精品解析：天津市第四十三中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷

2025-2026第一学期期初检测数学 班级： 姓名： 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. {2} C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集和补集的定义可求. 【详解】， 由题设有，故， 故选：C. 2. 设，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件及不等式的性质得解. 【详解】取，满足，推不出且； 当且时，由不等式性质，可得且， 即成立， 故“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 3. 函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由排除两个选项，再由时，排除一个选项后可得正确选项． 【详解】∵，所以，故排除C，D， 当时，恒成立，排除A， 故选：B． 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数，对数函数单调性可得答案. 【详解】因函数均在上递增， 则，即. 故选：A 5. 函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象，先求得，再求得，从而求得正确答案. 【详解】由图可知，，，所以． 由函数图象经过点，可知， 所以，， 所以，，因为，所以， 所以函数解析式为． 故选：A. 6. 若将函数图象上每一个点都向左平移个单位，得到的图象，则函数的对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由图象平移变换得到的解析式，再求其对称中心即可. 【详解】将函数图象上的每一个点都向左平移个单位， 可得， 由可得，，即得，， 故函数的对称中心为 故选：. 7. 给出下列有关线性回归分析的四个命题： ①线性回归直线未必过样本数据点的中心； ②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线； ③当相关系数时，两个变量正相关； ④如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于. 其中真命题的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项A，B；根据相关系数的性质可判断C，D，进而可得正确选项. 【详解】对于①，线性回归直线一定过样本数据点的中心，故①错误； 对于②，回归直线在散点图中可能不经过任何一个样本数据点，故②错误； 对于③，当相关系数时，两个变量正相关，故③正确； 对于④，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于或，故④错误. 故真命题的个数为1， 故选：A. 8. 某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ） A. 720种 B. 1440种 C. 1560种 D. 2520种 【答案】C 【解析】 【分析】先对图中不同的区域命名，分与布置相同的花卉、与布置不同的花卉两种情况，再运用分步计数和分类计数的方法从开始计数即可. 【详解】 如图，不同的布置方案分两类： 当与布置相同的花卉时， 先安排，有6种不同的选择；再安排与，有5种不同的选择；再安排，有4种不同的选择；最后安排，有4种不同的选择，共有种. 当与布置不同的花卉时， 先安排，有6种不同的选择；再安排与，有种不同的选择；再安排,有3种不同的选择；最后安排，有3种不同的选择，共有种. 所以不同的布置方案有种. 故选：C 9. 若函数有零点，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，得，再令，得出，并构造函数，将问题转化为直线与函数 在区间有交点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围． 【详解】令，得， ，令， 则，所以，， 构造函数，其中，由于， ，， 所以，当时，直线与函数在区间有交点， 因此，实数的取值范围是，故选D． 【点睛】本题考查函数的零点问题，在求解含参函数零点的问题时，若函数中只含有单一参数，可以采用参变量分离法转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题，难点在于利用换元法将函数解析式化简，考查数形结合思想，属于中等题． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 的展开式中的系数为_______________（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式的展开式，求指定项的系数即可. 【详解】由， 化简得， 当时，， 当时，， 所以得系数为. 故答案为： 11. 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为________；在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】应用独立事件乘法公式求甲以的比分获胜的概率，先确定甲获胜的概率，再求其中甲第一局获胜的概率，最后由条件概率公式求甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率. 【详解】若甲以的比分获胜，即一共3局，前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜， 所以甲以的比分获胜的概率， 事件表示“甲获胜”，则前两局甲获胜，或前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜， 所以甲获胜的概率， 事件表示“甲第一局获胜”，则， 所以. 故答案为：， 12. 已知某扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据扇形的弧长公式直接计算出扇形的弧长. 【详解】因为扇形的弧长，所以， 故答案为：. 13. 函数的单调递增区间为________． 【答案】（说明写成也给分） 【解析】 【分析】应用复合函数单调性结合指数函数单调性求解. 【详解】因为单调递减，单调递减，单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 14. 已知，，则的最小值为______. 【答案】12 【解析】 【分析】令，把已知式用表示，也用表示后，利用基本不等式求得最小值． 【详解】令，则，且，所以． 又，所以， 当且仅当，即，时等号成立． 故答案为：12. 15. 已知，若方程有四个不同的解，且， 则的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由方程有四个解转化为与有四个不同的交点，由数形结合可求得，，将所求式子化为；根据的范围可求得函数的单调性，即得最大值. 【详解】方程有四个不同的解等价于与有四个不同的交点，如下图所示： 则与关于对称，， ，，， 令，解得：；令，解得：；， 在上单调递减， 当时，取最大值为. 故答案为： . 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 化简求值： （1）； （2）已知，求的值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】(1)根据分数指数幂和对数的运算性质，即可化简求解. (2)根据三角函数的恒等变形，弦化切即可求解. 【小问1详解】 . 小问2详解】 , 原式. 17. 设函数． （1）求函数的单调区间． （2）若方程有且仅有三个实根，求实数的取值范围． 【答案】（1）增区间（-∞,1）和（2，+∞），减区间为（1，2）;（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1），解或的解集；（2）先求极值点，判断单调性，然后根据图形，判定轴于图像有三个交点时的位置，从而列不等式. 试题解析：（1），当时，或.当时，. （2）由（1）知，函数在（-∞,1）为增，为减函数，为增函数，根据函数的图像特征，判断轴应在极值之间，得, 考点：1.导数的应用；2.函数的图像；3.函数的零点. 18. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化正弦型函数，再利用正弦型函数周期性计算即可得； （2）由题意可得，再利用范围结合同角三角函数基本关系计算即可得. 【小问1详解】 由题意得 ， 而，故的最小正周期为. 【小问2详解】 由（1）可知， 又，所以， 由，得， 从而． 19. 已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为. （1）求的解析式和函数的单调递增区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围. 【答案】（1）；的单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正余弦的二倍角公式、两角和的正弦公式化简；根据的最小正周期为求出可得；再求单调递增区间即可； （2）利用图象平移可得，令，转化为在上只有一个解，结合图象可得答案. 【小问1详解】 ， ，因为图象的相邻对称轴之间的距离为， 所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令， 则，所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 由（1）知， 将图象上所有点的横坐标缩短为原来的， 纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象， 再向左平移个单位得的图象. 令，，则，所以， 因为在上只有一个解，由的图象（如图）可得，或，所以的取值范围是. 20. 已知函数（，）. （1）当时，求证：； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）构造函数结合函数单调性得出函数最小值证明求解； （2）求出导函数，再分，，，四种情况，得到函数的单调性； （2）参变分离得到，构造函数，求导得到其单调性和最大值，从而得到答案. 【小问1详解】 当时，设， 所以单调递增， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以，所以， 所以； 小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，， 当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，， 令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增； 当时，， 令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增； 当时，， 令，解得， 当时，单调递增； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递增； 【小问3详解】 当时，符合题意； 当时，，则等价于恒成立， 令， ， 由（1）知，所以，， 当时，单调递减；当时，单调递增； 则， 因为恒成立，所以， 所以， 实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第一学期期初检测数学 班级： 姓名： 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，且，则（ ） A B. {2} C. D. 2. 设，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6. 若将函数图象上的每一个点都向左平移个单位，得到的图象，则函数的对称中心为（ ） A. B. C. D. 7. 给出下列有关线性回归分析的四个命题： ①线性回归直线未必过样本数据点的中心； ②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线； ③当相关系数时，两个变量正相关； ④如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于. 其中真命题的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 某小区物业在该小区一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ） A 720种 B. 1440种 C. 1560种 D. 2520种 9. 若函数有零点，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 展开式中的系数为_______________（用数字作答）. 11. 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3局2胜制．假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的结果相互独立，则甲以的比分获胜的概率为________；在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是________． 12. 已知某扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为______. 13. 函数的单调递增区间为________． 14. 已知，，则的最小值为______. 15. 已知，若方程有四个不同的解，且， 则的最大值是__________． 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 化简求值： （1）； （2）已知，求的值. 17. 设函数． （1）求函数的单调区间． （2）若方程有且仅有三个实根，求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若，，求的值. 19. 已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为. （1）求的解析式和函数的单调递增区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围. 20. 已知函数（，）. （1）当时，求证：； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求a取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $