矩形， ，且, ， ， ， ， ， 设， 则，，， ，，， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 其中， 代入得：， 约分化简得：， ，， 在中，由勾股定理得， 将、代入，利用完全平方公式展开并整理： ， ， ，即， 为定值， 当取最小值时，取得最小值， 点在线段上运动， 根据垂线段最短，当时，取得最小值（即点到直线的距离）， ， 代入得：， 解得， 将代入的表达式： ． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26八年级下·北京·期末）在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，确定对称轴位置得到的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：二次函数中，二次项系数为，因此抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴的值可以是（答案不唯一，满足即可）． 8．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，若，，则的长为_____． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 9．（2026·江苏南京·二模）已知二次函数的图象与轴的两个交点的距离为，则该函数图象的顶点的纵坐标为______． 【答案】 【分析】设二次函数对应一元二次方程的两根为，由抛物线与轴两交点距离为可得，利用恒等式结合韦达定理推导出，再代入顶点纵坐标公式，整体代换求值得到顶点纵坐标． 【详解】解：令，得， 设方程的两个根为， 由根与系数的关系可得 ，， 由题意得二次函数图象与轴两个交点的距离为， 因此， 两边平方得， 由完全平方公式变形得， 代入得， 整理得，即， 二次函数顶点纵坐标公式为， 将代入得， 将代入得． 故答案为：． 10．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】 连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H， ∵中，，，点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 11．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 12．（2026·辽宁朝阳·二模）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐述了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，小孔的高度为，则实像的高度为_____． 【答案】3 【分析】由题意可得出，，再根据相似三角形的性质得出比例式求出的长即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， ， ． 13．（2026·宁夏银川·二模）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据平移方式“左加右减”可得出抛物线的解析式，再根据点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，即将点代入两个解析式求值即可． 【详解】解：依题意得抛物线为：， ∵为“平衡点”， ∴既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上， ， 解得或， ， ． 14．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在平行四边形中，以点A为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的相似比为，连接，，若平行四边形的面积为，则与的面积之和为_______． 【答案】6 【详解】解：连接， ∵平行四边形 与平行四边形是以点A 为位似中心的位似图形， 且相似比为， ∴A，G，C三点在同一条直线上，，，， ∵平行四边形 的面积为， ∴ 和 的面积都是， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，同理可得 ， ∴与的面积之和为， 故答案为． 15．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知二次函数与一次函数 ，二次函数图象过点，则不等式的解集为_____． 【答案】或 【分析】把代入二次函数解析式可求出，联立两函数解析式可求出它们的交点的横坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 联立得，解得或， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或． 16．（2026·山西太原·三模）如图，矩形，点、点分别是、的中点，连接、，且平分，点为上靠近点的三等分点，连接，已知，则的长为______． 【答案】 【分析】延长、交于点，过点作于点，证明得到，，根据题意得，进而得到，结合平分，推出，则，由勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，，进而求出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长、交于点，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， 点是的中点， ， ， ， ，， 点是的中点， ， ， 平分， ， ， ， ， 点为上靠近点的三等分点， ， ，， ， ，即， ，， ， ． 17．（2026·辽宁抚顺·一模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．现有下列说法：①；②；③的解集是；④（为任意实数）．其中正确的是___________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】先根据抛物线开口向下、与y轴的交点位于y轴正半轴，，再根据对称轴可得，由此可判断说法①；将对称轴进行化简得到，代入二次函数中，即，将点代入二次函数的解析式可判断说法②；根据二次函数的对称性可知抛物线也经过点，结合图象得到当，，可判断说法③；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断说法④，即可得出答案． 【详解】解：∵由图可知，开口向下，即，对称轴在轴右侧，即，与轴交于正半轴，即， ∴，故①符合题意； ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴二次函数可化简为， ∵二次函数经过点， ∴将代入，得，即，故②符合题意； ∵二次函数对称轴为直线，且经过点， ∴与轴另一个交点为，即， ∴由图象可知的解集为，故③符合题意； ∵由图可知，开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数有最大值， ∵假设（为任意实数），即， ∴，即， ∵当，，与假设矛盾，所以假设不成立，故④不符合题意； 综上，符合题意的有：①②③． 18．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点为线段上靠近点的黄金分割点，点为线段上靠近点的黄金分割点，点为线段上靠近点的黄金分割点，点为线段上靠近点的黄金分割点，连接，，连接分别与，交于点，，则________． 【答案】 【分析】由题意得，，证，得，由分别为上靠近B，C的黄金分割点，得，连接，，证四边形是平行四边形， 取为中点，则，连接， 证，由平行线分线段成比例得，即，将代入计算即可． 【详解】解：连接，， 分别为，上靠近的黄金分割点， ∴， ． ∴ 又 ， ∴，， ∴． 分别为上靠近B，C的黄金分割点， ∴， ，， ， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵交于M， ∴， ，， ∴， ∴，即， 取为中点，则． 连接则，即， 由平行线分线段成比例得： ∴． ， ． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）（2026·山东枣庄·三模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)，理由如下： 当时，抛物线为， ∵，是抛物线上的点， ∴，， ∴； (2)或或 【分析】（1）代入计算即可求解； （2）分和两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：抛物线对称轴为， ∵过抛物线上的点作直线轴，， ∴直线与抛物线的另一个交点为点P关于的对称点， 若，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ①若，则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意， ②若，则， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意； ③若，则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小 当时，y随x的增大而增大， 设点关于的对称点为， 则， ∴， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意； 若，则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 设点关于的对称点为， ∵， ∴， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意， 综上，a的取值范围是或或． 20．（4分）（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，为的中点，为上一点，的延长线交于．已知，，． (1)求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)10； (2)． 【分析】（1）利用勾股定理可求，则即可求； （2）连接，设，则利用等高三角形的面积比等于底之比可表示，又可知，利用等比性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， 为中点 ； （2）解：连接， 设， ， ， ， 且与同高， ， 为中点，与同高， ， ， 与同高，与同高， ， 由等比性质： ， 21．（4分）（2026·云南楚雄·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线经过点，求抛物线的对称轴； (2)已知点都在该抛物线上，且满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）抛物线经过点，可将该点坐标代入抛物线方程求出的值，再利用对称轴公式求对称轴； （2）由点和纵坐标相等，可知、关于抛物线对称轴对称，因此抛物线对称轴为；抛物线开口向下 ()，在对称轴左侧随增大而增大，右侧随增大而减小；点离对称轴越近，函数值越大；由 可知：点离对称轴的距离小于点、离对称轴的距离，据此列不等式求解；最后结合求出的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入抛物线解析式： ， 解得， 所以抛物线解析式为： ， 其中，， 对称轴公式为： ， 所以抛物线的对称轴为直线． （2）解：由点、在抛物线上且纵坐标相同，得抛物线对称轴为： ，故， 抛物线中，开口向下，函数值大小与点到对称轴的距离关系为：点到对称轴的距离越小，函数值越大； 点、到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为， 因为，所以点到对称轴的距离小于2，即： ， 解此不等式： ， 解得， 又， 则， 综上，． 22．（4分）（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)， ， ， ， ，是的中线， ， ， ， 又， ． (2) 【分析】（1）先说明、，再利用直角三角形中线的性质以及等边对等角可得，即；再根据两种对应角相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）根据勾股定理可得，利用相似三角形的性质可求得． 再证明，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理，得，即， ， 由（1）知：， ， ， ． 是的中线， ， ．    ， ， ， ， ． 23．（4分）（2026·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线表达式； (2)点是第三象限内抛物线上一点，过作 轴交直线于．求的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的最大值是4 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，则，作于点，得到，将转化为二次函数求最值即可； （3）分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：与轴交于点， ， ． ， ， ， 将代入中，得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知：，， 设直线：，将，代入， 得，解得． ． 设，则． ∴， 过点作于点，则，， ，， ，又， ， ， ． ∵，， 当时，有最大值，最大值是4． （3）解：存在， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵， ∴点关于对称轴的对称点为． ①如图1， 由，可知点关于的对称点为点， ． ②如图2， 设，作轴，则，． ，， ， 解得（舍），． ， 综上所述，点坐标为或． 24．（4分）（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A，B的坐标分别为，，动点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点A运动，同时点N以相同速度从点B出发，沿线段向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，设运动时间为t秒． (1)求直线的解析式． (2)用含t的代数式表示P的坐标 （直接写出答案）． (3)是否存在t的值，使以P，A，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或． 【分析】（1）先求出点C坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴点， 设直线的解析式为：， 由题意可得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）延长，交于点G，可得出， ∵动点运动t秒后， ∴， ∴， ∵点A，C的坐标分别为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则，， ∴P点的坐标为； （3）当时，且，则， ∴， ∴ ∴， 当时，且，则， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 25．（6分）（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 26．（6分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 27．（8分）（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与关于轴对称，与轴交于、两点（点在点的左侧），抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线和的函数表达式； (2)求，两点的坐标； (3)点、分别在抛物线、上，且点、在轴的同侧，使得以，，，四点为顶点的四边形是以为边且面积为4的平行四边形，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点Q的坐标为或或或 【分析】（1）根据对称性得到两条抛物线的对称轴关于轴对称，且两条抛物线与轴的交点相同，进行求解即可； （2）令，进行求解即可； （3）求得 ，设点Q的纵坐标为，根据平行四边形的面积公式求得 ，当点P、Q都在x轴的上方时，点P只能在点Q的左侧，由题可得将点P向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点Q，求得，．当点P、Q都在x轴的下方时，点P在点Q的左侧，由题可得将点P向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点Q，求得，，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与轴的交点为， ∵抛物线与关于轴对称， ∴抛物线与轴的交点也为，抛物线的对称轴与的对称轴关于轴对称， ∴，， ∴， ∴，； （2）解：当时，解得， ∴； （3）解：当时，解得 或 ， ， 由（2）知：； ， 点P，Q在x轴的同侧， 为平行四边形的边， ． 设点Q的纵坐标为， 以点B、D、P、Q为顶点的四边形是面积为4的平行四边形， ， ， 当点P、Q都在x轴的上方时，点P只能在点Q的左侧，由题可得将点P向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点Q， ，则， 解得，， ，． 当点P、Q都在x轴的下方时，点P在点Q的左侧，由题可得将点P向右平移2个单位的点一定在抛物线上，平移后的点就是点Q， ，则， 解得 ， ， ，， 点Q在点P的左侧，不存在面积为4的平行四边形， 综上，点Q的坐标为或或或． 28．（8分）（25-26九年级下·江苏南京·阶段检测）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________； (4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、相似三角形的判定及性质等： （1）采用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，直线与轴的交点为，因为直线经过点，点，采用待定系数法可求出直线的解析式，进而求得点的坐标，分两种情况讨论：当时，；当时，； （3）设直线与轴的交点为点，过点作的垂线，交于点，设，容易证明，可求得的值，进而可确定点的坐标，求出直线的解析式，根据直线与抛物线相交可得到方程，求解即可得到答案； （4）连接，交于点，容易证得，得到，，过点作于点，通过，可得，，，取的中点，连接，，可得，可知，当且仅当，，共线时取等号，当点与点重合时，点与点重合，此时最大． 【详解】（1）因为抛物线经过点，，所以 解方程组，得 所以，抛物线的解析式为 （2）根据题意，可知点的坐标为，可设点的坐标为． 设直线的解析式为，直线与轴的交点为． 因为直线经过点，点，可得 解方程组，得 所以直线的解析式为． 所以点的坐标为． （Ⅰ）当时，如图所示． 根据题意可知．点到轴的距离为, 所以，即 解得 ，（舍去）． 所以点的坐标为． （Ⅱ）当时，如图所示，点位于点上方． 根据题意可知，点到轴的距离为， 所以，即 解得（舍去），． 所以，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． （3）如图所示，设直线与轴的交点为点，过点作的垂线，交于点． 根据题意可知，． 设． 因为，， 所以． 所以． 所以． 所以． 因为，， 所以． 所以，即． 所以． 所以． 所以． 所以． 所以点的坐标为． 设直线的解析式为． 因为直线经过点和点，可得 解得 所以直线的解析式为． 因为直线与抛物线相交，可得 解得 （舍去），． 所以点的坐标为． （4） 根据题意可知，四边形为矩形，，． 如图所示，连接，交于点， 所以． 因为， 所以． 所以，． 过点作于点． 因为， 所以． 所以． 所以，，． 所以． 取的中点，连接，． 因为， 所以． 所以，当且仅当，，共线时取等号． 根据题意可知，点的坐标为， 所以． 所以． 当点与点重合时，点与点重合，此时最大，即． 综上所述， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $