第4章 指数与对数（举一反三讲义·培优篇）高一数学苏教版必修第一册

该高中数学讲义以指数与对数全章七大压轴题型为核心构建知识体系，通过题型归类梳理知识脉络，涵盖指数幂化简求值、对数实际应用等重难点，清晰呈现指数与对数的内在联系及解题逻辑。 讲义亮点在于压轴题型的分层设计，如对数实际应用中声强级计算、燕子飞行速度问题，培养数学眼光与运算能力。新定义题型结合高德纳箭头等创新情境，提升推理意识，基础题巩固方法，难题拓展思维，助力教师精准教学与学生自主复习。

第4章 指数与对数全章七大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 指数幂的化简、求值 1．（25-26高一·全国·寒假作业）的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·上海闵行·一模）已知，，化简：__________. 4．（25-26高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）化简： 5．（25-26高一上·山西太原·期中）计算下列各式 (1)； (2)； (3)已知，求的值. 题型2 指数式的给条件求值问题 1．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 2．（25-26高一上·福建·阶段检测）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知 且，则 ___________. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 5．（25-26高一上·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值． (2)已知，求：． 题型3 指数幂等式的证明 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知，且.求证：. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，求证: 3．（25-26高一·全国·课后作业）求证：（其中，，）． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，求证：. 5．（25-26高一·全国·课后作业）若a，b为不等于1的正数，并且实数x，y，z满足关系式．求证： (1)若，则； (2)若，则． 题型4 带附加条件的指、对数问题 1．（25-26高二下·山东日照·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北武汉·期末）设，，则等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．（25-26高一上·山东青岛·期末）已知，，，则__________． 4．（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）（1）已知：，，求的值； （2）若，，用含、的式子表示. 5．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）计算下列各式的值 (1)化简： (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值. 题型5 运用换底公式证明恒等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 2．（25-26高一·全国·随堂练习）已知：，求证：． 3．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 4．（25-26高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 5．（25-26高一下·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 题型6 对数的实际应用 1．（25-26高一上·上海·期中）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值[单位：（分贝）]定义为，其中为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的（    ）倍 A．10 B．100 C．1.2 D．12 2．（25-26高一上·北京顺义·期中）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度（单位：）可以表示为，其中表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为时的飞行速度为，耗氧量的单位数为时的飞行速度为，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·甘肃·阶段检测）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（   ） A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1 4．（25-26高一上·福建宁德·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.在停止喝酒后，他血液中的酒精含量会按确定的比率衰减，若经过4个小时他血液中的酒精含量下降到原来的一半.那么他停止喝酒后，至少经过__________小时才能驾驶.（结果保留整数，参考数据：） 5．（25-26高一·全国·课堂例题）地震的强烈程度通常用里氏震级表示，这里是距离震中100km处所测量地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅．    (1)若一次地震测得，，该地震的震级是多少（计算精确到0.1）？ (2)计算里氏8级地震的最大振幅是里氏5级地震最大振幅的多少倍？ 题型7 指数、对数中的新定义 1．（25-26高一上·河南·阶段练习）数学上用“”表示连乘运算，例如：.设函数，记，，则使成立的m的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（25-26高一上·江苏扬州·阶段练习）当把一个任意正实数表示成的时候，就可以得出正实数的位数是，如：，则235是一个3位数．利用上述方法，判断的位数是（    ）（参考数据：） A．32 B．33 C．34 D．35 3．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·上海宝山·阶段练习）对于两个均不等于1的正数m、n，定义：．设a、b、c均为小于1的正数，且，则的值是 ． 5．（25-26高一上·安徽蚌埠·期中）《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 指数与对数全章七大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 指数幂的化简、求值 1．（25-26高一·全国·寒假作业）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用指数的运算法则计算即可. 【解答过程】 . 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【解答过程】． 故选：D. 3．（2026·上海闵行·一模）已知，，化简：__________. 【答案】 【解题思路】根据根式与分数指数幂的互化、指数运算的性质直接求解即可. 【解答过程】， . 故答案为：. 4．（25-26高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）1； （2） 【解题思路】利用指数运算法则和根式运算法则计算即可. 【解答过程】（1） ； （2）. 5．（25-26高一上·山西太原·期中）计算下列各式 (1)； (2)； (3)已知，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）（2）（3）应用有理数指数幂的运算性质化简求值； 【解答过程】（1）； （2）； （3）， ，则， . 题型2 指数式的给条件求值问题 1．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 【答案】B 【解题思路】由题知，再根据指数幂运算求解即可. 【解答过程】由得， 因为，所以. 故选：B. 2．（25-26高一上·福建·阶段检测）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对已知条件进行变形，利用完全平方公式化简可得，再根据平方差公式化简即可求解. 【解答过程】解：由，得， 则，因此， 所以． 故选：C. 3．（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知 且，则 ___________. 【答案】或 【解题思路】先利用立方和公式对分子进行因式分解，然后化简等式，最后通过解方程求出的值. 【解答过程】因为， 所以， 所以， 设，则可化为， 即，解得或. 因为，所以或. 故答案为：或. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）由得，进而根据分数指数幂的运算性质求解即可； （2）根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 则． （2）因为，则， 则． 5．（25-26高一上·湖北·阶段检测）化简求值： (1)已知，求的值． (2)已知，求：． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）将目标式化为，结合化简求值即可； （2）根据已知先求出、，再代入目标式求值. 【解答过程】（1）由，则， 而，则； （2）由， ， 所以. 题型3 指数幂等式的证明 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知，且.求证：. 【答案】证明见解析 【解题思路】令，得，，，利用等式计算可得，进而再令，，，最后代入证明即可. 【解答过程】证明：令，则，，， . ，. ，，， . . 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，求证: 【答案】证明见解析 【解题思路】将题设中的等式化为，根据这两个等式可证． 【解答过程】证明：因为， 故， 所以， 所以， 故， ， 故． 3．（25-26高一·全国·课后作业）求证：（其中，，）． 【答案】证明见解析 【解题思路】设，两边平方即可证明，同理可得，. 【解答过程】证明：设，两边平方， 得． 由于，则，所以． 同理可得，．由此得证． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，求证：. 【答案】证明见解析 【解题思路】设，可得出，，，代入可得出，然后代入所证等式左边，化简计算即可证明等式成立. 【解答过程】证明：令，则，，， 因为，所以，即. 所以. 5．（25-26高一·全国·课后作业）若a，b为不等于1的正数，并且实数x，y，z满足关系式．求证： (1)若，则； (2)若，则． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）依题意可得，代入，根据指数幂的运算法则计算可得； （2）依题意可得，由可得，，再代入根据指数幂的运算法则计算可得． 【解答过程】（1）证明：由得 将①代入②，得，∴，∴，∴，∴． （2）证明：由，得， ∵，∴，． 由，得，即， ∴．两边同乘以，得． 题型4 带附加条件的指、对数问题 1．（25-26高二下·山东日照·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解. 【解答过程】由可得：. 则 . 故选：C. 2．（25-26高一上·湖北武汉·期末）设，，则等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】利用指对数互换和幂的运算性质求得，再利用对数运算性质求得，进而求得可得结果. 【解答过程】因为，，则， 可得，，则， 又因为， 所以. 故选：B. 3．（25-26高一上·山东青岛·期末）已知，，，则__________． 【答案】8 【解题思路】根据结合换底公式可得或，由两边取对数，再结合换底公式可得，进而得到或，进而求解即可. 【解答过程】因为，所以， 则，解得或， 又，，则，即， 所以， 则或，即或， 解得或，则. 故答案为：8. 4．（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）（1）已知：，，求的值； （2）若，，用含、的式子表示. 【答案】（1）； （2）. 【解题思路】（1）利用指数幂的运算性质计算可得出的值； （2）利用换底公式结合对数的运算性质可将用、表示. 【解答过程】（1）因为，，则； （2）因为，，所以. 5．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）计算下列各式的值 (1)化简： (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由根式与分数指数幂的转换，结合指数幂的运算即可求解； （2）由条件通过平方得到，再次平方得到，进而可求解； （3）由指数与对数的转化，和对数的运算性质即可求解. 【解答过程】（1） （2）由， 平方可得：， 即，再平方可得：， 即， 所以 （3）由，可得， 由，可得， 所以. 题型5 运用换底公式证明恒等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得. 【解答过程】证明：依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即． 2．（25-26高一·全国·随堂练习）已知：，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【解答过程】证明：设，显然， 则，可得， 所以. 3．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）将两边取对数化简即可得解； （2）由(1)解得，代入计算即可得解. 【解答过程】解：（1）将两边同取对数得，， 则， 所以. （2）证明：由，得，. 所以，， 则，故. 4．（25-26高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明见解析； （2）8； （3）证明见解析 【解题思路】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【解答过程】（1）证明：设，则，化为， 又，所以； （2）； （3）证明： ． 所以． 5．（25-26高一下·上海·课后作业）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用直角三角形的勾股定理、对数的运算性质以及对数的运算法则可以证明等式成立. 【解答过程】证明：在中，因为，所以， 因为 ， 所以. 题型6 对数的实际应用 1．（25-26高一上·上海·期中）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值[单位：（分贝）]定义为，其中为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的（    ）倍 A．10 B．100 C．1.2 D．12 【答案】B 【解题思路】根据声强级的定义分别求出声强级为和声强级为的声强度，然后计算它们的比值即可. 【解答过程】由题意得，， 当声强级为时，，； 当声强级为时，，， . 故选：. 2．（25-26高一上·北京顺义·期中）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度（单位：）可以表示为，其中表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为时的飞行速度为，耗氧量的单位数为时的飞行速度为，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对数运算性质，求出结果即可. 【解答过程】由题意可知，化简得，解得. 故选：C. 3．（25-26高三上·甘肃·阶段检测）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（   ） A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1 【答案】B 【解题思路】直接代入数据求值即可. 【解答过程】由题意，得，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，即，代入，得. 故选：B. 4．（25-26高一上·福建宁德·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.在停止喝酒后，他血液中的酒精含量会按确定的比率衰减，若经过4个小时他血液中的酒精含量下降到原来的一半.那么他停止喝酒后，至少经过__________小时才能驾驶.（结果保留整数，参考数据：） 【答案】10 【解题思路】设出未知数，得到不等式，两边取对数，得到，求出答案. 【解答过程】因为驾驶员体内的酒精含量是按确定的比率衰减， 设t小时后驾驶员体内的酒精含量为，， 依题意得：，解得 由，得，整理得，两边取对数 解得 所以他停止喝酒后，至少经过10小时才能驾驶. 故答案为：10. 5．（25-26高一·全国·课堂例题）地震的强烈程度通常用里氏震级表示，这里是距离震中100km处所测量地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅．    (1)若一次地震测得，，该地震的震级是多少（计算精确到0.1）？ (2)计算里氏8级地震的最大振幅是里氏5级地震最大振幅的多少倍？ 【答案】(1)约为里氏4.4级 (2)1000倍 【解题思路】（1）直接利用公式求解即可， （2）根据题意列方程组求解即可 【解答过程】（1）． 因此该地震的震级约为里氏4.4级． （2）设里氏8级和5级地震的最大振幅分别为，．由题意，得 由上可得，． 因此里氏8级地震的最大振幅是里氏5级地震最大振幅的1000倍． 题型7 指数、对数中的新定义 1．（25-26高一上·河南·阶段练习）数学上用“”表示连乘运算，例如：.设函数，记，，则使成立的m的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解题思路】根据已知条件求得的表达式，然后根据，利用对数运算等知识求得正确答案. 【解答过程】， ， ， ，即， 解得或， 又 ，所以使成立的m的最小值为9. 故选：B. 2．（25-26高一上·江苏扬州·阶段练习）当把一个任意正实数表示成的时候，就可以得出正实数的位数是，如：，则235是一个3位数．利用上述方法，判断的位数是（    ）（参考数据：） A．32 B．33 C．34 D．35 【答案】B 【解题思路】设，则，计算即可求出，从而得出结果． 【解答过程】设，则 又因为， 所以，即， 因为，所以，所以， 解得：，因为， 故，所以的位数是. 故选：B. 3．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先得到，利用对数运算法则计算出，得到答案. 【解答过程】， 则 ， 所以， 故选：C． 4．（25-26高三下·上海宝山·阶段练习）对于两个均不等于1的正数m、n，定义：．设a、b、c均为小于1的正数，且，则的值是 ． 【答案】1 【解题思路】根据条件得出与的大小关系，进而根据新定义把式子转化为对数的运算，再按照对数运算性质求值． 【解答过程】由且，得，， 根据新定义，得 ． 故答案为：1. 5．（25-26高一上·安徽蚌埠·期中）《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 【答案】(1) (2) (3)610 【解题思路】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可； （3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果. 【解答过程】（1）原式； （2）由题意知，令，则， 所以， 所以； （3）设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为610． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $