第4章 指数与对数（举一反三讲义·基础篇）高一数学苏教版必修第一册

该高中数学讲义以指数与对数全章七大基础题型为框架构建知识体系，涵盖根式与分数指数幂互化、指数幂运算、对数运算性质应用等核心内容，通过题型分类呈现知识脉络，突出从基础互化到方程求解的递进关系，明确重难点分布。 讲义亮点在于“基础-综合”分层练习设计，如指数幂运算题结合已知条件求代数式值，换底公式应用通过已知对数式表示目标值，培养数学思维中的运算能力和推理意识。基础题帮助学生掌握基本方法，综合题助力优秀学生深化理解，为教师实施分层教学提供精准素材，支持学生自主复习与能力提升。

第4章 指数与对数全章七大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 根式与分数指数幂的互化 1．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用分数指数幂的运算法则化简. 【解答过程】． 故选：A. 2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据根式、指数的运算求得正确答案. 【解答过程】. 故选：A. 3．（25-26高一上·广东佛山·期中）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用分数指数幂的运算法则求解. 【解答过程】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 4．（25-26高一上·上海徐汇·期末）设，用有理数指数幂的形式表示：___________． 【答案】 【解题思路】根据根式与分数指数幂的互化公式，及有理数指数幂的运算性质计算即可. 【解答过程】. 故答案为：. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）（2）（3）（4）将根式化为分数指数幂，结合指数幂运算求解即可. 【解答过程】（1）原式. （2）原式. （3）原式. （4）原式. 题型2 根式的化简求值 1．（25-26高一上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先分析的取值范围，再进行根式化简. 【解答过程】由题意得，，即， 所以. 故选：B. 2．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据根式的性质化简求值即可. 【解答过程】因为，所以. 故选：B. 3．（25-26高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【解答过程】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 4．（25-26高一上·福建福州·自主招生）化简：___________． 【答案】 【解题思路】利用二次根式的运算性质化简即得. 【解答过程】 故答案为：. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)已知，化简. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先分析的正负，再根据的奇偶进行分类讨论即可； （2）先分析的正负，再根据的奇偶进行分类讨论即可. 【解答过程】（1）， 当为偶数时，；当为奇数时，； 综上所述，. （2）， 当是奇数时，原式； 当是偶数时，原式； 综上所述，. 题型3 指数幂的运算 1．（25-26高一上·安徽六安·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据指数幂的运算法则化简. 【解答过程】. 故选：C. 2．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数的运算性质可得出，，，结合指数的运算性质可求得所求代数式的值. 【解答过程】因为，，则，，且，所以， 所以. 故选：B. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解题思路】根据指数幂的运算法则计算即可． 【解答过程】原式 ． 故选：B. 4．（2026高一上·河南安阳·专题练习）化简的结果为____________. 【答案】1 【解题思路】由根式与指数幂的关系及指数幂的运算性质化简求值. 【解答过程】由 . 故答案为：1. 5．（25-26高一上·山西太原·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)已知，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）（2）（3）应用有理数指数幂的运算性质化简求值； 【解答过程】（1）； （2）； （3）， ，则， . 题型4 指数式与对数式的互化 1．（25-26高一上·四川甘孜·阶段检测）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】根据指数式与对数式互化公式直接得到答案. 【解答过程】由可得 ,C不正确 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若（且），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数的定义将指数化为对数. 【解答过程】因为（且），所以. 故选：A. 3．（25-26高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【解答过程】（1）； （2）； （3）； （4）. 4．（25-26高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】根据指数与对数的运算规则即可将（1）~（4）化为相对应的指数式. 【解答过程】（1）由可得； （2）由可得； （3）由可得； （4）由，可得. 5．（25-26高一·全国·随堂练习）将下列指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】根据对数的定义化指数式为对数式即可. 【解答过程】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. 题型5 对数的运算性质的应用 1．（25-26高一上·江苏淮安·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用换底公式结合对数的运算性质化简可得所求代数式的值. 【解答过程】原式. 故选：A. 2．（25-26高一上·江苏南通·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用对数运算性质化简即可. 【解答过程】因为， 所以 ， 故选：A. 3．（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）=___________. 【答案】 【解题思路】根据对数的运算性质计算，即可得答案. 【解答过程】 . 故答案为：. 4．（2026高一上·内蒙古赤峰·专题练习）计算： (1)； (2)设，用表示的值. 【答案】(1)10 (2) 【解题思路】（1）利用对数运算性质以及指数幂的运算性质求解出结果； （2）根据对数运算性质以及换底公式求解出结果. 【解答过程】（1） ； （2）因为，所以. 5．（2026高一上·重庆·专题练习）化简与求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）运用对数的性质和运算法则计算求解； （2）运用对数和指数的性质及运算法则计算求解； （3）运用指数和对数的性质及运算法则计算求解． 【解答过程】（1）， ， ， ， ． （2）， ． （3）， ． 题型6 运用换底公式化简计算 1．（25-26高一上·贵州黔东南·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换底公式结合对数的运算即可求解. 【解答过程】由题意有：， 故选：B. 2．（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数的运算法则和换底公式即可求解. 【解答过程】由，得，所以，又，所以 . 故选：D． 3．（25-26高一上·河南南阳·期末）若，则___________． 【答案】 【解题思路】利用换底公式以及对数的运算性质可得出关于的方程，解出的值，即可得出的值. 【解答过程】由换底公式可得， 整理可得，解得，故，符合题意. 故答案为：. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，求： (1) (用表示). (2) (用表示)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】先利用指对数互化公式，再由对数运算性质与换底公式化简所求式，代入整理即得. 【解答过程】（1）因为,所以. 所以; （2）. 5．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）计算： (1)； (2)已知，试用表示. 【答案】(1)3 (2) 【解题思路】（1）利用对数法则计算出答案； （2）指数式化为对数式，换底公式得到，由换底公式进行化简，代入求值. 【解答过程】（1）原式 ； （2）由，得，由得， . 题型7 指、对数方程的求解 1．（25-26高一上·河北张家口·阶段检测）已知方程的两个根分别为，，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解题思路】利用根与系数的关系结合对数的运算法则计算即可. 【解答过程】由题意可知，即是方程的两个根， 则，可得， 所以 . 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先将方程化为同底数幂的形式后，再求解即可. 【解答过程】由，得， 所以，， 解得. 故选：B. 3．（25-26高一上·上海·期中）设，是方程的两根，则___________． 【答案】 【解题思路】先由韦达定理得，，然后化简求解即可. 【解答过程】因为，是方程的两根， 所以由韦达定理可知，. 则 . 故答案为：. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）如果方程的两根是，求的值． 【答案】 【解题思路】设，将方程整理成关于的一元二次方程，解方程求得的值，结合对数的运算性质即可求出的值. 【解答过程】设，则得，即， 则或，即或， 解得或. 依题意，或，故. 5．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若，求； (2)若，求； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）通过韦达定理进行求解即可. （2）通过韦达定理得，进行求解即可. （3）由题意，由韦达定理得到，进行求解即可. 【解答过程】（1）依题意可得， 解得. 由韦达定理得， 因为， 所以，得. （2）由韦达定理得， 由，得 （3）因为， 所以的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 指数与对数全章七大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 根式与分数指数幂的互化 1．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东佛山·期中）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海徐汇·期末）设，用有理数指数幂的形式表示：___________． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 题型2 根式的化简求值 1．（25-26高一上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 3．（25-26高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·福建福州·自主招生）化简：___________． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)已知，化简. 题型3 指数幂的运算 1．（25-26高一上·安徽六安·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）的值为（    ） A． B． C． D．0 4．（2026高一上·河南安阳·专题练习）化简的结果为____________. 5．（25-26高一上·山西太原·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)已知，求的值. 题型4 指数式与对数式的互化 1．（25-26高一上·四川甘孜·阶段检测）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若（且），则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（25-26高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（25-26高一·全国·随堂练习）将下列指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4). 题型5 对数的运算性质的应用 1．（25-26高一上·江苏淮安·期中）（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏南通·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）=___________. 4．（2026高一上·内蒙古赤峰·专题练习）计算： (1)； (2)设，用表示的值. 5．（2026高一上·重庆·专题练习）化简与求值： (1)； (2)； (3)． 题型6 运用换底公式化简计算 1．（25-26高一上·贵州黔东南·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知，，则（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河南南阳·期末）若，则___________． 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，求： (1) (用表示). (2) (用表示)． 5．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）计算： (1)； (2)已知，试用表示. 题型7 指、对数方程的求解 1．（25-26高一上·河北张家口·阶段检测）已知方程的两个根分别为，，则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高一上·全国·课后作业）方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·期中）设，是方程的两根，则___________． 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）如果方程的两根是，求的值． 5．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若，求； (2)若，求； (3)求的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $