第4章 指数与对数（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

该高中数学指数与对数单元复习讲义通过知识框架系统梳理单元内容，用表格清晰呈现教学目标与重难点，分点解析根式与分数指数幂转换、对数运算性质等核心知识点，构建“概念-性质-运算”的逻辑脉络，突出指数对数互化、换底公式等重难点的内在联系。 讲义亮点是分层题型设计，如换底公式应用（典例1已知对数关系求参数）和实际问题（地震震级计算），培养数学思维与数学语言，变式题满足不同层次学生，配套运算方法指导（如指数对数互化步骤），助力学生自主复习，为教师实施精准分层教学提供支持。

第四章 指数与对数单元复习讲义 教学目标 1.理清根式和分数指数幂的转换规则，熟练开展各类指数式子化简计算。 2.牢记对数定义，做到指数式和对数式顺畅互换。 3.熟练运用对数四则运算公式、换底公式完成求值与化简。 4.可以借助公式整体代换，处理复杂代数式计算 教学重难点 1.重点 对数基本运算性质，指数对数互化 2.难点 换底公式变形、整体换元类对数计算题，会求与对数相关的综合问题 知识点1 根式的概念与性质 1、根式 （1）次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 （2）根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. （3）与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 知识点2 分数指数幂 （1）正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. （3）的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 知识点3 实数指数幂的运算性质 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点4 对数的概念与性质 1.对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 2.指数式与对数式的相互转化 当且， 3.对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 知识点5 对数的运算性质 1.对数的运算 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 2.对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 题型01 根式的化简求值 【典例1】是实数，则下列式子中可能没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数指数幂的运算性质，求得选项中各个式子有意义的条件，即可求解. 【详解】由指数幂的运算性质，可得： 对于A中，式子中，实数的取值为，所以总有意义； 对于B中，式子中，实数的取值为，所以总有意义； 对于C中，式子中，实数的取值为，所以可能没有意义； 对于D中式子中，实数的取值为，所以总有意义. 故选：C. 【典例2】下列各式：①；②；③．中正确的个数是 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解析】逐一分析判断每一个选项得解. 【详解】①，是错误的，如：，所以该结论是错误的； ②，是错误的，因为当或-1时，，原式没有意义，所以是错误的； ③，是错误的，因为等式左边是一个负数，等式右边是一个正数，所以等式错误. 故选：D 【变式1】若，则的值是（      ） A．-3 B．3 C．-9 D．9 【答案】A 【分析】根据的范围化简根式和绝对值，由此求得表达式的值. 【详解】依题意，所以，所以. 故选：A. 【变式2】化简：等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式的运算性质即可得出． 【详解】由可知， ∴， 故选：D. 【变式3】（多选）当时，可能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先得到，分和两种情况，根据二次根式运算法则得到答案. 【详解】由成立可知，当时得，即. 因此， 同理，当时，，即，因此. 故选：BC. 【变式4】化简：______． 【答案】 【分析】利用二次根式的运算性质化简即得. 【详解】 故答案为：. 题型02 分数指数幂与根式的互化 【典例1】已知且，下列三个式子，正确的个数为（    ） ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算性质及根式与指数幂关系逐项判断即可. 【详解】因为且， 对于①，，错； 对于②，先将根式转化为分数指数幂的形式．，则，对； 对于③，，错． 所以，正确的个数为1. 故选：B 【典例2】用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据根式与分数指数幂的关系，化简各小题，即可得答案. 【详解】（1）； （2）； （3）由于，故； （4）； （5）. 【变式1】（多选）设是正整数，且，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用分数指数幂和根式的互化以及运算律即可逐项判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因是正整数，且，则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 【变式2】（多选）设，、是正整数，且，则下列各式中，正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分别根据幂的运算法则，逐项进行判断即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：BC 【变式3】将下列根式化成分数指数幂的形式. （1）(a>0)； （2）； （3）(b>0). 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）将根式化为分数指数幂，结合分数指数幂的运算法则，计算即可得解； （2）将根式化为分数指数幂，结合分数指数幂的运算法则，计算即可得解； （3）将根式化为分数指数幂，结合分数指数幂的运算法则，计算即可得解. 【详解】（1）原式； （2）原式=； （3）原式＝. 题型03 指数幂的化简与求值 【典例1】设，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得①；由得②．得，得． 【典例2】若，则（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】由完全平方公式求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以， 故选：B. 【变式1】计算：（   ） A．0 B．1 C．100 D．5 【答案】C 【详解】原式． 【变式2】（多选）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂的运算结合完全平方公式，立方和公式依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，由，得，化简得，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，由A，，所以，所以，故C错误； 对于D，由， 由B，，，故D正确. 故选：BD. 【变式3】（1）求值：； （2）若， （i）； （ii）求． 【答案】（1）；   （2）（i）； （ii）. 【分析】（1）根据分数指数幂运算的性质化简可得； （2）对进行平方，结合完全平方公式和立方和公式可求出结果． 【详解】（1）原式 （2）（i）因为， 所以， 因此：. （ii）由，得， 故， 又， 故． 题型04 指数式与对数式互化及其应用 【典例1】将下列指数式与对数式进行转换 (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据对数的定义,对数式与指数式互化即可. 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. （5）由得. （6）由得. （7）由得. （8）由得. 【典例2】求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 【答案】(1) (2)9 (3)2 【分析】根据对数与指数的互化，结合指数的运算性质逐一求解； 【详解】（1）由，得； （2）由，得，所以； （3）因为，所以，所以. 指数式与对数式互化的方法： （1）将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式； （2）将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 【变式1】求下列各式中的的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用对数的定义以及指对互化即可求出； （2）化简，再利用对数的定义即可. 【详解】（1）因为，所以，所以. （2）因，所以， 所以. 【变式2】求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （2）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （3）根据指数与对数的互化求值即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以，解得. 【变式3】利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）利用指对数关系，对各式两侧同时取对或取同底数幂，化简求值. 【详解】（1）由； （2）由，且，故； （3）由，则； （4）. 题型05 利用对数的运算性质求值与化简 【典例1】若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数与对数的互化及对数的运算性质求解即可. 【详解】由得，，即. 由得，，即，所以. 所以. 【典例2】___________． 【答案】 【详解】 对数式化简与求值的基本原则和方法： (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行； (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 【变式1】已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 【答案】D 【分析】设，由已知条件可得，求出t，即可得，结合可求出n的值，继而求出m，即可求得答案. 【详解】设，则，由于，则， 故由可得，即， 解得，舍去， 故，即得， 又，则，即，结合，得， 故，则. 【变式2】计算： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据对数的运算法则进行计算. 【详解】（1） ． （2）由已知得， ，整理得． ．． ，， 从而，则． 【变式3】根据已知条件，求解下列各值 (1)已知，，且，求实数的值． (2)求值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由指对数关系及对数的运算性质有，结合已知求参数值； （2）由对数的运算性质化简求值. 【详解】（1）由，则，故，故； （2）. 【变式4】（1）； （2）； （3）已知，求的值． 【答案】（1）3；（2）16；（3） 【分析】（1）根据对数的运算性质，化简求值，即可求解. （2）根据指数幂的运算以及对数的运算性质，化简求值，即可求解. （3）根据对数的运算性质，化简求值，即可求解. 【详解】（1）原式 ． （2）由于，， ， 因此原式． （3）由条件． 由，得， 所以，化简得 所以， 得或（舍去），从而可得． 题型06 换底公式的应用 【典例1】已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，得，，. 令（且），则，，； ； 且，. ，即； ，即，解得. 【典例2】(1)求值：； (2)已知，且，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对数运算的性质和换底公式即可求解； （2）利用指数对数互化求出，再利用换底公式和对数的运算性质即可求出答案. 【详解】（1）. （2）由得，， ，即， 因为，所以. 应用换底公式应注意的2个方面： （1）化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式 【变式1】已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数与对数互化、对数的换底公式及运算法则变形可得． 【详解】由，得， 又，所以， 所以 . 故选：B. 【变式2】若，，满足，且，则有序实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令且，应用指数、对数关系及换底公式、对数运算性质有，即可得. 【详解】令且，则， 所以，则， 结合各选项知、、不符合，符合. 故选：C 【变式3】设、为正数，若，且，则________． 【答案】 【分析】根据换底公式以及对数的运算性质可得出关于的方程，解出的值，可得出的值，即可得出的值. 【详解】因为、为正数，若，且，即，即， 即，即， 整理可得，即， 解得或，故有或，故. 【变式4】对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理列出关于和的方程，然后利用换底公式进行化简，代入计算即可； （2）将对数式转化为指数式，利用指数运算和对数运算的性质求值即可. 【详解】（1）因为、是关于x的方程的两个实数根， 所以由韦达定理得， 由得，则； 由得，所以，即， 则. （2）由，得，由，得，则； 所以，即， 故. 题型07 利用指数与对数运算解决实际问题 【典例1】地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的（   ）倍． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过里氏震级的计算公式求出不同震级对应的最大振幅，然后计算两者的倍数关系.计算时运用对数的性质和公式即可 【详解】由里氏震级的计算公式，可得，进一步变形得到，从而得出. 当时，根据，可得地震的最大振幅为. 当时，同样根据，可得地震的最大振幅为. . 故选：B 【典例2】牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：（k为常数）.若，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．25分钟 B．32分钟 C．35分钟 D．42分钟 【答案】C 【分析】根据题意，建立含指数方程，后指数对数互化，结合对数性质和参考数据可解. 【详解】由题知，所以，可得， 所以. 即某物体的温度从下降到以下，至少大约需要35分钟. 故选：C. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数幂型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算 【变式1】在智能驾驶快速发展的今天，车载AI芯片的运算能力至关重要，行业内通常以“每秒万亿次运算（TOPS），即1TOPS=次运算/秒”为单位衡量芯片性能.某车载AI在道路目标检测中，需在0.5秒内完成次运算，则该芯片的运算性能至少为（   ）TOPS. （参考数据，，） A．56.2 B．56.1 C．562 D．561 【答案】D 【详解】由题意得，每秒至少执行的运算次数， ， 即. 【变式2】我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．根据公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为总质比．已知经过材料更新和技术改进后，某火箭的喷流相对速度提高到原来的倍，总质比变为原来的，若要使该火箭在理想状态下的最大速度至少提高，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值约为（参考数据：）（     ） A．85 B．86 C．87 D．88 【答案】C 【分析】先根据改进前后的参数变化列出不等式，然后利用对数运算法则化简，最后结合已知的指数近似值求出总质比的最小整数值. 【详解】由题意，令，化简得， 即，可得，， 所以，又，所以的最小值约为87． 故选：C. 【变式3】历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为__________． 【答案】 【分析】首先计算，再根据指对运算公式即可求解． 【详解】由对数的性质得 ， 整理得，可得． 故答案为：． 【变式4】我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当纸张的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为，厚度变为．在理想情况下，对折次数有下列关系：（注：，，），根据以上信息，一张长边长为，厚度为的纸最多能对折_____次. 【答案】8 【分析】根据题意解不等式得到答案. 【详解】由题意， 因为，所以的最大值为． 故答案为：. 1．式子的计算结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】将根式形式转化为分数指数幂的形式，再利用指数幂的运算性质化简计算即可. 【详解】解：． 故选：A. 2．已知，则 （     ） A． B． C．1 D．无答案 【答案】A 【分析】利用指数幂的运算性质化简求值即可. 【详解】. 故选：A. 3.若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数式与对数式的互化可得出、，再利用换底公式以及对数的运算性质化简可得结果. 【详解】因为，则，， 所以. 故选：D. 4．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先应用指数和对数转化，再应用对数运算律计算判断各个选项. 【详解】因为，，所以，， 所以，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项正确. 5.（多选）若，化简的结果可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】将分式方程化为整式方程，结合解一元二次不等式求得x的范围，根据根式的化简可得答案. 【详解】由题意知，即，即， 故或， 则 ， 故选：AC 6.（多选）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用对数的运算性质可判断AB选项；利用换底公式可判断C选项；利用换底公式和对数的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 7．已知，，则_____________． 【答案】 【详解】由，得，而， 所以. 8．计算下列各式的值： （1）； （2）; （3）; 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】（1）根据幂的运算法则和对数运算法则计算； （2）根据根式的定义与对数的运算法则、换底公式计算； （3）利用对数的运算法则、换底公式和根式的定义计算. 【详解】（1）； （2） ； （3）. 9．（1）已知，计算和的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1），；（2）. 【分析】运用换底公式结合对数运算公式化简即可. 【详解】解：（1）∵， ∴； ． （2）（方法一） ． （方法二） 1．化简(，)的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数指数幂的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据实数指数幂的运算法则得：原式. 故选：A. 2．已知，则的最小值为（   ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用基本不等式求得，再根据对数的运算即可求得最小值. 【详解】因为，，所以，，当且仅当时取等号， . 故选：D. 3.（多选）设，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A选项，，，故，故A正确． B选项，，故B错误． C选项，，故C正确． D选项，由C项推理，, 由可知，故得 ，即D正确． 4.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为_____________.（精确到0.01，） 【答案】/ 【分析】将已知代入函数关系，利用对数运算求解可得. 【详解】由题知，当时，， 代入得，即， 所以，即. 故答案为： 5.已知，且 ，则 【答案】 【分析】根据指对互化，结合换底公式即可求解. 【详解】设，则， 由得， 因此，故. 6．若，且，，则__________. 【答案】 【分析】先利用对数的运算法则对已知条件进行化简，然后通过换元法将对数方程转化为关于新变量的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】根据题意，由，可得， 又，所以， 令，，则，， 所以可得①，②， 将②式通分，可得，即③， 将③式代入①式，可得，解得，即. 7.已知均为正实数，均为大于0且不等于1的实数，若且，求的值． 【答案】 【分析】将指数式化成对数式，结合条件和换底公式代入运算得解. 【详解】由题意得，设（且）， 则，，， 又，即，即，则， 即，即，则， 故. 8．计算下列各式的值： (1) (2)设，，用a，b表示； (3)已知，试求的值. 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据对数的运算法则及换底公式求解即可； （2）根据对数的运算性质结合换底公式运算求解； （3）根据指对互化、对数的运算性质及换底公式运算求解. 【详解】（1）原式 . （2）. （3）因为，所以，则，， 则，，所以. 9．放射性碳定年法是1949年由威拉德·利比发明的一种考古断代方法，该方法基于生物体内碳14含量的衰减规律来测定文物年代，利比因此获得1960年诺贝尔化学奖. 设碳14的初始含量为，经过时间t（）后的含量为N，满足为关于t（）的指数函数.已知碳14的半衰期为5730年，即每经过5730年，碳14含量会衰减为原来的一半. (1)某化石样品中碳14含量是活生物体内含量的25%，请问根据放射性碳定年法推测，该化石距今约有多少年历史？ (2)在实际考古测定中，由于测量误差的存在，碳14含量的测量结果可能存在的误差.不考虑其他误差，则用此法测得的化石真实年代的误差最大为多少年？（四舍五入到整数） 【答案】(1)11460 (2)83 【分析】（1）设，根据题意得到，即，令，再解方程即可； （2）设测量误差为对应衰减时间为，测量误差为对应衰减时间为，无误差时对应衰减时间为，再分别计算出，比较即可． 【详解】（1）根据题意，设， 又每经过5730年，碳14含量会衰减为原来的一半，所以， 解得，则， 当，解得， 所以该化石距今约有年历史； （2）由于碳14含量的测量结果可能存在的误差， 设测量误差为对应衰减时间为，测量误差为对应衰减时间为， 无误差时对应衰减时间为， 则①，②，③， ，两边同时取以2为底的对数，， （年）， ，两边同时取以2为底的对数，， （年）， 所以误差最大为83年． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数与对数单元复习讲义 教学目标 1.理清根式和分数指数幂的转换规则，熟练开展各类指数式子化简计算。 2.牢记对数定义，做到指数式和对数式顺畅互换。 3.熟练运用对数四则运算公式、换底公式完成求值与化简。 4.可以借助公式整体代换，处理复杂代数式计算 教学重难点 1.重点 对数基本运算性质，指数对数互化 2.难点 换底公式变形、整体换元类对数计算题，会求与对数相关的综合问题 知识点1 根式的概念与性质 1、根式 （1）次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 （2）根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. （3）与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 知识点2 分数指数幂 （1）正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. （2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. （3）的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 知识点3 实数指数幂的运算性质 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点4 对数的概念与性质 1.对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 特别的：规定,且的原因： ①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的. ②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. ③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的. 2.指数式与对数式的相互转化 当且， 3.对数的性质 ①负数和零没有对数. ②对于任意的且,都有，，； ③对数恒等式: （且） 知识点5 对数的运算性质 1.对数的运算 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 2.对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 题型01 根式的化简求值 【典例1】是实数，则下列式子中可能没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】下列各式：①；②；③．中正确的个数是 A．3 B．2 C．1 D．0 【变式1】若，则的值是（      ） A．-3 B．3 C．-9 D．9 【变式2】化简：等于（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）当时，可能等于（    ） A． B． C． D． 【变式4】化简：______． 题型02 分数指数幂与根式的互化 【典例1】已知且，下列三个式子，正确的个数为（    ） ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式1】（多选）设是正整数，且，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）设，、是正整数，且，则下列各式中，正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式3】将下列根式化成分数指数幂的形式. （1）(a>0)； （2）； （3）(b>0). 题型03 指数幂的化简与求值 【典例1】设，那么（   ） A． B． C． D． 【典例2】若，则（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 【变式1】计算：（   ） A．0 B．1 C．100 D．5 【变式2】（多选）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（1）求值：； （2）若， （i）； （ii）求． 题型04 指数式与对数式互化及其应用 【典例1】将下列指数式与对数式进行转换 (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8) 【典例2】求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 指数式与对数式互化的方法： （1）将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式； （2）将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 【变式1】求下列各式中的的值. (1)； (2). 【变式2】求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【变式3】利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型05 利用对数的运算性质求值与化简 【典例1】若，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】___________． 对数式化简与求值的基本原则和方法： (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行； (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 【变式1】已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 【变式2】计算： (1)； (2)已知，求的值． 【变式3】根据已知条件，求解下列各值 (1)已知，，且，求实数的值． (2)求值． 【变式4】（1）； （2）； （3）已知，求的值． 题型06 换底公式的应用 【典例1】已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】(1)求值：； (2)已知，且，求实数k的值． 应用换底公式应注意的2个方面： （1）化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式 【变式1】已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】若，，满足，且，则有序实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】设、为正数，若，且，则________． 【变式4】对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 题型07 利用指数与对数运算解决实际问题 【典例1】地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的（   ）倍． A． B． C． D． 【典例2】牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：（k为常数）.若，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．25分钟 B．32分钟 C．35分钟 D．42分钟 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数幂型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算 【变式1】在智能驾驶快速发展的今天，车载AI芯片的运算能力至关重要，行业内通常以“每秒万亿次运算（TOPS），即1TOPS=次运算/秒”为单位衡量芯片性能.某车载AI在道路目标检测中，需在0.5秒内完成次运算，则该芯片的运算性能至少为（   ）TOPS. （参考数据，，） A．56.2 B．56.1 C．562 D．561 【变式2】我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．根据公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为总质比．已知经过材料更新和技术改进后，某火箭的喷流相对速度提高到原来的倍，总质比变为原来的，若要使该火箭在理想状态下的最大速度至少提高，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值约为（参考数据：）（     ） A．85 B．86 C．87 D．88 【变式3】历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为__________． 【变式4】我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当纸张的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为，厚度变为．在理想情况下，对折次数有下列关系：（注：，，），根据以上信息，一张长边长为，厚度为的纸最多能对折_____次. 1．式子的计算结果为（    ） A．1 B． C． D． 2．已知，则 （     ） A． B． C．1 D．无答案 3.若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 4．若，，则（    ） A． B． C． D． 5.（多选）若，化简的结果可能为（    ） A． B． C． D． 6.（多选）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 7．已知，，则_____________． 8．计算下列各式的值： （1）； （2）; （3）; 9．（1）已知，计算和的值； （2）已知，，求的值． 1．化简(，)的结果是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的最小值为（   ） A．3 B．2 C． D．1 3.（多选）设，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 4.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为_____________.（精确到0.01，） 5.已知，且 ，则 6．若，且，，则__________. 7.已知均为正实数，均为大于0且不等于1的实数，若且，求的值． 8．计算下列各式的值： (1) (2)设，，用a，b表示； (3)已知，试求的值. 9．放射性碳定年法是1949年由威拉德·利比发明的一种考古断代方法，该方法基于生物体内碳14含量的衰减规律来测定文物年代，利比因此获得1960年诺贝尔化学奖. 设碳14的初始含量为，经过时间t（）后的含量为N，满足为关于t（）的指数函数.已知碳14的半衰期为5730年，即每经过5730年，碳14含量会衰减为原来的一半. (1)某化石样品中碳14含量是活生物体内含量的25%，请问根据放射性碳定年法推测，该化石距今约有多少年历史？ (2)在实际考古测定中，由于测量误差的存在，碳14含量的测量结果可能存在的误差.不考虑其他误差，则用此法测得的化石真实年代的误差最大为多少年？（四舍五入到整数） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $