专题5.1 函数的概念和图像（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦函数的概念和图像核心知识点，从初中变量依赖关系过渡到高中集合与对应语言建构函数概念，系统梳理函数三要素（定义域、对应关系、值域）及图像绘制方法，形成从概念理解到运算应用再到数形结合的完整学习支架。 资料通过“知识点+即学即练+题型分类”分层设计，突出数学抽象（函数概念深度建构）、数学运算（定义域值域求解）、直观想象（图像变换与应用）核心素养。如抽象函数定义域求解方法、图像变换步骤的典例与变式训练，课中助力教师系统授课，课后便于学生针对性练习，有效查漏补缺。

专题5.1 函数的概念和图像 教学目标 1.在在初中从变量依赖关系认识函数的基础上，借助集合与对应的语言深度建构函数概念，感悟集合语言刻画函数内涵的优越性。 2.透彻理解函数三要素的含义，熟练掌握各类常见函数定义域的求解思路与解题方法。 能够求解简单函数的值域，掌握值域的基础求解策略。 3.认识图象作为函数表达形式的意义，学会绘制函数图象，并能够利用数形结合，依托图象求解函数值域。 4.通过函数概念的探究、定义域与值域的运算求解，培育学生数学抽象、数学运算的核心素养；借助函数图象绘制与图象应用，提升学生直观想象与逻辑推理的能力 教学重难点 1.重点 函数概念的深度理解；函数定义域、值域的求解；函数图象的绘制方法及其简单应用； 2.难点 抽象函数定义域的求解；利用图象变换完成函数作图 知识点一、函数的概念 1．函数的定义 设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域 函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 注意：（1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数． （2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性． （3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样 【即学即练】 1．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】C 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，0在中无对应的元素，A不符合题意； 对于B，因为对于任意一个实数，当时，无意义，B不符合题意； 对于C，任意一个实数，，因此同时满足任意性和唯一性，C符合题意； 对于D，当时，，不满足函数值的唯一性，D不符合题意. 故选：C. 2.（多选）判断下列对应是从集合A到集合B的函数的有（    ） A．A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应； B．A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； C．A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； D．A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应. 【答案】BC 【解析】利用函数的定义判断. 【详解】A.对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数. B.对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数. C.对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数. D.集合A不是数集，故不是函数. 故选：BC 知识点二、同一个函数 1．函数三要素 由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域． 2．相同函数 值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数 【即学即练】 1．下列各组函数是相同函数的一组是（     ） A． ； B．B．； C．； D．. 【答案】C 【详解】对于定义域为，与定义域为且，故定义域不相同，对应法则相同，故中两函数不同函数；对于定义域为且的定义域为，两个函数的定义域不相同，故中两函数不是相同函数；对于的定义域为，两个函数的定义域相同，解析式相同，故中两函数是相同函数； 对于定义域为与定义域为定义域相同，但是对应法则不相同，故中两函数为不同函数，故选C. 【方法点睛】本题通过判断几组函数是否为同一函数主要考查函数的定义域、值域以及对应法则，属于中档题.判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的三要素：定义域、值域、对应法则是否都相同，三者有一个不同，两个函数就不是同一函数. 2.下列各组函数不是同一函数的是 A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】分别求函数的定义域，在定义域相同时判断对应法则是否一致，如果都不一致，则不是同一函数． 【详解】A．，与的定义域都是，对应法则也相同，是同一函数， B．，与的定义域和对应法则都相同，是同一函数； C．，的定义域和对应法则都相同，是同一函数； D．的定义域是，函数的定义域是，定义域不相同，不是同一函数， 故选D． 知识点三、函数的定义域和值域 1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略 (1)函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． ①分式函数中分母不等于零. ②偶次根式函数的被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域均为R. ④y＝x0的定义域是{x|x≠0}. (2)抽象函数： ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． (4)求函数定义域的注意点 ①不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化． ②当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集． ③定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接 2．函数的值域 （1）函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域： ①一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R. ②反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)． ③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)， 当a>0时，二次函数的值域为； 当a<0时，二次函数的值域为. 求二次函数的值域时，应掌握配方法：. （2）求函数值域的基本方法 ①观察法： 通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域． ②利用常见函数的值域： 一次函数的值域为；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为. ③分离常数法： 将形如(a≠0)的函数分离常数，变形过程为： ，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域. ④换元法： 对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制． ⑤配方法： 对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域． ⑥数形结合法： 作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域． ⑦判别式法： 将函数转化为二次方程：若函数y＝f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，由于x，y为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域． 利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围 【即学即练】 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得且， 所以函数的定义域为． 2．已知的定义域为，则定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的定义域为， 所以由. 所以函数的定义域为. 3.求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用换元法求解； （2）利用配方法结合二次函数性质求解； （3）利用配方法求解； （4）可采用换元法或判别式法求解； （5）令，换元结合基本不等式求解； （6）采用分离常数的方法，结合基本不等式求解. 【详解】（1）函数定义域为，令，所以， 即，当时，，即函数的值域为. （2）易知的取值需满足，即，即函数定义域为， 因为，由二次函数性质可得当时，， 所以的值域为. （3）由，可得函数的值域为. （4）已知函数，定义域为， 方法一：换元法．设，则， 所以， 因为，所以，所以，故值域为. 方法二：判别式法． ，整理得 当时，方程为，不成立； 当时，，即，所以， 综上，. （5）令，则，且 当时，； 当时，，因为，当且仅当时等号成立，所以， 所以函数的值域为. （6）， 因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立， 故，即函数值域为. 知识点四、函数的图象 1.函数的图象 将自变量的一个值作为　横坐标　，相应的函数值作为　纵坐标　，就得到坐标平面上的一个点。当自变量取遍函数定义域中的每一个值时，就得到了一系列这样的点。所有这些点组成的集合（点集）为，即。所有这些点组成的图形就是___函数 的图象 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f (x)整体上加减． (2)对称变换 ①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； ③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； (3)伸缩变换 ①y＝f(x)的图象 y＝f(ax)的图象； ②y＝f(x)的图象 y＝af(x)的图象． (4)翻转变换 ①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象 【即学即练】 1．若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义结合图象确定定义域与值域逐项判断即可得结论. 【详解】选项A中，当时，，不符合题意，排除A； 选项C中，存在一个对应多个值，不是函数的图象，排除C； 选项D中，取不到0，不符合题意，排除D. 故选：B. 2．如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】由题意，当时，，则， 当时，， 所以，显然只有C满足. 题型01 函数的概念及辨析 【典例1】下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； B，当时，对于，任意，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，符合； C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； D，令，由，得，不符合函数的定义，所以不是的函数，不符合. 故选：B 判断一个解析式是否为函数，关键是判断对于任意一个自变量x是否都有唯一确定的y值与之对应．若要判断一个图象是否为函数图象，可用与x轴垂直的直线与这个图象最多有一个公共点来判断 【变式1】（多选）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐一判断即可. 【详解】由从集合到集合的函数关系，得集合中的每个元素，按照给定法则，在集合中有唯一元素与之对应， 对于A，当时，，A不是； 对于B，由，得，则对每个，有唯一，B是； 对于C，当时，，C不是； 对于D，由，得，则对每个，有唯一，D是. 故选：BD 【变式2】（多选）下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的定义可判断AC中的关系为函数关系，BD中的关系不是函数关系. 【详解】对于A，因为，所以该关系是函数关系； 对于B，当时，没有对应的值，但题干函数定义域包括，所以该关系不是函数关系； 对于C，因为任意的x值，有唯一的y值与之对应，所以该关系是函数关系； 对于D，因为当时，有两个值与之对应，所以该关系不是函数关系． 故选：BD． 【变式3】下列各图象中，能表示是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，有两个与之对应，错误； 对于C，函数图象中出现同一个有多个与之对应，错误； 对于D，函数图象中出现同一个有两个与之对应，错误； 对于B，图象符合函数的定义， 故选：B 题型02 求具体函数的定义域 【典例1】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据具体函数定义域的求法求解即可. 【详解】由条件可得：， 所以的定义域为． 求函数定义域时，要注意应用下列原则： 求函数定义域的依据 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. 3、零次幂的底数不能为零，即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接 【变式1】函数的定义域是________ 【答案】 【详解】要使函数有意义， 需使，即， 所以，即或. 故函数的定义域是. 【变式2】函数的定义域为______． 【答案】 【分析】利用分母不等于0建立限制条件，借助绝对值三角不等式的等号成立条件解不等式即可求得结果. 【详解】由题可得， 由绝对值三角不等式得，当且仅当等号成立， 因此，所以，即， 因此函数定义域为. 【变式3】求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式有意义求解即可. （2）根据分式有意义求解即可. （3）根据分式及二次根式有意义求解即可. （4）根据分式及零指数幂有意义求解即可. 【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （2）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （3）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为． （4）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域是. 【变式4】已知函数，当时，求函数的定义域． 【答案】 当，函数的定义域为或； 当，函数的定义域为； 当时，函数的定义域为或. 【分析】根据题意，将问题转化为解不等式，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【详解】解：由函数，则满足， 因为且，可得，即， 解方程，解得，． ①当时，即当时，解得或， 此时，函数的定义域为或； ②当时，即当时，解不等式，得， 此时，函数的定义域为； ③当时，即当时，解得或， 此时，函数的定义域为或； 综上可得，当，函数的定义域为或； 当，函数的定义域为； 当时，函数的定义域为或. 题型03 求抽象函数的定义域 【典例1】已知函数的定义域是，则的定义域为______． 【答案】 【分析】由抽象函数定义域的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，则，即的定义域为. 1、若函数的定义域为，则中，从中解出的解集即的定义域． 2、若的定义域为，则由可确定的范围，设，则，又与是同一函数，所以的范围即为的定义域． 3、已知的定义域，求的定义域，先由的取值范围求出的取值范围，即中的取值范围，即的取值范围，再根据的取值范围求出的取值范围，即的定义域 【变式1】已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定函数，结合抽象函数定义域列出不等式组求解. 【详解】函数的定义域为，当时，， 则函数的定义域为，在函数中，， 解得且，所以函数的定义域为. 故选：A 【变式3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【分析】由函数定义域的概念和函数特征进行求解. 【详解】由题意得，故， 令，解得， 令得或， 综上，，函数定义域为. 题型04 求函数的值域 【典例1】求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分离常数法即可求解； （2）由复合函数值域、二次函数值域求法即可求解； （3）由复合函数值域、二次函数值域求法即可求解. 【详解】（1），因为， 所以的值域为； （2），因为， 所以的值域为； （3），因为， 所以的值域为. 求函数值的方法 ①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. (2) 函数的值域即为函数定义域中的每一个x对应的函数值的集合 【变式1】求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)（）； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】分别利用直接法，分离常数法，基本不等式法，换元法求解函数的值域. 【详解】（1）∵，∴, ∴的值域为. （2），显然,所以, 故函数的值域为. （3）由,知. 则, 当且仅当,即时,上式取“”． ∴（）的最小值为8. 故函数（）的值域为. （4）设,则,且, 所以， 由,结合函数的图象得原函数的值域为.    【变式2】求下列函数的值域： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用换元法转化为二次函数在给定区间的值域问题求解； （2）结合基本不等式求解即可． （3）由解析式求函数的定义域，将函数转化为方程，即方程在上有解，结合判别式即可求值域； 【详解】（1）设，则，且， 所以，由，再结合函数的图像，可得函数的值域为.    （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故函数的值域为. （3）由知， 整理得. 当时，方程无解； 当时，，即. 故所求函数的值域为. 【变式3】求下列函数的值域． （1）y=3x+1，x∈[1，2]；             （2）y=x2–4x–5，x∈[–1，1]； （3）y=；                     （4）y=；                 （5）y=2x+． 【答案】（1）[4，7]；（2）[–8，0]；（3）{y|y≠1}；（4）（–1，1]；（5）（–∞，]． 【分析】(1)函数单调，根据单调性，直接代入定义域的端点即可得到函数的最值，即得到值域；（2）根据函数的表达式得到函数在[–1，1]上单调，直接代入端点值即可;(3)将函数分离常数得到y=1+，从而得到值域；（4）将函数分离常数得到y=–1+，先求的范围，加1即可；（5）通过换元得到y=2（1–t2）+t=–2（t–）2+，再根据二次函数的性质得到值域. 【详解】（1）∵x∈[1，2]，∴3x+1∈[4，7]， 故y=3x+1，x∈[1，2]的值域为[4，7]； （2）y=x2–4x–5=（x–2）2–9， ∵–1≤x≤1，∴–8≤x2–4x–5≤0， 故y=x2–4x–5，x∈[–1，1]的值域为[–8，0]； （3）y==1+， 故y=的值域为{y|y≠1}； （4）y==–1+， ∵0<≤2，∴–1<–1+≤1， 故y=的值域为（–1，1]； （5）令=t（t≥0），x=1–t2， y=2x+=2（1–t2）+t=–2（t–）2+， ∵t≥0，∴–2（t–）2+≤； 则函数y=2x+的值域为（–∞，]． 题型05 利用函数的定义域、值域求参数 【典例1】已知函数的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知函数的值域包含，分与两种情况讨论，可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数的值域是， 则函数的值域包含. 当时，，此时函数的值域为，合乎题意； 当时，，要使得二次函数的值域包含. 则，解得或. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 【典例2】已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】函数有意义，则应满足，即， 又函数的定义域为， 所以为方程的两根，所以. （1）需要明确函数的定义域，即自变量的取值范围． （2）根据函数的表达式，确定函数中可能存在的限制条件．这些限制条件可能包括分母不为零、根式内的表达式非负、对数的真数大于零等． （3）根据函数表达式中的限制条件，建立关于参数的不等式． （4）解不等式，得到参数的取值范围 【变式1】若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】将问题转化为一元二次型不等式恒成立问题，然后按照和分类讨论求解即可. 【详解】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 【变式2】已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的值域为可得有解，从而有，即可得实数的取值范围. 【详解】函数的值域为， 则有解，所以，解得或， 故实数的取值范围为. 故选：B. 【变式3】设 （1）若的定义域为，求的范围； （2）若的值域为，求的范围. 【答案】(1) ；（2）. 【分析】（1）讨论与，两种情况，使得恒成立，列出关于 的不等式，从而可得结果；（2）讨论与，两种情况， 能取到一切大于或等于0的实数，解不等式即可得结果. 【详解】（1）由题知≥0恒成立. ①当时， 不恒成立； ②当时，要满足题意必有，∴， 综上所述， 的范围为. （2）由题知， 能取到一切大于或等于0的实数. ①当时， 可以取到一切大于或等于0的实数； ②当时，要满足题意必有，∴， 综上所述， 的范围为. 题型06 判断两个函数是否为同一函数 【典例1】下列各组函数中，表示同一函数的是 A．与 B．与 C．与 D．（）与 （） 【答案】D 【分析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对以关系都得相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可． 【详解】对于A选项， f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数； 对于B选项的定义域为 的定义域为∴不是同一函数； 对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数． 对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数. 故选D.． 判断函数相等的方法 (1)先看定义域，若定义域不同，则不相等； (2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． 【变式1】各组函数是同一函数的是 A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】试题分析：当两个函数的定义域和对应法则完全相同,则为同一函数.答案A中定义域相同,对应法则不一样,；答案B中定义域不相同,定义域为,定义域为；答案C中定义域不相同,定义域为,定义域为；答案D符合,选D. 【变式2】下列各组函数中表示同一函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据相等函数的定义域和对应关系相同依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A选项，定义域为，的定义域为，故不满足条件； 对于B选项，定义域为，的定义域为，，故不满足条件； 对于C选项，定义域为，的定义域为，故不满足条件； 对于D选项，与定义域相同，对应关系相同，故满足条件． 故选：D． 【变式3】下列四组函数，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据函数的三要素分别判断各选项. 【详解】A选项：的定义域为，的定义域为，两函数不是同一函数； B选项：与的定义域均为，，两函数不是同一函数； C选项：，则，与的定义域均为，两函数为同一函数； D选项：的定义域为，的定义域为，两函数不是同一函数； 故选：C. 【变式4】下列各组函数是同一个函数的是（    ） ①与；②与； ③与；④与. A．①② B．③④ C．②④ D．①④ 【答案】C 【分析】整理函数解析式并求其定义域，逐项进行比较，可得答案. 【详解】对于①，由函数可得，解得，则其定义域为， 由函数可得，解得，则其定义域为，故①不符合题意； 对于②，函数的定义域为，函数的定义域为，故②符合题意； 对于③，函数的定义域为，函数的定义域为，故③不符合题意； 对于④，函数的定义域为，函数的定义域为，故④符合题意. 故选：C 题型07 函数图象的画法与识别 【典例1】函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域，可排除B、C项，结合，排除D项，即可求解. 【详解】由题意，函数满足，解得，可排除B、C项； 当时，可得，可排除D项， 所以函数的大致图象为A项. 故选：A． 【典例2】在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【详解】根据函数定义可知，当在定义域中时，直线与函数的图象有一个交点， 当不在定义域中时，直线与函数的图象没有交点， 所以直线，与函数的图象的交点个数为0或1. 作函数图象的两种常用方法 1.利用函数图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解． 2.利用函数图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象研究方程的根，方程f (x)＝0的根就是f (x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f (x)＝g(x)的根是函数y＝f (x)与函数y＝g(x)图象的交点的横坐标 【变式1】定义域为R的函数，其图象与轴的交点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据函数的定义进行判断即可. 【详解】给定自变量一个值为，根据函数的定义，它一定唯一对应一个数， 所以该函数的图象与轴的交点个数为1个. 故选：B 【变式2】函数的图像简图可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得可排除AB，然后根据时函数值的范围可排除C. 【详解】因为， 所以，故排除AB； 当时，，故排除C. 故选：D. 【变式3】函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像关于对称，可得，结合图像即可求解. 【详解】由题可得，由于图像关于对称，所以，， 得，， 所以不等式，即的解集为. 【变式4】某条公共汽车路线收支差额收支差额车票收入支出费用与乘客量的图象如图所示．由于目前本条路线存在亏损情况，公司有关人员提出了两条建议：（1）不改变车票价格，减少支出费用；（2）不改变支出费用，提高车票价格．图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态．下列说法正确的是（   ）． A．①反映了建议（2），③反映了建议（1） B．①反映了建议（1），③反映了建议（2） C．②反映了建议（1），④反映了建议（2） D．④反映了建议（1），②反映了建议（2） 【答案】B 【分析】根据题意即可结合函数图象求解. 【详解】建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用，也就是增大，车票价格不变，即平行于原图象，故①反映了建议（1），建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格，即图形增大倾斜度，提高价格，故③反映了建议（2） 故选：B． 1．函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 【答案】D 【分析】根据函数要有意义列出不等式组解出即可. 【详解】由题意函数要有意义则：，解得， 即函数的定义域为或或， 故选：D． 2．下列对应： ①，，对应关系：“对集合中的元素，取绝对值与中的元素对应”； ②，，对应关系，，； ③三角形，，对应关系：“对中的三角形求面积与中元素对应”． 是集合到集合上的函数的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】根据函数的定义判断即可. 【详解】解：根据函数的定义可知对定义域 内的任意一个变量，都有唯一的与对应． ①当时，中没有对应元素，所以不可以构成函数． ②当，，当，，当，，当，，满足函数的定义，可以构成函数． ③因为三角形不是数集，中没有对应元素，所以不成立，不可以构成函数． 故选：A． 3.下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同一函数需同时满足定义域相同、对应法则相同的判定准则，逐一分析各选项的两组函数即可得出结论. 【详解】选项A：与的定义域均为，但对应法则不同，故不是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 选项C：与的定义域均为，对应法则也完全一致，故是同一函数. 选项D：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抽象函数的定义域列出相应不等式，求解可得函数的定义域. 【详解】函数的定义域为，所以函数的定义域满足， 解得，所以. 所以函数的定义域为. 故选：B. 5.（多选）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】根据两个函数的定义域与对应关系是否相同进行判断. 【详解】选项A：两函数的定义域均为，对应关系也相同，是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，定义域不相同，两函数不是同一函数. 项C：由可知两函数是同一函数. 选项D：由，可知两函数对应关系不相同，不是同一函数. 6．（多选）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据每个选项的函数图象，分别求出对应函数的定义域和值域即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 7．求下列函数的定义域 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3) 【分析】（1）根据实函数定义域得，再解不等式组即可； （2）根据实函数定义域得，再解不等式组即可； （3）根据实函数定义域得，再解不等式组即可． 【详解】（1）解：要使函数有意义，则，即，即或． ∴函数的定义域为或； （2）解：要使函数有意义，则，即， 解得或． ∴函数的定义域为； （3）要使原函数有意义，则：，解得， ∴原函数的定义域为． 8．求下列函数的值域 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8） （9）； （10）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）且；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）. 【分析】（1）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可； （2）直接利用二次函数性质求分母取值范围，再求y的取值范围即得结果； （3）先求定义域，再利用函数单调性求函数取值范围即可； （4）变形得，即可得解； （5）利用二次函数的单调性逐步求值域即可； （6）令，则，将函数变形为，利用二次函数的性质计算可得； （7）求出函数定义域，平方后利用二次函数的性质求值域即可； （8）直接利用二次函数的单调性逐步求值域即可； （9）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可； （10）先进行换元，再利用对勾函数单调性求解值域即可. 【详解】解：（1）分式函数， 定义域为，故，所有， 故值域为； （2）函数中，分母， 则，故值域为； （3）函数中，令得， 易见函数和都是减函数， 故函数在时是递减的，故时， 故值域为； （4）， 故值域为且； （5）， 而，， ，， 即，故值域为； （6）函数，定义域为，令， 所以，所以，对称轴方程为， 所以时，函数，故值域为； （7）由题意得，解得， 则， 故，，， 由y的非负性知，，故函数的值域为； （8）函数，定义域为，，故，即值域为； （9）函数，定义域为， 故，所有，故值域为； （10）函数， 令，则由知，，， 根据对勾函数在递减，在递增, 可知时，，故值域为. 1．已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】应用抽象函数定义域性质计算求解，应用函数值域计算判断. 【详解】函数的定义域为，即，所以， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为， 即，则，故函数的值域为． 故选：C． 2．若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”，则下列函数为“依赖函数”的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“依赖函数”函数的定义，逐项验证，A、B、C三个选项均可举出反例，对于D选项，令，则有，即，结合函数定义域，即可求解. 【详解】根据题意，对于A，的定义域为，当时， 此时不存在使得，故A不是“依赖函数”； 对于B，的定义域为，当时，， 又因为，所以， 此时不存在使得，故B不是“依赖函数”； 对于C，的定义域为，当时， 此时不存在使得，故C不是“依赖函数”； 对于D，的定义域为， 当时，，所以， 所以对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的， 使成立，所以该函数在其定义域上为“依赖函数”，故D正确. 故选：D. 3.如图为函数的图象，则的图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据题意利用特殊值排除法可得答案. 【详解】当时，则， 由函数图象，时，， 所以的图象经过点，结合选项可排除A,B,C. 故选：D. 4.存在函数满足，对任意都有（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的概念逐项分析即可. 【详解】选项A：令（），则，原式可变形为（）. 令（），则，所以，即，满足题意，A正确； 选项B：令（），对于同一个，有两个不同结果（如时，或，或）， 一个对应两个函数值，故不存在这样的函数，B错误； 选项C：令（），对于同一个，有两个不同结果（如时，，或）， 一个对应两个函数值，故不存在这样的函数，C错误； 选项D：令（），对于同一个，有两个不同结果（如时，或，或）， 一个对应两个函数值，故不存在这样的函数，D错误； 故选：A 5.（多选）已知函数的值域为，则常数可以是（ ） A． B．1 C．7 D． 【答案】AC 【分析】利用判别式法求函数值域即可求解参数. 【详解】因为，所以， 当时，有解， 当不是0时，，即， 因为函数的值域为， 所以是方程的两个根， 所以，， 解得或，所以7或. 故选：AC 6．记号表示不超过的最大整数，则的图象与直线的图象的交点个数是________． 【答案】0 【分析】表示出函数解析式，画出函数图象，即可求解. 【详解】 在坐标系中作出函数和的图象（如图所示），显然，直线与之无交点． 即交点个数是0. 7．已知函数，实数满足至少存在一个正实数，使得的定义域和值域相同，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】分、、讨论分析，结合根式及二次函数的性质确定对应的定义域和值域，判断它们是否相同求参数范围. 【详解】当时，，则时，，且，符合； 当时，令， 则或即定义域为，且，定义域和值域不相同，不符合； 当时，令，则，即定义域为， 此时最大值在时取到，令， 两侧平方整理得，当时，有，得； 综上，. 故答案为： 8．（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合判别式运算求解； （2）由题意可知：的值域包含，分和两种情况，结合二次函数运算求解. 【详解】（1）由题意可知：在上恒成立， 当，即时，，即，不合题意； 当，即时，，解得， 综上所述：的取值范围是； （2）由题意可知：的值域包含， 当时，，因为，可得， 所以的值域为，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述：实数的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 函数的概念和图像 教学目标 1.在在初中从变量依赖关系认识函数的基础上，借助集合与对应的语言深度建构函数概念，感悟集合语言刻画函数内涵的优越性。 2.透彻理解函数三要素的含义，熟练掌握各类常见函数定义域的求解思路与解题方法。 能够求解简单函数的值域，掌握值域的基础求解策略。 3.认识图象作为函数表达形式的意义，学会绘制函数图象，并能够利用数形结合，依托图象求解函数值域。 4.通过函数概念的探究、定义域与值域的运算求解，培育学生数学抽象、数学运算的核心素养；借助函数图象绘制与图象应用，提升学生直观想象与逻辑推理的能力 教学重难点 1.重点 函数概念的深度理解；函数定义域、值域的求解；函数图象的绘制方法及其简单应用； 2.难点 抽象函数定义域的求解；利用图象变换完成函数作图 知识点一、函数的概念 1．函数的定义 设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域 函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 注意：（1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数． （2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性． （3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样 【即学即练】 1．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 2.（多选）判断下列对应是从集合A到集合B的函数的有（    ） A．A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应； B．A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； C．A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； D．A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应. 知识点二、同一个函数 1．函数三要素 由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域． 2．相同函数 值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数 【即学即练】 1．下列各组函数是相同函数的一组是（     ） A． ； B．B．； C．； D．. 2.下列各组函数不是同一函数的是 A．与 B．与 C．与 D．与 知识点三、函数的定义域和值域 1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略 (1)函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． ①分式函数中分母不等于零. ②偶次根式函数的被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域均为R. ④y＝x0的定义域是{x|x≠0}. (2)抽象函数： ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． (4)求函数定义域的注意点 ①不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化． ②当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集． ③定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接 2．函数的值域 （1）函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域： ①一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R. ②反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)． ③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)， 当a>0时，二次函数的值域为； 当a<0时，二次函数的值域为. 求二次函数的值域时，应掌握配方法：. （2）求函数值域的基本方法 ①观察法： 通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域． ②利用常见函数的值域： 一次函数的值域为；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为. ③分离常数法： 将形如(a≠0)的函数分离常数，变形过程为： ，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域. ④换元法： 对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制． ⑤配方法： 对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域． ⑥数形结合法： 作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域． ⑦判别式法： 将函数转化为二次方程：若函数y＝f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，由于x，y为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域． 利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围 【即学即练】 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知的定义域为，则定义域为（    ） A． B． C． D． 3．求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 知识点四、函数的图象 1.函数的图象 将自变量的一个值作为　横坐标　，相应的函数值作为　纵坐标　，就得到坐标平面上的一个点。当自变量取遍函数定义域中的每一个值时，就得到了一系列这样的点。所有这些点组成的集合（点集）为，即。所有这些点组成的图形就是___函数 的图象 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f (x)整体上加减． (2)对称变换 ①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； ③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； (3)伸缩变换 ①y＝f(x)的图象 y＝f(ax)的图象； ②y＝f(x)的图象 y＝af(x)的图象． (4)翻转变换 ①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象 【即学即练】 1．若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ） A．B．C． D． 题型01 函数的概念及辨析 【典例1】下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 判断一个解析式是否为函数，关键是判断对于任意一个自变量x是否都有唯一确定的y值与之对应．若要判断一个图象是否为函数图象，可用与x轴垂直的直线与这个图象最多有一个公共点来判断 【变式1】（多选）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列各图象中，能表示是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型02 求具体函数的定义域 【典例1】函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 求函数定义域时，要注意应用下列原则： 求函数定义域的依据 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. 3、零次幂的底数不能为零，即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接 【变式1】函数的定义域是________ 【变式2】函数的定义域为______． 【变式3】求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 【变式4】已知函数，当时，求函数的定义域． 题型03 求抽象函数的定义域 【典例1】已知函数的定义域是，则的定义域为______． 1、若函数的定义域为，则中，从中解出的解集即的定义域． 2、若的定义域为，则由可确定的范围，设，则，又与是同一函数，所以的范围即为的定义域． 3、已知的定义域，求的定义域，先由的取值范围求出的取值范围，即中的取值范围，即的取值范围，再根据的取值范围求出的取值范围，即的定义域 【变式1】已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 题型04 求函数的值域 【典例1】求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)． 求函数值的方法 ①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. (2) 函数的值域即为函数定义域中的每一个x对应的函数值的集合 【变式1】求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)（）； (4). 【变式2】求下列函数的值域： (1)； (2)； (3). 【变式3】求下列函数的值域． （1）y=3x+1，x∈[1，2]；             （2）y=x2–4x–5，x∈[–1，1]； （3）y=；                     （4）y=；                 （5）y=2x+． 题型05 利用函数的定义域、值域求参数 【典例1】已知函数的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 （1）需要明确函数的定义域，即自变量的取值范围． （2）根据函数的表达式，确定函数中可能存在的限制条件．这些限制条件可能包括分母不为零、根式内的表达式非负、对数的真数大于零等． （3）根据函数表达式中的限制条件，建立关于参数的不等式． （4）解不等式，得到参数的取值范围 【变式1】若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 【变式2】已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】设 （1）若的定义域为，求的范围； （2）若的值域为，求的范围. 题型06 判断两个函数是否为同一函数 【典例1】下列各组函数中，表示同一函数的是 A．与 B．与 C．与 D．（）与 （） 判断函数相等的方法 (1)先看定义域，若定义域不同，则不相等； (2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． 【变式1】各组函数是同一函数的是 A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】下列各组函数中表示同一函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3】下列四组函数，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4】下列各组函数是同一个函数的是（    ） ①与；②与； ③与；④与. A．①② B．③④ C．②④ D．①④ 题型07 函数图象的画法与识别 【典例1】函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【典例2】在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 作函数图象的两种常用方法 1.利用函数图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解． 2.利用函数图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象研究方程的根，方程f (x)＝0的根就是f (x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f (x)＝g(x)的根是函数y＝f (x)与函数y＝g(x)图象的交点的横坐标 【变式1】定义域为R的函数，其图象与轴的交点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【变式2】函数的图像简图可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4】某条公共汽车路线收支差额收支差额车票收入支出费用与乘客量的图象如图所示．由于目前本条路线存在亏损情况，公司有关人员提出了两条建议：（1）不改变车票价格，减少支出费用；（2）不改变支出费用，提高车票价格．图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态．下列说法正确的是（   ）． A．①反映了建议（2），③反映了建议（1） B．①反映了建议（1），③反映了建议（2） C．②反映了建议（1），④反映了建议（2） D．④反映了建议（1），②反映了建议（2） 1．函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 2．下列对应： ①，，对应关系：“对集合中的元素，取绝对值与中的元素对应”； ②，，对应关系，，； ③三角形，，对应关系：“对中的三角形求面积与中元素对应”． 是集合到集合上的函数的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 3.下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 5.（多选）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．（多选）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 7．求下列函数的定义域 (1)； (2)； (3)． 8．求下列函数的值域 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8） （9）； （10）. 1．已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”，则下列函数为“依赖函数”的为（    ） A． B． C． D． 3.如图为函数的图象，则的图象是（    ） A．B．C．D． 4.存在函数满足，对任意都有（  ） A． B． C． D． 5.（多选）已知函数的值域为，则常数可以是（ ） A． B．1 C．7 D． 6．记号表示不超过的最大整数，则的图象与直线的图象的交点个数是________． 7．已知函数，实数满足至少存在一个正实数，使得的定义域和值域相同，则的取值范围为__________. 8．（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）的值域为，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $